Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức cauchy schwarz

Lời cảm ơnSau hai năm nghiên cứu và học tập tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, tác giả đã hoàn thành khóa luận với đề tài: “Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lời cảm ơn

Sau hai năm nghiên cứu và học tập tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên –

Đại học Quốc gia Hà Nội, tác giả đã hoàn thành khóa luận với đề tài: “Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz”

Để hoàn thành được luận văn này, đầu tiên tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu

sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, thầy đã dành thời gian hướng dẫn, chỉ bảo, tận

tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quá trình làm luận văn và hoàn thành luận văn đúng định hướng ban đầu

Qua đây tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô đãđọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được hoàn thiện vàphong phú hơn

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học,khoa Toán – Cơ – Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợitrong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng là sự biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè đã thông cảm, động viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực để hoàn thành luận văn

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên cácvấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếusót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn

Một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người Chúc tất cả mọingười sức khỏe và thành đạt!!!

Mục lục

Lời cảm ơn i

Mục lục ii

Mở đầu 1

Phần 1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế 3

1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 3

1.2 Bất đẳng thức AM-GM 5

1.3 Một số bài toán trong các đề thi quốc gia, quốc tế 8

Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 25

Bài 1: Dạng hằng đẳng thức thứ nhất 25

1.1 Các định lý 25

1.2 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đại số 30

1.3 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong lượng giác 45

Bài 2 Dạng hằng đẳng thức thứ 2 57

2.1 Các định lý 57

2.2 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đại số 63

2.3 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong lượng giác 65

Bài 3 Một số ví dụ mở rộng 72

Kết luận 75

Tài liệu tham khảo 76

Mở đầu

Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học Ngay từđầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng cósức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cảnhững bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo Bấtđẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong thực tế.Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuấthiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế Một trong những bất đẳng thức cổ điển quantrọng là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các ứng dụng của nó Bất đẳng thứcCauchy-Schwarz từ khi ra đời đến nay đã luôn được các nhà toán học lỗi lạc nghiêncứu và phát triển

Chúng ta đã gặp nhiều sự kết hợp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với cácbất đẳng thức khác hoặc trong hình học Trong luận văn này, tác giả xin trình bày

một hướng tiếp cận mới của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” Từ các hằng đẳng thức quen thuộc, khi

kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta sẽ thu được nhiều dạng bất đẳng thứcmới và lạ Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức có ứng dụng trong đại

số hoặc lượng giác

Luận văn gồm 2 phần:

Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế.Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Trong phần 2, tác giả đã phân chia thành ba bài

Bài 1: Từ dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng của nó trong đại số và lượng giác

Bài 2: Từ dạng hằng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức Schwarz để được các kết quả mới và một số áp dụng của nó trong đại số và lượnggiác.

Cauchy-Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một

số mở rộng

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên cácvấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếusót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn

Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm2011

Học viên

Trần thị Minh Ngọc

Phần 1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi

quốc gia, quốc tế.

Ta có f x    0 với mọi giá trị của x

x y AB







1 2

1 2

1 1

Nếu n = 1, n = 2 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n k 2, ta chứng minh bất đẳng thức đúng với

Theo giả thiết quy nạp ta thu được:

a k

Cho x x1, , ,2 xn1 là những số thực không âm với x1 x2  xn  xn1 Chứng

Cho số nguyên dương n 2 và x y x y1, , , , , ,1 2 2 x yn n là các số thực thỏa mãn

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số x, y, z bằng 0.

Bây giờ biểu thức vế phải bằng 2 B D   Bởi vậy ta phải chứng minh

2C8D B D  hoặc B  2 B2  3 D  0

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có A B  , vì vậy B  1 2  B   BA Vậy

ta cần chứng minh B2  3 D C D    0 Nhưng C xyyz yzzx zxxy D     cóthể thu được từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Bài 10 (IMO, 2001)

Chứng minh rằng với a b c , , là các số thực dương ta có:

x b

x b

Bài 12 (Czech and Slovak Republics, 2004).

Cho P x ( )  ax2 bx c  là đa thức bậc 2 với các hệ số không âm Chứng minh

Bài 15 (Romania JBMO Team Selection Test 2007).

Giả sử a b c , , là các số thực dương thỏa mãn:

1

b c    c a    a b    Chứng minh rằng: a b c ab bc ca    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c  1.

Bài 16 (USA Mathematical Olympiad 1997).

Chứng minh rằng với mọi số dương a b c , , ta có:

Bài 17 (Japanese Mathematical Olympiad 2004).

Giả sử a b c , , là các số thực dương sao cho a b c  1 Chứng minh rằng:

Do 1 2

1 1

Vì vậy bài toán đã được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b c 

Bài 18 (Singapore IMO Team Selection Test 2003)

Cho các số thực dương a b c , , Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Bài 19 (Chinese IMO Team Selection Test 2006).

Không mất tính tổng quát, giả sử z  min , ,  x y z  Ta có:

Sau khi khai triển và rút gọn ta được x y  2 x y  2z 0

đúng do x y   2 z Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

x y z   

Bài 20 (Walther Janous, IMO 2008).

Cho các số thực x y z  , , 1 thỏa mãn xyz  1 Chứng minh rằng:

Bài 21 (Vasile Cirtoaje, Chinese IMO Team Selection Test 2005).

Cho các số thực dương x y z t , , , thỏa mãn xyzt  1 Chứng minh rằng:

Bài 22 (Japanese Mathematical Olympiad 1997).

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c , , ta đều có:

Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz Bài 1: Dạng hằng đẳng thức thứ nhất

Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.1 Cho a b c x y z , , , , , là những số thực dương tùy ý Khi đó ta luôn có

c x(2 2y z )a y(2 2z x )b z(2 2x y )2

 ( a2  b2  c2)[(2 x  2 y z  )2  (2 y  2 z x  )2  (2 z  2 x y  ) ]2Suy ra

Cộng từng vế bốn đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.2 Cho a, b, c, d, x, y, z, t là các số thực dương tùy ý Khi đó ta luôn có

2 2 2

Thay vào (a) ta có

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.4 Cho a b c x y z , , , , , là những số thực dương Khi đó ta có

x y z a b c      3 a2b2c2 (x y )2(y z )2(z x )2  (ax by cz  )

Bài 1 Cho a b c , , là những số thực dương Chứng minh rằng:

Chứng minh

Áp dụng Định lý 1.1 với 1

x a

y b

z c

 ta có điều phải chứng minh

Bài 2 Cho a b , là những số thực dương Chứng minh rằng

 ta có điều phải chứng minh

Bài 3 Cho x y z, , là các số thực dương Chứng minh rằng

Áp dụng bài 5 với y z , ta có điều phải chứng minh.

Bài 7 Cho a b c , , là những số thực dương và x y z    1 Chứng minh rằng

và 1

x x

y y

z z

Áp dụng bài 13 với a b c d x y z t         1 ta có điều phải chứng minh.

Bài 16 Cho a b c d x y z t  , , , , , , , 0 và a b c d      x y z t   Chứng minhrằng:

3a21 3  x21  3b21 3  y21  3c21 3  z21  3d21 3  t21

33 3 3 3 4

Mà theo giả thiết thì: a b c d      x y z t   , nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 17 Cho xi  0,   i 1 n Chứng minh rằng:

Bài 23 Chứng minh rằng:  x y z , ,  0 ta luôn có:

Trong phần này, ta luôn giả sử tam giác ABC có:

 m m ma; b; c lần lượt là độ dài đường trung tuyến kẻ từ A; B; C

 h h ha; ;b c lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A; B; C

Bài 1 Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và độ dài 3 trung tuyến tương

Thay vào bất đẳng thức (1) ta được điều phải chứng minh.

Bài 2 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng

 2 2 2  2 2 2 2    

6 3

Mà a h a  b h b  c hc  2 S , từ đó có điều phải chứng minh

Bài 3 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng

(1)  2( r R  )  a  b  c cot A  cot B  cot C 

2    cot cot cot 

3 a b c   A  B  CLại có cot A  cot B  cot C  3

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài 4 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng

cos cos cos

   , từ đó có điều phải chứng minh

Bài 5 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng

b

y h

c

z h

Áp dụng bất đẳng thức (1.2) với a  sin ; A b  sin ; B c  sin C

x  cos ; A y  cos ; B z  cos C

cos A  cos B  cos C   1 2cos cos cos A B C

sin sin sin 4cos cos cos

Nên ta có

sin2 Asin2Bsin2C cos2Acos2Bcos2C

  2 2cos cos cos  A B C   1 2cos cos cos  A B C 

a

b

c

x h y h z h

Lại có: cotAcotBcotC 3.

 cot2 A cot2B cot2C  1 2cot cot cot A B C  cot A cot B cot C 

Áp dụng Định lý 2.1 với x y z    1 ta có điều phải chứng minh.

Định lý 2.2: Cho x y z  , , 0 Khi đó ta luôn có:

( x y z t xyz yzt ztx txy    )(    ) 

Vậy ( x y y z z t t x  )(  )(  )(  ) (  x y z t xyz yzt ztx txy    )(    )

Bổ đề 2.3: Cho 4 số thực dương x y z t , , , Chứng minh rằng:

2 x  2 y z t    x  2 y  2 z t   x y   2 z  2 t  2 x y z    2 t

227(xyz yzt ztx txy)

3 3



Thay kết quả này vào bất phương trình đầu tiên ta có:

3 3

Áp dụng Định lý 2.3 với x y z t     1 ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 2.3: cho x y z t  , , , 0 và xyzt  1 Chứng minh rằng:

Cauchy-Schwarz trong đại số.

Bài 1 Cho a b c , , không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:

ta có điều phải chứng minh

Bài 2 Cho a b c d  , , , 0 Chứng minh rằng:

Áp dụng Định lý 2.3 với: x a y b z c t d  3;  3;  3;  3 Ta có điều phải chứng minh

Bài 3 Cho a b c d  , , , 0 Chứng minh rằng:

Cộng từng vế bốn bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c d   1

Bài 4 Cho x y z  , , 0 và xyz yzt ztx txy     1 Chứng minh rằng:

Áp dụng Bổ đề 2.3 với xyz yzt ztx txy     1, ta có điều phải chứng minh

Bài 5 Cho x 0 Chứng minh rằng:

Bài 1 Cho ABC Chứng minh rằng:

Thay (3) vào (*) ta có điều phải chứng minh.

Bài 3 Cho ABC Chứng minh rằng:

     

2 2

2 2

1414

Nhận xét: Bài toán này là trường hợp tổng quát cho bài toán bất đẳng thức trong

đề thi IMO - IRAN 1998 Từ bài toán này, áp dụng dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có bài toán rất hay sau.

Từ một bất đẳng thức quen thuộc, kết hợp với các bất đẳng thức mới được xây dựng trong bài ta có thể tiếp tục xây dựng được các bất đẳng thức mới hay và khó Tác giả hy vọng rằng qua ba bất đẳng thức ở trên, độc giả sẽ tiếp tục xây dựng được các bất đẳng thức hay hơn nữa.

Kết luận

Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:

1 Luận văn đã nêu ra và chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bấtđẳng thức AM – GM và một số bất đẳng thức trong các đề thi toán quốc tế sử dụngcác bất đẳng thức trên

2 Luận văn đã chứng minh một số hằng đẳng thức và kết hợp với bất đẳngthức Cauchy-Schwarz để xây dựng các lớp bất đẳng thức mới

3 Từ đó vận dụng các bất đẳng thức vừa xây dựng ở trên để chứng minh một

số bất đẳng thức trong đại số và lượng giác

4 Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi toán quốc tế tại IRAN năm 1998 vàmột số mở rộng của bất đẳng thức này

Từ kết quả của luận văn này, ta thấy rằng với mỗi hằng đẳng thức khi kếthợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể cho ta một lớp các bất đẳng thứckhác rất hay và lạ Tác giả hy vọng rằng với ý tưởng ở trên sẽ giúp cho độc giả xâydựng được nhiều bất đẳng thức khác làm phong phú thêm các bài toán bất đẳng thứcvốn đã rất đa dạng

Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các đồng nghiệp để

đề tài này tiếp tục được hoàn thiện

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2011

Tài liệu tham khảoTiếng việt

1 Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2010), “Sử dụng phương pháp

Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức”, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.

2 Nguyễn Văn Hiến (2000), “Bất đẳng thức trong tam giác”, NXB Hải Phòng, Hải

Phòng

3 Phạm Kim Hùng (2007), “Sáng tạo bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội.

4 Phan Huy Khải (1997), “500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức”, NXB Hà Nội,

Hà Nội

5 Phan Huy Khải (2001), “10.000 bài toán sơ cấp”, NXB Hà Nội, Hà Nội.

6 Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các bài giảng về

bất đẳng thức Bunhiacopxki”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.

7 Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008),

“Các bài giảng về bất đẳng thức Côsi”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà

Nội

8 Nguyễn Thượng Võ (2000), “Tuyển tập 300 bài toán chọn lọc về hệ thức lượng

trong tam giác”, NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh.

9 Tủ sách toán học và tuổi trẻ (2007), “Các bài thi Olympic toán”, NXB Giáo Dục,

Hà Nội

Tiếng Anh.

1 IMO Shorlist, 1990 – 2004

2 Jose A.G.O., Radmila E, Mircea B (1997), “Inequalities A Mathematical

Olympiad Approach”, Basel – Boston – Berlin, Germany.

3 Mihai B., Bogdan E., Mircae B (1997), “The Romanian Society of

Mathematical Sciences”, “Romanian Mathematical Competitions”, Romania.