Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức cauchy schwar

Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwar Trần Thị Minh Ngọc Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp; Mã số: 60 46 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Vũ Lương Năm bảo vệ: 2011 Abstract: Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đề thi quốc gia, quốc tế Nghiên cứu dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Tìm hiểu dạng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để kết áp dụng đại số lượng giác Trình bày từ dạng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để kết số áp dụng đại số lượng giác Giới thiệu bất đẳng thức đề thi IMO IRAN năm 1998 số đề mở rộng Keywords: Toán sơ cấp; Hằng đẳng thức; Bất đẳng thức Content Bất đẳng thức nội dung lâu đời quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển bất đẳng thức đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ người u tốn, khơng vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến ln thơi thúc người làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bất đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng môn khoa học khác thực tế Ngày nay, bất đẳng thức chiếm vai trò quan trọng thường xuất kì thi quốc gia, quốc tế Một bất đẳng thức cổ điển quan trọng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz từ đời đến ln nhà tốn học lỗi lạc nghiên cứu phát triển Chúng ta gặp nhiều kết hợp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với bất đẳng thức khác hình học Trong luận văn này, tác giả xin trình bày hướng tiếp cận bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” Từ đẳng thức quen thuộc, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu nhiều dạng bất đẳng thức lạ Từ đó, ta xây dựng nhiều bất đẳng thức có ứng dụng đại số lượng giác Luận văn gồm phần: Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đề thi quốc gia, quốc tế Phần 2: Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Trong phần 2, tác giả phân chia thành ba Bài 1: Từ dạng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức CauchySchwarz để kết áp dụng đại số lượng giác Bài 2: Từ dạng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức CauchySchwarz để kết số áp dụng đại số lượng giác Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức đề thi IMO IRAN năm 1998 số mở rộng Tuy có nhiều cố gắng thời gian trình độ cịn hạn chế nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận bảo thầy cô bạn Phần Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đề thi quốc gia, quốc tế 1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với  R, bi  R (i  1, n) , chứng minh  n   n  n  aibi     ai2   bi2    i 1   i 1  i 1  Chứng minh Cách (Sử dụng đẳng thức Lagrange) Từ đẳng thức  n  n   n      bi     aibi    (aib j  a jbi )  i 1  i 1   i 1  1i j n  n   n  n  Suy   aibi     ai2   bi2   i 1   i 1  i 1  Đẳng thức xảy a1 a2 a    n b1 b2 bn Cách (Sử dụng tính chất hàm bậc 2) Xét hàm số n n  n  n f  x   x  ai2  x   aibi    bi2    x  bi  i 1 i 1  i 1  i 1 Ta có f  x   với giá trị x n Nếu a i 1 i   =0 i  1, n bất đẳng thức hiển nhiên n Áp dụng tính chất hàm bậc a i 1 i  suy  n   n  n   '    aibi     ai2   bi2    i 1   i 1  i 1   n   n  n     aibi     ai2   bi2   i 1   i 1  i 1  Đẳng thức xảy a1 a2 a    n b1 b2 bn Cách (Áp dụng bất đẳng thức trung bình) Ta có  xk  yk2   xk yk k  1, n Cộng tất bất đẳng thức ta thu n n 2   xk  yk    xk yk k 1 k 1 Kí hiệu A  n a k k 1 ,B  n b k 1 a b Chọn xk  k , yk  k ta có A B k n n x   y k 1 k k 1 k 1 n xk yk 1 k 1 AB  Và thu  n   n  n     ak bk   A2 B    ak   bk2   k 1   k 1  k 1  Đẳng thức xảy xk  yk  ak A  k bk B 1.2 Bất đẳng thức AM-GM Trong luận văn này, ta hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân) sau: Với a1 , a2 , , an số thực khơng âm, ta ln có: n        n i 1  i 1  n n n Ở ta ký hiệu a i 1 i  a1.a2 an Chứng minh Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM, cách chứng minh quen thuộc sau: Cách 1: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức với n số không âm với 2n số khơng âm 2n 1 n n       ani    n i1 n i1  2n i 1  n n 1  1          ain  2n i 1  i 1   i 1  n 2n n 1 2n  2n  2n       2n i 1  i 1  Từ suy bất đẳng thức với n  2k Bất đẳng thức AM – GM chứng minh chứng minh khẳng định sau đây: Nếu bất đẳng thức với n  k với n  k  1        k  i 1  i 1  k 1 k 1 Thật vậy:         i 1  i 1  k 1 k 1 k 1 k 1    k     i 1  k 1 Áp dụng giả thiết quy nạp suy ra: k 1  k 1       i 1  i 1  k 1         i 1  i 1  k 1 k 1 k 1 k 1  k 1 k k 1 k 1     k       i 1  i 1          k     i 1  k 1 k 1 (đpcm) Cách 2: Nếu n = 1, n = hiển nhiên bất đẳng thức Giả sử bất đẳng thức với n  k  , ta chứng minh bất đẳng thức với n  k  1 k   ak 1 k i 1 Sk 1    k  i 1 k 1 k k 1 Ta có: Theo giả thiết quy nạp ta thu được: Sk 1  k  a  k k i 1 i  ak 1 k 1 Để chứng minh bất đẳng thức n  k  ta cần chứng minh: k  a  k k i 1 i  ak 1 k 1 Ký hiệu:  k   i 1  k 1  k 1      i 1  k   k 1     ,  k 1  ak 1 Ta thu được: k k 1   k 1   k  1 k   k k         k   k        k k     k 1   k 2   k 3    k 1           k   k    k   k 1     k   k 1           k 1   k 2     k 1     k 2   k 3    k 2     k 1     Bất đẳng thức ,   Các trường hợp riêng: a  b2  ab   a  b   Dấu đẳng thức xảy a = b 2 a, b  : ab  ab    a  b Dấu đẳng thức xảy a  b abc a, b, c :    abc Dấu đẳng thức xảy   a  b  c a, b, c : a  b3  c  abc Dấu đẳng thức xảy a  b  c 1.3 Một số toán đề thi quốc gia, quốc tế Phần 2: Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bài 1: Dạng đẳng thức thứ 1.1 Các định lý Bổ đề 1.1 Với số thực x, y, z ta ln có kết sau:  2x  y  z    y  2z  x    2z  2x  y  2   x2  y  z  Chứng minh Biến đổi vế trái, ta có  2x  y  z   x  y  z  8xy  xz  yz  y  2z  x   2z  2x  y   y  z  x  yz  xy  zx  z  x  y  8xz  zy  xy Cộng vế đẳng thức ta có điều phải chứng minh Định lý 1.1 Cho a, b, c, x, y, z số thực dương tùy ý Khi ta ln có ax  by  cz  a  b  c  x  y  z    a  b  c  x  y  z  Chứng minh Ta có c(2 x  y  z)  a(2 y  z  x)  b(2 z  x  y)  c(2 x  y  z  3z)  a(2 y  z  x  3x)  b(2 z  x  y  y)  2(a  b  c)( x  y  z )  3(ax  by  cz ) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz c(2 x  y  z)  a(2 y  z  x)  b(2 z  x  y)  (a  b2  c2 )[(2 x  y  z )2  (2 y  z  x)2  (2 z  x  y)2 ] Suy  2(a  b  c)( x  y  z)  3(ax  by  cz)   9(a  b2  c )( x  y  z ) (sử dụng Bổ đề 1.1) Từ 2(a  b  c)( x  y  z )  3(ax  by  cz )  (a  b  c )( x  y  z )  2(a  b  c)( x  y  z )  (a  b2  c )( x  y  z )  3(ax  by  cz )  (a  b  c)( x  y  z )  (a  b  c )( x  y  z )  (ax  by  cz ) Bổ đề 1.2 Chứng minh với số thực x, y, z, t ta có  x  y  z  t    y  z  t  x    z  t  x  y   t  x  y  z  2 2   x2  y  z  t  Chứng minh Ta có: ( x  y  z  t )2   x  y  z   t  2t  x  y  z   x2  y  z  t  xy  yz  zx  2tx  2ty  2tz Tương tự ta có:  y  z  t  x  z  t  x  y  x  y  z  t  yz  zt  2ty  xy  xz  xt  x  y  z  t  zt  2tx  xz  yx  yz  yt t  x  y  z   x  y  z  t  2tx  xy  yt  zx  zy  zt Cộng vế bốn đẳng thức ta có điều phải chứng minh Định lý 1.2 Cho a, b, c, d, x, y, z, t số thực dương tùy ý Khi ta ln có  ax  by  cz  dt   a  b2  c  d  x  y  z  t    a  b  c  d  x  y  z  t  Chứng minh Đặt P  d  x  y  z  t   a  y  z  t  x   b  z  t  x  y   c t  x  y  z   P  d  x  y  z  t  2t   a  x  y  z  t  2x  b  z  t  x  y  y   c  t  x  y  z  2z   P   a  b  c  d  x  y  z  t    ax  by  cz  dt  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có P   a  b2  c  d  x  y  z  t  a Suy P  2  b2  c  d  x  y  z  t   a  b  c  d  x  y  z  t    ax  by  cz  dt  Vậy 2  a a  b2  c  d  x  y  z  t   b2  c  d  x  y  z  t    ax  by  cz  dt    a  b  c  d  x  y  z  t  (đpcm) Bổ đề 1.3 Chứng minh với số thực x1 , x2 , , xn , ta ln có  n n  n2 n    x j  xi    xi i 1  j 1 i 1  n Chứng minh n  n2  S   x j , ta xét  S  xi   S  S n.xi  xi2 i  n Đặt   j 1 n n n  n2 n  Vậy   S  xi   nS  n.S  xi   xi  i 1 i 1  i 1 n  nS  nS  n2 n n2 n  xi   xi i 1 i 1 (Đpcm) Định lý 1.3 Cho x1 , x2 , , xn , y1, y2 , , yn số thực dương tùy ý Khi đó, ta có n n  n  n    n  n   xi yi    xi   yi      xi   yi   i 1  i 1  i 1    i 1  i 1    Chứng minh Đặt S  n x j 1 j 10  ( x  y)2  ( y  z)2  ( z  x)2   18  x  y  z  xy  yz  zx  Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 1.4 Cho a, b, c, x, y, z số thực dương Khi ta có  x  y  z  a  b  c      a  b2  c  ( x  y )2  ( y  z )2  ( z  x)2   (ax  by  cz )    Chứng minh Ta có a  4x  y  z   b  y  x  z   c  4z  y  z   a  x  y  z  x   b  x  y  z  y   c  x  y  z  3z    a  b  c  x  y  z    ax  by  cz  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có a  x  y  z   b  y  x  z   c  z  y  z    2 2   a  b  c   x  y  z    y  z  x    z  x  y      a  4x  y  z   b  y  x  z   c  4z  y  z   a 2 2  b  c   x  y  z    y  z  x    z  x  y       a  b  c  x  y  z   3 ax  by  cz   a 2 2  b  c   x  y  z    y  z  x    z  x  y     Theo (1.7)   a  b  c  x  y  z   3 ax  by  cz    a  b2  c  ( x  y)2  ( y  z )2  ( z  x)2  12 (đpcm) 1.2 Áp dụng dạng đẳng thức thứ bất đẳng thức CauchySchwarz đại số Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a 3 1  1 1  b2  c        a  b  c      b c  a a b c Chứng minh Áp dụng Định lý 1.1 với x  1 , y  , z  ta có điều phải chứng minh a b c Bài Cho a, b số thực dương Chứng minh 2a  2b  1  2a  1  41  b  2    1  2a 1  b   Chứng minh  a  1, b  c  a ta có điều phải chứng minh  x  2b, y  z  Áp dụng Định lý 1.1 với  Bài Cho x, y, z số thực dương Chứng minh x  y  z  xy  yz  zx  x  y  z    2x2  y  2z  xy  yz  zx  Chứng minh x y yz zx  ,b  ,c  a  Áp dụng Định lý 1.1 với  2  x  z , y  x, z  y  Ta  x y  yz  zx  z  x  y         x  y   y  z   z  x   2       z  x  y           2  x  y  z 13    x x  y  z  xy  yz  zx  2  y  z  xy  yz  zx  x x x 2  y2  z2   2  x  y  z    xy  yz  zx   y2  z2    y  z  xy  yz  zx  x  y  z   x2  y  z  xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx (đpcm)   1.3 Áp dụng dạng đẳng thức thứ bất đẳng thức CauchySchwarz lượng giác Ta sử dụng dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để sáng tạo chứng minh số bất đẳng thức lượng giác Trong phần này, ta giả sử tam giác ABC có:  AB  c; BC  a; CA  b  S diện tích tam giác, p  abc nửa chu vi  ma ; mb ; mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ A; B; C  ; hb ; hc độ dài đường cao kẻ từ A; B; C Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c độ dài trung tuyến tương ứng ma , mb , mc Chứng minh rằng: 2  a  b2  c2    a  b  c   ma  mb  mc    a.ma  b.mb  c mc  Chứng minh Áp dụng Định lý 1.1 với x  ma , y  mb , z  mc ta có a.ma  b mb  c mc  a 2  b  c  ma  mb  mc2    a  b  c   ma  mb  mc  (1) 14 b2  c a m   a Ta có mb  a  c b2  b2  a c m   c 2 Cộng vế đẳng thức trên, ta được: ma  mb  mc   a  b2  c  Thay vào bất đẳng thức (1) ta điều phải chứng minh Bài Cho tam giác ABC, chứng minh a 2  b2  c   hb2  hc2    a  b  c    hb  hc   6S Chứng minh Áp dụng Định lý 1.1 với x  , y  hb , z  hc , ta a.ha  b hb  c hc  a 2  b  c   hb2  hc2    a  b  c    hb  hc  Mà a.ha  b hb  chc  2S , từ có điều phải chứng minh Bài Dạng đẳng thức thứ 2.1 Các định lý Bổ đề 2.1 Cho x, y, z  R Chứng minh rằng: 9( x  y)( y  z )( z  x)  8( x  y  z )( xy  yz  zx) Chứng minh Ta có: ( x  y)( y  z )  xy  xz  yz  y 15 ( x  y)( y  z)( z  x)  ( xy  xz  yz  y )( z  x)  xyz  x2 y  xz  x z  yz  xyz  y z  y x  x2 y  x2 z  y x  y z  z x  z y  2xyz Mặt khác: ( x  y  z )( xy  yz  zx)  x2 y  xyz  x z  xy  y z  xyz  xyz  yz  xz  x2 y  x2 z  y x  y z  z x  z y  3xyz Mà x2 y  y z  z x  3xyz x2 z  z y  y x  3xyz  x2 y  x2 z  y x  y z  z x  z y  6xyz   x y  x z  y x  y z  z x  z y  xyz     x y  x z  y x  y z  z x  z y  3xyz   9( x  y)( y  z )( z  x)  8( x  y  z )( xy  yz  zx) Định lý 2.1 Cho x, y, z  Khi ta ln có:  2x  y  z    x  2y  z   x  y  2z   16  xy  yz  zx  Chứng minh Ta có: x  y  z  ( x  y)  ( x  z )  ( x  y)( x  z )   2x  y  z  Tương tự ta có:  4( x  y )( x  z ) x  2y  z  4( y  z )( y  x) 16 (đpcm)  x  y  2z     2x  y  z   x  2y  z 2   4( x  z )( y  z )  x  y  2z   1 x yz    4( x  y )( x  z ) 4( x  y )( x  z ) 4( x  z )( y  z ) 2( x  y )( y  z )( z  x) Mà theo kết Bổ đề 2.1 ta có: ( x  y)( y  z )( z  x)  ( x  y  z )( xy  yz  zx)   2x  y  z   x  2y  z   x  y  2z   16( xy  yz  zx) (đpcm) Hệ 2.1 Cho x, y, z  x  y  z  Chứng minh rằng:  x  1   y  1   z  1  16  xy  yz  zx  Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1 với x  y  z  ta có điều phải chứng minh Định lý 2.2: Cho x, y, z  Khi ta ln có: yz xy zx    2x  y  z x  y  z x  y  2z Chứng minh  yz xy  zx      2x  y  z x  y  z x  y  2z       1   yz  zx  xy        x  y  z 2  x  y  z 2  x  y  z 2    17 Mà theo Định lý 2.1  2x  y  z    x  2y  z   x  y  2z   16  yz  zx  xy   yz xy  zx 9        yz  zx  xy   2x  y  z x  y  z x  y  2z  16  yz  zx  xy  16    yz xy zx    2x  y  z x  y  z x  y  2z (Đpcm) Bổ đề 2.2 Cho số thực x, y, z, t Chứng minh rằng: ( x  y)( y  z )( z  t )(t  x)  ( x  y  z  t )( xyz  yzt  ztx  txy) Chứng minh Ta có: ( x  y)( y  z )( z  t )(t  x)  ( xy  yz  zx  y )( zt  zx  tx  t )  x2 yz  x2 zt  x2 yt  y xz  y xt  y zt  z xy  z xt   z yt  t xy  t yz  t xz  x z  y 2t  2xyzt Mặt khác: ( x  y  z  t )( xyz  yzt  ztx  txy )   x2 yz  x2 zt  x2 yt  y xz  y xt  y zt  z xy   z xt  z yt  t xy  t yz  t xz  4xyzt Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: x2 z  y 2t  xyzt Vậy ( x  y)( y  z )( z  t )(t  x)  ( x  y  z  t )(xyz  yzt  ztx txy ) Bổ đề 2.3: Cho số thực dương x, y, z, t Chứng minh rằng: 18  2x  y  z  t    x  y  2z  t       x  y  z  2t   x  y  z  2t  27( xyz  yzt  ztx  txy) Chứng minh Ta có: x  y  y  z  z  t  3 ( x  y)( y  z )( z  t )  x  y  z  t  3 ( x  y)( y  z )( z  t )   x  y  z  t   27( x  y)( y  z )( z  t ) 1    x  y  z  t  27( x  y)( y  z)( z  t ) Tương tự ta có:  x  y  z  2t   x  y  z  2t   2x  y  z  t   27( y  z )( z  t )(t  x)  27( z  t )(t  x)( x  y)  27(t  x)( x  y)( y  z ) Cộng vế bất đẳng thức ta được:  x  y  z  2t    x  y  z  2t     x  y  z  2t   2x  y  z  t  2( x  y  z  t ) 27 ( x  y )( y  z )( z  t )(t  x) Theo Bổ đề 2.2, ta có ( x  y)( y  z )( z  t )(t  x)  ( x  y  z  t )( xyz  yzt  ztx  txy) 19    x  y  z  2t     x  y  z  2t    x  y  z  2t    2x  y  z  t   27( xyz  yzt  ztx  txy) Định lý 2.3: x, y, z, t  ta ln có: 3 yzt txy xyz ztx     x  y  z  t y  z  t  x z  2t  x  y 2t  x  y  z 3 Chứng minh Áp dụng định lý:  a1b1c1  a2b2c2  a3b3c3  a4b4c4  3 3 3 3 3   a13  a2  a3  a4 b13  b2  b3  b4  c13  c2  c3  c4  Ta có: 3 xyz yzt txy   ztx       x  y  z  t y  z  t  x z  2t  x  y 2t  x  y  z      13  13  13  13   xyz  yzt  ztx  txy    1 1        x  y  z  t 3  y  z  t  x 3  z  2t  x  y 3  2t  x  y  z 3    Theo Bổ đề 2.3 ta có:  2x  y  z  t    y  2z  t  x     z  2t  x  y    2t  x  y  z  27( xyz  yzt  ztx  txy) Thay kết vào bất phương trình ta có: 3 xyz yzt txy   4.2 ztx       x  y  z  t y  z  t  x z  2t  x  y 2t  x  y  z   27    3 yzt txy xyz ztx     x  y  z  t x  y  z  t x  y  z  2t x  y  z  2t 3 20  (đpcm) Hệ 2.2: Cho x, y, z, t  x  y  z  t  Chứng minh rằng: 3 yzt txy xyz ztx     x  y 1 y  z 1 z  t 1 t  x 1 3 Chứng minh Áp dụng Định lý 2.3 với x  y  z  t  ta có điều phải chứng minh Hệ 2.3: cho x, y, z, t  xyzt  Chứng minh rằng:  t  2x  y  z  t   x  x  y  2z  t   y  x  y  z  2t  Chứng minh Áp dụng Định lý 2.3 với xyzt  ta có điều phải chứng minh 21  z  x  y  z  2t  Bài Một số ví dụ mở rộng Bài (Iran 1998) Cho x, y, z  1    Chứng minh rằng: x y z x  y  z  x 1  y 1  z 1 Chứng minh Ta có:   x 1 x 1  y 1  z 1   x  x   y 1 y y z 1  z  z   x 1 y 1 z 1     x  y  z y z   x   1 1       x  y  z  x y z   x yz Vậy ta có: x  y  z  x   y   z  (đpcm) Bài Cho xi  , i  n n x i 1 n  i 1  n  Chứng minh rằng: i xi   n x i 1 i Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có   x    x    xn    x1   x2    xn       x1  x2   xn         x1   x2  xn         22   1 1  x1   x2    xn    n         x1  x2   xn  xn     x1 x2    x1   x2    xn   x1  x2   xn (đpcm) Nhận xét: Bài toán trường hợp tổng quát cho toán bất đẳng thức đề thi IMO - IRAN 1998 Từ toán này, áp dụng dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có tốn hay sau Bài Cho xi  , i  n n n  xi    i 1  n x i 1  n  Chứng minh rằng: i   n  n   xi      x    xi    i 1    i 1 i   i 1  n Chứng minh xi  ; yi  xi , ta có xi Áp dụng Định lý 1.3 với xi    n x    n    n xi    n n  n  xi     xi     i    xi     xi         i 1  xi xi   i 1   i 1 xi   i 1    i 1      n xi  1  n    (theo giả thiết) Mà  xi i 1 i 1 xi n n n Nên ta có   xi    i 1    n  n   xi      x    xi    i 1    i 1 i   i 1  n (đpcm) Từ bất đẳng thức quen thuộc, kết hợp với bất đẳng thức xây dựng ta tiếp tục xây dựng bất đẳng thức hay khó Tác giả hy vọng qua ba bất đẳng thức trên, độc giả tiếp tục xây dựng bất đẳng thức hay 23 References Tiếng việt Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2010), “Sử dụng phương pháp CauchySchwarz để chứng minh bất đẳng thức”, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội Nguyễn Văn Hiến (2000), “Bất đẳng thức tam giác”, NXB Hải Phòng, Hải Phòng Phạm Kim Hùng (2007), “Sáng tạo bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội Phan Huy Khải (1997), “500 toán chọn lọc bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội Phan Huy Khải (2001), “10.000 toán sơ cấp”, NXB Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), “Các giảng bất đẳng thức Côsi”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Thượng Võ (2000), “Tuyển tập 300 toán chọn lọc hệ thức lượng tam giác”, NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh Tủ sách toán học tuổi trẻ (2007), “Các thi Olympic toán”, NXB Giáo Dục, Hà Nội Tiếng Anh IMO Shorlist, 1990 – 2004 Jose A.G.O., Radmila E, Mircea B (1997), “Inequalities A Mathematical Olympiad Approach”, Basel – Boston – Berlin, Germany Mihai B., Bogdan E., Mircae B (1997), “The Romanian Society of Mathematical Sciences”, “Romanian Mathematical Competitions”, Romania Danh sách Website www.diendantoanhoc.net 24 www.math.vn www.mathlinks.ro www.mathscope.org www.mathnfriend.net 25 26 ... hướng tiếp cận bất đẳng thức Cauchy- Schwarz: ? ?Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy- Schwarz” Từ đẳng thức quen thuộc, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta thu nhiều dạng bất đẳng thức lạ Từ... (đpcm)   1.3 Áp dụng dạng đẳng thức thứ bất đẳng thức CauchySchwarz lượng giác Ta sử dụng dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy- Schwarz để sáng tạo chứng minh số bất đẳng thức lượng giác Trong... ba Bài 1: Từ dạng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức CauchySchwarz để kết áp dụng đại số lượng giác Bài 2: Từ dạng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức CauchySchwarz để kết