Luận văn thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp, Hình học tổ hợp, Phương pháp giải toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THỊ LIÊN CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP Chun ngành: PHƢƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội, 2015 Mục lục Lời nói đầu Chƣơng Một số phƣơng pháp 1.1 Nguyên lí Đirichlê 1.2 Nguyên lí cực hạn 16 1.3 Phương pháp đồ thị, tô màu 20 1.4 Phương pháp tạo đa giác bao 26 1.5 Phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình 30 Chƣơng Một số dạng toán hình học tổ hợp thƣờng gặp 33 2.1 Hệ điểm đường thẳng 33 2.2 Điểm nằm hình 36 2.3 Hình nằm hình 41 2.4 Phủ hình 44 2.5 Hình giao 47 2.6 Đếm yếu tố hình học 54 2.7 Đánh giá độ dài, góc, diện tích 64 Chƣơng Một số đề thi có nội dung hình học tổ hợp 67 3.1 Đề thi tuyển sinh chuyên 67 3.2 Đề thi học sinh giỏi 76 3.3 Đề thi đề nghị Olympic truyền thống 30/4 lần XX - năm 2014 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 82 Lời nói đầu Hình học tổ hợp – phận hình học nói chung nhánh tổ hợp Những toán liên quan đến hình học tổ hợp đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều toán phát biểu đơn giản, thấy để giải cần trang bị kiến thức riêng hình học tổ hợp hình học Khi tốn trở nên dễ dàng Tuy nhiên có địi hỏi kiến thức chun sâu, chí có nhiều hình học tổ hợp tổng qt cho khơng gian chưa có lời giải Hình học tổ hợp coi nội dung dành cho học sinh khá, giỏi bậc Trung học sở thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic truyền thống 30/4,… Luận văn đưa số cách giải cho hình học tổ hợp xuất kì thi thời gian qua, tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi từ lớp Bố cục luận văn gồm ba chương Chương Một số phương pháp Chương trình bày phương pháp vận dụng để giải toán hình học tổ hợp như: Ngun lí Đirichlê; ngun lí cực hạn; phương pháp đồ thị, tô màu; phương pháp tạo đa giác bao; phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình Ngồi phương pháp phản chứng sử dụng nhiều đan xen phương pháp khác Chương Một số dạng tốn hình học tổ hợp thường gặp Chương đưa toán hình học tổ hợp cụ thể, xếp theo dạng: Hệ điểm đường thẳng; điểm nằm hình; hình nằm hình; phủ hình; hình giao nhau; đếm yếu tố hình học; đánh giá độ dài, góc, diện tích Chương Một số hình học tổ hợp đề thi Chương đưa số hình học tổ hợp có đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic Tốn học Để hồn thành luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Vũ Đỗ Long dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ em trình xây dựng đề tài hoàn thiện luận văn Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phịng sau Đại học, khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập trường Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2015 Học viên Trần Thị Liên Chƣơng Một số phƣơng pháp Trước vào số phương pháp để giải tốn hình học tổ hợp, ta xét khái niệm sau + Một hình F gọi lồi với hai điểm A B thuộc F , đoạn thẳng nối hai điểm A , B thuộc F + Khoảng cách lớn hai điểm hình lồi đường kính hình lồi 1.1 Ngun lí Đirichlê Người đề xuất nguyên lí cho nhà tốn học Đức Johann Đirichlê ơng đề cập tới nguyên lí với tên gọi “nguyên lí ngăn kéo” (The Drawer Principle) Ngồi ngun lí cịn biết đến ngun lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) nguyên lí lồng nhốt thỏ Nguyên lí Đirichlê phát biểu năm 1834 “Nguyên lý Đirichlê dạng cổ điển thường dùng để chứng minh tồn theo kiểu không xây dựng (non-constructive), tức biết đối tượng tồn khơng cụ thể.” (Trích giảng Các phương pháp kỹ thuật chứng minh, trình bày chương trình Gặp gỡ tốn học 2010 ĐHQG Tp.HCM tổ chức từ ngày 25/1 31/1/2010.) a) Nguyên lí Đirichlê Nhốt n  thỏ vào n lồng tồn lồng có hai thỏ b) Ngun lí Đirichlê tổng qt Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp, N không chia hết cho k , tồn N hộp chứa    đồ vật k (Ở đây,  x  số nguyên lớn có giá trị nhỏ x ) Chứng minh Giả sử hộp chứa    vật Khi tổng số đồ vật nhỏ k N N  k    N k Điều mâu thuẫn với giả thiết có N đồ vật đặt vào hộp c) Nguyên lí Đirichlê đối ngẫu Cho tập hữu hạn S   , S1 , S2 , , Sn tập S cho S1  S2   Sn  k S Khi đó, tồn phần tử x thuộc S cho x phần tử chung k  tập Si , i  1, n Ở S số phần tử tập hợp S Si , i  1, n số phần tử tập hợp Si d) Nguyên lí Đirichlê cho diện tích Nếu K hình phẳng, K1 , K2 , , Kn hình phẳng cho Ki  K với i  1, n , | K || K1 |  | K2 |   | Kn | Ở K diện tích hình phẳng K , cịn | Ki | diện tích hình phẳng K i , i  1, n Khi đó, tồn hai hình phẳng Ki , K j , (1  i  j  n ) cho Ki , K j có điểm chung e) Ngun lí Đirichlê vơ hạn Nếu chia tập hợp vô hạn táo vào hữu hạn ngăn kéo phải có ngăn kéo chứa vơ hạn táo f) Nguyên lí Đirichlê đoạn thẳng Ta kí hiệu d ( I ) độ dài đoạn thẳng I nằm ¡ Cho A đoạn thẳng, A1 , A2 , , An đoạn thẳng cho Ai  A, i  1, n d ( A)  d ( A1 )  d ( A2 )   d ( An ) Khi có hai đoạn thẳng số đoạn thẳng có điểm chung Chứng minh Giả sử khơng có hai đoạn thẳng đoạn thẳng cho có điểm chung Khi d ( A1  A2   An )  d ( A1 )  d ( A2 )   d ( An )  d ( A) Mà từ Ai  A, i  1, n , ta có d ( A1  A2   An )  d ( A) Hai bất đẳng thức mâu thuẫn với nên điều giả sử sai Vậy có có hai đoạn thẳng số đoạn thẳng có điểm chung  Nguyên lí Đirichlê thường liên quan đến toán thi đấu thể thao, chia hết, nguyên tố nhau, đồ thị, tô màu, quen tốn hình học Ở đưa số toán sau Bài 1.1 Bên tam giác ABC cạnh m đặt năm điểm Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ 1m Lời giải Ba đường trung bình tam giác cạnh m chia thành bốn tam giác có cạnh 1m (hình 1) Ta có năm điểm đặt bốn tam giác Do theo ngun lí Đirichlê, tồn tam giác nhỏ mà có hai điểm cho, điểm khơng thể rơi vào đỉnh tam giác ABC Vậy khoảng cách hai điểm nhỏ 1m Bài 1.2 Trên mặt phẳng cho 43 điểm Trong ba điểm ln ln tìm hai điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa khơng 22 điểm cho Lời giải Lấy A số 43 điểm cho Xét hình trịn ( A;1) Chỉ có hai khả sau xảy + Nếu tất điểm cho nằm hình trịn ( A;1) kết luận toán + Tồn điểm B  A ( B thuộc số 43 điểm cho), cho B  ( A;1) Vì B  ( A;1) nên AB  Xét hình trịn ( B;1) Lấy C điểm số 43 điểm cho cho C  A, C  B Theo giả thiết dựa vào AB  1, ta có Min CA, CB  Vì C  ( A;1) , C  ( B;1) (hình 2) Vì C điểm số 43 điểm cho cho C  A, C  B nên hình tròn ( A;1) , ( B;1) chứa tất 43 điểm cho Vì theo ngun lí Đirichlê, hai hình trịn chứa khơng 22 điểm cho Ta có điều cần chứng minh Tổng quát Cho 2n  điểm mặt phẳng (với n  ) Biết ba điểm ln ln tìm hai điểm có khoảng cách nhỏ Khi tồn hình trịn bán kính chứa khơng n  điểm cho Bài 1.3 Cho hình vng có diện tích Người ta đặt vào hình vng cách tùy ý 101 điểm Chứng minh tồn tam giác với ba đỉnh điểm số điểm cho có diện tích khơng q 100 Lời giải Ta chia hình vng ABCD thành 50 hình chữ nhật có diện tích cách sau 50 + Chia cạnh AB thành 10 đoạn liên tiếp + Chia cạnh AD thành đoạn liên tiếp Khi đặt 101 điểm vào 50 hình chữ nhật hình chữ nhật chứa ba điểm Giả sử hình chữ nhật chứa ba điểm M , N , K Khi diện tích MNK khơng lớn nửa diện tích hình chữ nhật chứa tức khơng lớn Điều có nghĩa tồn tam giác với ba đỉnh 100 điểm số điểm cho có diện tích khơng q  100 Tương tự ta có tốn sau Bài 1.4 Trong hình vng có cạnh , đặt 201 điểm phân biệt Chứng minh có ba số 201 điểm nằm hình trịn bán kính 14 Lời giải Chia hình vng cho thành 100 hình vng nhỏ có cạnh Theo ngun lí Đirichlê, tồn hình vng nhỏ, chẳng hạn 10 hình vng a chứa ba số 201 điểm Đường trịn ngoại tiếp hình vng a có bán kính 1  10 14 Vậy ba điểm nói nằm hình trịn đồng tâm với hình vng a có bán kính 14 Tổng qt Ta tổng qt hóa tốn với a kích thước cạnh hình vng, m số điểm đặt bất kì, phân biệt Chứng minh có n số m điểm nằm hình trịn bán kính a  m    n   (trong kí hiệu  x  phần nguyên x )  Ngun lí Đirichlê cịn sử dụng nhiều tốn tơ màu đồ thị Bài 1.5 Giả sử điểm mặt phẳng có kẻ lưới ô vuông tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn hình chữ nhật có đỉnh màu Lời giải Xét lưới ô vuông tạo ba đường nằm ngang A, B, C chín đường nằm dọc đánh số từ đến Xét ba nút lưới đường nằm dọc ta thấy nút có hai cách tơ màu nên ba nút có    cách tơ màu Như có chín đường nằm dọc mà có tám cách tơ nên có hai đường nằm dọc có cách tơ màu Giả sử nút giao hai đường dọc hai ba điểm A1 , A2 , A3 B1 , B2 , B3 Vì ba điểm A1 , A2 , A3 có hai cách tơ nên có hai điểm tơ màu Giả sử A1 , A2 tô màu Vì hai có cách tơ màu giống nên B1 , B2 tô màu màu với A1 , A2 Do hình chữ nhật A1 A2 B2 B1 có đỉnh tơ màu Tổng quát Nếu điểm mặt phẳng có kẻ lưới ô vuông tô n màu tồn hình chữ nhật có đỉnh màu ... Lời nói đầu Hình học tổ hợp – phận hình học nói chung nhánh tổ hợp Những tốn liên quan đến hình học tổ hợp đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều toán phát biểu đơn giản, thấy để giải cần trang... phương pháp đồ thị, tô màu; phương pháp tạo đa giác bao; phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình Ngồi phương pháp phản chứng sử dụng nhiều đan xen phương pháp khác Chương Một số dạng tốn hình học tổ. .. đa giác hình trịn có bán kính Hƣớng dẫn giải Xem Bài 3.3 79 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau - Luận văn hệ thống phân loại số phương pháp số dạng tốn thường gặp hình học tổ hợp - Luận văn sưu