Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liêm quan

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG   TRẦN THỊ YẾN LY ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG   Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1: TS Lê Hoàng Trí Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Gia Định Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Định lý giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng giải tích Nó có nguồn gốc từ ñịnh lý Rolle, ñược chứng minh nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) ñối với ña thức vào năm 1691 Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm hiểu ñịnh lý giá trị trung bình phương trình hàm, hai vấn ñề quan trọng chương trình THPT, ñặc biệt dành cho khối chuyên toán, ñịnh chọn ñề tài với tên gọi: Định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan ñể tiến hành nghiên cứu Vấn ñề mang tính thời giải tích Chúng hy vọng tạo ñược tài liệu tham khảo tốt cho người bắt ñầu tìm hiểu Các ñịnh lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan ñến chúng trình bày số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục tiêu ñề tài nhằm nghiên cứu ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình phương trình hàm xuất phát từ chúng Có nhiều vấn ñề liên quan ñến ñịnh lý giá trị trung bình, ñây ñề cập ñến phương trình hàm có liên quan ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu ñề tài ñịnh lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan Phạm vi nghiên cứu ñề tài ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan ñến chúng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan ñến ñịnh lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan ñến chúng Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn ñể trao ñổi kết ñang nghiên cứu ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Tổng quan kết tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñến Định lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu ñịnh lý giá trị trung bình phương trình hàm Chứng minh chi tiết làm rõ số ñịnh lý, ñưa số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập Footer Page of 126 Header Page of 126 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở ñầu, chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo - Chương 1: Hàm cộng tính song cộng tính - Chương 2: Định lý giá trị trung bình Lagrange phương trình hàm liên quan - Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu phương trình hàm liên quan CHƯƠNG HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH Các khái niệm kết chương tìm thấy tài liêụ [2] , [5], [6] Mục ñích chương trình bày số kết liên quan ñến hàm cộng tính song cộng tính Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M Legendre, người ñã nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm phương trình hàm Cauchy f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) với x, y ∈ , Cuốn sách Kuczma (1985) mô tả tuyệt vời hàm cộng tính Hàm cộng tính ñã tìm thấy sách Aczél (1966, 1987), Aczél – Dhombres (1989) Smital (1988) Nghiệm tổng quát nhiều phương trình hàm hai hay nhiều biến ñược biểu diễn theo hàm cộng tính, nhân tính, logarit hàm mũ Các phương trình mà trình bày ñây liên quan ñến hàm cộng tính, song cộng tính biến dạng chúng Nhân tiện, khảo sát nghiệm số phương trình khác có liên hệ với phương trình Cauchy cộng tính 1.1 HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC Định nghĩa 1.1.1 Một hàm f : → , ñó tập số thực, ñược gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) (1.1) với x, y ∈ Phương trình (1.1) ñược ñề cập ñầu tiên A M Legendre (1791) C.F Gaus(1809), A.L Cauchy (1821) người ñầu tiên tìm nghiệm liên tục tổng quát Footer Page of 126 Header Page of 126 Định nghĩa 1.1.2 Một hàm f : có dạng → ñược gọi hàm tuyến tính f ( x) = mx ( ∀x ∈ ), ñó m số Định lý 1.1.1 Cho f : → hàm cộng tính liên tục Khi ñó f tuyến tính, nghĩa là, f(x)=mx với m số tùy ý Định nghĩa 1.1.3 Một hàm f : → ñược gọi khả tích ñịa phương khả tích khoảng hữu hạn Chú ý 1.1.2 Mọi hàm cộng tính khả tích ñịa phương ñều tuyến tính Định nghĩa 1.1.4 Một hàm f : → ñược gọi hữu tỉ f ( rx ) = rf ( x ) , (1.2) với x ∈ R số hữu tỉ r Định lý 1.1.2 Nếu hàm cộng tính liên tục ñiểm liên tục khắp nơi 1.2 HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠN Trong phần trước, ñã chứng tỏ hàm cộng tính liên tục tuyến tính Thậm chí giảm ñiều kiện liên tục liên tục ñiểm, hàm cộng tính tuyến tính Trải qua nhiều năm, tồn hàm cộng tính gián ñoạn toán mở Các nhà toán học chứng minh hàm cộng tính liên tục không ñưa ñược ví dụ hàm cộng tính gián ñoạn Nhà toán học người Đức G Hamel vào năm 1905 người ñầu tiên thành công việc chứng minh tồn hàm cộng tính gián ñoạn Bây bắt ñầu nghiên cứu hàm cộng tính phi tuyến (không tuyến tính) Định nghĩa 1.2.1 Đồ thị hàm f : → tập hợp G = {( x, y ) / x ∈ , y = f ( x )} Dễ dàng thấy ñồ thị G hàm f : → tập mặt phẳng Định lý 1.2.1 Đồ thị hàm cộng tính phi tuyến tính f : → trù mật khắp nơi mặt phẳng Định nghĩa 1.2.2 Cho S tập số thực B tập S Khi ñó B ñược gọi sở Hamel ñối với S phần tử S tổ hợp tuyến tính hữu tỉ ( hữu hạn) B Định lý 1.2.2 Cho B sở Hamel ñối với Nếu hai hàm cộng tính có giá trị phần tử B chúng Footer Page of 126 Header Page of 126 Định lý 1.2.3 Cho B sở Hamel ñối với Cho g : B → hàm → tùy ý xác ñịnh B Khi ñó tồn hàm cộng tính f : cho f ( b ) = g ( b ) với b ∈ B 1.3 TIÊU CHUẨN KHÁC CHO TÍNH TUYẾN TÍNH Chúng ta ñã thấy ñồ thị hàm cộng tính phi tuyến f trù mật mặt phẳng Nghĩa vòng tròn chứa ñiểm (x,y) cho y = f ( x ) Chúng ta ñã nhận thấy hàm cộng tính f trở thành tuyến tính áp ñặt tính liên tục f Chúng ta làm yếu ñiều kiện liên tục liên tục ñiểm Trong ñoạn này, trình bày số ñiều kiện qui nhẹ khác mà làm cho hàm cộng tính tuyến tính Định lý 1.3.1 Nếu hàm cộng tính f bị chặn từ phía ñơn ñiệu f tuyến tính Định nghĩa 1.3.1: Một hàm f : → ñược gọi nhân tính f ( xy ) = f ( x) f ( y ), ∀x, y ∈ Định lý 1.3.2 : Nếu hàm cộng tính f nhân tính f tuyến tính 1.4 HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG THỰC VÀ PHỨC Trong mục này, ñầu tiên trình bày số kết liên quan ñến hàm cộng tính mặt phẳng sau ñó nghiên cứu hàm cộng tính giá trị phức mặt phẳng phức Chúng ta bắt ñầu mục với kết sau ñây Định lý 1.4.1 Nếu f : hàm cộng tính A1 , A2 : → → cộng tính mặt phẳng tồn cho f ( x1 , x2 ) = A1 ( x1 ) + A2 ( x2 ) (1.3) với x1 , x2 ∈ Định lý 1.4.2 Nếu f : 2 → hàm cộng tính liên tục mặt phẳng tồn số c1 , c2 cho f ( x1 , x2 ) = c1 x1 + c2 x2 (1.4) với x1 , x2 ∈ Bổ ñề 1.4.1 Nếu hàm cộng tính f : → liên tục theo biến hàm liên tục Định lý 1.4.3 Nếu f : n → hàm cộng tính liên tục số c1 , c2 , , cn cho Footer Page of 126 n tồn Header Page of 126 f ( x1 , x2 , , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn với x1 , x2 , , xn ∈ (1.5) Chú ý 1.4.1 Trong phần lại mục này, khảo sát hàm cộng tính có giá trị phức mặt phẳng phức Chúng ta bắt ñầu với giới thiệu ngắn gọn hệ số phức Các số có dạng a + b −1 , ñó a b số thực, ñược gọi số phức Vào ñầu kỉ 16, Cardan(1501 – 1576) làm việc với số phức việc giải phương trình bậc hai bậc ba Vào kỉ 18, hàm liên quan ñến số phức ñược tìm thấy Euler Trong thời gian dài, số phức ñược quan tâm nói chung không ñược xét ñến số thống cho ñến kỉ 19 Descartes loại bỏ nghiệm phức phương trình ñặt tên chúng ảo Euler cảm thấy số phức “tồn tưởng tượng” xem nghiệm phức phương trình hữu ích việc chứng tỏ phương trình thực vô nghiệm Gauss ñưa biểu diễn hình học ñối với số phức nhận thật không ñúng cho “có bí mật mờ mịt ñó số này” Ngày nay, số phức ñược chấp nhận rộng rãi theo công trình Gaus Định nghĩa hình thức số phức ñược cho William Hamilton Hệ số phức tập hợp cặp thứ tự số thực ( x,y) với phép cộng phép nhân xác ñịnh ( x, y ) + (u , v) = ( x + u , y + v) ( x, y )(u, v) = ( xu − yv, xv + yu ) với x, y, u , v ∈ Đồng số thực x với cặp ( x,0) kí hiệu i số ảo (0,1), ta viết lại biểu thức sau ( x, y ) = ( x,0) + (0,1)( y,0) thành ( x, y ) = x + iy Nếu ta kí hiệu vế trái biểu diễn z ta có z = x + iy Số thực x ñược gọi phần thực z, kí hiệu Rez Tương tự, số thực y ñược gọi phần ảo z kí hiệu Imz Nếu z số phức có dạng x + iy số phức x − iy ñược gọi liên hợp z kí hiệu z Một hàm f : → ñược viết thành: f ( z ) = f1 ( z ) + if ( z ) , ñó f1 : → f : → ñược cho f1 ( z ) = Re f ( z ) , f ( z ) = Im f ( z ) Footer Page of 126 (1.6) (1.7) Header Page of 126 Nếu f cộng tính theo (1.6) (1.7), ta có: f1 ( z1 + z2 ) = Re f ( z1 + z2 ) = Re  f ( z1 ) + f ( z2 )  = Re f ( z1 ) + Re f ( z2 ) = f1 ( z1 ) + f1 ( z2 ) Tương tự, f ( z1 + z2 ) = Im f ( z1 + z2 ) = Im  f ( z1 ) + f ( z2 )  = Im f ( z1 ) + Im f ( z2 ) = f ( z1 ) + f ( z2 ) Định lý 1.4.4 Nếu f kj : → f: → cộng tính tồn hàm cộng tính ( k , j = 1, ) cho f ( z ) = f11 ( Rez ) + f12 ( Im z ) + if 21 ( Re z ) + if 22 ( Im z ) Định lý 1.4.5 Nếu f : → hàm cộng tính liên tục tồn số phức c1 c2 cho f ( z ) = c1 z + c2 z (1.8) Trong ñó z kí hiệu số phức liên hợp với z Lưu ý không hàm cộng tính liên tục giá trị thực , hàm cộng tính liên tục giá trị phức không tuyến tính Tính tuyến tính ñược khôi phục ta giả sử ñiều kiện quy mạnh tính giải tích thay tính liên tục Định nghĩa 4.1 Một hàm f : → ñược gọi giải tích f khả vi Định lý 1.4.6 Nếu f : → hàm cộng tính giải tích tồn số phức c cho f ( z ) = cz , nghĩa f tuyến tính 1.5 HÀM SONG CỘNG TÍNH Định nghĩa 1.5.1 Một hàm f : → ñược gọi song cộng tính cộng tính theo biến, nghĩa f ( x + y , z ) = f ( x , z ) + f ( y , z ) , f ( x , y + z ) = f ( x , y ) + f ( x, z ) (1.9) với x, y, z ∈ Ví dụ hàm cộng tính dễ dàng thấy ñược bội tích biến ñộc lập Vì m ta ñịnh nghĩa f f ( x, y ) = mxy , x, y ∈ f song cộng tính Định lý 1.1.5 Mỗi hàm song cộng tính liên tục f : Footer Page of 126 → có dạng Header Page of 126 f ( x, y ) = mxy với x, y ∈ số m tùy ý ñó → ñược biểu diển dạng r sj , (1.10) Định lý 1.5.2 Mỗi hàm cộng tính f : n f ( x, y ) = ∑ k =1 n ñó x = ∑ rk bk , k =1 m ∑α j =1 kj k m y = ∑ s jbj , j =1 rk , s j hữu tỉ, b j phần tử sở Hamel B α kj tùy ý phụ thuộc vào b j bk CHƯƠNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Các khái niệm kết chương tìm thấy tài liệu [1], [2], [3], [5] Mục ñích chương nhằm trình bày ñịnh lý giá trị trung bình phép tính vi phân với số ứng dụng bàn ñến nhiều phương trình hàm ñược thúc ñẩy việc sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình Tất phương trình hàm ñề cập chương ñược sử dụng theo ña thức ñặc trưng Ớ ñây, khảo sát ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai phân ñưa số ứng dụng việc xác ñịnh trung bình hàm Cuối cùng, chứng minh ñịnh lý giá trị trung bình Cauchy phương trình hàm khác ñộng lực sử dụng ñịnh lý tổng quát 2.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE Một ñịnh lý quan trọng phép tính vi phân ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange Định lý ñược khám phá ñầu tiên Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ý tưởng việc ứng dụng ñịnh lý Rolle vào hàm bổ trợ thích hợp ñược cho Ossian Bonnet (1819-1892) Tuy nhiên, phát biểu ñầu tiên ñịnh lý xuất báo nhà vật lý học tiếng André-Marie Ampère (1775-1836) Như ñã biết nhiều kết giải tích thực cổ ñiển hệ ñịnh lý giá trị trung bình Chứng minh ñịnh lý Rolle dựa vào hai kết ñơn giản sau ñây Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 10 Mệnh ñề 2.1.1 Nếu hàm khả vi f : → ñạt cực trị ñiểm c thuộc khoảng mở (a,b) f ' ( c ) = Mệnh ñề 2.1.2 Một hàm liên tục f : → ñạt cực trị khoảng ñóng bị chặn [ a, b ] Chúng ta bắt ñầu ñịnh lý Rolle sau: Định lý 2.1.1 Nếu f liên tục [ x1 , x2 ] , khả vi ( x1 , x2 ) f ( x1 ) = f ( x2 ) , tồn ñiểm η ∈ ( x1 , x2 ) mà cho f ' (η ) = Định lý 2.1.2 Với hàm giá trị thực f khả vi khoảng I với cặp x1 ≠ x2 I , tồn ñiểm η phụ thuộc x1 x2 cho f ( x1 ) − f ( x2 ) = f ' (η ( x1 , x2 ) ) x1 − x2 (2.1) 2.2 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Định lý giá trị trung bình có giải thích hình học sau Tiếp tuyến với ñồ thị hàm f η ( x1 , x2 ) song song với cát tuyến nối ñiểm ( x , f ( x )) ( x , f ( x ) ) 1 Trong mục này, thiết lập số kết phép tính vi phân tích phân sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange Bổ ñề 2.2.1 Nếu f ' ( x ) = với x khoảng ( a, b ) f [ a, b ] Bồ ñề 2.2.2 Nếu f ' ( x ) = g ' ( x ) với x ∈ ( a, b ) f g sai khác số [ a, b ] Bồ ñề 2.2.3 Nếu f ' ( x ) > (< 0) , với x ∈ ( a, b ) hàm f tăng ( giảm ) thực [ a, b ] Bồ ñề 2.2.4 Nếu f '' ( x ) > , với x ∈ ( a, b ) f lõm khoảng [ a, b ] Định lý phép tính phát biểu f hàm liên tục [ a, b ] F nguyên hàm f [ a, b ] b ∫ f ( t )dt = F ( b ) − F ( a ) a Footer Page 10 of 126 (2.2) Header Page 12 of 126 12 Định nghĩa f ( x ) = xα , ñó α tham số thực Áp dụng ñịnh lý giá trị trung bình ñối với f khoảng [ x, y ] Tồn ñiểm η với x < η < y ( phụ thuộc vào x, y α ) cho f ' (ηα ( x, y ) ) = f ( x) − f ( y ) x− y α α  x −y  ⇔ (ηα ) ( x, y ) =   α ( x y ) −   Lưu ý ta sử dụng ηα ( x, y ) thay η ñể nhấn mạnh phụ thuộc η α −1 vào x, y α Từ ñiều này, ta có ñược họ vô hạn trung bình cách thay ñổi tham số α Các trung bình ñược biết trung bình Stolarsky Nếu α = −1 , ta có trung bình hình học: η −1 ( x, y ) = x y ; Nếu α = ta có trung bình số học : η ( x, y ) = x+ y ; Nếu α → , ta có trung bình lôgarit : limηα ( x, y ) = α →0 x− y ; ln x − ln y y−x 1y  Nếu α → 1, ta có trung bình identric : lim (ηα ) ( x, y ) =  x  α →1 ex  Dể dàng mở rộng ñịnh nghĩa trung bình số học trung bình hình học ñối với n số thực dương, x + x + + xn A ( x1 , x2 , xn ) = , G ( x1 , x2 , xn ) = n x1 , x2 , xn n 2.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Trong mục này, minh họa phương trình hàm xuất từ ñịnh lý giá trị trung bình trình bày nghiên cứu có hệ thống phương trình hàm suy rộng khác Định nghĩa 2.3.1 Với số thực phân biệt x1 , x2 , , xn , tỉ sai phân hàm y f: → ñược ñịnh nghĩa f [ x1 ] = f ( x2 ) , f [ x1 , x2 , , xn ] = Định lý 2.3.1 Các hàm Footer Page 12 of 126 f f [ x1 , x2 , , xn−1 ] − f [ x2 , x3 , , xn ] x1 − xn , h: → , với n ≥ thỏa mãn phương trình hàm Header Page 13 of 126 13 f [ x, y ] = h ( x + y ) , x ≠ y , (2.7) f ( x ) = ax + bx + c h ( x ) = ax + b ñó a, b, c số thực tùy ý Hệ 2.3.1 Hàm f : → thỏa mãn phương trình hàm  x+ y f ( x) − f ( y ) = ( x − y ) f '  , x ≠ y,   f ( x ) = ax + bx + c , với a, b, c số thực tùy ý Định lý 2.3.2 Nếu ña thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c , với a ≠ , nghiệm phương trình hàm f ( x + h ) − f ( x ) = h f ' ( x + θ h ) ( < θ < 1) ñược giả sử với x ∈ , h ∈ \{0} θ = mãn phương trình hàm với θ = 2 (2.8) Đảo lại, hàm f thỏa nghiệm ña thức có bậc nhiều hai Định lý 2.3.3 Với tham số thực s , t hàm f , g , h : f ( x) − g ( y) = h ( sx + ty ) x− y → thỏa mãn (2.9) với x, y ∈ , x ≠ y ax + b ax + b  ax + b  f ( x ) = α tx + ax + b   A ( tx ) + b  t  β x + b ay + b ay + b  ay + b  g ( y ) = α ty + ay + b   A ( ty ) + c  t  β y + b Footer Page 13 of 126 nÕu s = = t nÕu s = , t ≠ nÕu s ≠ , t = nÕu s = t ≠ ( 2.10) nÕu s = −t ≠ nÕu s ≠ t nÕu s = = t nÕu s = , t ≠ nÕu s ≠ , t = nÕu s = t ≠ nÕu s = −t ≠ nÕu s ≠ t (2.11) Header Page 14 of 126 14 nÕu s = = t  tùy ý víi h(0) = a a nÕu s = , t ≠  a nÕu s ≠ , t =  nÕu s = t ≠ h ( y ) = α y + a (2.12)  A ( y ) (c − b)t  + nÕu s = −t ≠ y  y  nÕu s ≠ t , β y ñó A: → hàm cộng tính a, b, c, α , β số thực tùy ý Định lý 2.3.4 Nếu f hàm khả vi thỏa mãn phương trình hàm f [ x, y , z ] = h ( x + y + z ) (2.13) f ña thức có bậc nhiều ba Năm 1992 Bailey ñặt câu hỏi có hay không hàm liên tục ( khả vi) f thỏa mãn phương trình hàm f [ x1 , x2 , xn ] = g ( x1 + x2 + + xn ) (2.14) ña thức có bậc nhiều n Sử dụng số kỹ thuật sơ cấp, Kannappan Sahoo (1995) ñã giải toán Bailey Định lý sau ñây lời giải với n = Định lý 2.3.5 Cho f thỏa mãn phương trình hàm f [ x1 , x2 , x3 ] = g ( x1 + x2 + x3 ) với x1 , x2 , x3 ∈ (2.15) mà x1 ≠ x2 , x2 ≠ x3 x1 ≠ x3 Khi ñó f ña thức có bậc nhiều ba g tuyến tính Bổ ñề 2.3.1 Cho S − S = S ) cho f , g : tập hữu hạn → ñối xứng qua ( nghĩa là, hàm thỏa mãn phương trình hàm f ( x) − f ( y ) = ( x − y ) g ( x + y) với x, y ∈ \ S Khi ñó f ( x) = ax + bx + c, g ( y ) = ay + b với x, y ∈ (2.16) (2.17) \ S y ∈ , ñó a, b, c số ñó Định lý 2.3.6 Cho f , g : → thỏa mãn phương trình hàm (2.14) với x1 , x , , x n phân biệt Khi ñó f ña thức có bậc nhiều n g tuyến tính Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 15 2.4 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN Trong mục này, chứng minh ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai phân sau ñó trình bày số ứng dụng hướng nghiên cứu trung bình Chúng ta bắt ñầu mục với biểu diễn tích phân tỉ sai phân.Trong mục f (n) ký hiệu ñạo hàm cấp n hàm f ,trong f ' biểu diễn ñạo hàm cấp f Định lý 2.4.1 Giả sử f : → có ñạo hàm cấp n liên tục khoảng { x0 , x1 , , xn } ≤ x ≤ m ax { x0 , x1 , , x n } tất ñiểm x0 , x1 , , xn phân biệt t1 t n −1 ∫ d t1 ∫ d t ∫ f 0 (n)   x0 +   t ( x − x ) ∑ k k k − d t n k =1  n (2.18) = f [ x , x1 , , x n ] , với n ≥ Định lý 2.4.2 Cho f : [ a, b ] → hàm giá trị thực với ñạo hàm cấp n liên tục x , x1 , , x n [ a, b ] Khi ñó tồn ñiểm η khoảng  { x0 , x1 , , xn } , max { x0 , x1 , , xn } cho f ( n ) (η ) f [ x0 , x1 , , xn ] = n! 2.5 DÁNG ĐIỆU GIỚI HẠN CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Nếu x số thực khoảng (a,b) áp dụng ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange ñối với khoảng [ a, x ] , chọn số η x ( a, x ) hàm x cho f [ a, x ] = f '(η x ) (2.19) Trong mục này, khảo sát dáng ñiệu giá trị trung bình η x x tiến ñến ñiểm mút trái a khoảng [ a, x ] Kiểu dáng ñiệu giá trị trung bình tích phân ñầu tiên ñược nghiên cứu Jacobson (1982) sau ñó BaoLin (1997) Dáng ñiệu giá trị trung bình vi phân ñược nghiên cứu Powers, Riedel Sahoo (1988) Đầu tiên, chứng minh hai kết mang tính biểu diễn khác ñối với tỉ sai phân n -ñiểm f [ x0 , x1 , , xn ] f Định lý 2.5.1 Tỉ sai phân n-ñiểm f ñược biểu diễn thành Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 16 f (x j ) n ∑ f [ x0 , x1 , , xn ] = j =1 ∏( x n k≠ j k =1 j (2.20) − xk ) với số nguyên dương n Định lý 2.5.2 Giả sử f ( x ) = x l với số nguyên không âm l ñó, ñó nÕu l < n < 1, 0  nÕu l = n − 1, f [ x1 , , x n ] = 1  x , , x nÕu l = n n  với số nguyên dương n Định lý 2.5.3 Giả sử hàm f khả vi liên tục [ a, b ] có ñạo hàm cấp hai a với f '' ( a ) ≠ Nếu η x ký hiệu giá trị trung bình (2.19) l i m+ x→ a η − a = x − a x Chú ý 2.5.1 Ý tưởng chứng minh ñịnh lý xuất phát từ báo Jacobson(1982) Chúng ta ñưa ñịnh lý tổng quát mà ñịnh lý trường hợp ñặc biệt Như ta ñã biết ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai phân n-ñiểm phát biểu f : [ a, b ] → khả vi liên tục cấp n − x , , x n n ñiểm phân biệt [ a, b ] tồn η ∈  { x1 , , xn } , max { x1 , , xn } cho f ( ) (η )  x1 , , xn ; f ( x )  = ( n − 1)! n −1 (2.21) Ở ñây sử dụng kí hiệu  x1 , , xn ; f ( x )  ñể tỉ phân n − ñiểm f [ x1 , , xn ] f Ngoài ra, α ∈ n ∈ hệ số nhị thức suy rộng C a k ñược ñịnh nghĩa Cα = k α (α − ) (α − k + ) k! Trong trường hợp k = , tích k −1 ∏ (α − i ) i =0 Định lý 2.5.4 Cho f : [ a, b ] → ñược hiểu khả vi liên tục cấp n − [ a, b ] cho f (t ) = p (t ) + (t − a ) g (t ) α Footer Page 16 of 126 k −1 = ∏ (α − i ) k ! i=0 (2.22) Header Page 17 of 126 17 Trong ñó p ( t ) ña thức có bậc nhiều n − 1, g ( [ a, b ] n −1) (t ) bị chặn \ {0 ,1 , n − 1} Khi ñó g ( a ) ≠ α ∈ α η x − a   m , , m n ; x     li m n −1 x→ 0+ α +1− n (2.23)   ñó ≤ m1 < < mn ≤ 1, η x giá trị trung bình ñược cho (2.21) ñối x Cα với  a + m x , , a + m n x ; f ( x )  < x < b − a Định lý 2.5.5 Giả sử f khả vi cấp n a Khi ñó tồn hàm ε ( x ) cho n f (a + x )∑ ñó lim ε ( x ) = k =0 f( k) ( a )xk + ε k! ( x ) xn , (2.24) x →0 Định lí 2.5.6 Giả sử: f : [ a , b ] → có ñạo hàm cấp n − liên tục khả vi cấp k ≥ n a với f ( ) ( a ) = với i = n , , ( k − ) f ( i k) ( a ) ≠ Khi ñó k +1− n   m , , m n ; x    (2.25) =  n −1 x→ x C   k ñó ≤ m1 < < mn ≤ 1, η x giá trị trung bình ñược cho (2.21) ñối lim+ ηx − a k với  a + m1 x, , a + mn x; f ( x )  < x < b − a 2.6 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Augustine – Louis Cauchy (1789 – 1857) ñưa suy rộng sau ñây ñịnh lý giá trị trung trung bình mà mang tên ông ta Định lý 2.6.1 Với giá trị thực f g khả vi khoảng số thực I với cặp x1 ≠ x2 I , tồn ñiểm η phụ thuộc vào x1 x2 cho  f ( x1 ) − f ( x2 )  g ' (η ) =  g ( x1 ) − g ( x2 )  f ' (η ) (2.26) Định lý 2.6.1 Với giá trị thực f g khả vi khoảng số thực I với cặp x1 ≠ x2 I , tồn ñiểm η phụ thuộc vào x1 x2 cho Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 18  f ( x1 ) − f ( x2 )  g ' (η ) =  g ( x1 ) − g ( x2 )  f ' (η ) (2.27) Chú ý 2.6.1 Định lý giá trị trung bình Cauchy ñược dùng việc chứng minh phương pháp thông dụng ñể tính giới hạn tỉ ñó hàm Phương pháp Guillaume Francois Marquis de l’Hospital (16611704) ñược biết qui tắc l’Hospital Năm 1696 Marquis de l’Hospital biên tập giảng thầy ông ta Johann Bernoulli (1667- 1748), quy tắc gọi l’Hospital ñầu tiên xuất Có lẽ xác nên gọi quy tắc quy tắc Bernoulli- l’Hospital Định lý 2.6.2 Cho f , g : [ a, b ] → hàm giá trị thực có ñạo hàm cấp n [ a, b] Hơn nữa, cho x , x , , x n Khi ñó tồn ñiểm η ∈  { x0 , x1 , , xn } , max { x0 , x1 , , xn } f [ x0 , x1 , , xn ] g n (η ) = g [ x0 , x1 , , xn ] f n (η ) liên tục g ( n ) ( t ) ≠ [ a, b ] cho (2.28) CHƯƠNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Các khái niệm kết chương tìm thấy tài liệu [2], [3], [5] Trong chương này, khảo sát ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu (1946) Chúng ta xét suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình pompeiu ñược ñề xuất Boggio (1947 – 1948) Trong Chương 2, ñã gặp nhiều phương trình hàm dẫn xuất từ ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange Các phương trình hàm tương tự xuất từ ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu Các phương trình hàm ñược biết ñến kiểu Stamate Mục bàn ñến số phương trình hàm kiểu Stamate suy rộng chúng Mục gồm suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu Boggio Trong mục này, có phương trình hàm nghiên cứu Kuczma (1991) Trong Mục 4, khảo sát suy rộng phương trình hàm kiểu Stamate sau ñó giải số phương trình hàm liên quan xuất từ quy tắc Simpson ước lượng số tích phân xác ñịnh Footer Page 18 of 126 Header Page 19 of 126 19 3.1 ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU Năm 1946, Pompeiu giới thiệu biến thể ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange mà ngày gọi ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu Định lý 3.1.1 Với hàm f giá trị thực khả vi khoảng [a,b] không chứa với cặp x1 ≠ x2 [ a , b ] , tồn ñiểm ξ ∈(x1, x2 ) cho x1 f ( x ) − x f ( x1 ) = f (ξ ) − ξ f '(ξ ) x1 − x 3.2 PHƯƠNG TRÌNH KIỂU STAMATE Chú ý 3.2.1 Biểu thức ñại số (3.1) cho phương trình hàm Ở ñây dạng xác vế phải không cần thiết Điều có liên quan vế phải (3.1) phụ thuộc vào ξ mà không trực tiếp vào x1 x2 Vì vậy, ta có phương trình hàm x f ( y ) − y f ( x) = h (ξ ( x , y )), ∀x , y ∈ x− y với x ≠ y (3.1) Tương tự tỉ sai phân, biến thể ñược ñịnh nghĩa công trình Chung Sahoo (1993) ñệ quy f {x1}= f (x2), f { x1 , x2 , , x n } = x n f { x1 , x2 , , xn −1} − x1 f { x2 , x3 , , xn } x1 − xn Một tính toán dễ dàng chứng tỏ x f f { x1 , x } = ( x1 ) − x1 f x − x1 (x2 ) ,  n xj  f {x1, x2 , , xn} = ∑ ∏  f ( xi )  x − x i =1  j ≠i i j  Kết sau ñây ñược trình bày công trình Aczél Kuczma (1989) Định lý 3.2.1 Các hàm f , h : → thỏa mãn phương trình hàm n f { x , y} = h ( x + y ), ∀x , y ∈ với x ≠ y , (3.2) f ( x) = ax + b h ( x ) = b , ñó a, b số tùy ý Bổ ñề 3.2.1 Nếu f , g, h : → thỏa mãn phương trình hàm xf ( y ) − yg ( x ) = h(x + y) x− y Footer Page 19 of 126 (3.3) Header Page 20 of 126 ∀ x, y ∈ 20 , x ≠ y f (x) = g(x), x∈ Định lý 3.2.2 Cho s , t tham số thực Các hàm f , h : → thỏa mãn xf ( y ) − yf ( x ) = h ( sx + ty ) x− y (3.4) , x ≠ y với x , y ∈ tïy ý víi b = h(0) nÕu s = = t  nÕu s = − t, x ≠ f ( x) = ax + b, h( x) = b b tr−êng hîp cßn l¹i,  (3.5) ñó a,b số tùy ý 3.3 MỘT PHƯƠNG TRÌNH CỦA KUCZMA Định lý 3.3.1 Với hàm giá trị thực f g khả vi khoảng [ a , b ] không chứa với cặp x1 ≠ x2 [ a, b] , tồn ñiểm ξ ∈ ( x1 , x ) cho g ( x1 ) f ( x2 ) − g ( x2 ) f ( x1 ) g (ξ ) = f (ξ ) − f ' (ξ ) g ( x1 ) − g ( x2 ) g ' (ξ ) (3.6) Ở ñây giả sử g(x) g’(x) khác không [ a , b ] Định lý 3.3.2 Cho g : → với κ ∈ ñó Các hàm f , g , h : hàm liên tục tăng chặt mà g (κ ) = → thỏa mãn phương trình hàm x+ y g ( x ) f ( y ) − g ( y ) f ( x ) =  g ( x ) − g ( y )  h   , x, y ∈   , (3.7)  f ( x) = α g ( x) + β   h( x) = β  g ( x) = tùy ý,  (3.8) ñó α , β số tùy ý 3.4 PHƯƠNG TRÌNH XUẤT PHÁT TỪ QUY TẮC SIMPSON Chú ý 3.4.1 Quy tắc Simpson phương pháp số sơ cấp ñể ước lượng tích phân xác ñịnh ∫ b a f ( t ) dt Phương pháp bao gồm việc phân hoạch khoảng [ a, b] thành khoảng có ñộ dài xấp xỉ ñồ thị f khoảng với hàm bậc hai Nếu a = x0 < x1 < x2 < < x2n =b phân Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 21 hoạch [ a, b] thành 2n khoảng con, khoảng có ñộ dài b −a 2n b−a [ f ( x0 ) + f ( x1 ) + + f ( x2n−2 ) + f ( x2n−1 ) + f ( x2 n )] ∫a 6n Công thức xấp xỉ gọi quy tắc Simpson Sai số ñối với quy tắc cho b ∫ b f (t )dt f (t ) dt − a b−a [ f ( x0 ) + f ( x1 ) + + f ( x n − ) + f ( x n −1 ) + f ( x n )] 6n { } K (b − a ) ≤ 180 n (4) ñó K = sup f (x) | x ∈[ a,b] Dễ dàng lưu ý từ bất ñẳng thức f khả vi liên tục ñến cấp f (4) (x) = b−a [ f ( x0 ) + f ( x1 ) + + f ( x2 n − ) + f ( x2 n −1 ) + f ( x2 n )] a 6n b b−a [ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x2 )] Rõ ràng ñúng n=1 thu : ∫a f (t )dt = x+ y Cho a = x, b = y, x1 = công thức trên, ta có ñược y y−x x+ y f ( t ) dt = [ f ( x ) + f ( ) + f ( y )] (3.9) ∫x Phương trình tích phân (3.9) ñúng với x , y ∈ f ña thức có ∫ b f (t ) dt = bậc nhiều ba Tuy nhiên, không hiển nhiên (3.9) ñúng với x , y ∈ nghiệm f ña thức bậc ba Phương trình tích phân (3.9) dẫn ñến phương trình hàm y−x x+ y g ( y ) − g ( x) = [ f ( x) + f ( ) + f ( y )] (3.10) ñó g nguyên hàm f Phương trình trường hợp ñặc biệt phương trình hàm f ( x ) − g ( y ) = ( x − y ) [h ( x + y ) + ψ ( x ) + φ ( y ) ] (3.11) với x , y ∈ Trong mục này, ñịnh nghĩa nghiệm tổng quát phương trình hàm (3.11) Hai phương trình hàm sau ñây công cụ việc giải phương trình hàm (3.11) g ( x ) − g ( y ) = ( x − y ) f ( x + y ) + ( x + y ) f ( x − y ), (3.12) xf ( y ) − yf ( x ) = ( x − y ) [ g ( x + y ) − g ( x ) − g ( y ) ] Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 22 Phương trình ñầu (3.12) xem biến thể f ( x )− f ( y ) x− y = h ( x + y ) phương trình thứ hai (3.12) biến thể khác xf ( y ) − yf ( x ) = ( x − y ) g ( x + y ) Định lý 3.4.1 Các hàm f , g : → thỏa mãn phương trình hàm g(x) − g(y) = (x − y) f (x + y) +(x + y) f (x − y), ∀x, y∈ f ( x ) = ax + A ( x ) g ( x) = 2ax + xA( x) + b, ñó A: → cộng tính, a b số tùy ý Định lý 3.4.2 Các hàm f , g : → thỏa mãn phương trình hàm xf ( y ) − yf ( x ) = ( x − y ) [ g ( x + y ) − g ( x ) − g ( y ) ] với x, y∈ (3.13) (3.14) (3.15) f ( x ) = 3ax + 2bx + cx + d , g ( x ) = − ax − bx − A( x ) − d , (3.16) → ñó A : hàm cộng tính a, b, c, d số tùy ý Định lý 3.4.3 Các hàm f , g, h, k : → thỏa mãn phương trình hàm f ( x ) − g ( y ) = ( x − y ) [h ( x + y ) + k ( x ) + k ( y ) ] với x , y ∈  f ( x)   g ( y)  h( x) k ( x )  ñó A: → = 3ax + 2bx3 + cx + dx + α = 3ay + 2by + cy + dy + α = ax3 + bx + A( x) + d − β (3.17) (3.18) = 2ax3 + bx + cx − A( x) + β , hàm cộng tính a, b, c, d ,α , β số tùy ý Định lý 3.4.4 Các hàm f , g , h,φ ,ψ : → thỏa mãn phương trình hàm f ( x ) − g ( y ) = ( x − y ) [h ( x + y ) + φ ( x ) + ψ ( y ) ] với x, y∈  f ( x)   g ( y)   h( x ) φ ( x )  ψ ( y )  ñó A: → Footer Page 22 of 126 (3.19) = 3ax + 2bx + cx + dx + α = 3ay + 2by + cy + dy + α = ax + bx + A( x ) + d − β = 2ax + bx + cx − A( x ) + β + γ = 2ay + by + cy − A( y ) + β − γ , hàm cộng tính a , b , c , d , α , β , γ số tùy ý Header Page 23 of 126 23 3.5 MỘT SỐ SUY RỘNG Chú ý 3.5.1 Trong mục này, xét số suy rộng phương trình hàm (3.10) Số hạng 4f ( ) x+ y (3.10) phụ thuộc vào phân hoạch khoảng thành khoảng có ñộ dài quy tắc Simpson Tuy nhiên, lý ta phải hạn chế phân hoạch Nếu cho phép phân hoạch không số hạng dạng 4f ( ) , có dạng x+ y α f (sx + ty) , ñó α , s, t số Từ ñó có suy rộng (3.10) f ( x ) − f ( y ) = ( x − y ) [ h ( sx + ty ) + g ( x ) + g ( y ) ] (3.20) với x , y ∈ với s t tham số ñược chọn ưu tiên Kế ñến, xác ñịnh nghiệm tổng quát phương trình hàm (3.20) mà giả thiết qui (tính khả vi, tính liên tục, tính ño ñược, …) gán cho hàm ẩn Hơn nữa, sử dụng nghiệm phương trình này, xác ñịnh nghiệm tổng quát phương trình hàm f ( x ) − g ( y ) = ( x − y ) [ h ( sx + ty ) + ψ ( x ) + φ ( y ) ] (3.21) với x , y ∈ với s t tham số ñược chọn ưu tiên Lưu ý phương trình hàm (3.21) bao gồm phương trình hàm f ( x) − g ( y) = ( x − y)h( x + y) mà ñược nghiên cứu Haruki (1979) Aczél (1985) phương trình hàm f ( x) − g ( y) = ( x − y)h(sx + ty) mà nghiệm ñược xác ñịnh Kannappan, Sahoo Jacobson (1995) Kết sau ñây Haruki (1979) ñược dung việc xác ñịnh nghiệm tổng quát phương trình hàm (3.20) Bổ ñề 3.5.1 Các hàm f , g : → thỏa mãn phương trình hàm  g ( x) + g ( y )  f ( x) − f ( y ) = ( x − y )     với x, y∈ (3.22) f ( x ) = ax + bx + c g ( x) = 2ax + b (3.23) ñó a, b, c số tùy ý Định lý 3.5.1 Cho s t tham số thực Các hàm giá trị thực f , g,h: → thỏa mãn phương trình hàm (3.20) với x , y ∈ Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 24  ax + (b + d ) x + c   ax + (b + d ) x + c  ax + (b + d ) x + c  f ( x) =   ax + 2bx + cx + ( d + β ) x + α  ax + cx + β x − A ( x ) + α   ax + (b + d ) x + c b  ax +    ax + b   b  g ( x ) =  ax +   ax + bx + cx − A ( x ) + β  ax + cx + β   b  ax +   tùy ý víi h (0) = d d  d  x x  x h( x) = a   + b   + A   + d t  t   t    x 2 t  x  −a   − A   , x ≠ x t   t   d nÕu s=0=t nÕu s = 0, t ≠ nÕu s ≠ 0, t = nÕu s =t ≠ nÕu s = −t ≠ nÕu ≠ s2 ≠ t2 ≠ nÕu s=0=t nÕu s = 0, t ≠ nÕu s ≠ 0, t = nÕu s=t≠0 nÕu s = −t ≠ nÕu ≠ s ≠ t ≠ nÕu s = = t nÕu s = 0, t ≠ nÕu s ≠ 0, t = nÕu s=t≠0 nÕu s = −t ≠ nÕu ≠ s2 ≠ t2 ≠ ñó A: → hàm cộng tính a , b , c , d , α , β số tùy ý Bổ ñề 3.5.2 Cho α số thực khác không Các hàm f , g : → thỏa mãn phương trình hàm f ( x ) − f ( y ) = ( x − y ) [α xy + g ( x ) + g ( y ) ] với x, y∈  f ( x) = ax3 + β x2 + 2γ x + δ   g ( x) = α x + β x + γ , Footer Page 24 of 126 (3.24) (3.25) Header Page 25 of 126 25 ñó β , γ , δ số tùy ý Định lý 3.5.2 Cho s t tham số thực Các hàm giá trị thực f , g, h,φ,ψ : → thỏa mãn phương trình hàm (3.21) với x, y∈ g ( x ) = f ( x )  ax + (b + d ) x + c nÕu s = = t  nÕu s = 0, t ≠  ax + bx + c  ax + bx + c nÕu s ≠ 0, t =  f ( x) =  nÕu s = t ≠  ax + bx + cx + ( d + β ) x + α  ax + cx + (2 β − d ) x − A ( x ) + α nÕu s = − t ≠   − 2bstx + β x + (2γ + α − d ) x + δ nÕu ≠ s ≠ t ≠ nÕu s = = t  ax + b −2δ  b +δ nÕu s = 0, t ≠  ax +  ax + b +2δ nÕu s ≠ 0, t =  φ ( x) =  δ nÕu s = t ≠  ax + bx + cx − A( x ) + β +  ax + cx − A ( x ) + β nÕu s = − t ≠ 0   bs ( s − 2t ) x + β x + A ( sx ) + γ + α nÕu ≠ s ≠ t ≠ nÕu s = = t  ax + b +2δ  b −δ nÕu s = 0, t ≠  ax + − h (tx )  ax + b −2δ − h ( sx ) nÕu s ≠ 0, t =  ψ ( x) =  δ nÕu s = t ≠  ax + bx + cx − A ( x ) + β −  ax + cx + A ( x ) + β − δ nÕu s = − t ≠ 0   bs (t − s ) x + β x + A (tx ) + γ nÕu ≠ s ≠ t ≠ nÕu s = = t  tùy ý víi h (0) = d  tùy ý nÕu s = 0, t ≠   tùy ý nÕu s ≠ 0, t =  h( x) =  x nÕu s = t ≠ a ( t ) + b ( xt ) + A ( xt ) + d   − a ( x )2 − t A ( x ) + A ( x ) , x ≠ nÕu s = − t ≠ 0 t t x t   − bx − A ( x ) − d nÕu ≠ s ≠ t ≠ ñó A0 , A : → hàm cộng tính a, b, c, d ,α , β , γ , δ số tùy ý Footer Page 25 of 126 Header Page 26 of 126 26 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu ñịnh lý giá trị trung bình phương trình hàm liên quan, luận văn ñã hoàn thành ñạt ñược mục tiêu nghiên cứu ñề tài với kết cụ thể sau Tổng quan hệ thống cách ñầy ñủ hàm cộng tính liên tục, gián ñoạn, hàm cộng tính mặt phẳng thực phức, hàm song cộng tính Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M Legendre, người ñã có nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm phương trình hàm Cauchy Nghiệm tổng quát nhiều phương trình hàm hai nhiều biến ñược biểu diễn theo hàm cộng tính, nhân tính, logarit hàm mũ Trình bày cách ñầy ñủ chi tiết • Định lý giá trị trung bình Lagrange kết dẫn xuất ứng dụng chúng qua ví dụ minh họa ñặc sắc ; • Khảo sát ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai phân ñưa số ứng dụng việc xác ñịnh trung bình hàm, ñồng thời giới thiệu số phương trình hàm dẫn xuất tìm nghiệm chúng ; • Định lý giá trị trung bình Cauchy phương trình hàm khác ñộng lực sử dụng ñịnh lý suy rộng Khảo sát cách chi tiết có hệ thống • Định lý giá trị trung bình Pompeiu phương trình hàm kiểu Stamate nghiệm chúng ; • Suy rộng Boggio ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu phương trình hàm nghiên cứu Kuczma ; • Các phương trình hàm liên quan xuất từ quy tắc Simpson nghiên cứu nghiệm tổng quát chúng Với ñã khảo sát ñược, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục ñi sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu phương trình hàm ứng dụng ñinh lý giá trị trung bình Trong ñiều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa ñi nghiên cứu sâu ñịnh lý giá trị trung bình theo nhiều biến phương trình hàm liên quan Đó hướng phát triển luận văn Footer Page 26 of 126 ... 1: Hàm cộng tính song cộng tính - Chương 2: Định lý giá trị trung bình Lagrange phương trình hàm liên quan - Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu phương trình hàm liên quan CHƯƠNG HÀM... ñịnh trung bình hàm Cuối cùng, chứng minh ñịnh lý giá trị trung bình Cauchy phương trình hàm khác ñộng lực sử dụng ñịnh lý tổng quát 2.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE Một ñịnh lý quan trọng... 3.1 ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU Năm 1946, Pompeiu giới thiệu biến thể ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange mà ngày gọi ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu Định lý 3.1.1 Với hàm f giá trị