(Luận văn) bất đẳng thức cauchy schwarz cho tích phân và ứng dụng giải toán bất đẳng thức tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NGỌC TUẤN lu BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN an n va p ie gh tn to oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC d oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NGỌC TUẤN lu BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN an n va p ie gh tn to oa nl w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 d m ll fu an nv a lu NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS DƯƠNG VIỆT THÔNG oi z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy TS Dương Việt Thông Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan lu an Bình Định, ngày tháng năm 2020 va n Tác giả luận văn p ie gh tn to Trần Ngọc Tuấn d oa nl w oi m ll fu an nv a lu z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Dương Việt Thông, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo trường đại học Quy Nhơn tạo điều kiện nhiệt tình giúp đỡ tơi khố Cao học Tôi xin gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH Phạm Kỳ Anh đọc lu an luận văn cho ý nhận xét sâu sắc để luận văn hoàn thiện va n tn to Tôi chân thành cảm ơn đến bạn bè gia đình, người ln p ie gh ln bên cạnh hỗ trợ động viên suốt thời gian làm luận văn Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân hạn chế oa nl w luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến thầy cơ, bạn bè để luận văn hồn thiện d fu an nv a lu Xin chân thành cảm ơn Bình Định, ngày tháng năm 2020 Tác giả luận văn oi m ll z at nh Trần Ngọc Tuấn z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mục lục lu Mở đầu 1 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân an n va 1.1 gh tn to p ie 1.2 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định 1.1.2 Tính chất tích phân xác định Một số phương pháp tính tích phân 1.2.1 Phương pháp đổi biến số 1.3 oa nl w Tích phân 1.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 1.2.2 Bất đẳng thức AM - GM d Phương pháp tích phân phần m ll fu an nv a lu Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz giải oi 2.1 Ứng dụng giải tốn tích phân 2.2 Ứng dụng giải tốn bất đẳng thức tích phân 19 z at nh tốn tích phân bất đẳng thức tích phân z gm @ 39 Tài liệu tham khảo m co l Kết luận 40 an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu Bất đẳng thức nội dung lâu đời quan trọng Toán học Bất đẳng thức lĩnh vực khó chương trình tốn học phổ thông lu Ngay từ đầu, đời phát triển bất đẳng thức đặt dấu ấn quan an trọng, chúng có sức hút mạnh mẽ người u tốn, khơng va n vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến thúc người gh tn to làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bất đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng p ie mơn khoa học khác thực tế Dạng toán bất đẳng oa nl w thức nói chung bất đẳng thức tích phân thường có mặt kì thi tuyển sinh đại học, kỳ thi Olympic toán Quốc tế, kì thi Olympic d Tốn Sinh viên nước giới a lu Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, phương pháp fu an nv lại có vẻ đẹp độc đáo riêng Ngay áp dụng m ll phương pháp hay tốn lại phụ thuộc vào kĩ thuật linh hoạt oi người sử dụng Do vậy, khó nói phương pháp z at nh chứng minh bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng Giải tích tốn học z @ Một bất đẳng thức cổ điển quan trọng bất đẳng thức gm l Cauchy-Schwarz ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz m co từ đời đến ln nhà tốn học lỗi lạc nghiên cứu an Lu phát triển Chúng ta gặp nhiều kết hợp bất đẳng thức CauchySchwarz với bất đẳng thức khác hình học Trong luận văn n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an này, tác giả xin trình bày hướng tiếp cận bất đẳng thức CauchySchwarz: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ứng dụng giải tốn Bất đẳng thức tích phân Luận văn gồm chương: Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân Trong chương luận văn trình bày nội dung tích phân, tính chất tích phân; Bất đẳng thức Cauchy; Bất đẳng thức AM-GM; Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz; Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích lu phân an n va Chương 2: Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Trong chương chúng tơi trình bày ứng dụng bất đẳng thức gh tn to giải toán tích phân bất đẳng thức tích phân p ie Cauchy-Schwarz việc giải số tốn tích phân thường dùng oa nl w chương trình thi đại học giải toán bất đẳng thức tích phân thường xuất kỳ thi Olympic Tốn Sinh viên ngồi d nước a lu fu an nv Trong khuôn khổ luận văn này, tơi trình bày số vấn đề liên quan tới bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân, đưa số ứng oi m ll dụng, cách chứng minh thông qua tập cụ thể z at nh z gm @ m co l an Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân lu an 1.1 Tích phân va n 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định gh tn to Cho hàm số f xác định [a; b], chia đoạn [a; b] cách tùy ý p ie thành n đoạn nhỏ điểm chia a = x0 < x1 < < xn = b Đặt oa nl w d = max{xi − xi−1 : i = 1, , n} Trên đoạn [xi−1 ; xi ] lấy điểm ξi (i = 1, , n) tùy ý Lập tổng d fu an nv a lu Sn = n X f (ξi )(xi − xi−1 ) i=1 gọi tổng tích phân hàm số f đoạn [a; b] Nếu Sn có giới hạn oi m ll hữu hạn I n → +∞ cho d → I không phụ thuộc vào cách z at nh chia đoạn [a; b] cách lấy điểm ξi I gọi tích phân xác định z hàm số f đoạn [a; b] ký hiệu Z b f (x)dx @ b f (x)dx = lim a n→+∞ n X m co Z l Vậy gm a f (ξi )(xi − xi−1 ) an Khi ta nói f khả tích đoạn [a; b] Lu i=1 n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.1.2 Tính chất tích phân xác định lu Giả sử f, g hàm số khả tích đoạn [a; b] Khi ta có: Z a f (x)dx = a Z b Z a f (x)dx = − f (x)dx a b Z b Z b kf (x)dx = k f (x)dx (k số) a a Z b Z b f (x)dx = f (t)dt Za b Z ac Z c f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx, ∀b ∈ [a, c] a b a Z b Z b Z b [f (x) ± g(x)] dx = f (x)dx ± g(x)dx an n va a tn to a gh Nếu f (x) > với x ∈ [a; b] a Z b f (x)dx > p ie aZ b Nếu f (x) ≥ g(x) với x ∈ [ab] f (x)dx ≥ Z oa nl w a b g(x)dx a d Định lý (Công thức Newton-Leibniz) Cho hàm số f liên tục a lu Khi ta có Z fu an nv đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm hàm số f đoạn [a; b] b − f (x)d(xex ) xe f (x)dx = 0 0 Z =− (x + 1)ex f (x)dx z at nh z an n va e2 − xe f (x)dx = − x Lu m co Kết hợp với giả thiết ta có Z e −1 l =− gm @ ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 11 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có Z 2 Z 2  Z e − xex f (x)dx ≤ x2 e2x dx [f (x)] dx = 0 Do dấu “=” phải xảy ra, tức f (x) = kxex Thay ngược ta có Z e2 − kx2 e2x dx = − ⇔ k = −1 ⇒ f (x) = −xex Suy Z −xex dx = −(x − 1)ex + C f (x) = lu Mặt khác f (1) = ⇒ C = ⇒ f (x) = (1 − x)ex Vậy Z Z f (x)dx = (1 − x)ex dx = e − an n va tn to Chọn đáp án C gh p ie Bài toán ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục đoạn [0, 1] oa nl w thoả mãn Z f (1) = 1, d [f (x)] dx = , Z f √
x dx = a lu Z fu an nv f (x)dx Tích phân oi m ll 1 3 A B C D 5 Lời giải Z Z √ 2 Đặt t = x ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt = f (t)(2tdt) = 2tf (t)dt 0 Sử dụng tích phân phần Z Z Z
2 t f (t)dt = t d(f (t)) = t f (t) − f (t)d(t2 ) 0 Z =1− 2tf (t)dt z at nh z gm @ m co l an Lu = n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 12 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có Z 2 Z  2 Z t2 f (t)dt ≤ t4 dt [f (t)] dt = = 5 0 Vì dấu “=” bất đẳng thức phải xảy ra, tức f (t) = kt2 thay Z Z 3 ngược lại t f (t)dt = có kt4 dt = ⇔ k = Khi 5 0 f (x) = 3x2 ⇒ f (x) = x3 + C, f (1) = ⇒ C = ⇒ f (x) = x3 Vậy Z Z lu f (x)dx = an 0 1 x3 dx = n va Chọn đáp án A p ie gh tn to Bài toán ([3]) Cho hàm số f liên tục đoạn [0, π] thoả mãn Z π Z π cos xf (x)dx = f (x)dx = 0 Z π oa nl w Giá trị nhỏ tích phân f (x)dx 3 B C 2π π π 2 Lời giải Với số thực a, b ∈ R; a + b > ta có Z π a+b= (a cos x + b)f (x)dx D π d m ll fu an nv a lu A oi z at nh Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có Z π 2 Z π Z 2 (a + b) = (a cos x + b)f (x)dx ≤ (a cos x + b) dx z 0 π f (x)dx Do 2(a + b)2 f (x)dx ≥ , ∀a, b ∈ R, a2 + b2 > 2 π(a + 2b ) an Lu π Z (a cos x + b)2 dx = π(a2 + 2b2 ) m co π l Z gm @ Mặt khác n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 13 π Dấu “=” đạt a = π 2b, f (x) = b(2 cos x + 1) Thay ngược lại điều kiện ta có Z π b(2 cos x + 1)dx = ⇔ b = π Z Cho a = 2, b = ta f (x)dx > Suy f (x) = cos x + π Chọn đáp án C Bài tốn ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục đoạn [0, 1] lu an thỏa mãn va Z f (0) + f (1) = 0, n to tn Z Z f (x) cos(πx)dx = π f (x)dx gh Tích phân B π p ie 3π Lời giải f (x)dx = , 2 A oa nl w D π C π d Sử dụng tích phân phần ta có Z Z 1 f (x) sin(πx)dx = − f (x)d(cos(πx) π 0 ! Z 1 =− (f (x) cos(πx)) − cos(πx)d(f (x)) π 0   Z 1 =− −(f (1) + f (0)) − f (x) cos(πx)dx = π oi m ll fu an nv a lu z at nh z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có  2 Z 2 Z Z 1 = f (x) sin(πx)dx ≤ f (x)dx sin2 (πx)dx = 2 0 gm @ l m co Vậy dấu “=” bất đẳng thức phải xảy ra, tức f (x) = k sin(πx) Thay ngược lại ta có k sin(πx)2 dx = n va ⇔ k = an Lu Z ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 14 Do f (x) = sin πx ⇒ Z Z f (x)dx = sin(πx)dx = 0 π Chọn đáp án B Bài toán ([3]) Cho hàm số f có đạo hàm liên tục đoạn [0, 1] Biết Z Z f (x)dx = 3, f (x) sin(πx)dx = π Z f Tích phân 3π Lời giải x dx B π lu A an C − π D π n va p ie gh tn to Sử dụng tích phân phần ta có Z Z 1 f (x)d(sin(πx)) f (x) cos(πx)dx = π 0 ! Z 1 = (f (x) sin(πx))