Các định lý giá trị trung bình và áp dụng

Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, cô giáo to Giái tích khoa Tốn ban sinh viên Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna tói TS Nguyen Văn Hào t¾n tình giúp đõ em q trình hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Lan đau đưoc thnc hi¾n cơng tác nghiên cúu khoa hoc nên khố lu¾n khơng tránh khói nhung han che thieu sót Tác giá xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban sinh viên Hà N®i, tháng năm 2010 Tác giá Tran Th% Mây Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, khóa lu¾n tot nghi¾p “Các đ%nh lý giá tr% trung bình áp dnng” đưoc hồn thành, khơng trùng vói bat kỳ khóa lu¾n khác Trong q trình làm khóa lu¾n, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2010 Tác giá Tran Th% Mây Mnc lnc Má đau Chương1 M®T SO KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Khái ni¾m hàm vi 1.2 Quan h¾ giua đao hàm tính liên tuc cna hàm so 1.3 Các phép tính bán ve đao hàm 1.4 Các đ%nh lý bán ve đao hàm Chương2 M®T SO ÚNG DUNG CÚA бNH LÝ GIÁ TR± TRUNG BÌNH 2.1 Đ%nh lý Rolle vói hàm so sơ cap đơn gián 10 2.2 M®t so cách xây dnng tốn giói han cna dãy so tù Đ%nh lý giá tr% trung bình 15 Chương3 бNH LÝ GIÁ TR± TRUNG BÌNH VéI M®T SO TỐN TÚ TÍCH PHÂN TUYEN TÍNH 21 3.1 M®t so Bo đe 21 3.2 M®t so đ%nh lý giá tr% trung bình đoi vói m®t so tốn tú tích phân tuyen tính 30 Ket lu¾n 35 Tài li¾u tham kháo 36 Má đau Lý chon đe tài Lý thuyet giói han phép tính só cna Giái tích Tốn hoc Nhò nó, mà ngưòi ta có the xây dnng nghiên cúu m®t cách tưòng minh khái ni¾m ve hàm so: liên tuc, vi, tích Ngay khái ni¾m đao hàm đưoc hình thành, m®t cách đơn gián ngưòi ta chí ra: hàm hang có đao hàm bang Tuy nhiên, van đe ngưoc lai khơng han đơn gián Đen lý thuyet đao hàm cna hàm so m®t bien so đưoc xây dnng xem hồn chính, ngưòi ta mói khang đ%nh đưoc đieu tưóng tam thưòng Các đ%nh lý ve giá tr% trung bình đóng m®t vai trò quan đoi vói phép tính vi phân, tích phân cna hàm Giái tích Tốn hoc Đen nay, ý nghĩa cna ket van thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu lĩnh vnc cna Toán hoc nhieu ngành khoa hoc khác Nhung ket nghiên cúu mói đem lai nhieu úng dung vi¾c nghiên cúu tốn ve sn ton tai nghi¾m cna phương trình, van đe cnc tr% cna hàm so, lý thuyet giái tích so, Trong Tốn hoc, m®t hưóng nghiên cúu đưoc quan tâm sn mó r®ng ket q cna tói lóp hàm, tốn tú khác Bói tam quan tính thòi sn cna đ%nh lý ve giá tr% trung bình đưoc sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, em chon đe tài: “Các đ%nh lý giá tr% trung bình áp dnng” đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p h¾ đào tao cú nhân chuyên ngành Sư pham Toán hoc Cau trúc cna đe tài đưoc bo cuc thành ba chương: Chương Tác giá trình bày kien thúc bán ve khái ni¾m vi cna hàm m®t bien m®t so ket quan cna phép tính vi phân đoi vói hàm so m®t bien so Chương Chương dành cho vi¾c trình bày m®t so phương pháp xây dnng m®t so ket q mói đoi vói phép tính vi phân cna hàm so m®t bien so nhò Đ%nh lý giá tr% trung bình Bang vi¾c sú dung nhung tính chat đ¾c trưng cna hàm sơ cap ky thu¾t tao dnng hàm phu, chúng tơi đưa m®t so tốn sâu vào vi¾c nghiên cúu đoi vói hàm vi Thêm nua, thay đưoc m®t phương pháp v¾n dung ket hop giua giói han bán vói Đ%nh lý giá tr% trung bình đe có đưoc m®t lóp tốn giói han ve dãy so đ¾c sac Chương Chúng tơi trình bày m®t so ket cna đ%nh lý giá tr% trung bình lóp tốn tú tích phân tuyen tính không gian C ([0, 1]) hàm liên tuc nh¾n giá tr% thnc xác đ%nh đoan [0, 1] Mnc đích, nhi¾m ket q nghiên cNu Nghiên cúu ve úng dung cna Đ%nh lý giá tr% trung bình đoi vói tốn cna hàm vi, tốn ve giói han cna dãy so đưoc khai thác nhò Đ%nh lý giá tr% trung bình Mó r®ng ket q cna Đ%nh lý giá tr% trung bình tói lóp tốn tú tích phân tuyen tính Đoi tưang nghiên cNu Úng dung cna Đ%nh lý giá tr% trung bình van đe mó r®ng ket q cna tói lóp tốn tú tích phân tuyen tính Phương pháp nghiên cNu Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh, tong hop Chương MđT SO KIEN THC CHUAN B 1.1 Khỏi niắm hm vi Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh khoáng (a, b) , x0 ∈ (a, b) Cho x0 m®t so gia ∆x cho x0 + ∆x ∈ (a, b) Chúng ta goi bieu thúc ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) so gia cna hàm so úng vói so gia ∆x cna đoi so Neu ton tai huu han giói han lim ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0) = lim , ∆x→0 ∆x ∆x giói han đưoc goi đao hàm cna hàm so f (x) tai điem x0, ký hi¾u f r(x0) Như v¾y ∆x→0 f r(x0) = lim ∆x→0 ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x→0 ∆x (1) = lim ∆x Đ¾t x = x0 + ∆x ta có the viet cơng thúc (1) dưói dang f (x) − f (x0) f r(x0) = lim x→x0 x− (2) x0 Ví dn 1.1.2 Neu hàm f (x) = C, vói C hang so f r(x) = Th¾t v¾y, vói moi x ∈ R có f r(x) = lim ∆y = lim = f (x + ∆x) − f lim C− ( x) C = ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x Ví dn 1.1.3 Tìm đao hàm cna hàm y = ln x; vói (x > 0) Theo đ %nh nghĩa, có r ln ∆x + = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x x f (x) = lim ∆y = lim ∆x→0 x ln + ∆x x ∆x x 1.2 = x Quan h¾ giĐa đao hàm tính liên tnc cúa hàm so Đ%nh lý 1.2.1 Hàm so f (x) có đao hàm tai điem x0 liên tnc tai ChNng minh Giá sú hàm so có đao hàm tai x0 Theo đ%nh nghĩa có the viet ∆y = f r(x0) + α(∆x), ∆x α(∆x) vơ bé ∆x → Tù đó, suy ∆y = f r (x0).∆x + θ(∆x), vói θ(∆x) = ∆x.α(∆x) vơ bé b¾c cao ∆x ∆x → Tính liên tuc cna hàm so f (x) nh¾n đưoc tù vi¾c chuyen qua giói han cna so gia hàm so so gia cna đoi so ∆x →0 lim ∆y (f r (x0 ).∆x + lim θ(∆x)) = ∆x→0 = ∆ x → Chú ý 1.2.2 Đieu ngưoc lai không Chang han, xét hàm so f (x) = |x| tai điem x0 = Ta có ∆f = f (0 + ∆x) − f (0) = |0 + ∆x| − |0| = |∆x| D ∆f = lim |∆x| = ∆ → Tù suy hàm so f (x) = |x| liên tuc tai điem x0 = Tuy nhiên, cho so gia cna đoi so ∆x dan đen tù bên trái bên phái ta nh¾n đưoc ∆f giói han lan lưot -1 cna tý Đieu chúng tó so ∆x hàm so cho khơng có đao hàm tai điem x0 = 1.3 Các phép tính bán ve đao hàm Bang vi¾c trnc tiep sú dung đ%nh nghĩa cna đao hàm de dàng chúng minh đưoc ket ve phép tính đoi vói đao hàm dưói Đ%nh lý 1.3.1 Neu hàm so f (x) g(x) có đao hàm tai điem x f (x) (g(x) ƒ= 0) có đao hàm hàm f (x) ± g(x), f tai (x).g(x), g(x) ta có công thúc sau r (i) (f (x) ± g(x)) = f r(x) ± gr(x) r (ii) (f (x).g(x)) = f r(x).g(x) + f (x).gr(x) f f r(x).g(x) − f (iii) (x).r (x).gr(x) = g(x) (g(x)) Đ%nh lý 1.3.2 Cho hàm so y = f (x) có đao hàm tai x0, hàm z = g(y) xác đ%nh m®t khống chúa y0 = f (x0) có đao hàm tai y0 Khi r hàm g ◦ f (x) có đao hàm tai x0 ta có (g ◦ f ) (x0) = g r (y0 ).f r (x0 ) ChNng minh Cho x0 m®t so gia ∆x Khi ta có so gia ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆z = g(y0 + ∆y) − g(y0) tương úng Tù sn ton tai đao hàm cna hàm f (x) g(y) ta có ∆y ∆z r = f (x0) + = gr(y0) + θ2(∆y) ∆x ∆y θ1(∆x) θ1(∆x) θ2(∆y) vô bé ∆x → ∆y → 0, tương úng Nhân hai thúc ve vói ve ta đưoc ∆z  s =− lim ε →0,ε> s ¸ xh  6(x)dx|ε + lim ε→0  ¸ ε 1sh6(s)ds s 1 ¸ ¸ = − xh6 (x)dx+ h6(x)dx = 0 Theo đ%nh lý Rolle, ton tai c6 ∈ (0, 1) cho 6H r (c6) = 0, túc c6 ¸ xh6(x)dx = 0 Tù bo đe 3.1.4 3.1.6, de dàng suy ket sau Đ%nh lý 3.1.7 Giá sú h7 : [0, 1] → R hàm liên tnc thóa mãn 1 ¸ ¸ h7(x)dx = xh7(x)dx Khi ton tai c7 , c˜7 ∈ (0, 1) cho ¸c7 h7 (c7 ) = h7 (x)dx; c ˜ xh7 (x)dx c˜7 h7 (c˜7 ) = ¸ ChNng minh Xét hàm phu ζ7 , ζ˜7 : [0, 1] → R đưoc xác đ%nh bói cơng thúc tương úng dưói t ¸ ζ7(t) = e−t h7(x)dx; t ζ˜7 (t) = e−t ¸ xh7 (x)dx  De dàng tính đưoc 7(t) = ζr −t e  h7(t) −  ¸t h7(x)dx ; 7(t) ζ ˜  = e−t  t ¸ th7(t) − xh7 (x)dx Theo Bo đe 3.1.5 3.1.6, ton tai giá tr% c4, c5 ∈ (0, 1) cho ζ7 (0) = ζ7 (c4) ζ˜7 (0) ζ˜7 (c5 ) Áp dung đ%nh lý Rolle (0, c4 ) = (0, c ) lan lưot đoi vói hàm ζ ζ˜ , ta có đieu phái chúng minh 7 Đ%nh lý 3.1.8 Giá sú h8 : [0, 1] → R m®t hàm vi vói đao hàm liên tnc thóa mãn cho xh8 (x)dx Khi ton tai c8 , c˜8 ∈ (0, 1) ¸1 h8(x)dx ¸ = c8 r h8(c8) = h (c8) ¸ h8 (x)dx; ¸c˜8 c˜8 h8 (c˜8 ) 8= hr xh8 (x)dx (c˜8 ) ChNng minh Xét hai hàm phu ζ8 , ζ˜8 : [0, 1] → R đưoc xác đ%nh tương úng bói ¸t h8(x)dx; ζ8(t) = e−h8(t) t ζ˜8 (t) = ¸ xh8(x)dx e−h8 (t) De dàng thay rang ζr  r ¸t  −h8(t) 8(t) = e h8(t) − h8(t) h8 (x)dx   t r ˜ ¸ −h (t) r ζ th8(t) − h8(t) xh8(x)dx 8(t) = e Theo Bo đe 3.1.5 3.1.6, ton tai so c4, c5 ∈ (0, 1) cho ζ8(0) = ζ8(c4) ˜ ζ (0) = ζ˜8 (c5 ) Áp dung lan lưot Đ%nh lý Rolle (0, c4 ) (0, c5 ) đoi vói hàm ζ8 ζ˜8 ta đưoc đieu phái chúng minh 3.2 M®t so đ%nh lý giá tr% trung bình đoi vái m®t so tốn tN tích phân tuyen tính Đ%nh lý 3.2.1 Cho hai hàm liên tnc ϕ, ψ : [0, 1] → R, đ%nh nghĩa toán tú T, S ∈ (C ([0, 1])) sau t ¸ ϕ(x)dx, (T ϕ) (t) = ϕ(t) − t ¸ xψ(x)dx (Sψ) (t) = tψ(t) − Giá sú f, g : [0, 1] → R hai hàm liên tnc Khi đó, ton tai c1, c2, c3 ∈ (0, 1) thóa mãn 1 ¸ (i) ¸ f (x)dx(T g)(c1 ) = g(x)dx(T f )(c1) (ii).(T f )(c2) = (Sf )(c2) 1 ¸ ¸ (iii) f (x)dx(Sg)(c3) g(x)dx(Sf )(c3) = ChNng minh 1 (i) Đ¾t h1(t) = f¸ g(x)dx−g(t)¸ f (x)dx, f, g : [0, 1] → (t) R 0 hàm liên tuc Theo Bo đe 3.1.1, ton tai c1 ∈ (0, 1) cho 1 c1 ¸ ¸ ¸c1 ¸ ¸ ¸ f f (c1) g(x)dx−g(c1) f (x)dx f (x)dx g(x)dx− g(x)dx (x)dx = 0 0 0 hay  ¸1 ¸c1 f (x)dx g(c1) −  g(x)dx = ¸c1 g(x)dx f (c1)  f (x)dx − 0  ¸1 Tù đó, suy g(x)dx(T f )(c1) ¸ ¸ f (x)dx(T g)(c1 ) = 0 (ii) Cho h2(t) = (t − 1)f (t) vói f : [0, 1] → R m®t hàm liên tuc Áp dung Bo đe 3.1.2, ton tai c2 ∈ (0, 1) cho c2 ¸ (c2 − 1)f (c2) (x − 1)f (x)dx = Do đó, có c2 ¸ c2 ¸ c2f (c2) xf (x)dx = f (c2) f (x)dx − − 0 Đieu có nghĩa (T f )(c2) = (Sf )(c2) (iii) Đoi vói khang %nh sau chỳng ta lm tng tn h3(t) = f (t) ¸ g(x)dx−g(t) f (x)dx, vói f, g : [0, 1] → R hàm liên tuc Do đó, theo ý cna Bo đe 3.1.4, ton tai c3 ∈ (0, 1) cho 1 c3f (c3) g(x)dx−c3g(c3) f (x)dx ¸ ¸ 0 c3 ¸ = xf (x)dx y g(x)dx− xg(x)dx ¸ ¸ ¸  ¸1 ¸c3 f (x)dx c3g(c3) −  f (x)dx 0  ¸1 xg(x)dx = 0 c3 ¸c3 g(x)dx c3f (c3)  xf (x)dx − Tù đó, chỳng ta nhắn oc g(x)dx(Sf )(c3) á f (x)dx(Sg)(c3) = 0 Đ%nh lý 3.2.2 Cho T, S ∈ (C ([0, 1])) toán tú đưoc xác đ%nh đ%nh lý 3.2.1, túc cho hai hàm liên tnc ϕ, ψ : [0, 1] → R đưoc xác đ%nh bói ¸t ϕ(x)dx, (T ϕ) (t) = ϕ(t) − t ¸ xψ(x)dx (Sψ) (t) = tψ(t) − Giá sú f, g : [0, 1] → R hai hàm liên tnc Khi đó, ton tai c4, c5 ∈ (0, 1) cho ¸ (i) (1 − x)f (x)dx(T g) (c4 ) = ¸ ¸ (1 − x)g(x)dx(T f ) (c4) (ii) 0 ¸ (1 − x)f (x)dx(Sg) (1 − x)g(x)dx(Sf )(c5) (c5) = ChNng minh (i) h4(t) = fá (t) (1 (1 − x)f (x)dx Áp dung Đ x)g(x)dx−g(t) %nh lý 3.1.7, ton tai c4 ∈ (0, 1) cho 1 ¸ ¸ f (c4) (1 − x)g(x)dx−g(c ) (1 − x)f (x)dx 0 c4 ¸ = 1 ¸ ¸c4 ¸ f (x)dx (1 − x)g(x)dx− g(x)dx (1 − x)f (x)dx 0 0 Đieu đó, tương đương vói  ¸1 ¸c4 (1 − x)f (x)dx g(c4) −  g(x)dx   ¸c4 ¸ (1 − x)g(x)dx f (c4) = f (x)dx − Tù đó, suy 0 ¸ (1 − x)g(x)dx(T f )(c4) ¸ (1 − x)f (x)dx(T g)(c4 ) = 0 (ii) Chúng ta xét hàm h5 : [0, 1] → R đưoc xác đ%nh bói 1 ¸ h5(t) = f (t) ¸ (1 − (1 − x)f (x)dx x)g(x)dx−g(t) Theo Đ%nh lý 3.1.7, ton tai c5 ∈ (0, 1) cho 1 ¸ c5f (c5) (1 − ¸ (1 − x)f (x)dx x)g(x)dx−c5g(c5) c5 hay ¸ ¸ xf (x)dx 0 = c5 ¸(1 − x)g(x)dx− xg(x)dx ¸ ¸1  (1 − x)f (x)dx ¸c5 (1 − x)f (x)dx c5g(c5) −  xg(x)dx  ¸c5  ¸ = − 0 (1 − x)g(x)dx c5f (c5) xf (x)dx Đieu có nghĩa ¸ ¸ (1 − x)g(x)dx(Sf )(c5) (1 − x)f (x)dx(Sg)(c5) = 0 Ket lu¾n Khóa lu¾n giái quyet đưoc van đe sau: H¾ thong kien thúc bán cna phép tính vi phân đoi vói hàm so m®t bien so Úng dung cna đ%nh lý giá tr% trung bình vi¾c giái m®t so tốn ve phép tính vi phân cna hm so mđt bien so bang viắc dnng cỏc hàm phu xuat phát tù m®t hàm goc cho trưóc Thêm nua, chúng tơi xây dnng m®t so tốn giói han cna dãy so tù đ%nh lý giá tr% trung bình Trình bày m®t so ket q ve đ%nh lý giá tr% trung bình lóp tốn tú tích phân tuyen tính khơng gian C ([0, 1]) hàm liên tuc nh¾n giá tr% thnc xác đ%nh đoan [0, 1] Tài li¾u tham kháo [1] T M Flett, A Mean Value Theorem, The Mathematical Gazette, Vol 42, No 339 (Feb, 1958), pp 38 – 39 [2] C Lupu - T Lupu, Mean Value Theorems for Some Linear Integral Operators, , Electronic Journal of Differential Equation, Vol 2009, No 117, pp - 15 ISSN: 1072 – 6691 [3] W Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Copyright by Mc Graw-Hill, Inc All rights reserved, New York, 1976 ... khai thác nhò Đ%nh lý giá tr% trung bình Mó r®ng ket q cna Đ%nh lý giá tr% trung bình tói lóp tốn tú tích phân tuyen tính Đoi tưang nghiên cNu Úng dung cna Đ%nh lý giá tr% trung bình van đe mó r®ng... trình bày đây, có the xem đ %nh lý Lagrange đ%nh lý Cauchy h¾ cna đ%nh lý Rolle Chương M®T SO ÚNG DUNG CÚA бNH LÝ GIÁ TR± TRUNG BÌNH Các đ%nh lý giá tr% trung bình đóng vai trò quan trong Tốn... Đ%nh lý giá tr% trung bình 15 Chương3 бNH LÝ GIÁ TR± TRUNG BÌNH VéI M®T SO TỐN TÚ TÍCH PHÂN TUYEN TÍNH 21 3.1 M®t so Bo đe 21 3.2 M®t so đ%nh lý giá