Các bất đẳng thức về giá trị trung bình của hàm lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MAI THỊ KIM OANH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA HÀM LỒI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi Phản biện 1: PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 17 tháng 8 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng. - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Chúng ta đều biết rằng trong toán học, bất đẳng thức được sử dụng nhiều hơn đẳng thức, nhiều định lý quan trọng là hệ quả trực tiếp hoặc gián tiếp của một số bất đẳng thức nào đó. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn của Toán học cao cấp nói chung và Toán học sơ cấp nói riêng. Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Có thể nói bất đẳng thức đóng một vai trò khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát hiện ra rằng thông thường các học sinh đều thấy lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức. Chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một phần của bất đẳng thức nhằm góp phần phục vụ cho công việc giảng dạy ở trường phổ thông và tôi chọn đề tài để làm luận văn tốt nghiệp của mình là: "Các bất đẳng thức về giá trị trung bình của hàm lồi". 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu hàm lồi theo nghĩa Jensen, bất đẳng thức Jensen và các ứng dụng của bất đẳng thức Jensen đối với lớp hàm hai lần khả vi. Dùng lý thuyết hàm lồi mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng bất đẳng thức Minkowski. 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là các bất đẳng thức về giá trị trung bình của hàm lồi và sự ứng dụng của chúng để giải toán ở bậc trung học phổ thông. Ngoài ra chúng tôi có mở rộng một vài trường hợp để nội dung luận văn thêm phong phú. Phạm vi mà chúng tôi nghiên cứu là những bất đẳng thức có liên quan đến các giá trị trung bình của hàm lồi. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tư liệu: Các tài liệu mà giáo viên hướng dẫn đưa, trên các trang web và các bài báo khoa học gần đây có liên quan đến đề tài, sách giáo khoa phổ thông trung học, các tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, tạp chí toán học tuổi trẻ, các đề tài nghiên cứu giáo dục có liên quan . 5. Ý nghĩa khoa học Luận văn với đề tài "Các bất đẳng thức về giá trị trung bình của hàm lồi" sẽ trình bày và chứng minh bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức đặc trưng cho hàm lồi, rất quan trọng trong toán học. Từ đó đưa ra một số ứng dụng của bất đẳng thức quan trọng này. Hơn nữa, luận văn sẽ dùng lý thuyết hàm lồi mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng bất đẳng thức Minkowski. Đây là một đề tài có nhiều ứng dụng trong giảng dạy ở các bậc THPT, trong các trường Cao đẳng, Đại học cho các ngành sư phạm toán và cũng là công cụ để học sinh, sinh viên tham khảo trong quá trình tự rèn luyện trau dồi kiến thức toán học về lĩnh vực bất đẳng thức. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương: Chương 1: Các kiến thức cơ sở 3 - Trình bày định nghĩa các giá trị trung bình thông thường và định nghĩa giá trị trung bình với hàm tuỳ ý. -Trình bày các định lí về giá trị trung bình với hàm tuỳ ý. Chương 2: Hàm lồi. Bất đẳng thức Jensen - Trình bày khái niệm hàm lồi, lõm theo nghĩa Jensen, mô tả ý nghĩa hình học của nó đồng thời hệ thống các tính chất thường dùng của hàm lồi, lõm. - Trình bày bất đẳng thức Jensen và ứng dụng bất đẳng thức Jensen chứng minh các bất đẳng thức cổ điển, các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức lượng giác và các bất đẳng thức hình học. Chương 3: Mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng bất đẳng thức Minkowski Dùng lý thuyết hàm lồi mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng bất đẳng thức Minkowski. 4 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Nhắc lại định nghĩa các giá trị trung bình thông thường Xét bộ n số dương tuỳ ý (a) := (a 1 , a 2 , ., a n ) và bộ hệ số dương (q) := (q 1 , q 2 , ., q n ) , sao cho n  i=1 q i = 1 được gọi là trọng đơn vị. Xét các số thực r = 0. Ta đặt: M r = M r (a) =  1 n n  i=1 a r i  1 r · Định nghĩa 1.1.1([9]). A = A (a) = M 1 (a) = 1 n n  i=1 a i được gọi là trung bình cộng của các số dương a i , i = 1, 2, . . . , n. Định nghĩa 1.1.2([9]). H = H (a) = M −1 (a) = n n  i=1 1 a i được gọi là trung bình điều hoà của các số dương a i , i = 1, 2, . . . , n. Định nghĩa 1.1.3([9]). G = G (a) = n √ a 1 a 2 .a n = n  n  i=1 a i được gọi là trung bình nhân của các số dương a i , i = 1, 2, . . . , n. Định nghĩa 1.1.4([9]). 5 Q = Q (a) = M 2 (a) =  1 n n  i=1 a 2 i được gọi là trung bình bình phương của các số dương a i , i = 1, 2, . . . , n. Định nghĩa 1.1.5([6],[9]). Tổng được xác định theo công thức M r = M r (a) = M r (a, q) =  n  i=1 q i a r i  1 r gọi là trung bình bậc r (theo trọng đơn vị (q)). Nhận xét rằng, ứng với r = −1, r = 1, r = 2, ta lần lượt nhận được các giá trị trung bình sau: H = H (a) = H (a, q) = 1 n  i=1 q i a i được gọi là trung bình điều hoà của các số dương a i , i = 1, 2, . . . , n (theo trọng đơn vị (q)). A = A (a) = A (a, q) = n  i=1 q i a i được gọi là trung bình cộng của các số dương a i , i = 1, 2, . . . , n (theo trọng đơn vị (q)). Q = Q (a) = Q (a, q) =  n  i=1 q i a 2 i được gọi là trung bình bình phương của các số dương a i , i = 1, 2, . . . , n (theo trọng đơn vị (q)). Định nghĩa 1.1.6([9]). G = G (a) = G (a, q) = n  i=1 a q i i được gọi là trung bình nhân của các số dương a i , i = 1, 2, . . . , n (theo trọng đơn vị (q)). 1.1.2 Giá trị trung bình với hàm tuỳ ý Định nghĩa 1.1.7([9]). Các giá trị trung bình M r (a) và G (a) có dạng M ϕ (a) = ϕ −1  n  i=1 q i ϕ (a i )  , trong đó ϕ (x) tương ứng là x r , lnx và ϕ −1 (x) là hàm ngược của ϕ (x) . Lẽ tự nhiên cần khảo sát những giá trị trung bình tổng quát hơn dạng này, chúng được thành lập từ hàm tuỳ ý ϕ dưới những điều kiện nào đó. Những điều kiện như vậy rõ ràng nhất là tính liên tục và đơn điệu thực sự 6 của ϕ vì trong trường hợp đó ϕ −1 tồn tại và cũng thoả mãn các điều kiện vừa nói. Định lý 1.1.1([9]). Nếu (i) Hàm ϕ (x) liên tục và đơn điệu thực sự trong đoạn [h; k] , (ii) h ≤ a i ≤ k (i = 1, 2, ., n) , (iii) q i > 0, n  i=1 q i = 1, thì: (1) tồn tại một và chỉ một số N trong (h;k) sao cho ϕ (N) = n  i=1 q i ϕ (a i ) , (2) N lớn hơn vài số hạng này và nhỏ hơn vài số hạng kia của (a) nếu tất cả các a i không đồng thời bằng nhau. Nhận xét rằng, lập luận trên vẫn đúng khi ϕ (x) liên tục và tăng thực sự trong khoảng (h; k), đồng thời ϕ (x) → −∞ khi x → h và ϕ (x) → +∞ khi x → k, nếu xem ϕ (h) và ϕ (k) tương ứng là −∞ và +∞ và cho N = h nếu n  i=1 q i ϕ (a i ) = −∞ và N = k nếu n  i=1 q i ϕ (a i ) = +∞. Ở đây có thể h = −∞ hoặc k = +∞; trường hợp đặc biệt quan trọng là h = 0, k = +∞. Trong định nghĩa dưới đây và hơn nữa, khi xét các tính chất của M ϕ ta sẽ giả thiết rằng ϕ (x) liên tục và đơn điệu thực sự trong đoạn [h; k] hoặc có dáng điệu như vừa chỉ ra. Định nghĩa 1.1.8([9]). Các giá trị trung bình của hàm ϕ (x) được xác định theo công thức M ϕ = M ϕ (a) = M ϕ (a, q) = ϕ −1  n  i=1 q i ϕ (a i )  = ϕ −1 {A [ϕ (a)]} , trong đó (q) là trọng đơn vị. Nhận xét rằng, ứng với ϕ (x) = x , ϕ (x) = lnx, ϕ (x) = x r , M ϕ lần lượt tương ứng là A,G,M r . 7 1.2 Các giá trị trung bình tương đương Giá trị trung bình M ϕ được xác định nếu cho trước hàm ϕ. Vấn đề đặt ra là mệnh đề ngược lại có đúng không: nếu M ψ = M χ đối với mọi a và q thì từ đó có thể suy ra ψ đồng nhất với χ không? Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó. Định lý 1.2.1([9]).Giả sử hai hàm số ψ (x) và χ (x) liên tục trên đoạn [h; k]. Điều kiện cần và đủ của đẳng thức M ψ (a) = M χ (a) đối với mọi a và q là χ = αψ + β, trong đó α và β là các hằng số và α = 0. 1.3 Một tính chất đặc trưng của giá trị trung bình M r Định lý 1.3.1([9]). Giả sử ϕ (x) liên tục trong khoảng (0; +∞) và giả sử M ϕ (ka) = kM ϕ (a) (1.1) với mọi a, q, k dương. Khi đó M ϕ (a) = M r (a) . Nói cách khác trung bình M r là trung bình thuần nhất dương duy nhất của M ϕ . 1.4 Tính so sánh được 1.4.1 Định nghĩa hàm so sánh được Ta nói các hàm f (a) = f (a 1 , a 2 , . . . , a n ) , g (a) = g (a 1 , a 2 , . . . , a n ) là so sánh được nếu giữa hai hàm ấy có một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị thực và không âm của a, tức là nếu với mọi số a như thế ta có f ≤ g hay f ≥ g. Định nghĩa này có thể mở rộng cho các hàm f (a, b, . . .) phụ thuộc nhiều dãy biến. 8 Từ định nghĩa trên dẫn tới vấn đề sau: Giả sử cho hai hàm ψ và χ liên tục và đơn điệu thực sự trong (h; k), khi đó các giá trị trung bình M ψ và M χ có so sánh được không, tức là bất đẳng thức M ψ ≤ M χ (1.8) (hoặc ngược lại) có đúng không đối với mọi a và q? Đặt χψ −1 (x) = ϕ (x) . Khi đó ϕ (x) liên tục và đơn điệu thực sự, như thế tồn tại hàm ngược ϕ −1 = ψχ −1 . Ta cũng đặt x = ψ (a) , a = ψ −1 (x) . Khi đó x là những số tuỳ ý giữa ψ (h) và ψ (k) và (1.8) tương đương với ψ −1  n  i=1 q i ψ (a i )  ≤ χ −1  n  i=1 q i χ (a i )  ⇔ χψ −1  n  i=1 q i ψ (a i )  ≤ χχ −1  n  i=1 q i χ (a i )  ⇔ ϕ  n  i=1 q i x i  ≤ n  i=1 q i χψ −1 (x i ) hay ϕ  n  i=1 q i x i  ≤ n  i=1 q i ϕ (x i ) (1.9) (đối với mọi q) nếu χ là hàm tăng; nếu χ là hàm giảm thì (1.8) đưa về (1.9) với dấu bất đẳng thức ngược lại. Bởi vậy ta có định lý sau: 1.4.2 Định lý 1.4.1. Nếu ψ và χ là những hàm liên tục và đơn điệu thực sự thì để M ψ và M χ so sánh được cần và đủ là hàm ϕ = χψ −1 thoả mãn bất đẳng thức (1.9) hoặc bất đẳng thức ngược lại. Chương sau ta sẽ nghiên cứu lớp các hàm ϕ, đối với chúng bất đẳng thức (1.9) đúng. . dùng của hàm lồi, lõm. - Trình bày bất đẳng thức Jensen và ứng dụng bất đẳng thức Jensen chứng minh các bất đẳng thức cổ điển, các bất đẳng thức đại số, các. định nghĩa các giá trị trung bình thông thường và định nghĩa giá trị trung bình với hàm tuỳ ý. -Trình bày các định lí về giá trị trung bình với hàm tuỳ ý.