Lí do chọn đề tài Như chúng ta đã biết trong toán học thì bất đẳng thức là một chuyên đề khó và rất hấp dẫn đối với học sinh và sinh viên.. Được sự gợi ý, động viên và tận tình giúp đỡ c
Trang 1LỜI MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết trong toán học thì bất đẳng thức là một chuyên đề khó và rất hấp dẫn đối với học sinh và sinh viên Nó đòi hỏi cần phải có sự sáng tạo, thông minh, kiên trì song càng đi sâu tìm hiểu
nó thì càng lôi cuốn
Được sự gợi ý, động viên và tận tình giúp đỡ của thầy Phạm Lương Bằng cùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu
và thực hiện bài khóa luận của minh với tựa đề:
“Điều kiện xảy ra đẳng thức trong bất đẳng thức AM-GM & bất đẳng thức BUNIAKOWSKI”
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về điều kiện xảy ra đẳng thức trong bất đẳng thức AM-GM & bất đẳng thức BUNIAKOWSKI
3 Đối tượng nghiên cứu
Một số bài tập về bất đẳng thức
4 Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh và tổng hợp
Trang 2
2 1 2
n
S a a
a1 2 n
Nếu a1a2 an=P(const) thì Min (a1 a2 an) = n n
P
n xảy ra
a1 a2 an n P
Trang 31.1.2: Các trường hợp đặc biệt
Bình luận: Khi chứng minh bất đẳng thức,nói chung ta rất ít gặp các bất đẳng thức có dạng cân đối, đầy đủ như các dạng được phát biểu trong lý thuyết mà thường gặp các bất đẳng thức có một vế phức tạp, một vế rút gọn Cũng giống như khi chứng minh đẳng thức ta phải đánh giá từ vế phức tạp sang vế rút gọn Các dạng 1, 2, 3 đặt ở cạnh nhau có
vẻ tầm thường nhưng việc phân loại chi tiết các dạng 1, 2,3 giúp chúng
ta nhận dạng nhanh và phản ứng linh hoạt hơn khi sử dụng AM-GM Đặc biệt là dạng 3 không chứa căn thức nhắc chúng ta có thể sử dụng AM-GM ngay cả khi không có dấu hiệu căn thức Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho nhận xét này:
Trang 4GM khi một vế có chứa căn thức” Tuy nhiên, nhờ có dạng 3 mà gợi ý chúng ta có thể sử dụng AM-GM ngay cả khi hai vế đều không chứa căn thức
2 2
a a a n
a a
a
2 1 2
Cách 1: Phương pháp quy nạp thông thường
Với n=2 Ta cần chứng minh :
2 1 2
1
a a
2 2 1
2 1 2
Trang 5Đẳng thức xảy ra a 1 a2
Giả sử (1) đúng với n 2
Ta phải chứng minh (1) đúng với (n+1) số: a1,a2, ,a n1 0
Sử dụng giả thiết quy nạp cho n số: a1, a2, , an 0 ta có:
a a
1 2
1
n n
n n n
q a
p a a
a
1
1 1
S
n n
n
1 1
n n
a a a a q
p n
q np
2 1
n
a a a n
a a a
a
2 1
a a
a
Theo nguyên lí quy nạp suy ra bất đẳng thức đúng với n 2; n
Trang 6Cách 2: Phương pháp “quy nạp cosi”
2
1
1
1 2 1 1
2
1
1
1 2 1
1
1 1
1 2
1
1
1 2 1
1
1 2 1 1 1
1
1 2 1 1 2
1
1
1
.
p
p p
p
p
p
p p
p
p
p p
p
p p
a a a p
a a
a
a a a p
a a
a
a a a p a
a a a
a
a
a a a a
a a a
a p
a a a a
a
a
Trang 7Theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với
a a
b b a
Bình luận và lời giải
Ta nhận thấy khi a tăng thì 12
a càng nhỏ, nhưng độ tăng của a rất lớn
so với độ giảm của 12
a nên khi a càng tăng thì tổng S càng lớn và từ đó
dẫn đến dự đoán khi a thì S nhận giá trị nhỏ nhất 2
Để dễ hiểu và tạo cảm xúc ta sẽ nói rằng: 9
Trang 8đẳng thức AM-GM trực tiếp được Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất
tức là, ta có sơ đồ điểm rơi:
2414
11
22
Nguyên nhân sai lầm:
Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a 2 và inS 9
4
M là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số:
“Nếu a2 thì
4
22.8
28
2
a là đánh giá sai”
Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao
cho khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM sẽ khử hết biến số a ở mẫu số
Lời giải đúng:
Biến đổi S và sử dụng bất đẳng thức AM-GM có:
4
98
2.61.8
.8.38
6188
1
3
2 2
a
a a a
a
S
Trang 9y x
y x
Tìm giá trị nhỏ nhất của
xy xy
121
Phân tích và tìm lời giải đúng:
Biểu thưc S chứa 2 biến số x, y nhưng nếu đặt txy hoặc t 1
211
2
11
Bài toán trở thành: Cho t4 Tìm giá trị nhỏ nhất của S 1
t t
Trang 1017
16
2.15116.216
15116
t
t t t S
15422
16
1516
1.216
1516
11
xy xy
xy
xy xy
xy xy
y x
xy xy
y x y
x
xy xy
y x
xy xy
y x
(vô lý)
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do S là một biểu thức đối xứng với x, y nên dự đoán MinS đạt tai
0
y
x
Trang 11 Sơ đồ điểm rơi:
2 1 2
1 2
2 2
x
x xy
y x y
3
4 2 4
xy xy
y x xy
y x y x
xy xy
y x y x
xy xy
0,,
z y x
z y x
Tìm giá trị nhỏ nhất của S
z y x z y
xyz z
y x z
trái với giả thiết
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do S là một biểu thức đối xứng với x,y,z nên dự đoán MinS đạt tại
Trang 12 Sơ đồ điểm rơi:
4
22
1211
12
1 4
9 3 3
1 4
9 3
1
1
1 3 4
3 4
1 4
1 4
1
6
1 1 1 4
3 4
1 4
1 4
1 1
1 1
y x z
y x xyz
z y x z
y x z y x z y x z y x
0,
y x
y x
Tìm giá trị nhỏ nhất S
y
y x
HD: Biến đổi biểu thức S về dạng:
0,,
c b a
c b a
Tìm MinS a2 1 b2 1 c2 1
Trang 13HD: Dự đoán MinS đạt tại 1
Làm tương tự như bài tập mẫu trên
1.1.2: Điểm rơi trong đánh giá từ GM sang AM
Nhận xét: Xét bất đẳng thức AM-GM
n
n n
a a a n
a a
a
2 1 2
ta phải dự đoán được dấu bằng của bất đẳng thức nên kỹ thuật này có tên gọi điểm rơi trong đánh giá từ GM sang AM
0,,
z y x
z y x
Tìm giá trị lớn nhất của S3 xy 3 yz 3 zx
Phân tích và tìm lời giải:
Trang 148 3
6 2
3
1 1 1
1
3
1 1 1
1
3
1 1 1
1
3 3
3
3 3
3 3
3 3
x z x
z x z
z y z
y z y
y x y
x y x
Nguyên nhân sai lầm:
8
z y x x
z
z y
y x
vô lý
Dự đoán và tìm điểm rơi của MaxS
Vì S là một biểu thức đối xứng với x,y,z nên MaxS đạt tại điều kiện:
3
23
y x z
y x
z y x
9 3
4 2
4 9
3
3
2 3
2
4
9 3
2 3
2
4 9
3
3
2 3
2
4
9 3
2 3
2
4 9
3
3
2 3
2
4
9 3
2 3
2
4 9
3 3
3 3
3
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
z z y y x
S
x z x
z x
z
z y z
y z
y
y x y
x y
x
Trang 15Với ; 318
3
13
0,,
2 2 2
z y x
z y x
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S x.3 y2z2 y z3 2 x2 z x3 2 y2
Phân tích và tìm lời giải:
Dự đoán và tìm điểm rơi của MaxS:
Vì S là một biểu thức đối xứng với x,y,z nên MaxS đạt tại điều kiện
2410
0,,
z y x
z y x
Trang 160 , ,
z y x
z y x
xy zx
y
zx yz
x
yz S
0 , ,
z y
x
z y
x
Chứng minh rằng:
2 2 2 1
3 3
x z
y x
z y x
3
z y x z y x
z y
x z
y x
z y
Trang 172
9
3 3
3
3 3
z y
x z
y x
z y
x
z y x z y x z
y x
z y
x z
y x
z y
0,,
zx yz xy
z y x
Chứng minh rằng:
91
11
9 2 9
x z y
z y x
y x
x z z
z y y
y x
x z
x z y
z y x
y x
z z
y y x
x z z
zx x z y z
y y
yz z y x y
x x
xy y x
z
Trang 18Ta có:
2
153 34
3
4
.4
44
y y
x x
z
x z y
z y x
y x
x z z
z y
z y y
y x x
z
x z y
z y x
y x
x z z
z y y
0,,
zx yz xy
z y x
Chứng minh rằng: S
2
31
y x
21
0,,
z y x
z y x
Chứng minh rằng: S
3 4
Trang 19y x
y x
2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2 2
2 4 4 2
2 2
2 4
4 2
2 4
4
2
12
11
22
11
22
12
11
2
2
32
22
32
11
21
y x xy
y x y
x xy
y x
y x xy
y x y
x xy
y
x
y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
2 2
1 32
2
1 2
4
2 2
x y
x xy xy
Trang 200 , ,
z y x
z y x
1 1 1
3 3
1
2
2 2
2 2
z y x z y x
Trang 21y x x
y y
x
x,y 0
HD: Xét hai bất đẳng thức ngược chiều:
Trang 222 2
2 2
2
4 4
x
zx yz
xy z
y x
z y
a a
1
111
2 1
2
3 2 1
Trang 23n n
n
n n
a a
a
n a
a a
n a
a
1
1
1
2 1
2 2
1 2
1 2
c b a
111
c b
d c b a
1111
d c b
y x
11
1.2111
z z y y x
x z z y y x VT
1 1
1 2 4 4
4 2 1
1 1 1 1 1 1 2 1
Trang 240 ,
y x
y x
Chứng minh rằng: 2 1 2 1 6
xy y x S
4
2
1 2
4 2
1 2
1 1
1 1
2 2
2
2 2 2
2 2
xy xy y
x xy xy y
x xy y x
x z z x
z y y z
y t t y
t x S
2 2
z y x y x z
zx x
z y
yz z
y x
Trang 25Giải:
Bổ đề: Sử dụng hằng đẳng thức và đánh giá sau:
ab b
a
ab b
a b a
2
2
2 2
2 2 2
y y
x
zx x z yz z y xy y x
x z z
y y
x S
1 2 1
2 2
2 2
1
2 2 2
2 2
2 2 1
2 2
2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2
Bài 2: Chứng minh rằng:
23
3 3 3
a ab b a
b a ab b
a b a
y y
x
x z zx x z z y yz z y y x xy y x
x z x z z y z y y
x y x
1
4
1
33
34
1
33
34
1
Đẳng thức xảy ra x y z 0
Trang 262
1
2
1
2
1
21
.2
2
1
1
1
1
21
1 1
1 1
n n
n
n n
b b
a
a T
b a b
a
b a b
1 2
1 1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1 1
b a n n n b a
b b
a
a n
n n
y y
x S
22
1
22
22
1
1 1
1 1
1 1
x z z y y x Min
z y x
z
y z
y x
x z z y y x Min
z y x
z
y z
y x
Trang 27Bài 3: Cho x,y,z là độ dài ba cạnh của một tam giác
x z
y x
z y x
1.2.8: Sử dụng AM-GM trong bất đẳng thức không đồng bậc trên
R
Bài 1: Cho các số x,y,z 0 Chứng minh rằng:
xyz z
xy y
zx x
yz z
y x y x
z x
z
y z
2
7 2
2
7
1
y x
z x z
y y z
x z
y x
z x
z
y y z x
z
xy z y x x z
y y z
x z
y x x z
y y z x
y
zx z y x z y
x x y
z z
y x z y
x x y z
x
yz z y x y x
z x z
y z
y x y x
z x z y
3
2 2 2 7 2 2 7 2 2 7 2
2 2 7 2
2 7 2 2 7
2 3
2 2 2 2 2 7 2 2 7 2
2 2 2 2 7 2 2 7
2 3
2 2 2 2 2 7 2 2 7 2
2 2 2 2 7 2 2 7
2 3
2 2 2 2 2 7 2 2 7 2
2 2 2 2 7 2 2 7
3
1
1 1
31
1 1
3
1
1 1
31
Cộng vế với vế của hai hệ trên ta được:
xyz z
xy y
zx x
yz z
y x y x
z x
z
y z
2
7 2
9 9
2
2
z y x yz xy
z zx
y yz
Trang 28yz
x
z xyz
xy
z
y xyz
zx
y
x xyz
yz
x
3 3
3 2
2
2 2
3 5 5 5 5
5 5 5
5 5 9
9
9
5 9
5 9
5 9
2
23
3
3 3 5
xyz xyz z
y x
với t 3 xyz
0 2 4 6 6 6 6 3 1
3
2 3 4 5 6 2
luôn đúng Dấu bằng xảy ra x y z 1
0 , ,
z y x
z y x
Chứng minh rằng: 2xyyzzx 1 1 1 9
Trang 29y x
z y x
3
0 , ,
Chứng minh rằng: 13 13 13 3
z y
Giải:
Từ 3 1 1 1 3
zx yz xy xyz z
y
x
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
9111
3
1111111113111
x z z
y y
x z
y x
0 ,
,
xyz
z y x
Trang 30z x z
y z y
x z
z
x
z y z y yz z
y
z
y x y x xy y
x
3 3
3 3
3 3
z xy
z y
x
z y
z x z
x z
y zx
y x
z
y x
y z y
z y
x yz
x z
y
x z
x y x
42
11
42
11
42
11
z y z
y x y
x z x
z y z
y x z
3
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho x,y,z0 thỏa mãn: x yz 3
Chứng minh rằng: 1x2 2xy 1 y2 2zx 1 z2 2xy 6
1.2.10: Điểm rơi không đối xứng trong bất đẳng thức AM-GM
Một số bài toán dưới đây thể hiện bản chất Toán học của ngôn ngữ như kĩ thuật với tên gọi “điểm rơi” trong bất đẳng thức Nó thể hiện sự tự nhiên tùy ý khi tạo ra “điểm rơi” cho cac biến số trước rồi mới dựng ra các bất đẳng thức sau Để khác với phần trước ,ta sẽ minh họa cho ý
Trang 31tưởng này với “điểm rơi” của các biến số không bằng nhau Như vậy bắt buộc ta phải dự đoán được “ điểm rơi” trước khi chứng minh bất đẳng thức
2
0 , ,
z y x
z y x
2
9 3
9 3 4
1 2
1 4
4
324
1203
Bài 2: Cho x,y,z 0 Chứng minh:
84 1
1 1 36 9
2 3
y x S
Trang 32Giải:
Dự đoán S=84 đạt tại điểm: x1;y2;z 3
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
84 28 11 45 1 1 1 36 9
2 3
30
28
9 3 27 4
11 36 27
2 4 3
45 4 4 2 9
7 3 27 7 3 3 3 27
11
6 27
4 11
6 6 27
2 2 4 1
2
3 2
3
3 2 2
7
3 3 3 3
5
2 3 3 2 3
2
5
2 2 2 2
z y
x
xy x z
yz
z y
xy
y x
zx x z zx
x z
yz
z y yz
z
y
xy
y x xy
y x
;12
0,,
yz xz
z y x
Chứng minh rằng:
2
1218
111
yz xy z
y x S
2
3 3 24 4 2 3
3
12 3
4 3 12 3 4
3
8 4
2 3 8 4 2
3 6 2
3 3 6 2 3
3 3 3 3
xyz
z y x xyz
z y x
zx
x z zx
x z
yz
z y yz
z y
xy
y x xy
y x
Trang 33 6 32 84 24 403
211234.7
128
42.4
3623.1
zx
x z
yz
z y
xy
y x
1 26 3 1 78 1 26 3
zx yz
S
2
1213
0,,
z y x
z y x
Chứng minh rằng: x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 12
Trang 341.2.11: Phương pháp cân bằng hệ số
Trong các phần trước, các bất đẳng thức được đề cập đến có thể
dự đoán được điểm rơi một cách trưc giác (dù đối xứng hay không đối xứng) Tuy nhiên với các bất đẳng thức mà điểm rơi không là các số nguyên dương thậm chí là các số vô tỷ thì không thể dự đoán được bằng trực giác Khi đó chúng ta cần phải đưa thêm các tham số giả định rồi mới sử dụng bất đẳng thức AM-GM Việc xác lập điều kiện các đẳng thức xảy ra sẽ dẫn đến hệ điều kiện để tìm tham số Vì thế phương pháp này có tên gọi “ Phương pháp cân bằng hệ số”
13 2
1 9 2
1 13 9
13
2
9 1 9 2
1
9 1
9 9
2
13 1
13 2
1
13 1
.
13 13
2 2
2 4
2 4
2
2 2 2
2 2 2
2 2 4
2
2 2 2
2 2 2
2 2 4
x x
x S
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
2
2 2
x x
10
2
19
2
113
11
2 2
2 2
Trang 35Vậy MaxS=16
Bài 2: Cho x,y,z0;x yz3
a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x3 y3z3
b Tìm giá trị của biểu thức T xy 2 xz yz
2
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
2436
3
248
S z
y x
z y
262
2
23
;2
;63
2 2
2 3
z x
2
1 2 4
1080 1
2 4
216 1 2 4 2 1 2 4
72 9 1
2 4 2 3
x
y x
22
1
2
12
Trang 3611
2
2
3
;23
211
x z
y x
z
x
z y
y x
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho x,y,z 0 thỏa mãn điều kiện: 6x 3y3 2z 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3
111
z y x
0,,
2 2 2
z y x
z y x
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pxyxzyzxyz
1.2.12: Kỹ thuật đánh giá phủ định của phủ định
0 , ,
z y x
z y x
Chứng minh rằng:
2
31
y y
x S
3 2 2 2 3 1
1 1
xyz x
z y
xyz S
Sai lầm thường gặp 2:
2
32
3 2
32
122
y y
x x
z z
y y
x x
z z
y y
Trang 3722
11
22
11
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
zx z x
zx z x
zx z x z
yz y z
yz y z
yz y z y
xy x y
xy x y
xy x y x
1
(1) Mặt khác:
132
2 2 3
2 2 3
2 2
3
t z y x t x
t x
z
z z
y
y y
t z y x y x xy
xy x
y x
xy x y
x
x S
22
2
2
2 2 2 2
2 3
0,,,
t z y
x
t z y x
Trang 38Chứng minh:
21
11
1 2 2 2 2
y x
t x
t
z t
z
y z
y
x S
0,,
z y x
z y x
Chứng minh rằng:
21
11
11
1
2 2
y y
x S
1.2.13: Điều kiện xảy ra đẳng thức qua bốn đẳng thức lượng giác kinh điển
Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng bất đẳng thức sau trong tam giác ABC
2
33sinsin
sin
2
32
sin2
sin2sin
A T
C B
A T
;
2
332
cos2
cos2cos
2
3coscos
A T
C B
A T
sin 2
1 1 cos
cos
2
1
cos
cos sin
sin 1 cos cos
cos cos
cos
2
3 2 sin 2
sin 2
cos 2
cos 2
1 1 2
sin 2
sin
2
1
2 sin 2
sin 2 cos 2 cos 1 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin
2 2
2 2 2
2 2
2 2 1
A B
A
B A B
A B
A C
B A
T
B A B
A B
A
B A B
A B
A C
B A
T
Trang 40
2 2 2 1 2 2
a b
Dấu bằng ở dạng 3 xảy ra 0
2 2
a b
a b a
Hệ quả:
Nếu a1x1a2x2 a n x n c là hằng số thì
n n n
n
a
x a
x a
x a
a a
c x
1
1 2 2
2 2 1
2 2
Trang 41 ; (3): 0
d
b c a
p
c n
b m
b m a
k k k n
i i n
k k n
k k k n
k k n
k
a
1 1
1 2
1 2 2
1 1
2
1
2
Trang 422 1
2 1
1 2
1 2
n n n
i i n
i i
b b
b
a a
a b
b thì
1
1
1 2 1
2 1
2 1
2 1
i n
i i
i n
i i n
i i n
i
i i
b
b a
a b
a b
a
Ta có:
122
12
1
1 2 2 1
2 2 1
1
1 2 1
2 1
1 2 1
i n
i i
i n
i n
i
n i i
i n
i i
i n
i
n i i
i n
a b
b a
a b
b a
i i i n
i
a x
F
1 2 1
2 1
i a
Trang 43 x a a b X b a X b X R
F
n i
i i n
i
i i i
1 1
2 2
2
1 1
2
1 2
1 2
1 2 2
1
.0
i i n
i i n
i i n
i i n
i i
Trang 44;
2 1
2 2
1 2
n
x x x x
x x
a a
a x
a x
1 1
1 1
i i n
i i i n
i i n
i i i n
i
x
a x x
a x
x
a x
Các bài toán sau đây sẽ minh họa cho cho kỹ thuật trên
Bài 1: Cho a,b,c 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a
2
2 2
2
c b a b a
c a c
b c
3
c b a b a
c a c
b c
2 2
c b a b a a c c b
c b a b
a
c a c
b c
b ac ab
a b
a
c a c
b c b
2 2 2
c b a c
b a c
Trang 45Đẳng thức xảy ra abc0
Bài 2: Cho a ,,b c là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng:
c b a
c b
a c
b a
c b
2
3 3
3
c b a c b a
c b
a c
b a
c b
b a
c b a c
b a c
2 2
4 4
c b a c
b a c
c b
a c b
b a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
c b a c b a
c b a c b a a c c b b
a
c b a
b c b
a
22
c a
c
b c
b
a
Chứng minh:
Bổ đề: abc2 3abbcca
Sử dụng bất đẳng thức Buniakowski dạng (1), ta có:
a
cb ca
c ba bc
b ac
ab
a b
a
c a c
2
Trang 46ca bc ab ca
c b
b c
b a
a b
a
c a
c
b c
b
a
22
22
22
2 2
22
2
2 2
ca bc ab ca
bc ab
c b a a
b c a c b c
b
a
c b a
Dấu “=” xảy ra abc0
Bai 4: Cho a,b,c0, thỏa mãn 2 2 2 2
abc ca
2 2 2 3
2 2
c b
bc c
b a
ab
(*) Chứng minh:
Đăt 12; 12; 12
c
z b
0,
,
z y
y y z y
x x
Trang 47Suy ra điều phải chứng minh
Bài 5: Cho a,b,c0 Chứng minh rằng:
abc a
c c c b b b a
31
11
z b y
x
a ; ; Khi đó bất đẳng thức trở thành:
32
y y
z z yz
x x
y y
pc
b qc