Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức cauchy schwarz

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Trần thị Minh Ngọc DẠNG HẰNG ĐẲNG THỨC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ Luận văn thạc sĩ khoa học Hà Nội, tháng 12/2011 i Lời cảm ơn Sau hai năm nghiên cứu học tập trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, tác giả hoàn thành khóa luận với đề tài: “Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, thầy dành thời gian hướng dẫn, bảo, tận tình giúp đỡ trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải vấn đề nảy sinh trình làm luận văn hoàn thành luận văn định hướng ban đầu Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô đọc, kiểm tra, đánh giá cho ý kiến quý báu để luận văn hoàn thiện phong phú Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Cuối biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè thông cảm, động viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực để hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian trình độ hạn chế nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận bảo thầy cô bạn Một lần tác giả xin chân thành cảm ơn tất người Chúc tất người sức khỏe thành đạt!!! ii Mục lục Lời cảm ơn i Mục lục iii Mở đầu Phần Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đề thi quốc gia, quốc tế 1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.2 Bất đẳng thức AM-GM 1.3 Một số toán đề thi quốc gia, quốc tế Phần 2: Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 25 Bài 1: Dạng đẳng thức thứ 25 1.1 Các định lý 25 1.2 Áp dụng dạng đẳng thức thứ bất đẳng thức CauchySchwarz đại số 30 1.3 Áp dụng dạng đẳng thức thứ bất đẳng thức CauchySchwarz lượng giác 45 Bài Dạng đẳng thức thứ 57 2.1 Các định lý 57 2.2 Áp dụng dạng đẳng thức thứ hai bất đẳng thức CauchySchwarz đại số 63 2.3 Áp dụng dạng đẳng thức thứ hai bất đẳng thức CauchySchwarz lượng giác 65 Bài Một số ví dụ mở rộng 72 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 iii Mở đầu Bất đẳng thức nội dung lâu đời quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển bất đẳng thức đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ người yêu toán, không vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng môn khoa học khác thực tế Ngày nay, bất đẳng thức chiếm vai trò quan trọng thường xuất kì thi quốc gia, quốc tế Một bất đẳng thức cổ điển quan trọng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz từ đời đến nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu phát triển Chúng ta gặp nhiều kết hợp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với bất đẳng thức khác hình học Trong luận văn này, tác giả xin trình bày hướng tiếp cận bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” Từ đẳng thức quen thuộc, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu nhiều dạng bất đẳng thức lạ Từ đó, ta xây dựng nhiều bất đẳng thức có ứng dụng đại số lượng giác Luận văn gồm phần: Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đề thi quốc gia, quốc tế Phần 2: Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Trong phần 2, tác giả phân chia thành ba Bài 1: Từ dạng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức CauchySchwarz để kết áp dụng đại số lượng giác Bài 2: Từ dạng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức CauchySchwarz để kết số áp dụng đại số lượng giác Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức đề thi IMO IRAN năm 1998 số mở rộng Tuy có nhiều cố gắng thời gian trình độ hạn chế nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận bảo thầy cô bạn Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm2011 Học viên Trần thị Minh Ngọc Phần Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đề thi quốc gia, quốc tế 1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với  R, bi  R (i  1, n ) , chứng minh  n   n  n    aibi       bi   i1   i 1  i 1  Chứng minh Cách (Sử dụng đẳng thức Lagrange) Từ đẳng thức  n  n   n      bi     aibi    (aib j  a jbi )  i1  i 1   i 1  1i  j  n  n   n  n  Suy   aibi     ai2   bi2   i 1   i 1  i1  Đẳng thức xảy a1 a2 a    n b1 b2 bn Cách (Sử dụng tính chất hàm bậc 2) Xét hàm số n n  n  n f  x   x  ai2  x   aibi    bi2    x  bi  i 1 i 1  i1  i 1 Ta có f  x   với giá trị x n Nếu i a   =0 i  1, n bất đẳng thức hiển nhiên i 1 n Áp dụng tính chất hàm bậc i a  suy i 1  n   n  n   '    bi     ai2   bi2    i 1   i1  i1   n   n  n     aibi       bi   i 1   i1  i1  Đẳng thức xảy a1 a2 a    n b1 b2 bn Cách (Áp dụng bất đẳng thức trung bình) Ta có xk  yk2   xk yk k  1, n  Cộng tất bất đẳng thức ta thu n n 2 xk yk   xk  yk    k 1 k 1 n Kí hiệu A  n a k k 1 Chọn xk  ,B  k b k 1 ak b , yk  k ta có A B n Và thu  k 1 n n  xk2   yk2  k 1 k 1 xk yk 1 AB  n   n  n  2    ak bk   A B    ak   bk   k 1   k 1  k 1  Đẳng thức xảy xk  yk  ak A k  bk B 1.2 Bất đẳng thức AM-GM Trong luận văn này, ta hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân) sau: Với a1 , a2 , , an số thực không âm, ta có: n n n        n i 1  i 1  n Ở ta ký hiệu a i  a1.a2 an i 1 Chứng minh Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM, cách chứng minh quen thuộc sau: Cách 1: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức với n số không âm với 2n số không âm 2n 1 n n  a  a  an i     i i  2n i 1  n i 1 n i 1  1 2n  n n  n n          n  2n i1  i1   i 1  1 2n  2n  2n       2n i1  i1  Từ suy bất đẳng thức với n  2k Bất đẳng thức AM – GM chứng minh chứng minh khẳng định sau đây: Nếu bất đẳng thức với n  k với n  k  1 k 1  k 1  k 1 a    i   k  i 1 i 1  Thật vậy: 1  k 1  k 1  k 1  k 1        k    i 1  i 1   i 1  k 1 Áp dụng giả thiết quy nạp suy ra: k 1  k 1       i 1  i 1  k 1 k 1         i 1  i 1  k 1 k 1  k 1  k 1    k      i 1  i1   k 1    k     i 1  k 1 k     k 1 (đpcm) Cách 2: Nếu n = 1, n = hiển nhiên bất đẳng thức Giả sử bất đẳng thức với n  k  , ta chứng minh bất đẳng thức với n  k  Ta có: k k  i1  ak 1 k 1 Sk 1   k  k  i 1 k 1 Theo giả thiết quy nạp ta thu được: k S k 1   a  k k i 1 i  ak 1 k 1 Để chứng minh bất đẳng thức n  k  ta cần chứng minh: k  a  k k i 1 i  ak 1 k 1 k 1        i 1  k 1 Ký hiệu:  k k  k 1     ,  k 1  ak 1  i 1  Ta thu được: k k 1   k 1   k  1  k   k k         k   k         k k     k 1   k 2   k 3    k 1          k   k    k   k 1     k   k 1         k 1   k 2     k 1     k 2   k 3    k 2     k 1   Bất đẳng thức ,   Các trường hợp riêng: a  b2  ab   a  b   Dấu đẳng thức xảy a = b 2 a, b  : ab  ab    a  b Dấu đẳng thức xảy a  b abc a, b, c :    abc Dấu đẳng thức xảy   a  b  c a, b, c : a  b3  c3  abc Dấu đẳng thức xảy a  b  c 1.3 Một số toán đề thi quốc gia, quốc tế Bài (Poland, 1996) n Cho n  a1 , a2 , , an  R  với a i  Chứng minh với i 1 n x1 , x2 , , xn  R  mà x i  , có: i 1 2 xi x j  i j n  n xi2  n  i 1  Chứng minh n n  n  Nếu  xi     xi    xi2  2 xi x j Từ bất đẳng thức cần chứng i 1  i 1  i 1 i j minh tương đương với: n xi2  n  i 1  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh rằng: n  n  xi2 n x    i    a  1    i1  i 1 i i 1 Bài (Rumania 1996) Cho x1 , x2 , , xn1 số thực không âm với x1  x2   xn  xn1 Chứng n minh n xi  xn1  xi    i 1  x x n 1 n 1  xi  i 1 Chứng minh n x Ta có n1 ( xn1  xi )  (n  1) xn21 i 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành n  xi ( xn1  xi  n  1.xn 1 i 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, suy ta có điều phải chứng minh Bài (Autria-Poland 1996) Nếu w, x, y, z số thực thỏa mãn w x y  z  w2  x  y  z  Chứng minh 1  wx  xy  yz  zw  Chứng minh Bất đẳng thức bên phải wx  xy  yz  zw  ( w  y)( x  z )  ( w  y )2  Từ bất đẳng thức bên trái, nhận thấy wx  xy  yz  zw  (w  y)( x  z )  ( w  y )  ( x  z )   w2  x  y  z  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz wx  xy  yz  zw   w2  x2  y  z  w2  x2  y  z   Bài (Rumania 1998) Cho số nguyên dương n  x1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn số thực thỏa mãn x1  x2   xn  x1 y1  x2 y2   xn yn Chứng minh rằng: x1 x2 x    n y1 y2 yn x1  x2   xn  Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với   x1 x2 x  , , , n   yn   y1 y2  x1 y1 , , xn yn để có  x1  x2   xn   x1  x2   xn   x1  x2   xn  x1  x2   xn   x   x1 y1    y1  xn xn yn  yn  x x x       n   x1 y1  x2 y2   xn yn  yn   y1 y2 x x x       n   x1  x2   xn  yn   y1 y2 x1 x2 x    n y1 y2 yn (đpcm) Bài (Iran 1998) Cho x, y, z  x y z  1    Chứng minh rằng: x y z x 1  y 1  z 1 Chứng minh 10 Ta có:   x 1 x 1  y 1  z 1   x  x   y 1 z 1  y z  y z   x 1 y 1 z 1     x  y  z  y z   x  1 1       x  y  z  x y z   x yz Vậy ta có: x  y  z  x 1  y   z  (đpcm) Bài (Ireland, 1999) Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d2     ab bc cd d a Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: b c  a ab  bc  cd  a  b  c  d    bc cd  ab  a2 b2 c2 d2       2( a  b  c  d ) a  b b  c c  d d  a   d  d a da   a2 b2 c2 d2  1       (a  b  c  d )  ab bc cd d a Bài (Rumania 1999) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  3abc Chứng minh a  b  c  a3  b3  c3 Chứng minh 11 Từ giả thiết ab  bc  ca  3abc  1    a b c 1 1   9 abc3 a b c Mà ta có bất đẳng thức  a  b  c   Vậy ta có  a  b  c    a  b  c  3     32  12 2  a a  b b  c c    1 1   a  b3  c      a b c   a  b3  c   a  b  c  a  b3  c3 (đpcm) Bài (Belarus, 1999) Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a b c    b  2c c  2a a  2b Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có a b c a2 b2 c2       b  2c c  2a a  2b ab  2ca bc  ab ca  2bc a  b  c    ab  bc  ca  (  a  b  c    ab  bc  ca  ) 12 Bài (Austria-Poland, 2000) Cho x, y, z số thực không âm cho x  y  z  Chứng minh  rằng:   x 2 2 2   1  y   1  z   1  x 1  y 1  z  Chứng minh Đặt A  x2  y2  z2 , B  xy  yz  zx , C  x2 y  y z  z x D  xyz Khi ta có: B2  C  D  A  2B ; x  y  z  A2  2C  B  B   2C  2C  B  8D  Khi biểu thức trở thành  A   2C  B  8D  1   2C  D  Dấu xảy hai ba số x, y, z Bây biểu thức vế phải  B  D Bởi ta phải chứng minh 2C  D  B  D B  B  3D  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có A  B , B 1  B   BA Vậy ta cần chứng minh B  3D  C  D  Nhưng C  xyyz  yzzx  zxxy  D thu từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bài 10 (IMO, 2001) Chứng minh với a, b, c số thực dương ta có: a a  8bc  b b  8ca 13  c c  8ab 1 Chứng minh Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: VT   a2 a a  8bc  b2 b b2  8ca a  b  c  c2 c c  8ab a a  8bc  b b  8ca  c c  8ab  Bài 11 (Short list IMO, 2001) Cho x1 , x2 , , xn số thực, chứng minh rằng: x1 x1 x1     n 2 2  x1  x1  x2  x1  x22  xn2 Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz  bi  i i a b   a b i i với x1  x  x22  xn2 Ta thu x1 x1 x1     n 2 2  x1  x1  x2  x1  x22  xn2 Từ ta thu i b i b  Để ý với i  ,   xi xi2 b   2 2    x1  x2   xi  1  x12  x22   xi2  i 14 xi2  1  x   x22   xi21 1  x12  x22   xi2  2 2 i 1  x  x   x Với i  sử dụng bất đẳng thức b1   1  x  x22   xi2 x12 1  x1  x12 Cộng vế với bất đẳng thức ta n   xi 1   b   2   x1  x22  xn2 i 1   x1  x2   xi  i Bài 12 (Czech and Slovak Republics, 2004) Cho P( x)  ax  bx  c đa thức bậc với hệ số không âm Chứng minh 1 P ( x) P    ( P (1))  x với x  ta có: Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta nhận được: 1   P ( x ) P   =  ax  bx  c   a  bx  c  x  x  =    ax    bx   a   b 2 c          x   x         c       a b 2   ax  bx  c c    a  b  c    P(1)  x x   Bài 13 (UK 2005) Cho a, b, c ba số thực không âm Chứng minh 15 a b c 1 1       a  b  c    b c a a b c Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 b2 c  a b c 2 a      1        c a  b c a b abc  a b2 c  a b c a b c  nên          Nhưng      3 abc c a  b c a b c a b  a b c  abc   3  nên abc c a b Mặt khác  a b2 c a b c a b c          b2 c2 a2 c a b b c a Thêm a b c   vào vế ta có: c a b a b2 c a b c a b c a b c    2           b c a c a b c a b b c a a b c 1 1       a  b  c    b c a a b c Bài 14 (Litthuania, 2006) Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: 1 1 1         a  bc b  ca c  ab  ab bc ca  Chứng minh 16 Ta có: a  bc  a 2bc  ab ac nên ta có 1  a  bc ab ac Vậy: 1 1  VT       ab ac bc ba cb ca    1  1  1 1              ab bc ca  ab bc ca   ab bc ca  Bài 15 (Romania JBMO Team Selection Test 2007) Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn: 1    b  c 1 c  a 1 a  b 1 Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: b  c  a2 b  c  a2   b  c   b  c  1  b  c  a   b  c  a 2 Tương tự ta có: c  a  b2 c  a  b2   c  a   c  a  1  c  a  b   c  a  b 2 a  b  c2 a  b  c2   a  b   a  b  1  a  b  c   a  b  c  Cộng bất đẳng thức lại ta được: 17 [...]... 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành n  xi ( xn1  xi  n  1.xn 1 i 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, suy ra ta có điều phải chứng minh Bài 3 (Autria-Poland 1996) Nếu w, x, y, z là những số thực thỏa mãn w x y  z  0 w2  x 2  y 2  z 2  1 Chứng minh rằng 1  wx  xy  yz  zw  0 Chứng minh Bất đẳng thức bên phải wx  xy  yz  zw  ( w  y)( x  z )  ( w  y )2  0 Từ bất đẳng. .. B   BA Vậy ta cần chứng minh B 2  3D  C  D  0 Nhưng C  xyyz  yzzx  zxxy  D có thể thu được từ bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Bài 10 (IMO, 2001) Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực dương ta có: a a 2  8bc  b b 2  8ca 13  c c 2  8ab 1 Chứng minh Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có: VT   a2 a a 2  8bc  b2 b b2  8ca a  b  c  c2 c c 2  8ab 2 a a 2  8bc  b b 2  8ca... a b c Mà ta có bất đẳng thức  a  b  c   Vậy ta có 3  a  b  c    a  b  c  2 3 1 3 1     32  12 2 2 2  a a  b b  c c 2    2 1 1 1   a 3  b3  c 3      a b c  3  a 3  b3  c 3   a  b  c  a 3  b3  c3 (đpcm) Bài 8 (Belarus, 1999) Cho a, b, c  0 Chứng minh rằng: a b c    1 b  2c c  2a a  2b Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có a b... 1 2 xi x j  i j n  2 n ai xi2  n  1 i 1 1  ai Chứng minh 2 n n  n  Nếu  xi  1 thì 1    xi    xi2  2 xi x j Từ đó bất đẳng thức cần chứng i 1  i 1  i 1 i j minh tương đương với: n 1 xi2  n  1 i 1 1  ai Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz để chứng minh rằng: 2 n  n  xi2 n x    i   1  a  1  ai   i1  i 1 i i 1 Bài 2 (Rumania 1996) 8 Cho x1 , x2 , , xn1... c  ab  bc  ca Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta có: 1 b  c  a2 b  c  a2   b  c  1  b  c  1  b  c  a 2   b  c  a 2 Tương tự như vậy ta có: 1 c  a  b2 c  a  b2   c  a  1  c  a  1  c  a  b 2   c  a  b 2 1 a  b  c2 a  b  c2   a  b  1  a  b  1  a  b  c 2   a  b  c  2 Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta được: 17 ... xi2  1 2 1 2 2 2 i 1 1  x  x   x 2 Với i  1 sử dụng bất đẳng thức b1   1 1  x  x22   xi2 2 1 x12 1 1 2 1  x1 1  x12 Cộng vế với các bất đẳng thức này ta được 2 n   xi 1 1  1  b   2 2 2  2 1  x1  x22  xn2 i 1  1  x1  x2   xi  2 i Bài 12 (Czech and Slovak Republics, 2004) Cho P( x)  ax 2  bx  c là đa thức bậc 2 với các hệ số không âm Chứng minh 1 P ( x) P... A2  2C  4 B 2  4 B  1  2C  2C  4 B  8D  1 Khi đó biểu thức ở giữa trở thành 3  2 A   2C  4 B  8D  1  2  2C  8 D  2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số x, y, z bằng 0 Bây giờ biểu thức vế phải bằng 2  B  D Bởi vậy ta phải chứng minh 2C  8 D  B  D hoặc B  2 B 2  3D  0 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có A  B , vì vậy B 1  2 B   BA Vậy ta cần chứng... wx  xy  yz  zw  0 Chứng minh Bất đẳng thức bên phải wx  xy  yz  zw  ( w  y)( x  z )  ( w  y )2  0 Từ bất đẳng thức bên trái, nhận thấy wx  xy  yz  zw  (w  y)( x  z )  1 ( w  y ) 2  ( x  z ) 2   w2  x 2  y 2  z 2  1 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz được 2 wx  xy  yz  zw   w2  x2  y 2  z 2  w2  x2  y 2  z 2   1 Bài 4 (Rumania 1998) 9 và Cho số nguyên... 8ca  c c 2  8ab  1 Bài 11 (Short list IMO, 2001) Cho x1 , x2 , , xn là các số thực, chứng minh rằng: x1 x1 x1     n 2 2 2 2 1  x1 1  x1  x2 1  x1  x22  xn2 Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ai  1 và bi  2 i 2 i a b   a b i i với x1 1  x  x22  xn2 2 1 Ta thu được x1 x1 x1     n 2 2 2 2 1  x1 1  x1  x2 1  x1  x22  xn2 Từ đó ta thu được 2 i b 2 i b... 1  y  1  z  1 (đpcm) Bài 6 (Ireland, 1999) Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  1 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d2 1     ab bc cd d a 2 Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có: b c  a ab  bc  cd  a  b  c  d    bc cd  ab  a2 b2 c2 d2       2( a  b  c  d ) a  b b  c c  d d  a   2 d  d a da   a2 b2 c2 d2  1 1 