Các dạng bất đẳng thức về giá trị trung bình và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THẾ GIANG CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Các giá trị trung bình 1.1 Hàm biểu diễn giá trị trung bình 1.2 Bất đẳng thức AM-GM toán liên quan 1.2.1 Quy nạp kiểu Cauchy 1.2.2 Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp 10 1.2.3 Bất đẳng thức AG suy rộng 14 1.3 Các dạng trung bình đồng bậc khác 15 Một số định lý liên quan đến biểu diễn giá trị trung bình 22 2.1 Biểu diễn hàm lồi, hàm lõm 22 2.2 Biểu diễn hàm đơn điệu bậc cao 24 Một số áp dụng 27 3.1 Bài toán cực trị đại số 27 3.2 Bài toán cực trị lượng giác 43 3.3 Giải biện luận phương trình, bất phương trình 54 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 69 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức chuyên đề toán học Đây là dạng toán quan trọng chương trình phổ thông Các kết nội dung trình bày hoàn chỉnh, đầy đủ tài liệu nước Quốc tế Mặt khác, kì thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng, đặc biệt kì thi Học sinh giỏi, ta hay gặp dạng toán bất đẳng thức Để giúp học sinh phổ thông tìm hiểu kết bất đẳng thức cổ điển nhà toán học nghiên cứu, đồng thời nắm kĩ thuật chứng minh dạng bất đẳng thức cụ thể hệ thống chung theo logic định nhiệm vụ mà đề tài luận văn đề cập đến Bằng cách đưa dạng bất đẳng thức giá trị trung bình, mục tiêu luận văn giúp cho học sinh nắm kết đầy đủ, chi tiết cách thức vận dụng chúng để giải số toán liên quan Việc xây dựng dạng trung bình đồng bậc khác nhằm giúp học sinh nhìn nhận, khái quát hóa nhiều bất đẳng thức mà học sinh thường gặp Từ tạo cho em làm quen với việc tập dượt nghiên cứu chuyên đề toán sau Luận văn mục lục, mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, gồm chương Chương Các giá trị trung bình Nội dung chương nhằm trình bày giá trị trung bình Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) dạng trung bình đồng bậc khác Đây phần lí thuyết sở để vận dụng cho toán ứng dụng chương sau Chương Một số định lí liên quan đến biểu diễn giá trị trung bình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương trình bày số định lí liên quan tới giá trị trung bình mà trực tiếp liên quan tới chương trình toán Trung học phổ thông Đó lớp hàm lồi, hàm lõm hàm đơn điệu bậc cao Chương Một số áp dụng Đây nội dung ứng dụng chương chương vào việc giải toán cực trị đại số, cực trị lượng giác, đồng thời ứng dụng để giải dạng toán giải biện luận phương trình Tiếp theo, nêu tập minh họa tập hợp, lựa chọn từ đề kì thi học sinh giỏi Quốc gia, kì thi Olympic khu vực Quốc tế Đối với dạng tập có nêu phương pháp giải cụ thể Các tập trình bày theo hệ thống với nhiều lời giải độc đáo, thể tính sáng tạo Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS-TSKH, nhà giáo nhân dân Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giáo sư, tận tình giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Nhân tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau Đại học, Khoa Toán- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K2 Tác giả xin chân thành cảm ơn tới UBND Tỉnh, Sở GD ĐT Tỉnh Lạng Sơn, Ban giám hiệu trường THPT Việt Bắc Thành phố Lạng Sơn, tạo điều kiện cho tác giả có hội học tập, nghiên cứu Mặc dù cố gắng, song khuôn khổ viết, luận văn nhiều vấn đề chưa đề cập tới, thời gian khả có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết Tác giả mong muốn nhận nhiều ý kiến đóng góp quý báu thầy cô, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Tôi xin trân trọng cảm ơn Thái Nguyên, 08 tháng 09 năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các giá trị trung bình Trong chương này, ta đề cập đến giá trị trung bình bản, định lí bất đẳng thức giá trị trung bình cộng giá trị trung bình nhân (Còn gọi bất đẳng thức AM-GM ngắn gọn bất đẳng thức AG), bất đẳng thức AG suy rộng dạng trung bình đồng bậc khác (xem [1]-[7]) 1.1 Hàm biểu diễn giá trị trung bình Giả sử > 0, i = 1, 2, , n Xét đại lượng trung bình sau (1) Trung bình cộng M1 = n n i=1 n (2) Trung bình nhân M2 = n i=1 (3) Trung bình điều hòa M3 = n n i=1 (4) Trung bình bình phương M4 = n a n i=1 i Ta có hệ thức sau đại lượng trung bình Định lý 1.1 Với số dương , i = 1, 2, , n, ta có M3 ≤ M2 ≤ M1 ≤ M4 Trong trường hợp n = 2, ta mô tả ý nghĩa hình học định lý sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét nửa đường tròn đường kính BC , tâm O Giả sử OD⊥BC O Từ điểm E khác D, ta kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt BC kéo dài A Kẻ EF ⊥BC, F ∈ BC a1 + a2 > AE (cạnh Đặt AB = a1 > 0, AC = a2 > (a1 = a2 ) Khi đó, AO = huyền lớn cạnh góc vuông) Mặt khác, ta có AE = AO2 − OE = (AO + OE)(AO − OE) = √ AB.AC = Suy M3 = AO > AE = M2 AE = AC.AB tức AE = √ √ a1 a2 AB.AC (hệ thức lượng đường tròn) Từ công thức 2(x2 + y ) = (x + y)2 + (x − y)2 , ta có AD = AO2 + OD2 + = AC + AB = (AO − OD)2 + (AO + OD)2 2 a1 + a2 = M4 (3) Theo bất đẳng thức Cauchy, M2 ≤ M1 (4) Vậy nên M3 ≤ M2 ≤ M1 ≤ M4 k Ví dụ 1.1 (Đề thi học sinh giỏi năm 1980) Gọi T = mi (mi > 0) Chứng i=1 minh k mi + i=1 Giải Ta có mi k ≥k k m2i + (1.1) ⇔ i=1 i=1 k T + T k (1.1) k2 T2 + T2 k2 ≥k m2i Ta có T = M1 ≤ M4 = k k m2i ⇔ i=1 T2 ≤ k2 k k k m2i ⇒ i=1 m2i ≥ k i=1 T2 k2 Lại có k k i=1 k = M3 ≤ M2 = m2i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên k m2i k i=1 = k k mi i=1 k mi i=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn ≤ k Do k i=1 mi k k i=1 T2 mi = ⇒ k k k m2i + i=1 i=1 ≥k m2i k i=1 k2 ≥ k T2 m2i k2 T2 + T2 k2 Ví dụ 1.2 (Đề thi học sinh giỏi năm 1976) Chứng minh rằng, với điểm M nằm tam giác ABC ta có da db dc ≤ 8S , 27abc (1.2) da , db , dc khoảng cách từ M đến cạnh BC, CA, AB; a, b, c độ dài cạnh S diện tích tam giác Hãy mở rộng (1.2) cho tứ diện không gian Giải +) Ta viết ada +bdb +cdc = 2S, xét ba tam giác M BC, M AC, M AB Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có ada + bdb + cdc ada bdb cdc ≤ = 2S 3 = 8S , 27 tức da db dc ≤ 8S 27abc Đẳng thức xảy ada = bdb = cdc , tức da : db : dc = 1 : : a b c +) Xét hình chóp M BCD, M ACD, M ABD, M ABC, M điểm nằm tứ diện ABCD, ta viết SA dA + SB dB + SC dC + SD dD = 3V Từ ta có SA dA SB dB SC dC SD dD = SA dA + SB dB + SC dC + SD dD 4 = 3V 4 tức dA dB dC dD ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 81V 256SA SB SC SD http://www.lrc-tnu.edu.vn , Đẳng thức xảy SA dA = SB dB = SC dC = SD dD , tức dA : dB : dC : dD = 1 1 : : : SA SB SC SD Ví dụ 1.3 (Đề thi học sinh giỏi năm 1981) Cho n số thực t1 , t2 , , tn cho < p ≤ tk ≤ q với k = 1, 2, , n Biết A= Chứng minh A2 B ≥ n k tk B = i=1 n k t2k i=1 4pq tìm điều kiện cần đủ để có dấu đẳng thức (p + q)2 Giải Ta có k (tk − p)(tk − q) ≤ i=1 Từ k k t2k − (p + q) tk + npq ≤ i=1 i=1 Hay B − (p + q)A + pq ≤ B pq p+q Vậy ≤ − + = −pq A A A p+q − A 2pq + (p + q)2 (p + q)2 ≤ 4pq 4pq Đẳng thức xảy (tk − p)(tk − p) = với k = 1, 2, , n A = 2pq p+q Ví dụ 1.4 (Đề thi học sinh giỏi năm 1976) Cho x1 = 2; xn+1 = Chứng minh ∀n > ta có ≤ xn < x4n + 5xn Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái, vế phải Tìm điều kiện đơn điệu xn Ví dụ 1.5 (Đề thi học sinh giỏi Hungary) Chứng minh rằng, α góc nhọn 1+ sin α 1+ cos α > Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Bất đẳng thức AM-GM toán liên quan Trong này, ta đề cập đến định lí bất đẳng thức giá trị trung bình cộng giá trị trung bình nhân (Còn gọi bất đẳng thức AM-GM ngắn gọn bất đẳng thức AG), toán liên quan bất đẳng thức AG suy rộng Định lý 1.2 (Định lí giá trị trung bình cộng trung bình nhân ([2],[5])) Giả sử x1 , x2 , , xn số không âm Khi √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 · · · xn n (1.3) Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Hệ trực tiếp bất đẳng thức AG bất đẳng thức trung bình nhân trung bình điều hòa (Gọi viết tắt GM - HM GH) Hệ 1.1 (Bất đẳng thức GH) Với số dương a1 , a2 , , an ta có √ n a1 a2 · · · an ≥ n 1 + + ··· + a1 a2 an Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức AG số dương xk = ak (k = 1, 2, , n), ta có bất đẳng thức GH Cho đến nay, người ta biết đến hàng trăm cách khác để chứng minh bất đẳng thức giá trị trung bình cộng trung bình nhân (Gọi bất đẳng thức AM-GM AG) Sau cách chứng minh định lí 1.2 theo quy nạp kiểu Cauchy Đây kiểu quy nạp theo cặp hướng (lên-xuống) Cauchy đề xuất vào năm 1821 Để chứng minh định lí 1.2, số người lợi dụng tình để gọi tên bất đẳng thức (1.3) bất đăng thức Cauchy Tuy nhiên, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nay, theo thông lệ Quốc tế theo cách gọi nhà khoa học (1.3) bất đẳng thức giá trị trung bình cộng (trung bình số học) trung bình nhân (trung bình hình học) 1.2.1 Quy nạp kiểu Cauchy Từ hệ thức bậc hai u21 + u22 ≥ 2u1 u2 , ∀u1 , u2 ∈ R (1.4) ∀x1 , x2 không âm (1.5) Ta suy x1 + x2 √ ≥ x1 x2 , Thay x1 , x2 biến x1 + x2 x + x4 , từ (1.5) ta nhận 2 x1 + x2 + x3 + x4 x1 + x2 x3 + x4 ≥ 2 ≥= √ x1 x x3 x4 Tiếp tục trình trên, ta thấy bất đẳng thức (1.3) với n = 2, 4, nói chung, với n lũy thừa Đây quy nạp theo hướng lên Bây ta thực quy nạp theo hướng xuống phía Ta chứng minh rằng, bất đẳng thức (1.3) với n (n > 1) với n − Thay xn (1.3) x1 + x2 + · · · + xn−1 giữ nguyên biến xi khác, từ n−1 (1.3) ta thu x1 + x2 + · · · + xn−1 + n ≥ (x1 x2 · · · xn−1 ) n x1 + x2 + · · · + xn−1 n−1 ≥ x1 + x2 + · · · + xn−1 n−1 n , hay x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ (x1 x2 · · · xn−1 ) n−1 n−1 x1 + x2 + · · · + xn−1 n−1 n Rút gọn biểu thức trên, ta thu x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ n−1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên √ n−1 x1 x2 · · · xn−1 http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Chương Các giá trị trung bình Nội dung chương nhằm trình bày giá trị trung bình Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) dạng trung bình đồng bậc khác Đây phần lí thuyết sở để vận dụng. .. cộng giá trị trung bình nhân (Còn gọi bất đẳng thức AM-GM ngắn gọn bất đẳng thức AG), bất đẳng thức AG suy rộng dạng trung bình đồng bậc khác (xem [1]-[7]) 1.1 Hàm biểu diễn giá trị trung bình. .. hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các giá trị trung bình Trong chương này, ta đề cập đến giá trị trung bình bản, định lí bất đẳng thức giá trị trung bình