Các định lý giá trị trung bình và áp dụng

Một số cách xây dựng bài toán giới hạn của dãy số từ Định lý giá trị trung bình.. Đếnkhi lý thuyết đạo hàm của hàm số một biến số được xây dựng xem nhưhoàn chỉnh, người ta mới khẳng định

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giảitích trong khoa Toán và các bạn sinh viên Đặc biệt, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc của mình tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ

em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khoá luậnkhông tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm

ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Tác giả

Trần Thị Mây

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp “Các định lý giá trị trung bình và áp dụng” đượchoàn thành, không trùng với bất kỳ khóa luận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Tác giả

Trần Thị Mây

Mục lục

1.1 Khái niệm hàm khả vi 31.2 Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số 41.3 Các phép tính cơ bản về đạo hàm 51.4 Các định lý cơ bản về đạo hàm 6

Chương2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ

2.1 Định lý Rolle với các hàm số sơ cấp đơn giản 102.2 Một số cách xây dựng bài toán giới hạn của dãy số từ Định

lý giá trị trung bình 15

Chương3 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI MỘT SỐ

3.1 Một số Bổ đề 213.2 Một số định lý giá trị trung bình đối với một số toán tử tích

phân tuyến tính 30

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết giới hạn là phép tính cơ sở của Giải tích Toán học Nhờ nó,

mà người ta có thể xây dựng và nghiên cứu một cách tường minh các kháiniệm về hàm số: liên tục, khả vi, khả tích Ngay khi khái niệm đạo hàmđược hình thành, một cách khá đơn giản người ta đã chỉ ra: hàm hằng cóđạo hàm bằng 0 Tuy nhiên, vấn đề ngược lại thì không hẳn đơn giản Đếnkhi lý thuyết đạo hàm của hàm số một biến số được xây dựng xem nhưhoàn chỉnh, người ta mới khẳng định được điều tưởng như tầm thường đó.Các định lý về giá trị trung bình đóng một vai trò quan trọng đối vớiphép tính vi phân, tích phân của các hàm trong Giải tích Toán học Đếnnay, ý nghĩa của các kết quả này vẫn thu hút được sự quan tâm của nhiềulĩnh vực của Toán học cũng như nhiều ngành khoa học khác Những kếtquả nghiên cứu mới đem lại nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các bàitoán về sự tồn tại nghiệm của phương trình, vấn đề cực trị của hàm số, lýthuyết giải tích số, Trong Toán học, một hướng nghiên cứu đã và đangđược quan tâm là sự mở rộng các kết quả của nó tới lớp các hàm, các toán

tử khác nhau

Bởi tầm quan trọng cũng như tính thời sự của các định lý về giá trịtrung bình và được sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đềtài: “Các định lý giá trị trung bình và áp dụng” để hoàn thành khóaluận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành Sư phạm Toán học Cấutrúc của đề tài được bố cục thành ba chương:

Chương 1 Tác giả trình bày các kiến thức căn bản về khái niệm khả

vi của hàm một biến và một số kết quả quan trọng của phép tính vi phânđối với hàm số một biến số

Chương 2 Chương này dành cho việc trình bày một số phương phápxây dựng một số kết quả mới đối với phép tính vi phân của hàm số mộtbiến số nhờ Định lý giá trị trung bình Bằng việc sử dụng những tính chấtđặc trưng của các hàm sơ cấp và kỹ thuật tạo dựng hàm phụ, chúng tôiđưa ra một số bài toán đi sâu vào việc nghiên cứu đối với hàm khả vi.Thêm nữa, chúng ta cũng thấy được một phương pháp vận dụng kết hợpgiữa giới hạn cơ bản với Định lý giá trị trung bình để có được một lớp cácbài toán giới hạn về dãy số khá đặc sắc.

Chương 3 Chúng tôi trình bày một số kết quả của định lý giá trị trungbình trên lớp các toán tử tích phân tuyến tính trên không gian C1([0, 1])các hàm liên tục nhận giá trị thực xác định trên đoạn [0, 1]

2 Mục đích, nhiệm vụ và kết quả nghiên cứu

Nghiên cứu về ứng dụng của Định lý giá trị trung bình đối với các bàitoán của hàm khả vi, các bài toán về giới hạn của dãy số được khai thácnhờ Định lý giá trị trung bình

Mở rộng kết quả của Định lý giá trị trung bình tới lớp toán tử tích phântuyến tính

3 Đối tượng nghiên cứu

Ứng dụng của Định lý giá trị trung bình và vấn đề mở rộng các kết quảcủa nó tới lớp toán tử tích phân tuyến tính

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) ,

x0 ∈ (a, b) Cho x0 một số gia ∆x sao cho x0 + ∆x ∈ (a, b) Chúng ta gọibiểu thức

∆xln



1 + ∆xx



= 1

x.

1.2 Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý 1.2.1 Hàm số f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì liên tục tại đó.Chứng minh Giả sử hàm số có đạo hàm tại x0 Theo định nghĩa chúng

ta có thể viết

∆y

∆x = f

0(x0) + α(∆x),trong đó α(∆x) là vô cùng bé khi ∆x → 0 Từ đó, suy ra

∆y = f0(x0).∆x + θ(∆x),với θ(∆x) = ∆x.α(∆x) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆x khi ∆x → 0 Tínhliên tục của hàm số f (x) nhận được từ việc chuyển qua giới hạn của số giahàm số khi số gia của đối số ∆x → 0

∆x lần lượt là -1 và 1 Điều đó chứng tỏ hàm số đã chokhông có đạo hàm tại điểm x0 = 0

f (x0 + ∆x) − f (x0) và ∆z = g(y0 + ∆y) − g(y0) tương ứng Từ sự tồn tạiđạo hàm của các hàm f (x) và g(y) ta có

f (x)) Từ đó ta được

z0(x0) = g0(y0).f0(x0)

Định lý 1.3.3 Cho hàm số y = f (x) liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt trên

khoảng (a, b) Nếu f (x) có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a, b) và f0(x0) 6= 0, thìhàm ngược x = ϕ(y) xác định trên khoảng (c, d) = f [(a, b)] cũng có đạohàm tại y0 = f (x0) và ϕ0(y0) = 1

f0(x0).Chứng minh Vì f (x) là hàm 1-1 nên tồn tại hàm ngược của nó trongmột khoảng chứa y0 = f (x0) Ta có

Điểm x0 mà tại đó hàm y = f (x) đạt cực đại hoặc cực tiểu gọi được gọichung là điểm cực trị

Định lý 1.4.2 (Định lý Fecmat) Nếu hàm y = f (x) đạt cực trị tại x0

Bởi vì, hàm số có đạo hàm tại điểm x0 nên f0(x0) = 0.

Định lý 1.4.3 (Định lý Rolle) Cho hàm y = f (x) liên tục trên [a, b] ,khả vi trên (a, b) và f (a) = f (b) Khi đó, tồn tại ít nhất một số c ∈ (a, b)sao cho f0(c) = 0

Chứng minh Nếu f (x) là hàm hằng thì kết quả là hiển nhiên Trái lại,theo định lý Weierstrass, tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = m hoặc

f (c) = M, với m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

f (x) trên [a, b] Theo giả thiết f (a) = f (b), nên có ít nhất một điểm cựctrị của hàm số c ∈ (a, b) Từ đó, theo định lý Fecmat thì f0(c) = 0

Định lý 1.4.4 (Định lý Lagrange) Cho hàm f (x) liên tục trên [a, b] ,khả vi trên (a, b) Khi đó tồn tại ít nhất một số c ∈ (a, b) sao cho

f0(c) = 0 Từ đó ta nhận được kết quả của định lý

Định lý 1.4.6 (Định lý Cauchy).Cho các hàm f (x) và g(x) liên tục trên[a, b] , khả vi trên (a, b) ; g0(x) 6= 0 với mọi x ∈ (a, b) Khi đó tồn tại ítnhất một số c ∈ (a, b) sao cho

f0(c) = f (b) − f (a)

g(b) − g(a).Chứng minh Bởi vì g0(x) 6= 0, với mọi x ∈ (a, b) , nên theo định lý Rollechúng ta có g(a) 6= g(b) Một cách đơn giản, chúng ta có thể kiểm tra hàmphụ

ϕ(x) = f (x) − f (b) − f (a)

g(b) − g(a) (g(x) − g (a))thoả mãn các giả thiết của định lý Rolle trên [a, b] Do đó, tồn tại ít nhấtmột điểm c ∈ (a, b) sao cho ϕ0(c) = 0 Từ đó, chúng ta nhận được khẳngđịnh của định lý

Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ

TRUNG BÌNH

Các định lý giá trị trung bình đóng vai trò quan trọng trong Toán họccũng như nhiều lĩnh vực khoa học khác Trong Toán học, người ta có thể kểđến một số vấn đề như: bài toán tồn tại nghiệm của các phương trình đại

số, ước lượng khoảng chứa nghiệm của các phương trình và toán tử trongviệc giải gần đúng của lý thuyết số, bài toán tìm cực trị của hàm số, .Theo một khía cạnh, nhìn lại cách chứng minh của Định lý Lagrange vàĐịnh lý Cauchy, chúng ta thấy hai định lý đó là hệ quả của Định lý Rollenhờ việc thiết lập hai hàm phụ tương ứng là

ϕ(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a)

b − a (x − a)và

ϕ(x) = f (x) − f (b) − f (a)

g(b) − g(a) (g(x) − g (a)) ,với hàm f (x) mà ở đây chúng ta gọi nó là hàm “gốc” ) liên tục trên đoạn[a, b] và khả vi trên khoảng (a, b) Theo ý tưởng đó, chúng tôi sử dụng cáctính chất riêng biệt của một số hàm sơ cấp kết hợp với hàm gốc f (x) để

có được các bài toán mới Ở đây, các hàm phụ mới được thiết lập theo haicách thức sau

1 Kết hợp hàm gốc f (x) với một số hàm sơ cấp đơn giản dưới dạngtổng và dạng tích

2 Tính chất của hàm gốc thoả mãn các giả thiết của định lý giá trịtrung bình được chúng tôi gắn kết với các giới hạn cơ bản để tạo ra nhữngbài toán về sự hội tụ của dãy số

2.1 Định lý Rolle với các hàm số sơ cấp đơn giản

Như đã nói trên đây, trong các phần này chúng ta hiểu “gốc” là hàm

f (x) nào đó liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trên khoảng (a, b) trên đườngthẳng thực

2.1.1.Một số hàm phụ dưới dạng tổng

2.1.1.1 Hàm mũ Xét hàm phụ dưới dạng tổng của hàm gốc với hàm mũ

h (x) = f (x) + t−x,trong đó t là số thực nào đó mà 0 < t 6= 1 Giả thiết của Định lý Rolle đốivới hàm chỉ còn là sự thoả mãn thêm điều kiện

f (a) + t−a = f (b) + t−b

Từ đó, tồn tại số c ∈ (a, b) sao cho đạo hàm của hàm h(x) triệt tiêu, tức là

f0(c) − t−cln t = 0 Như vậy, chúng ta nhận được bài toán dưới dạng tổngquát theo giá trị của cơ số trong hàm mũ t−x như sau

Bài toán 1 Cho hàm f (x) liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) thỏamãn điều kiện f (a) + t−a = f (b) + t−b với số thực 0 < t 6= 1 Chứng minhrằng tồn tại ít nhất một giá trị c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = t−cln t

Bằng việc gán cho t các giá trị cụ thể ta nhận được một số bài toán sauđây

Bài toán 1.1 Cho hàm số f (x) liên tục trên [0, 1], khả vi trên (0, 1)

và f (0) + 1 = f (1) + e−1 Chứng minh rằng tồn tại số c ∈ (0, 1) sao cho

f0(c) = e−c

Bài toán 1.2 Cho hàm số f (x) liên tục trên [0, 1] , khả vi trên (0, 1)

và thoả mãn điều kiện f (0) + 1 = f (1) + 2010−1 Chứng minh rằng tồn

tại số c ∈ (0, 1) sao cho

2010c.f0(c) = ln 2010

2.1.1.2 Hàm logarit Ta xét hàm phụ được gắn kết với hàm logaritdưới dạng h (x) = f (x) − logαx với số thực α nào đó mà 0 < α 6= 1.Điều kiện bằng nhau tại giá trị hai đầu mút của hàm h(x) trên đoạn[a, b] trở thành f (b) − f (a) = logα b

a Bởi vì, đạo hàm của hàm h(x) là

h0(x) = f0(x) − (x ln α)−1 nên tồn tại số c ∈ (a, b) thoả mãn f0(c) = 1

c ln α.

Từ đó, chúng ta nhận được bài toán

Bài toán 2 Cho hàm số f (x) liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b).Giả sử rằng f (b) − f (a) = logα b

a với ab > 0 và 0 < α 6= 1 Chứng minhrằng tồn tại số c ∈ (0, 1) sao cho f0(c) = 1

c ln α.Thay thế một số giá trị cụ thể của cơ số α của hàm logarit, chúng tanhận được một số bài toán

Bài toán 2.1 Cho hàm f (x) liên tục trên [2009; 2009.e] , khả vi trên(2009; 2009.e) và thoả mãn điều kiện f (2009.e) = 1 + f (2009) Chứngminh rằng tồn tại số c ∈ (2009; 2009.e) sao cho f0(c) = c−1

Bài toán 2.2 Giả sử hàm f (x) liên tục trên [1; 2010] , khả vi trên khoảng(1; 2010) trừ ra các điểm nguyên trên đoạn đó và

f (k + 1) − f (k) = ln



1 + 1k

đa thức bậc n của biến x Hàm phụ h (x) = f (x) − Pn(x) có đạo hàm là

Với đa thức P2(x) = x

2

2 chúng ta thu được

Bài toán 3.1 Cho hàm f (x) liên tục trên [1; 2010] , khả vi trên (1; 2010)

và thỏa mãn điều kiện

Với đa thức P (x) = −(x − 1), chúng ta có được

Bài toán 3.2 Cho hàm số f khả vi trên [0, 1] thỏa mãn f (0) = 0, f (1) = 1.Chứng minh tồn tại hai số phân biệt a, b ∈ (0, 1) sao cho f0(a).f0(b) = 1

2.1.2 Hàm phụ dưới dạng tích

2.1.2.1 Hàm mũ Hàm h (x) = f (x) t−x với 0 < t 6= 1 có đạo hàm

h0(x) = (f0(x) − f (x) ln t) t−x.Điều kiện bằng nhau tại hai đầu mút của đoạn [a, b] có thể viết dưới dạng

f (a) tb = f (b) ta Khi đó, chúng ta nhận được bài toán

Bài toán 4 Cho hàm f (x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và thoảmãn điều kiện f (a) tb = f (b) ta với số thực 0 < t 6= 1 nào đó Chứng minhrằng tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

f0(c) = f (c) ln t

Với giá trị t = e, chúng ta nhận được

Bài toán 4.1 Cho hàm f (x) liên tục trên [a0, an], khả vi trên (a0, an)trừ ra (n − 1) điểm ai ∈ (a0, an) , i = 1, n − 1 Chứng minh rằng nếu f (x)triệt tiêu tại các điểm ai với mọi i = 0, n thì tồn tại các số ci, i = 0, n − 1sao cho

h (ai) = 0, với mọi i = 0, n Đạo hàm của h (x) là

0(ci)

f (ci) =

1

n Tổng của n giá trịtrên chính là khẳng định

Cũng tương tự như thế, với hàm phụ h(x) = eαxf (x), chúng ta được

Bài toán 4.2 Chứng minh rằng nếu f liên tục trong khoảng đóng [a, b] ,khả vi trên khoảng mở (a, b) và f (a) = f (b) = 0 thì với α ∈ R, tồn tại

x ∈ (a, b) sao cho αf (x) + f0(x) = 0

Thiết lập hàm phụ dưới dạng h(x) = eg(x)f (x), ta được

Bài toán 4.3 Cho f (x) và g(x) là các hàm liên tục trên [a, b], khả vitrên (a, b) và giả sử f (a) = f (b) = 0 Chứng minh rằng tồn tại x ∈ (a, b)sao cho g0(x)f (x) + f0(x) = 0

Bài toán 5 Cho hàm f (x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và

f (b) = f (a) logba; 0 < a, b 6= 1 Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (a, b)sao cho

f0(c) = −f (c)

c ln c.Trường hợp a = e, chúng ta nhận được bài toán

Bài toán 5.1 Cho hàm f (x) liên tục trên e, e2 , khả vi trên e, e2

Trong phần này, chúng ta xây dựng một số bài toán về giới hạn của dãy

số nhờ việc thiết lập những dãy hàm số thoả mãn các giả thiết của Định

lý Rolle Từ đó, chúng ta nhận được những dãy số mà qua các giới hạn cơbản để thu được kết quả mong muốn Để thuận lợi cho việc trình bày kếtquả, chúng ta nhắc lại một số giới hạn cơ bản

1 lim

α(n)→0

eα(n) − 1α(n) = 1 3 limα(n)→0

sin α(n)α(n) = 1.

2 lim

α(n)→0

ln(1 + α(n))α(n) = 1. 4 limα(n)→0

tan α(n)

2.2.1 Bài toán 6 Cho hàm số f (x) khả vi trên đoạn [a, b] Giả sử rằng

f (a) = f (b) = 0 và f (x) 6= 0 với mọi x ∈ (a, b) Chứng minh rằng tồn tạidãy {xn}∞n=1 trong khoảng (a, b) sao cho

lim

n→∞

f0(xn)(√n



f0(x) − 2010

n f (x)



Từ giả thiết f (x) khả vi trên [a, b] và f (a) = f (b) = 0, chúng ta suy

ra Hn(x) thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle Do đó, tồn tại dãy{xn} ⊂ (a, b) sao cho Hn0(xn) = 0 Từ đó, chúng ta được

e − 1)f (xn) = limn→∞

2010(√n

= 2010

Giữ nguyên hàm Hn(x) = e−

2010x

n f (x) và sử dụng các giới hạn cơ bảnkhác, chúng ta nhận được các bài toán sau

Bài toán 6.1 Cho hàm f (x) khả vi trên [a, b] , f (a) = f (b) = 0 Chứngminh rằng nếu f (x) không đồng nhất bằng 0 trên khoảng (a, b) thì tồn tạimột dãy {xn} trong khoảng (a, b) sao cho

Bài toán 6.4 Cho hàm f (x) khả vi trên [a, b] , f (a) = f (b) = 0 Chứngminh rằng nếu f (x) không đồng nhất bằng 0 trên khoảng (a, b) thì tồn tạimột dãy {xn} trong khoảng (a, b) sao cho

1 lim

n→∞

f0(xn)(√n

e − 1)xα−1

n f (xn) = α

và f (0) = f

π4



= 0.Khi đó, nếu f (x) không đồng nhất bằng 0 thì tồn tại một dãy {xn} trongkhoảng



0, π

4

sao cho

Bài toán 9 Cho hàm f (x) khả vi trên

h

0,π4

i

và f (0) = f

π4



= 0.Khi đó nếu f (x) không đồng nhất bằng 0 trên đoạn đó thì tồn tại dãy{xn} ⊂ 0, π

4

sao cho

n→∞

xnf0(xn)

f (xn) = 1.

Kết thúc phần này chúng ta trình bày lời giải đầy đủ của bài toán sau

Bài toán 10 Cho hàm số f (x) khả vi trên [a, b] và f (a) = f (b) = 0.Giả sử f (x) không đồng nhất bằng 0 trên (a, b) Chứng minh rằng tồn tạidãy {xn} ⊂ (a, b) sao cho



1 + x

2010 n

n

ln



1 + x

2010 n



1 + x

2010 n

n

ln



1 + x

2010 n



x2010nnln



1 + x

2010 n

Chương 3 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI MỘT SỐ

TOÁN TỬ TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả về Định lý giá trịtrung bình đối với lớp các toán tử tích phân tuyến tính Kết quả chínhtrong chương này là các Định lý 3.2.1 và 3.2.2 Trước hết chúng ta phátbiểu các kết quả về giá trị trung bình đối với tích phân cần thiết cho việctrình bày kết quả chính ở phần sau

t

R

0

h1(x)dx.Bằng tính toán đơn giản, chúng ta nhận được

1

Z

0

h1(x)dx = 0