Điều kiện xảy ra đẳng thức trong các bất đẳng thức AM GM, bất đẳng thức cauchy schwarz, bất đẳng thức holder, bất đẳng thức chenychev

Phạm Thị Hường ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM, BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ, BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER, BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyê

Phạm Thị Hường

ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM, BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ,

BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER, BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học ThS Phạm Lương Bằng

HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN

Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán trường ĐHSP

Hà Nội 2, các thầy cô giáo tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi để giúp em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Đặc biệt em xin gửi lời cám ơn chân thành đến thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng đã quan tâm hướng dẫn và chỉnh sửa khóa luận cho em

Mặc dù đã cố gắng nhưng bản thân em mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót Em hy vọng sẽ nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô và các bạn để khóa luận của em hoàn chỉnh hơn

Sinh viên

Phạm Thị Hường

SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Toán

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp là kết quả của sự nỗ lực tự bản thân em và sự hướng dẫn của thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm Lương Bằng Nội dung khóa luận không trùng lặp với công trình nghiên cứu của các tác giả trước đã công bố

Sinh viên

Phạm Thị Hường

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHÓA LUẬN

SV: Phạm Thị Hường Lớp K36B_Sư phạm Toán

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU: ……… 1

CHƯƠNG 1: VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC CAUCHY, SCHWARZ, BUNHIACÔPSKI, HOLDER VÀ CHEBYSHEV 3

1.1: Nhà toán học Cauchy:……….3

1.2: Nhà toán học Schwarz và Bunhiacôpski ……… 4

1.2.1 Nhà toán học Schwart 4

1.2.2 Nhà toán học Bunhiacôpski 4

1.3: Nhà toán học Holder: ……… 5

1.4: Nhà toán học Chebyshev:………6

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM, BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ, BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER, BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV 8

2.1: Bất đẳng thức AM-GM: ……… 8

2.1.1: Chú dẫn và các biểu diễn ……… 8

2.1.2: Sai lầm thường gặp và lời giải đúng khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM 9

2.2: Bất đẳng thức Cauchy-Schwaz – Holder: ………27

2.2.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwaz (CBS): ……… 27

2.2.2: Bất đẳng thức Holder: ……… 35

2.3: Bất đẳng thức Chebyshev: ………41

2.3.1: Bất đẳng thức Chebyshev trên 2 dãy đơn điệu: ……… 41

2.3.2: Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Chebyshev: ……… 43

CHƯƠNG 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI 49

KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

SV: Phạm Thị Hường 1 Lớp K36B_Sư phạm Toán

Lời mở đầu 1.Lí do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một vấn đề khá phổ biến của Toán học sơ cấp, đây cũng là một trong những phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị nhất, vì thế luôn cuốn hút nhiều người quan tâm Bất đẳng thức luôn giữ vị trí quan trọng trong kì thi học sinh giỏi, thi đại học, Ôlympic quốc gia và quốc tế Điểm đặc biệt nhất của bất đẳng thức trong toán sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán khó thậm chí là rất khó nhưng luôn có thể giải được bằng những kiến thức cơ sở, chủ yếu sử dụng các phép biến đổi, đánh giá sơ cấp để thu được kết quả

Đối với những bài toán có sự ràng buộc giữa các biến thì cần phải xác định chính xác nên dùng phương pháp giải nào của bất đẳng thức để dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra, điều đó tạo ra sự tò mò, hứng thú đối với

em Xuất phát từ cơ sở lí luận và thực tiễn đó mà em đã quyết định chọn đề tài “Điều kiện xảy ra đẳng thức trong các bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Chebyshev” làm đề tài nghiên cứu cho mình

Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương Chương 1: Vài nét lịch sử về các nhà toán học Cauchy, Schwarz, Holder và Chebyshev

Chương 2: Một số vấn đề về điều kiện xảy ra đẳng thức trong các bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Chebyshev

Chương 3: Hệ thống bài tập và hướng dẫn giải

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:

Nắm được những kiến thức cơ bản và độc đáo về bất đẳng thức sơ cấp, từ đó tìm được những phương pháp giải thích hợp, điều kiện để xảy ra đẳng thức tùy theo yêu cầu bài toán

3 Đối tượng nghiên cứu:

Các bất đẳng thức sơ cấp và một số bài toán ứng dụng các bất đẳng thức rồi tìm điều kiện xảy ra các bất đẳng thức cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu:

Đọc, nghiên cứu tài liệu

So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức

Sắp xếp và giải bài tập

SV: Phạm Thị Hường 3 Lớp K36B_Sư phạm Toán

CHƯƠNG 1: VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC CAUCHY, SCHWARZ, BUNHIACÔPSKI, HOLLDER VÀ CHEBYSHEV

1.1: Nhà toán học Cauchy

CauchyAugustin Cauchy sinh ngày 21 tháng 8 năm

1789 Nhà Toán học đầy óc sáng tạo này có rất nhiều công

trình toán học, chỉ thua Euler mà thôi Những nhà toán học

hiện đại tiếp thu được từ Cauchy hai điều nổi bật trên con

đường nghiên cứu toán ở thế kỷ 18

Điều đổi mới đầu tiên là đưa sự chặt chẽ vào giải

thích toán học, mà trước đó các nhà toán học quá dễ dãi

Điều đổi mới thứ hai, đó là đi vào một hướng trái ngược : giải tích tổ hợp Từ phương pháp của Lagrange trong lý thuyết phương trình, Cauchy

đã rút được cái tinh tuý để hệ thống thành những cơ sở đầu tiên của lý thuyết nhóm Ông đã nhìn thấy trong tính đối xứng của các công thức đại số những phép toán và tính chất của chúng dẫn tới lý thuyết nhóm Ngày nay

lý thuyết sơ cấp đó tuy khá phức tạp đã có vai trò rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học, từ lý thuyết về phương trình đại số cho tới hình học và lý thuyết cấu trúc nguyên tử

Trong 19 năm cuối đời mình, Cauchy đã có trên 500 công trình trên tất cả lĩnh vực của toán học kể cả cơ học, vật lí học, thiên văn học Cauchy qua đời đột ngột vào ngày 23 tháng 5 năm 1857 lúc 68 tuổi Một vài giờ

trước khi mất, Cauchy nói với tổng giám mục Paris: “Những con người sẽ mất, nhưng những công trình của họ vẫn ở lại”

1.2: Nhà toán học Schwarz và Bunhiacôpski

1.2.1: Nhà toán học Schwarz

Karl Hermann Amandus Schwarz (25/1/1843 -

30/11/1921) là một nhà toán học người Đức, nổi tiếng

với công trình về giải tích phức Ông sinh ra

ởHermsdorf, Silesia (nay Jerzmanowa, Ba Lan) và qua

đời tại Berlin Schwarz ban đầu nghiên cứu hóa học ở

Berlin, nhưng Kummer và Weierstrass thuyết phục ông

chuyển sang toán học Giữa năm 1867 và năm 1869 ông làm việc tại Halle, sau đó tại Zürich Từ 1875 ông làm việc tại Đại học Göttingen, giao dịch với các đối tượng của lý thuyết chức năng, hình học vi phân và các phép tính của các biến thể Tác phẩm của ông bao gồm Bestimmung Minimalfläche speziellen einer, được trao vương miện bởi Học viện Berlin vào năm 1867 và được in vào năm 1871, và Gesammelte Mathematische Abhandlungen (1890) Năm 1892 ông trở thành một thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Berlin và là giáo sư tại Đại học Berlin, nơi sinh viên của ông bao gồm Lipot Fejer, Paul Koebe và Ernst Zermelo

SV: Phạm Thị Hường 5 Lớp K36B_Sư phạm Toán

24 tuổi và sau này trở thành phó chủ tịch của Viện từ năm 1864 cho tới năm

1889 là năm ông mất Ông mất ngày 12-12-1889

từ 16 tuổi đến 21 tuổi ông đã theo học ở Pari, lúc đó có nhiều giáo sư nổi tiếng dạy như Laplaxơ, Phuriê, Côsi, Lơgiăngđrơ Ông bảo vệ luận án tiến

sĩ toán tại Pari vào năm 1825 lúc ông 21 tuổi Trở về nước, ở Pêtecbua ông

đã hoạt đọng tích cực trong lĩnh vực giáo dục, giảng dạy toán cho đến năm

1846 Trong 15 năm sau, từ 1846 đến 1859 ông dạy tại trường Đại học Pêtecbua, phụ trách các môn cơ học giải tích, lí thuyết xác suất và giải tích toán học Bắt đầu từ năm 1858, ông trở thành chuyên gia quan trọng của chính phủ về các vấn đề thống kê và bảo hiểm

Có thể nói rằng lĩnh vực hoạt động của ông rất rộng lớn và đầy kết quả tốt đẹp Ông đã có đến 168 công trình nghiên cứu Công trình ưu việt của Bunhiacôpski là lí thuyết số, lí thuyết xác suất và ứng dụng Ông còn nghiên cứu nhiều về giải tích, hình học và đại số, quan tâm đến cả tính toán trong thực tiễn; góp phần vào việc cải tiến các tính toán của nước Nga Ông là hội viên danh dự của tất cả các trường Đại học Nga, của nhiều hội khoa học, đồng thời là phó chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học và Viện đã đặt

ra giải thưởng mang tên ông cho những tác phẩm toán học có giá trị lớn

1.3: Nhà toán học Holder

Ông là học trò của nhà Toàn học Đức nổi

tiếng Karl Weierstrass Ông sinh năm 1859 và mất

năm 1937 Sau khi bảo vệ thành công luận án tiến sĩ

năm 1882 ở Đại học Tubingen, Holder dạy ở đại học

Gottingen từ năm 1884 Ông quan tâm đến nhiều

lĩnh vực của Toán học, nhưng ông đã biết tiếp tục

tinh thần của Thầy học nên đã đóng góp sức mình hy vọng góp phần làm cho Toán học có một tầm vóc mới; ông đã làm cho Toán học tách ra khỏi phép tính hình thức, trở nên chặt chẽ hơn

Nhưng với bản chất trầm tĩnh, và tính tình hòa nhã, độ lượng nên ông được nhiều người mến mộ Otto Holder nghiên cứu hàm biến thực và phức

Từ Weierstrass trở về trước các nhà Toán học thường nghĩ rằng một hàm liên tục thì khả vi trừ tại một số điểm

Holder nêu ra một điều kiện để cho hàm liên tục là khả vi và bây giờ người ta đưa tên ông vào điều kiện đó Ông còn tìm cách phân tích một hàm bất kỳ thành chuỗi Fourier, điều này dẫn ông đến tổng quát hóa tích phân một số hàm không bị chặn Holder say mê Lý thuyết Galois và Lý thuyết Nhóm Để nghiên cứu cách giải một phương trình bậc n ông có sáng kiến đưa ra những phương trình phụ, điều này dẫn ông đến chỗ định nghĩa các nhóm thương Năm 1889, ông phát biểu lại Định lý phân tích của Jordan với khái niệm mới này và chứng minh tính duy nhất của nhóm thương trong định lý mới từ nay mang tên hai người: Holder và Jordan Từ năm 1892 đến năm 1895 ông nghiên cứu chi tiết các nhóm hữu hạn, đặc biệt là tất cả các nhóm của một thứ tự cho trước

Từ năm 1914 đến năm 1923, Holder hướng suy nghĩ của ông về Triết học trong Logic toán Điều này thấy rõ trong tác phẩm của ông Phương pháp Toán học

1.4: Nhà toán học Chebyshev

(Pafnutij L'vovich Chebyshev; 1821 - 1894), nhà toán học và cơ học Nga Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Pêtecbua (1856), người sáng lập

SV: Phạm Thị Hường 7 Lớp K36B_Sư phạm Toán

nhiên và kĩ thuật; sáng lập lí thuyết xấp xỉ tốt nhất

các hàm bằng đa thức; chứng minh luật số lớn

dưới dạng rất tổng quát, chứng minh luật phân bố

số nguyên tố Các công trình của Chebyshev đặt

nền tảng cho nhiều ngành toán học Khó mà đánh

giá được những phát minh khoa học của

Chebyshev trong lĩnh vực lý thuyết số Nó đã đem

lại vinh quang cho nền khoa học toán của Nga và đã có ảnh hưởng lớn lao đối với những sáng tạo khoa học của nhiều nhà bác học xuất sắc trong và ngoài nước

Nhưng Chebyshev không chỉ nghiên cứu một lý thuyết số Ông còn nghiên cứu rất nhiều, chẳng hạn trong lĩnh vực giải tích toán học, ông đã thiết lập một ngành hoàn toàn mới nổi tiếng là “Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất các hàm số bằng các đa thức” Chebyshev còn có hàng loạt công trình nổi tiếng về lý thuyết xác suất và nhiều môn toán khác

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM, BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ, BẤT ĐẲNG

Dấu “=” xảy ra khi a1 a2   a n

Các sách toán học đã xuất bản ở Việt Nam thường gọi là bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Côsi Cách gọi này xuất phát từ việc nhà toán học Pháp Côsi (Cauchy) là người đầu tiên đã chứng minh bất đẳng thức này và ông đã chứng minh nó bằng một phương pháp qui nạp đặc biệt gọi là qui nạp Côsi Có các cách chứng minh bất đẳng thức AM-GM đó là: phương pháp qui nạp thông thường và phương pháp qui nạp Côsi

b, Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức AM-GM

+ Dạng tổng quát:

SV: Phạm Thị Hường 9 Lớp K36B_Sư phạm Toán

a, Các bài toán đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:

Bài 1: Cho a>3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S a 1

a=3” ta không thể sử dụng trực tiếp AM-GM cho hai số a và 1/a vì 3 1

a a

a a

Với a=2 thì minS=9/4

- Nguyên nhân sai lầm:

Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a=2 và minS=9/4 là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu 2

Giải

Bài toán được giải thường mắc sai lầm như sau:

- Sai lầm 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 cặp số ta có:

- Phân tích và tìm lời giải:

Để tìm min S ta cần chú ý S là 1 biểu thức đối xứng với a,b,c,d do đó min S (hoặc max S) nếu có thường “đạt tại điểm rơi tự do” a=b=c=d >0

Vậy ta cho trước a=b=c=d=1 >0 và dự đoán minS 4 12

3

  Từ đó suy ra các đánh giá của bất đẳng thức bộ phận phải có điều kiện dấu “=” xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán a=b=c=d >0

- Sơ đồ điểm rơi: Cho a=b=c=d >0 ta có:

133

8

8 8.12

m a b ab   (điều này vô lí)

- Phân tích:

Do S là 1 biểu thức đối xứng với a,b nên dự đoán min S đạt tại a=b>0

- Sơ đồ điểm rơi:

2 2

a ab

- Nguyên nhân sai lầm:

Nếu minS=6, dấu bằng xảy ra khi:

              (trái với giả thiết)

- Phân tích và tìm lời giải: Do S là 1 biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự

đoán minS đạt tại 1

2

a  b c

Cũng tương tự như bài tập 4, ta sẽ tách tổng thành các tổng hợp lí để

có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM

- Sơ đồ điểm rơi:

a  b c theo giả thiết

Dấu “=” xảy ra khi 1

- Nguyên nhân sai lầm:

MinS=2 thì dấu “ =” xảy ra khi 1 1 1

SV: Phạm Thị Hường 17 Lớp K36B_Sư phạm

Toán

11

2

  (vô lí) Do ràng buộc a+b=1 nên dẫn đến mâu thuẫn trên

- Phân tích và tìm lời giải: Biểu thức S chứa 2 biến số a, b nhưng nếu đặt

  

Kết hợp với điều kiện đề bài cho 2 biến số a,b ta có:

, 0

11

21

SV: Phạm Thị Hường 19 Lớp K36B_Sư phạm

Toán

- Lời giải đúng: Biến đổi S, tách từng tổng trong căn thức thành nhiều tổng

nhỏ dựa vào hệ số điểm rơi và sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c, d nên dự toán Min S đạt tại điểm rơi tự do:

0,

a   b c d khi đó

4

2 6251

2

5 5

2

5 5

Mâu thuẫn với giả thiết cho a2 b2 c2 1

- Phân tích và tìm tòi lời giải :

Dự toán điểm rơi của Min T là 1

Dấu “=” xảy ra khi 1

Ta thấy trong vế phải của bất đẳng thức trên tức là biểu thức GM có

số các thừa số trong căn thức đúng bằng chỉ số căn thức Do đó, khi gặp bất đẳng thức mà vế yếu của bất đẳng thức có chứa căn thức và số các thừa số ở trong căn thức nhỏ hơn chỉ số của căn thức thì ta cần thêm các hằng số thích hợp để số các thừa số trong căn thức đúng bằng chỉ số của căn thức Để xác định được hằng số thích hợp ta phải dự đoán được dấu bằng của bất đẳng thức Để làm rõ điều này ta xét một số bài toán sau:

- Sai lầm thường gặp: Ta thấy số các hệ số trong căn là 2 khác với chỉ số

căn thức là 3 nên ta thêm thừa số 1 vào trong căn rồi sử dụng bất đẳng thức

AM-GM ta được:

1 1( ).1.1

3

1 1( ).1.1

(vô lí do có ràng buộc a+b+c=1)

Như vậy thêm thừa số 1 vào trong căn là không hợp lí, ta cần tìm điểm rơi phù hợp để thêm vào căn thức

- Dự đoán và tìm điểm rơi của max S:

Vì S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên max S đạt tại điều kiện:

- Dự đoán và tìm điểm rơi của max S:

Vì S là biểu thức đối xứng với a,b,c nên max S đạt tại điều kiện:

3 3 31

- Lời giải đúng: Tương tự bài tập 1, ta thêm hai thừa số vào trong căn thức

là 3 và (3.a) rồi áp dụng bất đẳng thức AM-GM Mục đích là để xuất hiện tổng a+b+c=3 và dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra

- Dự đoán và tìm điểm rơi của maxS :

Vì S là biểu thức đối xứng với a,b,c nên maxS đạt tại điều kiện :

Với a=b=c=2, max S = 12

c, Kĩ thuật đánh giá phủ định của phủ định: