Một số kỹ thuật trong việc áp dụng bất đẳng thức cauchy schwarz holder vào toán sơ cấp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ TRẦN THỊ BÍCH LIÊN MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ - HOLDER VÀO GIẢI TỐN SƠ CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - 2014 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ TRẦN THỊ BÍCH LIÊN MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ - HOLDER VÀO GIẢI TỐN SƠ CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.s PHẠM LƢƠNG BẰNG HÀ NỘI - 2014 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Tốn, trƣờng ĐHSP Hà Nội 2, thầy giáo tổ Đại số tạo điều kiện để giúp em hồn thiện khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hƣớng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lƣơng Bằng quan tâm hƣớng dẫn chỉnh sửa khóa luận cho em Mặc dù cố gắng nhƣng thân em làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em hy vọng nhận đƣợc góp ý chân thành thầy bạn để khóa luận em hồn chỉnh Sinh viên Trần Thị Bích Liên SVTH: Trần Thị Bích Liên Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp kết nỗ lực tự thân hƣớng dẫn Thạc sĩ Phạm Lƣơng Bằng Nội dung khóa luận khơng trùng lặp với cơng trình nghiên cứu tác giả trƣớc công bố Sinh viên Trần Thị Bích Liên SVTH: Trần Thị Bích Liên Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chƣơng 1: LÝ THUYẾT CHUNG VÀ CHỨNG MINH VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ-HOLDER 1.1 Tiểu sử tóm tắt Cauchy, Schwarz, Holder 1.1.1 Tiểu sử tóm tắt Cauchy 1.1.2 Tiểu sử tóm tắt Schwarz 1.1.3 Tiểu sử tóm tắt Holder 1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng tổng quát 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân số (dạng Engel) 1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy-schwarz dạng thức 1.2.4 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng bình phƣơng tổng 1.3 Bất đẳng thức Holder 1.3.1 Bất đẳng thức Holder dạng tổng quát 1.3.2 Mở rộng bất đẳng thức Holder 1.3.3 Mở rộng bất đẳng thức Holder 11 1.3.4 Mở rộng bất đẳng thức Holder 12 Chƣơng 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ-HOLDER VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 14 2.1 Kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz 14 2.1.1 Kỹ thuật sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-schwwarz 14 2.1.2 Kỹ thuật sử dụng dạng cộng mẫu số Engel bất đẳng thức Cauchy-Swcharz 16 2.1.3 Kỹ thuật lân dần 20 2.1.4 Kỹ thuật nâng lên lũy thừa điều chỉnh hệ số 25 2.2 Kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Holder 28 2.2.1 Điểm rơi đối xứng bất đẳng thức Holder 28 SVTH: Trần Thị Bích Liên Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng 2.2.2 Điểm rơi Holder với biểu thức chứa biến 29 Chƣơng 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI 33 3.1 Hệ thống tập 33 3.2 Hƣớng dẫn giải 34 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 SVTH: Trần Thị Bích Liên Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức vấn đề khó tốn học sơ cấp, địi hỏi tính tƣ sáng tạo cao Bất đẳng thức giữ vị trí quan trọng kỳ thi học sinh giỏi, thi đại học, Olympic quốc gia quốc tế Điểm đặc biệt ấn tƣợng bất đẳng thức tốn học sơ cấp có nhiều tốn khó nhƣng ln giải đƣợc kiến thức sở, chủ yếu sử dụng phép biến đổi, đánh giá sơ cấp để thu đƣợc kết Ngày nay, có nhiều phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức thông dụng nhƣ: phƣơng pháp tam thức bậc hai, phƣơng pháp dùng đạo hàm, phƣơng pháp vec tơ, phƣơng pháp tọa độ … Trong phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức không kể đến phƣơng pháp chứng minh sử dụng bất đẳng thức kinh điến Một bất đẳng thức đƣợc sử dụng phổ biến bất đẳng thức Cauchy-SchwarzHolder Xuất phát từ sở lí luận thực tiễn mà em định chọn đề tài: “Một số kỹ thuật việc áp dụng bất đẳng thức CauchySchwarz- Holder vào giải toán sơ cấp” làm đề tài nghiên cứu cho Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nắm đƣợc kiến thức bất đẳng thức CauchySchwarz-Holder kỹ thuật sử dung bất đẳng thức Cauchy-SchwarzHolder vào giải toán sơ cấp Đối tƣợng nghiên cứu Các toán bất đẳng thức Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc, nghiên cứu tài liệu SVTH: Trần Thị Bích Liên Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức Tổng hợp, xếp, giải tập SVTH: Trần Thị Bích Liên Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng Chƣơng 1: LÝ THUYẾT CHUNG VÀ CHỨNG MINH VỀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ-HOLDER 1.1 Tiểu sử tóm tắt Cauchy, Schwarz, Holder 1.1.1 Tiểu sử tóm tắt Cauchy Augustin Louis Cauchy nhà toán học ngƣời Pháp sinh ngày 21 tháng năm 1789 Paris ngày 23 tháng năm 1857 Paris Ông vào học Trƣờng Bách khoa Paris (École Polytechnique) lúc 16 tuổi Năm 1813, ông từ bỏ nghề kỹ sƣ để chuyên lo toán học Ơng dạy tốn Trƣờng Bách khoa thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp Cơng trình lớn ông lý thuyết hàm số với ẩn số tạp Ơng đóng góp nhiều lãnh vực tốn tích phân tốn vi phân Ơng đặt tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu hội tụ dãy toán học 1.1.2 Tiểu sử tóm tắt Schwarz SVTH: Trần Thị Bích Liên Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng Karl Hermann Amandus Schwarz (25/1/1843 - 30/11/1921) nhà tốn học ngƣời Đức, tiếng với cơng trình giải tích phức Ơng sinh Hermsdorf, Silesia (nay Jerzmanowa, Ba Lan) qua đời Berlin Ông kết hôn với Marie Kummer, gái nhà toán học Ernst Eduard Kummer vợ Ottilie Họ có sáu ngƣời Schwarz ban đầu nghiên cứu hóa học Berlin, nhƣng Kummer Weierstrass thuyết phục ông chuyển sang toán học Giữa năm 1867 năm 1869 ơng làm việc Halle, sau Zürich Từ 1875 ơng làm việc Đại học Gưttingen, giao dịch với đối tƣợng lý thuyết chức năng, hình học vi phân phép tính biến thể Tác phẩm ông bao gồm Bestimmung Minimalfläche speziellen einer, đƣợc trao vƣơng miện Học viện Berlin vào năm 1867 đƣợc in vào năm 1871, Gesammelte Mathematische Abhandlungen (1890) Năm 1892 ông trở thành thành viên Viện Hàn lâm Khoa học Berlin giáo sƣ Đại học Berlin Ông qua đời Berlin 1.1.3 Tiểu sử tóm tắt Holder Holder Ludwig Otto(1859-1937) học trị nhà Tồn học Đức tiếng Karl Weierstrass Sau bảo vệ thành công luận án tiến sĩ năm 1882 Đại học Tubingen, Holder dạy đại học Gottingen từ năm SVTH: Trần Thị Bích Liên ... 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ- HOLDER VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Swcharz 2.1.1 Kỹ thuật sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy- schwwarz... 1.3.3 Mở rộng bất đẳng thức Holder 11 1.3.4 Mở rộng bất đẳng thức Holder 12 Chƣơng 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ- HOLDER VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP ... 14 2.1 Kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Swcharz 14 2.1.1 Kỹ thuật sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy- schwwarz 14 2.1.2 Kỹ thuật sử dụng dạng cộng mẫu số Engel bất đẳng thức Cauchy- Swcharz