Luận văn thạc sĩ dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức cauchy schwarz

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Trần thị Minh Ngọc DẠNG HẰNG ĐẲNG THỨC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ Luận văn thạc sĩ khoa học Hà Nội, tháng 12/2011 i z Mục lục Lời cảm ơn Error! Bookmark not defined Mục lục i Mở đầu .1 Phần Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đề thi quốc gia, quốc tế 1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.2 Bất đẳng thức AM-GM .5 1.3 Một số toán đề thi quốc gia, quốc tế Phần 2: Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 25 Bài 1: Dạng đẳng thức thứ .25 1.1 Các định lý 25 1.2 Áp dụng dạng đẳng thức thứ bất đẳng thức CauchySchwarz đại số 30 1.3 Áp dụng dạng đẳng thức thứ bất đẳng thức CauchySchwarz lượng giác 45 Bài Dạng đẳng thức thứ .57 2.1 Các định lý 57 2.2 Áp dụng dạng đẳng thức thứ hai bất đẳng thức CauchySchwarz đại số 63 2.3 Áp dụng dạng đẳng thức thứ hai bất đẳng thức CauchySchwarz lượng giác 65 Bài Một số ví dụ mở rộng .72 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 i z Mở đầu Bất đẳng thức nội dung lâu đời quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển bất đẳng thức đặt dấu ấn quan trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ người u tốn, khơng vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến ln thơi thúc người làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bất đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng môn khoa học khác thực tế Ngày nay, bất đẳng thức chiếm vai trò quan trọng thường xuất kì thi quốc gia, quốc tế Một bất đẳng thức cổ điển quan trọng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz từ đời đến ln nhà tốn học lỗi lạc nghiên cứu phát triển Chúng ta gặp nhiều kết hợp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với bất đẳng thức khác hình học Trong luận văn này, tác giả xin trình bày hướng tiếp cận bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” Từ đẳng thức quen thuộc, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu nhiều dạng bất đẳng thức lạ Từ đó, ta xây dựng nhiều bất đẳng thức có ứng dụng đại số lượng giác Luận văn gồm phần: Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đề thi quốc gia, quốc tế Phần 2: Dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Trong phần 2, tác giả phân chia thành ba Bài 1: Từ dạng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức CauchySchwarz để kết áp dụng đại số lượng giác Bài 2: Từ dạng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức CauchySchwarz để kết số áp dụng đại số lượng giác z Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức đề thi IMO IRAN năm 1998 số mở rộng Tuy có nhiều cố gắng thời gian trình độ cịn hạn chế nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận bảo thầy cô bạn Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm2011 Học viên Trần thị Minh Ngọc z Phần Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đề thi quốc gia, quốc tế 1.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với  R, bi  R (i  1, n) , chứng minh  n   n  n    aibi       bi   i 1   i 1  i 1  Chứng minh Cách (Sử dụng đẳng thức Lagrange) Từ đẳng thức  n  n   n  a b  a b    i i i i        (aib j  a jbi )  i 1  i 1   i 1  1i j n  n   n  n  Suy   aibi     ai2   bi2   i 1   i 1  i 1  Đẳng thức xảy a1 a2 a    n b1 b2 bn Cách (Sử dụng tính chất hàm bậc 2) Xét hàm số n n  n  n f  x   x  ai2  x   aibi    bi2    x  bi  i 1 i 1  i 1  i 1 Ta có f  x   với giá trị x z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 n Nếu a i 1 i   =0 i  1, n bất đẳng thức hiển nhiên n Áp dụng tính chất hàm bậc a i i 1  suy  n   n  n   '    aibi     ai2   bi2    i 1   i 1  i 1   n   n  n     aibi       bi   i 1   i 1  i 1  Đẳng thức xảy a1 a2 a    n b1 b2 bn Cách (Áp dụng bất đẳng thức trung bình) Ta có xk  yk2   xk yk k  1, n  Cộng tất bất đẳng thức ta thu n n 2 x  y  xk yk  k k   k 1 k 1 Kí hiệu A  n  ak2 , B  k 1 Chọn xk  n b k 1 ak b , yk  k ta có A B k n n k 1 k 1  xk2   yk2  n Và thu xk yk 1 AB k 1  37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66  n   n  n     ak bk   A2 B    ak2   bk2   k 1   k 1  k 1  Đẳng thức xảy xk  yk  ak A k  bk B 1.2 Bất đẳng thức AM-GM Trong luận văn này, ta hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân) sau: Với a1 , a2 , , an số thực không âm, ta ln có: 1 n  n n a    i   n i 1 i 1  n Ở ta ký hiệu a i 1 i  a1.a2 an Chứng minh Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM, cách chứng minh quen thuộc sau: Cách 1: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức với n số khơng âm với 2n số không âm 2n 1 n n  a  a  ani     i i  2n i 1  n i 1 n i 1  1 2n  n n  n n          n  2n i 1  i 1   i 1  37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 1 2n  2n  2n       2n i 1  i 1  Từ suy bất đẳng thức với n  2k Bất đẳng thức AM – GM chứng minh chứng minh khẳng định sau đây: Nếu bất đẳng thức với n  k với n  k  1 k 1  k 1  k 1 a    i   k  i 1 i 1  Thật vậy: 1  k 1  k 1  k 1  k 1        k    i 1  i 1   i 1  k 1 Áp dụng giả thiết quy nạp suy ra:  k 1  a   i    i 1  i 1  k 1 k 1  k 1  k 1   k       i 1  i 1   1 k 1      k 1  k 1  k 1  k 1        k    i 1  i 1   i 1  k 1 k (đpcm) Cách 2: Nếu n = 1, n = hiển nhiên bất đẳng thức Giả sử bất đẳng thức với n  k  , ta chứng minh bất đẳng thức với n  k  1 k  i1  ak 1 k Sk 1    k  i 1 k 1 k 1 Ta có: k Theo giả thiết quy nạp ta thu được: 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Sk 1  k  a  k k i 1 i  ak 1 k 1 Để chứng minh bất đẳng thức n  k  ta cần chứng minh: k  a  k k i 1 i  ak 1 k 1  k 1  k 1      i 1  Ký hiệu:  k k  k 1     ,  k 1  ak 1  i 1  Ta thu được: k k 1   k 1   k  1 k   k k         k   k        k k     k 1   k 2   k 3    k 1         k   k    k   k 1     k   k 1         k 1   k 2     k 1     k 2   k 3    k 2     k 1   Bất đẳng thức ,   Các trường hợp riêng: a  b2  ab   a  b   Dấu đẳng thức xảy a = b 2 a, b  : ab  ab    a  b Dấu đẳng thức xảy a  b 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 abc a, b, c :    abc Dấu đẳng thức xảy   a  b  c a, b, c : a  b3  c  abc Dấu đẳng thức xảy a  b  c 1.3 Một số toán đề thi quốc gia, quốc tế Bài (Poland, 1996) Cho n   a1, a2 , , an  R x1, x2 , , xn  R mà n x i 1 i n  với a i 1 i  Chứng minh với  1, có: 2 xi x j  i j n  n xi2  n  i 1  Chứng minh n  n  Nếu  xi     xi    xi2  2 xi x j Từ bất đẳng thức cần chứng i 1 i 1 i j  i 1  n minh tương đương với: n xi2  n  i 1  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh rằng: n xi2 n  n  x    i    a  1   i 1  i 1  i i 1 Bài (Rumania 1996) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Áp dụng với b  c  d  , ta có: a a a     2a  a  a  2a  3  a a 1   a 2 a 5 3 Chứng minh tương tự ta có: b b 1   b 2 b 5 3 c c 1   c 2 c 5 3 d d 1   d 2 d 5 3 Cộng vế bốn bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a  b  c  d  Bài Cho x, y, z  xyz  yzt  ztx  txy  Chứng minh rằng:  2x  y  z  t    x  y  2z  t    x  y  z  2t    x  y  z  2t  Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.3 với xyz  yzt  ztx  txy  , ta có điều phải chứng minh Bài Cho x  Chứng minh rằng:  x  1  8 x  2  27  x  1  54 x  x  1 Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.3 với y  x; z  t  , ta có: 64 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z  27 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66  4x  2     x  3  x  1   2x  4 8 x  2    x  3 27  x  1  27  x  x  x  x  54 x  x  1  (đpcm) Bài Cho x  Chứng minh rằng: x x 1   x2 x5 3 Chứng minh Áp dụng Định lý 2.3 với y  z  t  Ta có: 3 x x x     2x  x  x  2x   x x 1   x2 x5 3 (đpcm) 2.3 Áp dụng dạng đẳng thức thứ hai bất đẳng thức Cauchy-Schwarz lượng giác Bài Cho ABC Chứng minh rằng: a b   b 2 c   c 2 a  2  64S Chứng minh Ta có: b2  c  a cos A b2  c  a b2  c  a 2bc cot A     sin A sin A 2bc sin A 4S Tương tự ta có: a  c  b2 cot B  4S 65 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 cot C  a  b2  c 4S Cơng vế phương trình ta có: cot A  cot B  cot C  a  b2  c 4S x  cot A; y  cot B; z  cot C Áp dụng Định lý 2.1 với: Ta được:  2cot A  cot B  cot C     cot A  2cot B  cot C  16  cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A   cot A  cot B  2cot C  (*) Mà ta có: cot Acot B  cot B cot C  cot C cot A  2cot A  cot B  cot C  b2  c  a a  b2  c b2  c   4S 4S 2S a2  c2 2S cot A  2cot B  cot C  Tương tự ta có: cot A  cot B  2cot C  a  b2 2S Thay vào biểu thức (*) ta được: b Hay: a 4S 2  c2  b   a  b 2 4S 2  c2  c   a  c 2 4S 2  b2  a  2  16  64S Bài Cho ABC Chứng minh rằng: 66 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (đpcm) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 a  p  b  p   c  p  64r Chứng minh x  a  Áp dụng Định lý 2.1 với:  y  b ; z  c  Ta có:   2a  b  c  a  p 2   a  2b  c   b  p     a  b  2c  c  p    16  ab  bc  ca  16  ab  bc  ca  Ta chứng minh: ab  bc  ca  36r S  p  a  p  b  p  c  Thật vậy, ta có: 36r  36    36 p  p 2 c2 Mà:  p  a  p  b   p  a  p  b  c   p  a  p  b   a2  p  b  p  c   Tương tự ta có: b2  p  c  p  a   Nhân vế bất đẳng thức dương chiều ta được:  p  a  p  b  p  c   Vậy: 36r  36 abc 9abc  p abc abc (1) 67 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (*) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Theo bất đẳng thức AM – GM, có: abc   a  b  c  ab  bc  ca  (2) Từ (1) (2)  ab  bc  ca  36r (3) Thay (3) vào (*) ta có điều phải chứng minh Bài Cho ABC Chứng minh rằng:  a  b  b  c   c  a   3 16S Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1 với: x  p  a; y  p  b; z  p  c Ta có:   p  a    p  b    p  c     p  a    p  b    p  c    p  a    p  b    p  c  16  p  a  p  b    p  b  p  c    p  c  p  a   Có:  p  a    p  b    p  c   p  2a  b  c  b  c Tương tự ta có:  p  a   2 p  b   p  c   a  c  p  a    p  b  2 p  c   a  b Lại có:  p  a  p  b    b  c  a  a  c  b   c2  4 a  b Tương tự ta có: 68 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z   37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 1 2 a  b  c    4  p  c  p  a   b2   a  c    p  b  p  c   Cộng vế đẳng thức ta được:  p  a  p  b    p  b  p  c    p  c  p  a   2  a  b2  c   a  b    b  c    a  c    4   ab  bc  ca   a  b  c   Lại có:  ab  bc  ca   a  b2  c  3S 2   a  b2  c   a  b    b  c    a  c    3S   Nên:  a  b  b  c   c  a   3  16 3S 16S (đpcm) Bài Cho ABC Chứng minh rằng:  a  b  c  b  c  a  c  a  b    1     2 2 2 b  a  c    a  c   c  a  b    a  b      a  b  c    b  c        9r  16 Chứng minh 69 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Áp dụng Định lý 2.1 với: x  1 ;y  ;z  pa p b pc Ta  1  2 p  a  p b  p c       1   p a  p b  p c      1   p a  p b  p c      1 16       p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a   Có: S  p  p  a  p  b  p  c    p  a  p  b   p p  c S2 Tương tự, ta có:  p p  a S2  p  p  b S2  p  b  p  c   p  c  p  a  Cộng vế đẳng thức ta được:  1   p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a    p 3 p  a  b  c  p   S2 S r Có: 1 2       p a p b p c b c a a c b a b c   a  c  b  a  b  c    b  c  a  a  b  c    a  c  b b  c  a   a  b  c  b  c  a  a  c  b  70 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 2  a   b  c    b   a  c     c   b  a           a  b  c  b  c  a  a  c  b   4a  2b2  2c   b2  c  2bc    a  c  2ac    b2  a  2ba   a  b  c  b  c  a  a  c  b  4a  b  c    b  c    a  b  c  b  c  a  a  c  b  Tương tự ta có: 4b  a  c    a  c  1 2   pa p  b p  c  a  b  c  b  c  a  a  c  b  4c  a  b    a  b  1  2  p a p b p  c  a  b  c  b  c  a  a  c  b  Vậy ta có:  a  b  c  b  c  a  c  a  b    1      2 2 2  4b  a  c    a  c    4c  a  b    a  b      4a  b  c    b  c        9r (đpcm)  16 71 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bài Một số ví dụ mở rộng Bài (Iran 1998) Cho x, y, z  1    Chứng minh rằng: x y z x  y  z  x 1  y 1  z 1 Chứng minh Ta có:   x 1 x 1  y 1  z 1   x  x   y 1 z 1  y z  y z   x 1 y 1 z 1    x  y  z y z   x  1 1       x  y  z  x y z   x yz Vậy ta có: x  y  z  x   y   z  (đpcm) Bài Cho xi  , i  n n x i 1 n  i 1  n  Chứng minh rằng: i xi   n x i 1 i Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có   x    x    xn    x1   x2    xn       x1  x2   xn        x1   x2  xn        72 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66   1 1  x1   x2    xn   n         x1  x2   xn  xn     x1 x2    x1   x2    xn   x1  x2   xn (đpcm) Nhận xét: Bài toán trường hợp tổng quát cho toán bất đẳng thức đề thi IMO - IRAN 1998 Từ toán này, áp dụng dạng đẳng thức bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có toán hay sau Bài Cho xi  , i  n n n  xi    i 1 n x i 1  n  Chứng minh rằng: i   n  n  xi         xi   xi   i 1 i 1    i 1 n Chứng minh xi  ; yi  xi , ta có xi Áp dụng Định lý 1.3 với xi    n xi    n    n xi    n n  n  xi      x  x  x          i i i       i 1  xi xi   i 1   i 1 xi   i 1    i 1   n xi  1  n    (theo giả thiết) Mà  xi i 1 i 1 xi n n n Nên ta có   xi    i 1   n  n  xi         xi   xi   i 1 i 1    i 1 n (đpcm) Từ bất đẳng thức quen thuộc, kết hợp với bất đẳng thức xây dựng ta tiếp tục xây dựng bất đẳng thức hay khó Tác 73 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 giả hy vọng qua ba bất đẳng thức trên, độc giả tiếp tục xây dựng bất đẳng thức hay 74 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Kết luận Luận văn đạt số kết sau: Luận văn nêu chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM – GM số bất đẳng thức đề thi toán quốc tế sử dụng bất đẳng thức Luận văn chứng minh số đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để xây dựng lớp bất đẳng thức Từ vận dụng bất đẳng thức vừa xây dựng để chứng minh số bất đẳng thức đại số lượng giác Giới thiệu bất đẳng thức đề thi toán quốc tế IRAN năm 1998 số mở rộng bất đẳng thức Từ kết luận văn này, ta thấy với đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta lớp bất đẳng thức khác hay lạ Tác giả hy vọng với ý tưởng giúp cho độc giả xây dựng nhiều bất đẳng thức khác làm phong phú thêm toán bất đẳng thức vốn đa dạng Tác giả mong nhận góp ý thầy cô đồng nghiệp để đề tài tiếp tục hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2011 75 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Tài liệu tham khảo Tiếng việt Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2010), “Sử dụng phương pháp CauchySchwarz để chứng minh bất đẳng thức”, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội Nguyễn Văn Hiến (2000), “Bất đẳng thức tam giác”, NXB Hải Phòng, Hải Phòng Phạm Kim Hùng (2007), “Sáng tạo bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội Phan Huy Khải (1997), “500 toán chọn lọc bất đẳng thức”, NXB Hà Nội, Hà Nội Phan Huy Khải (2001), “10.000 toán sơ cấp”, NXB Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), “Các giảng bất đẳng thức Côsi”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Thượng Võ (2000), “Tuyển tập 300 toán chọn lọc hệ thức lượng tam giác”, NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh Tủ sách tốn học tuổi trẻ (2007), “Các thi Olympic toán”, NXB Giáo Dục, Hà Nội Tiếng Anh IMO Shorlist, 1990 – 2004 Jose A.G.O., Radmila E, Mircea B (1997), “Inequalities A Mathematical Olympiad Approach”, Basel – Boston – Berlin, Germany Mihai B., Bogdan E., Mircae B (1997), “The Romanian Society of Mathematical Sciences”, “Romanian Mathematical Competitions”, Romania 76 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Danh sách Website www.diendantoanhoc.net www.math.vn www.mathlinks.ro www.mathscope.org www.mathnfriend.net 77 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99