1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Điều kiện xảy ra đẳng thức trong bất đẳng thức am gm và bất đẳng thức buniakowski

61 419 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 61
Dung lượng 527,47 KB

Nội dung

Lí do chọn đề tài Như chúng ta đã biết trong toán học thì bất đẳng thức là một chuyên đề khó và rất hấp dẫn đối với học sinh và sinh viên.. Được sự gợi ý, động viên và tận tình giúp đỡ c

Trang 1

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết trong toán học thì bất đẳng thức là một chuyên đề khó và rất hấp dẫn đối với học sinh và sinh viên Nó đòi hỏi cần phải có sự sáng tạo, thông minh, kiên trì song càng đi sâu tìm hiểu

nó thì càng lôi cuốn

Được sự gợi ý, động viên và tận tình giúp đỡ của thầy Phạm Lương Bằng cùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu

và thực hiện bài khóa luận của minh với tựa đề:

“Điều kiện xảy ra đẳng thức trong bất đẳng thức AM-GM & bất đẳng thức BUNIAKOWSKI”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về điều kiện xảy ra đẳng thức trong bất đẳng thức AM-GM & bất đẳng thức BUNIAKOWSKI

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài tập về bất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh và tổng hợp

Trang 2

2 1 2

n

S a a

a1  2   n

 Nếu a1a2 an=P(const) thì Min (a1  a2   an) = n n

P

n xảy ra

a1  a2   ann P

Trang 3

1.1.2: Các trường hợp đặc biệt

Bình luận: Khi chứng minh bất đẳng thức,nói chung ta rất ít gặp các bất đẳng thức có dạng cân đối, đầy đủ như các dạng được phát biểu trong lý thuyết mà thường gặp các bất đẳng thức có một vế phức tạp, một vế rút gọn Cũng giống như khi chứng minh đẳng thức ta phải đánh giá từ vế phức tạp sang vế rút gọn Các dạng 1, 2, 3 đặt ở cạnh nhau có

vẻ tầm thường nhưng việc phân loại chi tiết các dạng 1, 2,3 giúp chúng

ta nhận dạng nhanh và phản ứng linh hoạt hơn khi sử dụng AM-GM Đặc biệt là dạng 3 không chứa căn thức nhắc chúng ta có thể sử dụng AM-GM ngay cả khi không có dấu hiệu căn thức Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho nhận xét này:

Trang 4

GM khi một vế có chứa căn thức” Tuy nhiên, nhờ có dạng 3 mà gợi ý chúng ta có thể sử dụng AM-GM ngay cả khi hai vế đều không chứa căn thức

2 2

a a a n

a a

a

2 1 2

Cách 1: Phương pháp quy nạp thông thường

 Với n=2 Ta cần chứng minh :

2 1 2

1

a a

2 2 1

2 1 2

Trang 5

Đẳng thức xảy ra  a 1 a2

 Giả sử (1) đúng với n 2

Ta phải chứng minh (1) đúng với (n+1) số: a1,a2, ,a n1  0

Sử dụng giả thiết quy nạp cho n số: a1, a2, , an  0 ta có:

a a

1 2

1

n n

n n n

q a

p a a

a

1

1 1

S

n n

n

1 1

n n

a a a a q

p n

q np

2 1

n

a a a n

a a a

a

2 1

a a

a

Theo nguyên lí quy nạp suy ra bất đẳng thức đúng với n  2; n 

Trang 6

Cách 2: Phương pháp “quy nạp cosi”

2

1

1

1 2 1 1

2

1

1

1 2 1

1

1 1

1 2

1

1

1 2 1

1

1 2 1 1 1

1

1 2 1 1 2

1

1

1

.

p

p p

p

p

p

p p

p

p

p p

p

p p

a a a p

a a

a

a a a p

a a

a

a a a p a

a a a

a

a

a a a a

a a a

a p

a a a a

a

a

Trang 7

Theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với

a a

b b a

 Bình luận và lời giải

Ta nhận thấy khi a tăng thì 12

a càng nhỏ, nhưng độ tăng của a rất lớn

so với độ giảm của 12

a nên khi a càng tăng thì tổng S càng lớn và từ đó

dẫn đến dự đoán khi a  thì S nhận giá trị nhỏ nhất 2

Để dễ hiểu và tạo cảm xúc ta sẽ nói rằng: 9

Trang 8

đẳng thức AM-GM trực tiếp được Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất

  tức là, ta có sơ đồ điểm rơi:

2414

11

22

 Nguyên nhân sai lầm:

Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a 2 và inS 9

4

M  là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số:

“Nếu a2 thì

4

22.8

28

2

a là đánh giá sai”

Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao

cho khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM sẽ khử hết biến số a ở mẫu số

 Lời giải đúng:

Biến đổi S và sử dụng bất đẳng thức AM-GM có:

4

98

2.61.8

.8.38

6188

1

3

2 2

a

a a a

a

S

Trang 9

y x

y x

Tìm giá trị nhỏ nhất của

xy xy

121

 Phân tích và tìm lời giải đúng:

Biểu thưc S chứa 2 biến số x, y nhưng nếu đặt txy hoặc t 1

211

2

11

 Bài toán trở thành: Cho t4 Tìm giá trị nhỏ nhất của S 1

t t

Trang 10

17

16

2.15116.216

15116

t

t t t S

15422

16

1516

1.216

1516

11

xy xy

xy

xy xy

xy xy

y x

xy xy

y x y

x

xy xy

y x

xy xy

y x

(vô lý)

 Phân tích và tìm tòi lời giải:

Do S là một biểu thức đối xứng với x, y nên dự đoán MinS đạt tai

0

 y

x

Trang 11

 Sơ đồ điểm rơi:

2 1 2

1 2

2 2

x

x xy

y x y

3

4 2 4

xy xy

y x xy

y x y x

xy xy

y x y x

xy xy

0,,

z y x

z y x

Tìm giá trị nhỏ nhất của S

z y x z y

xyz z

y x z

            trái với giả thiết

 Phân tích và tìm tòi lời giải:

Do S là một biểu thức đối xứng với x,y,z nên dự đoán MinS đạt tại

Trang 12

 Sơ đồ điểm rơi:

4

22

1211

12

1 4

9 3 3

1 4

9 3

1

1

1 3 4

3 4

1 4

1 4

1

6

1 1 1 4

3 4

1 4

1 4

1 1

1 1

y x z

y x xyz

z y x z

y x z y x z y x z y x

0,

y x

y x

Tìm giá trị nhỏ nhất S

y

y x

HD: Biến đổi biểu thức S về dạng:

0,,

c b a

c b a

Tìm MinS a2 1  b2  1  c2  1

Trang 13

HD: Dự đoán MinS đạt tại 1

Làm tương tự như bài tập mẫu trên

1.1.2: Điểm rơi trong đánh giá từ GM sang AM

Nhận xét: Xét bất đẳng thức AM-GM

n

n n

a a a n

a a

a

2 1 2

ta phải dự đoán được dấu bằng của bất đẳng thức nên kỹ thuật này có tên gọi điểm rơi trong đánh giá từ GM sang AM

0,,

z y x

z y x

Tìm giá trị lớn nhất của S3 xy 3 yz 3 zx

Phân tích và tìm lời giải:

Trang 14

8 3

6 2

3

1 1 1

1

3

1 1 1

1

3

1 1 1

1

3 3

3

3 3

3 3

3 3

x z x

z x z

z y z

y z y

y x y

x y x

 Nguyên nhân sai lầm:

8

z y x x

z

z y

y x

vô lý

 Dự đoán và tìm điểm rơi của MaxS

Vì S là một biểu thức đối xứng với x,y,z nên MaxS đạt tại điều kiện:

3

23

y x z

y x

z y x

9 3

4 2

4 9

3

3

2 3

2

4

9 3

2 3

2

4 9

3

3

2 3

2

4

9 3

2 3

2

4 9

3

3

2 3

2

4

9 3

2 3

2

4 9

3 3

3 3

3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

3 3

z z y y x

S

x z x

z x

z

z y z

y z

y

y x y

x y

x

Trang 15

Với ; 318

3

13

0,,

2 2 2

z y x

z y x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S x.3 y2z2 y z3 2 x2 z x3 2 y2

Phân tích và tìm lời giải:

 Dự đoán và tìm điểm rơi của MaxS:

Vì S là một biểu thức đối xứng với x,y,z nên MaxS đạt tại điều kiện

2410

0,,

z y x

z y x

Trang 16

0 , ,

z y x

z y x

xy zx

y

zx yz

x

yz S

0 , ,

z y

x

z y

x

Chứng minh rằng:

2  2  2  1

3 3

x z

y x

z y x

3

z y x z y x

z y

x z

y x

z y

Trang 17

2

9

3 3

3

3 3

z y

x z

y x

z y

x

z y x z y x z

y x

z y

x z

y x

z y

0,,

zx yz xy

z y x

Chứng minh rằng:

91

11

9 2 9

x z y

z y x

y x

x z z

z y y

y x

x z

x z y

z y x

y x

z z

y y x

x z z

zx x z y z

y y

yz z y x y

x x

xy y x

z

Trang 18

Ta có:

2

153 34

3

4

.4

44

y y

x x

z

x z y

z y x

y x

x z z

z y

z y y

y x x

z

x z y

z y x

y x

x z z

z y y

0,,

zx yz xy

z y x

Chứng minh rằng: S

2

31

y x

21

0,,

z y x

z y x

Chứng minh rằng: S

           

3 4

Trang 19

y x

y x

2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

2

2 2 2

2 4 4 2

2 2

2 4

4 2

2 4

4

2

12

11

22

11

22

12

11

2

2

32

22

32

11

21

y x xy

y x y

x xy

y x

y x xy

y x y

x xy

y

x

y x y

x y x y

x y

x y

x y

x y

2 2

1 32

2

1 2

4

2 2

x y

x xy xy

Trang 20

0 , ,

z y x

z y x

1 1 1

3 3

1

2

2 2

2 2

z y x z y x

Trang 21

y x x

y y

x

x,y 0

HD: Xét hai bất đẳng thức ngược chiều:

Trang 22

2 2

2 2

2

4 4

x

zx yz

xy z

y x

z y

a a

1

111

2 1

2

3 2 1

Trang 23

n n

n

n n

a a

a

n a

a a

n a

a

1

1

1

2 1

2 2

1 2

1 2

c b a

111

c b

d c b a

1111

d c b

y x

11

1.2111

z z y y x

x z z y y x VT

1 1

1 2 4 4

4 2 1

1 1 1 1 1 1 2 1

Trang 24

0 ,

y x

y x

Chứng minh rằng: 2 1 2  1  6

xy y x S

4

2

1 2

4 2

1 2

1 1

1 1

2 2

2

2 2 2

2 2

xy xy y

x xy xy y

x xy y x

x z z x

z y y z

y t t y

t x S

2 2

z y x y x z

zx x

z y

yz z

y x

Trang 25

Giải:

Bổ đề: Sử dụng hằng đẳng thức và đánh giá sau:

ab b

a

ab b

a b a

2

2

2 2

2 2 2

y y

x

zx x z yz z y xy y x

x z z

y y

x S

1 2 1

2 2

2 2

1

2 2 2

2 2

2 2 1

2 2

2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2

Bài 2: Chứng minh rằng:

23

3 3 3

a ab b a

b a ab b

a b a

y y

x

x z zx x z z y yz z y y x xy y x

x z x z z y z y y

x y x

1

4

1

33

34

1

33

34

1

Đẳng thức xảy ra  xyz  0

Trang 26

2

1

2

1

2

1

21

.2

2

1

1

1

1

21

1 1

1 1

n n

n

n n

b b

a

a T

b a b

a

b a b

1 2

1 1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1 1

b a n n n b a

b b

a

a n

n n

y y

x S

22

1

22

22

1

1 1

1 1

1 1

x z z y y x Min

z y x

z

y z

y x

x z z y y x Min

z y x

z

y z

y x

Trang 27

Bài 3: Cho x,y,z là độ dài ba cạnh của một tam giác

x z

y x

z y x

1.2.8: Sử dụng AM-GM trong bất đẳng thức không đồng bậc trên

R

Bài 1: Cho các số x,y,z 0 Chứng minh rằng:

xyz z

xy y

zx x

yz z

y x y x

z x

z

y z

2

7 2

2

7

1

y x

z x z

y y z

x z

y x

z x

z

y y z x

z

xy z y x x z

y y z

x z

y x x z

y y z x

y

zx z y x z y

x x y

z z

y x z y

x x y z

x

yz z y x y x

z x z

y z

y x y x

z x z y

3

2 2 2 7 2 2 7 2 2 7 2

2 2 7 2

2 7 2 2 7

2 3

2 2 2 2 2 7 2 2 7 2

2 2 2 2 7 2 2 7

2 3

2 2 2 2 2 7 2 2 7 2

2 2 2 2 7 2 2 7

2 3

2 2 2 2 2 7 2 2 7 2

2 2 2 2 7 2 2 7

3

1

1 1

31

1 1

3

1

1 1

31

Cộng vế với vế của hai hệ trên ta được:

xyz z

xy y

zx x

yz z

y x y x

z x

z

y z

2

7 2

9 9

2

2

z y x yz xy

z zx

y yz

Trang 28

yz

x

z xyz

xy

z

y xyz

zx

y

x xyz

yz

x

3 3

3 2

2

2 2

3 5 5 5 5

5 5 5

5 5 9

9

9

5 9

5 9

5 9

2

23

3

3 3 5

xyz xyz z

y x

với t 3 xyz

0 2 4 6 6 6 6 3 1

3

2 3 4 5 6 2

luôn đúng Dấu bằng xảy ra  xyz 1

0 , ,

z y x

z y x

Chứng minh rằng: 2xyyzzx 1  1  1  9

Trang 29

y x

z y x

3

0 , ,

Chứng minh rằng: 13  13  13  3

z y

Giải:

Từ   3  1  1  1 3

zx yz xy xyz z

y

x

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

9111

3

1111111113111

x z z

y y

x z

y x

0 ,

,

xyz

z y x

Trang 30

z x z

y z y

x z

z

x

z y z y yz z

y

z

y x y x xy y

x

3 3

3 3

3 3

z xy

z y

x

z y

z x z

x z

y zx

y x

z

y x

y z y

z y

x yz

x z

y

x z

x y x

42

11

42

11

42

11

z y z

y x y

x z x

z y z

y x z

3

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Cho x,y,z0 thỏa mãn: xyz 3

Chứng minh rằng: 1x2 2xy  1 y2 2zx  1 z2 2xy 6

1.2.10: Điểm rơi không đối xứng trong bất đẳng thức AM-GM

Một số bài toán dưới đây thể hiện bản chất Toán học của ngôn ngữ như kĩ thuật với tên gọi “điểm rơi” trong bất đẳng thức Nó thể hiện sự tự nhiên tùy ý khi tạo ra “điểm rơi” cho cac biến số trước rồi mới dựng ra các bất đẳng thức sau Để khác với phần trước ,ta sẽ minh họa cho ý

Trang 31

tưởng này với “điểm rơi” của các biến số không bằng nhau Như vậy bắt buộc ta phải dự đoán được “ điểm rơi” trước khi chứng minh bất đẳng thức

2

0 , ,

z y x

z y x

2

9 3

9 3 4

1 2

1 4

4

324

1203

Bài 2: Cho x,y,z  0 Chứng minh:

84 1

1 1 36 9

2 3

y x S

Trang 32

Giải:

Dự đoán S=84 đạt tại điểm: x1;y2;z 3

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

84 28 11 45 1 1 1 36 9

2 3

30

28

9 3 27 4

11 36 27

2 4 3

45 4 4 2 9

7 3 27 7 3 3 3 27

11

6 27

4 11

6 6 27

2 2 4 1

2

3 2

3

3 2 2

7

3 3 3 3

5

2 3 3 2 3

2

5

2 2 2 2

z y

x

xy x z

yz

z y

xy

y x

zx x z zx

x z

yz

z y yz

z

y

xy

y x xy

y x

;12

0,,

yz xz

z y x

Chứng minh rằng:  

2

1218

111

yz xy z

y x S

2

3 3 24 4 2 3

3

12 3

4 3 12 3 4

3

8 4

2 3 8 4 2

3 6 2

3 3 6 2 3

3 3 3 3

xyz

z y x xyz

z y x

zx

x z zx

x z

yz

z y yz

z y

xy

y x xy

y x

Trang 33

  6 32 84 24 403

211234.7

128

42.4

3623.1

zx

x z

yz

z y

xy

y x

1 26 3 1 78 1 26 3

zx yz

S

2

1213

0,,

z y x

z y x

Chứng minh rằng:  x2 xyy2 y2 yzz2 z2 zxx2  12

Trang 34

1.2.11: Phương pháp cân bằng hệ số

Trong các phần trước, các bất đẳng thức được đề cập đến có thể

dự đoán được điểm rơi một cách trưc giác (dù đối xứng hay không đối xứng) Tuy nhiên với các bất đẳng thức mà điểm rơi không là các số nguyên dương thậm chí là các số vô tỷ thì không thể dự đoán được bằng trực giác Khi đó chúng ta cần phải đưa thêm các tham số giả định rồi mới sử dụng bất đẳng thức AM-GM Việc xác lập điều kiện các đẳng thức xảy ra sẽ dẫn đến hệ điều kiện để tìm tham số Vì thế phương pháp này có tên gọi “ Phương pháp cân bằng hệ số”

13 2

1 9 2

1 13 9

13

2

9 1 9 2

1

9 1

9 9

2

13 1

13 2

1

13 1

.

13 13

2 2

2 4

2 4

2

2 2 2

2 2 2

2 2 4

2

2 2 2

2 2 2

2 2 4

x x

x S

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

2

2 2

x x

10

2

19

2

113

11

2 2

2 2

Trang 35

Vậy MaxS=16

Bài 2: Cho x,y,z0;xyz3

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Sx3 y3z3

b Tìm giá trị của biểu thức Txy 2 xzyz

2

3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3

2436

3

248

S z

y x

z y

262

2

23

;2

;63

2 2

2 3

z x

2

1 2 4

1080 1

2 4

216 1 2 4 2 1 2 4

72 9 1

2 4 2 3

x

y x

22

1

2

12

Trang 36

11

2

2

3

;23

211

x z

y x

z

x

z y

y x

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Cho x,y,z 0 thỏa mãn điều kiện: 6x 3y3 2z 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3

111

z y x

0,,

2 2 2

z y x

z y x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pxyxzyzxyz

1.2.12: Kỹ thuật đánh giá phủ định của phủ định

0 , ,

z y x

z y x

Chứng minh rằng:

2

31

y y

x S

3 2 2 2 3 1

1 1

xyz x

z y

xyz S

Sai lầm thường gặp 2:

2

32

3 2

32

122

y y

x x

z z

y y

x x

z z

y y

Trang 37

22

11

22

11

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

zx z x

zx z x

zx z x z

yz y z

yz y z

yz y z y

xy x y

xy x y

xy x y x

1

(1) Mặt khác:

132

2 2 3

2 2 3

2 2

3

t z y x t x

t x

z

z z

y

y y

t z y x y x xy

xy x

y x

xy x y

x

x S

22

2

2

2 2 2 2

2 3

0,,,

t z y

x

t z y x

Trang 38

Chứng minh:

21

11

1 2   2   2   2 

y x

t x

t

z t

z

y z

y

x S

0,,

z y x

z y x

Chứng minh rằng:

21

11

11

1

2 2

y y

x S

1.2.13: Điều kiện xảy ra đẳng thức qua bốn đẳng thức lượng giác kinh điển

Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng bất đẳng thức sau trong tam giác ABC

2

33sinsin

sin

2

32

sin2

sin2sin

A T

C B

A T

;

2

332

cos2

cos2cos

2

3coscos

A T

C B

A T

sin 2

1 1 cos

cos

2

1

cos

cos sin

sin 1 cos cos

cos cos

cos

2

3 2 sin 2

sin 2

cos 2

cos 2

1 1 2

sin 2

sin

2

1

2 sin 2

sin 2 cos 2 cos 1 2

sin 2

sin 2

sin 2

sin 2

sin

2 2

2 2 2

2 2

2 2 1

A B

A

B A B

A B

A C

B A

T

B A B

A B

A

B A B

A B

A C

B A

T

Trang 40

2 2 2 1 2 2

a b

 Dấu bằng ở dạng 3 xảy ra 0

2 2

a b

a b a

 Hệ quả:

 Nếu a1x1a2x2  a n x nc là hằng số thì

n n n

n

a

x a

x a

x a

a a

c x

1

1 2 2

2 2 1

2 2

Trang 41

 ; (3):  0

d

b c a

p

c n

b m

b m a

k k k n

i i n

k k n

k k k n

k k n

k

a

1 1

1 2

1 2 2

1 1

2

1

2

Trang 42

2 1

2 1

1 2

1 2

n n n

i i n

i i

b b

b

a a

a b

b thì

1

1

1 2 1

2 1

2 1

2 1

i n

i i

i n

i i n

i i n

i

i i

b

b a

a b

a b

a

Ta có:

122

12

1

1 2 2 1

2 2 1

1

1 2 1

2 1

1 2 1

i n

i i

i n

i n

i

n i i

i n

i i

i n

i

n i i

i n

a b

b a

a b

b a

i i i n

i

a x

F

1 2 1

2 1

i a

Trang 43

 xa a b X b  a X bX R

F

n i

i i n

i

i i i

1 1

2 2

2

1 1

2

1 2

1 2

1 2 2

1

.0

i i n

i i n

i i n

i i n

i i

Trang 44

;

2 1

2 2

1 2

n

x x x x

x x

a a

a x

a x

1 1

1 1

i i n

i i i n

i i n

i i i n

i

x

a x x

a x

x

a x

Các bài toán sau đây sẽ minh họa cho cho kỹ thuật trên

Bài 1: Cho a,b,c 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a

2

2 2

2

c b a b a

c a c

b c

3

c b a b a

c a c

b c

2 2

c b a b a a c c b

c b a b

a

c a c

b c

b ac ab

a b

a

c a c

b c b

2 2 2

c b a c

b a c

Trang 45

Đẳng thức xảy ra abc0

Bài 2: Cho a ,,b c là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng:

c b a

c b

a c

b a

c b

2

3 3

3

c b a c b a

c b

a c

b a

c b

b a

c b a c

b a c

2 2

4 4

c b a c

b a c

c b

a c b

b a

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

c b a c b a

c b a c b a a c c b b

a

c b a

b c b

a

22

c a

c

b c

b

a

Chứng minh:

Bổ đề: abc2 3abbcca

Sử dụng bất đẳng thức Buniakowski dạng (1), ta có:

a

cb ca

c ba bc

b ac

ab

a b

a

c a c

2

Trang 46

ca bc ab ca

c b

b c

b a

a b

a

c a

c

b c

b

a

22

22

22

2 2

22

2

2 2

ca bc ab ca

bc ab

c b a a

b c a c b c

b

a

c b a

Dấu “=” xảy ra abc0

Bai 4: Cho a,b,c0, thỏa mãn  2  2  2  2

abc ca

2 2 2 3

2 2

c b

bc c

b a

ab

(*) Chứng minh:

Đăt 12; 12; 12

c

z b

0,

,

z y

y y z y

x x

Trang 47

Suy ra điều phải chứng minh

Bài 5: Cho a,b,c0 Chứng minh rằng:

abc a

c c c b b b a

31

11

z b y

x

a  ;  ;  Khi đó bất đẳng thức trở thành:

32

y y

z z yz

x x

y y

pc

b qc

Ngày đăng: 31/10/2015, 21:59

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w