Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức cauchy - schwarz

Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đại số.. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đại số.. Từ các hằng đẳng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mục lục Lời cảm ơn Error! Bookmark not defined.

Mục lục i

Mở đầu 1

Phần 1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế 3

1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 3

1.2 Bất đẳng thức AM-GM 5

1.3 Một số bài toán trong các đề thi quốc gia, quốc tế 8

Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 25

Bài 1: Dạng hằng đẳng thức thứ nhất 25

1.1 Các định lý 25

1.2 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đại số 30

1.3 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong lượng giác 45

Bài 2 Dạng hằng đẳng thức thứ 2 57

2.1 Các định lý 57

2.2 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đại số 63

2.3 Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong lượng giác 65

Bài 3 Một số ví dụ mở rộng 72

Kết luận 75

Tài liệu tham khảo 76

Mở đầu

Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học Ngay từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải tìm tòi, sáng tạo Bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác và trong thực tế Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế Một trong những bất đẳng thức cổ điển quan trọng là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các ứng dụng của nó Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz từ khi ra đời đến nay đã luôn được các nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu và phát triển

Chúng ta đã gặp nhiều sự kết hợp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với các bất đẳng thức khác hoặc trong hình học Trong luận văn này, tác giả xin trình bày

một hướng tiếp cận mới của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng hằng đẳng

thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” Từ các hằng đẳng thức quen thuộc, khi

kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta sẽ thu được nhiều dạng bất đẳng thức mới và lạ Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức có ứng dụng trong đại

số hoặc lượng giác

Luận văn gồm 2 phần:

Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Trong phần 2, tác giả đã phân chia thành ba bài

Bài 1: Từ dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức Schwarz để được các kết quả mới và các áp dụng của nó trong đại số và lượng giác

Bài 2: Từ dạng hằng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức Schwarz để được các kết quả mới và một số áp dụng của nó trong đại số và lượng giác

Cauchy-Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một

số mở rộng

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn

Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm2011

Học viên

Trần thị Minh Ngọc

Phần 1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi

quốc gia, quốc tế

x y AB







1 2

1 2

1 1

Nếu n = 1, n = 2 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với n   k 2, ta chứng minh bất đẳng thức đúng với

 1

1 1

1

1

k k

i k i

k

k a a S

a k

Cho x x1, 2, , xn1 là những số thực không âm với x1   x2 xn  xn1 Chứng

n

n n i n i

Cho số nguyên dương n  2 và x y x y1, ,1 2, 2, , x yn, n là các số thực thỏa mãn

Từ giả thiết ab bc   ca  3 abc  1 1 1 3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số x, y, z bằng 0

Bây giờ biểu thức vế phải bằng 2 B D   Bởi vậy ta phải chứng minh

2C8D B D hoặc B  2 B2  3 D  0

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có A B  , vì vậy B  1 2  B   BA Vậy

ta cần chứng minh B2  3 D    C D 0 Nhưng C  xyyz  yzzx  zxxy  D có thể thu được từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

x b

x b

Bài 12 (Czech and Slovak Republics, 2004)

Cho P x ( )  ax2  bx  c là đa thức bậc 2 với các hệ số không âm Chứng minh rằng với  x 0 ta luôn có: 1 2

Bài 15 (Romania JBMO Team Selection Test 2007)

Giả sử a b c , , là các số thực dương thỏa mãn:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a  b c 1

Bài 16 (USA Mathematical Olympiad 1997)

Chứng minh rằng với mọi số dương a b c , , ta có:

Bài 17 (Japanese Mathematical Olympiad 2004)

Giả sử a b c , , là các số thực dương sao cho a b c    1 Chứng minh rằng:

Do 1 2

1 1

c b c abc b c bca c a cab a b abc a b c

Vì vậy bài toán đã được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b c

Bài 18 (Singapore IMO Team Selection Test 2003)

Cho các số thực dương a b c , , Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Bài 19 (Chinese IMO Team Selection Test 2006)

Không mất tính tổng quát, giả sử z  min  x y z , ,  Ta có:

đúng do x   y 2 z Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

x    y z

Bài 20 (Walther Janous, IMO 2008)

Cho các số thực x y z , ,  1 thỏa mãn xyz  1 Chứng minh rằng:

Bài 21 (Vasile Cirtoaje, Chinese IMO Team Selection Test 2005)

Cho các số thực dương x y z t , , , thỏa mãn xyzt  1 Chứng minh rằng:

Bài 22 (Japanese Mathematical Olympiad 1997)

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c , , ta đều có:

Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz Bài 1: Dạng hằng đẳng thức thứ nhất

Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.1 Cho a b c x y z , , , , , là những số thực dương tùy ý Khi đó ta luôn có

Cộng từng vế bốn đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.2 Cho a, b, c, d, x, y, z, t là các số thực dương tùy ý Khi đó ta luôn có

2 2 2

Thay vào (a) ta có

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.4 Cho a b c x y z , , , , , là những số thực dương Khi đó ta có

Bài 1 Cho a b c , , là những số thực dương Chứng minh rằng:

Chứng minh

Áp dụng Định lý 1.1 với 1

x a

 , 1

y b

 , 1

z c

 ta có điều phải chứng minh

Bài 2 Cho a b , là những số thực dương Chứng minh rằng

Bài 3 Cho x y z, , là các số thực dương Chứng minh rằng

Áp dụng bài 5 với y  z, ta có điều phải chứng minh

Bài 7 Cho a b c , , là những số thực dương và x    y z 1 Chứng minh rằng

y y

z z

Áp dụng bài 13 với a b c         d x y z t 1 ta có điều phải chứng minh

Bài 16 Cho a b c d x y z t , , , , , , ,  0 và a b c        d x y z t Chứng minh rằng:

Mà theo giả thiết thì: a b c        d x y z t, nên ta có điều phải chứng minh

Bài 17 Cho xi    0, i 1 n Chứng minh rằng:

Áp dụng bài 20 với a  z b ;  x c ;  y Ta có điều phải chứng minh

Bài 23 Chứng minh rằng:  x y z , ,  0 ta luôn có:

Trong phần này, ta luôn giả sử tam giác ABC có:

 m m ma; b; c lần lượt là độ dài đường trung tuyến kẻ từ A; B; C

 h h ha; b; c lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A; B; C

Bài 1 Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và độ dài 3 trung tuyến tương

Thay vào bất đẳng thức (1) ta được điều phải chứng minh

Bài 2 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng

 2 2 2 2 2 2 2   

6 3

Mà a h a  b h b  c hc  2 S, từ đó có điều phải chứng minh

Bài 3 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài 4 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng

.cos cos cos

Bài 5 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng

b

y h

c

z h

Áp dụng bất đẳng thức (1.2) với a  sin ; A b  sin ; B c  sin C

x  cos ; A y  cos ; B z  cos C

Ta có

cos A  cos B  cos C   1 2cos cos cos A B C

sin sin sin 4cos cos cos

sin Asin Bsin C cos Acos Bcos C

  2  2cos cos cos A B C  1 2cos cos cos  A B C 

y h

z h

b

b

h  S

2

14

cot cot cot

Định lý 2.1 Cho x y z , ,  0 Khi đó ta luôn có:

Áp dụng Định lý 2.1 với x    y z 1 ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.2: Cho x y z , ,  0 Khi đó ta luôn có:

Vậy ( x  y y )(  z z t t )(  )(      x ) ( x y z t xyz )(  yzt  ztx txy  )

Bổ đề 2.3: Cho 4 số thực dương x y z t , , , Chứng minh rằng:

Thay kết quả này vào bất phương trình đầu tiên ta có:

3 3

Hệ quả 2.3: cho x y z t , , ,  0 và xyzt  1 Chứng minh rằng:

Cauchy-Schwarz trong đại số

Bài 1 Cho a b c , , không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:

ta có điều phải chứng minh

Bài 2 Cho a b c d , , ,  0 Chứng minh rằng:

Áp dụng Định lý 2.3 với: x  a y3;  b z3;  c t3;  d3 Ta có điều phải chứng minh

Bài 3 Cho a b c d , , ,  0 Chứng minh rằng:

Cộng từng vế bốn bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a   b c d 1

Bài 4 Cho x y z , ,  0 và xyz  yzt  ztx txy   1 Chứng minh rằng:

Áp dụng Bổ đề 2.3 với xyz  yzt  ztx txy   1, ta có điều phải chứng minh

Bài 5 Cho x  0 Chứng minh rằng:

Bài 1 Cho  ABC Chứng minh rằng:

S

p a b c

  (1)

Thay (3) vào (*) ta có điều phải chứng minh

Bài 3 Cho  ABC Chứng minh rằng:

    

2 2

2 2

1414

Nhận xét: Bài toán này là trường hợp tổng quát cho bài toán bất đẳng thức trong

đề thi IMO - IRAN 1998 Từ bài toán này, áp dụng dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có bài toán rất hay sau

giả hy vọng rằng qua ba bất đẳng thức ở trên, độc giả sẽ tiếp tục xây dựng được các bất đẳng thức hay hơn nữa

Kết luận

Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:

1 Luận văn đã nêu ra và chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM – GM và một số bất đẳng thức trong các đề thi toán quốc tế sử dụng các bất đẳng thức trên

2 Luận văn đã chứng minh một số hằng đẳng thức và kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để xây dựng các lớp bất đẳng thức mới

3 Từ đó vận dụng các bất đẳng thức vừa xây dựng ở trên để chứng minh một

số bất đẳng thức trong đại số và lượng giác

4 Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi toán quốc tế tại IRAN năm 1998 và một số mở rộng của bất đẳng thức này

Từ kết quả của luận văn này, ta thấy rằng với mỗi hằng đẳng thức khi kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể cho ta một lớp các bất đẳng thức khác rất hay và lạ Tác giả hy vọng rằng với ý tưởng ở trên sẽ giúp cho độc giả xây dựng được nhiều bất đẳng thức khác làm phong phú thêm các bài toán bất đẳng thức vốn đã rất đa dạng

Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các đồng nghiệp để

đề tài này tiếp tục được hoàn thiện

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2011

Tài liệu tham khảo Tiếng việt

1 Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2010), “Sử dụng phương pháp

Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức”, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội

2 Nguyễn Văn Hiến (2000), “Bất đẳng thức trong tam giác”, NXB Hải Phòng, Hải

Phòng

3 Phạm Kim Hùng (2007), “Sáng tạo bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội

4 Phan Huy Khải (1997), “500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức”, NXB Hà Nội,

Hà Nội

5 Phan Huy Khải (2001), “10.000 bài toán sơ cấp”, NXB Hà Nội, Hà Nội

6 Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các bài giảng về

bất đẳng thức Bunhiacopxki”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội

7 Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008),

“Các bài giảng về bất đẳng thức Côsi”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà

Nội

8 Nguyễn Thượng Võ (2000), “Tuyển tập 300 bài toán chọn lọc về hệ thức lượng

trong tam giác”, NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh

9 Tủ sách toán học và tuổi trẻ (2007), “Các bài thi Olympic toán”, NXB Giáo Dục,

Hà Nội

Tiếng Anh

1 IMO Shorlist, 1990 – 2004

2 Jose A.G.O., Radmila E, Mircea B (1997), “Inequalities A Mathematical

Olympiad Approach”, Basel – Boston – Berlin, Germany

3 Mihai B., Bogdan E., Mircae B (1997), “The Romanian Society of

Mathematical Sciences”, “Romanian Mathematical Competitions”, Romania