Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến

Nghiên cứu này nhằm giới thiệu sự cải tiến của một bất đẳng thức nối tiếng Cauchy – Schwarz. Căn cứ vào sự cải tiến đó, nghiên cứu này giới thiệu sự cải tiến của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz giữa trung bình bình phương và trung bình số học. Sự làm mịn của bất đằng thức tam giác trong Rn cũng được đề cập đến trong bài này.

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYSCHWARZ CẢI TIẾN IMPROVED CAUCHY - SCHWARZ INEQUALITY ThS Phạm Thị Ngọc Hà Trường Đại học Hàng hải Việt Nam Email: hapham@vimaru.edu.vn Ngày tòa soạn nhận báo:09/03/2021 Ngày phản biện đánh giá: 19/03/2021 Ngày báo duyệt đăng: 26/03/2021 Tóm tắt: Nghiên cứu nhằm giới thiệu cải tiến bất đẳng thức nối tiếng Cauchy –Schwarz Căn vào cải tiến đó, nghiên cứu giới thiệu cải tiến bất đẳng thức Cauchy – Schwarz trung bình bình phương trung bình số học Sự làm mịn bất đằng thức tam giác Rn đề cập đến Từ khóa: Bât đẳng thức Cauchy – Schwarz, cải tiến, trung bình bình phương, trung bình số học, bất đẳng thức tam giác Summary: This study aims to present an improvement of the famous Cauchy-Schwarz inequality in Based on this improvement, this paper introduces the improvement of the inequality between quadratic and arithmetic mean of n positive real numbers A new refinement of triangle inequality in Rn is also investigated in this paper Keywords: Cauchy – Schwarz inequality, improvement, quadratic and arithmetic mean, triangle inequality Đặt vấn đề Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz bất đẳng thức biết đến nhiều toán học Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz phát biểu sau: 10 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz bất đẳng thức biết đến nhiều toán học Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz phát biểu sau: Cho a = ( a1 , a2 , , an ) b = ( b1 , b2 , , bn ) hai n số thực n n 2  n  a b a bi ≤ ∑ ∑ ∑ i i i    i =1  =i =i Dấu xảy a b tỷ lệ với Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Cauchy – Schwarz –Buniakowski hay đơn giản bất đẳng thức Buniakowski Nếu thêm điều kiện tham số bất phương trình làm mạnh Ví dụ, vào năm 1952 A Ostrowski [4, p.289] chứng minh Nếu a = ( a1 , a2 , , an ) , b = ( b1 , b2 , , bn ) c = ( c1 , c2 , , cn ) n số thực cho a b không tỷ lệ với n ∑ ci = i =1 n ∑a i =1 n ∑ i =1 n ∑b c i =1 i i = i  n  ≤ ∑ ∑ bi −  ∑ bi   i =1  c =i =i n n 2 i Vào năm 1996, McLaughlin chứng minh mệnh đề sau Nếu a = ( a1 , a2 , , a2 n ) b = ( b1 , b2 , , b2 n ) gồm 2n số thực ta có 2n 2n  n   2n  2  ∑ ( a2i b2i −1 − a2i −1b2i )  ≤ ∑ ∑ bi −  ∑ bi   i =1  =i =i  i =1  Một làm mịn bất đẳng thức Cauchy –Schwarz khác xây dựng Alzer vào năm 1998 Ông chứng minh rằng, a = ( a1 , a2 , , an ) , b = ( b1 , b2 , , bn ) hai dãy số thực n n CHÍ KHOA HỌC ai −TẠP an  n  11 a2  QUẢN  LÝ CÔNG NGHỆ < bn ≤ bn −1 ≤ ≤ b1 ∑ bi ∑  − = a0 < a1 ≤ < ≤ i ≥  ∑ bi   bVÀ  n =i =i   i =1  vào năm 1998 Ông chứng minh rằng, a = ( a1 , a2 , , an ) , b = ( b1 , b2 , , bn ) hai dãy số thực n n aa  a  n  a  = a0 < a1 ≤ < ≤ n < bn ≤ bn −1 ≤ ≤ b1 ∑ bi ∑  − i i −1  bi ≥  ∑ bi   n =i =i   i =1  2 1, 2, , n b= b = = b = ka = Dấu xảy ) n (k Sự cải tiến đáng kể bất đẳng thức Cauchy- Schwarz khơng gian tích đưa Dragomir Ông chứng minh rằng: Cho ( H , ⋅, ⋅ ) không gian tích trường số thực trường số phức Cho x, y, e ∈ H với | e ||= p ≥ , ta có làm mịn bất đẳng thức Schwarz sau || x || p || y || p − x, y    || x || ≥  det   || y ||    p Và || x || p || y || p − Re x, y p ( (|| y ||    || x || ≥  det   || y ||    || x || p − x, e p − y, e (|| x || (|| y || ) )    1/ p     p 1/ p p p − Re x, e p − Re y, e p ) )    1/ p     p 1/ p p Kết tương tự phát biểu sau Cho x, y, e ∈ H với | e ||= , ta có làm mịn bất đẳng thức Schwarz sau || x || p || y || p − x, y p     x, e ≥  det    y, e    ( (|| y || − || x ||2 − x, e y, e ) )    1/2     1/2 2 Walker đưa làm mịn bất đẳng thức lĩnh vực xác suất Dựa vào ý tưởng giới thiệu bổ đề 2.1, cải tiến bất đẳng thức Cauchy –Schwarz đưa định lý 2.1 Ở đây, nhìn thấy làm mạnh kết việc đưa biên mà không cần thêm điều kiện tham số bi Kết có đươc hai cải tiến là: bất đẳng thức trung bình bình phương và trung bình số học định lý 3.1 làm mịn bất đẳng thức tam giác R n 12 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN VÀ CƠNG NGHỆ định lý LÝ 4.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến không cần thêm điều kiện tham số bi Kết có đươc hai cải tiến là: bất đẳng thức trung bình bình phương và trung bình số học định lý 3.1 làm mịn bất đẳng thức tam giác R n định lý 4.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến Chúng ta biết với hai số thực dương x y ta có x + y y ≥ Sự cải tiến x bất đẳng thức phát biểu bổ đề 2.1 Bổ đề 2.1 Nếu a b hai số thực dương (a − b) a b + ≥ 2+ b a ( a + b2 ) Chứng minh Bất đẳng thức tương đương với a a − +1   a b b b + ≥ 2+   b a  a      + 1  b     (a − b) ⇔ a b + ≥ 2+ b a ( a + b2 ) Đặt= t2 a , ( t > ) bất đẳng thức tương đương với b t − 2t + t + ≥ 2+ ⇔ 2t − 5t + 2t + 2t + 2t − 5t + ≥ t ( t + 1) ⇔ ( t − 1) ( 2t + 3t + ) ≥ (luôn ∀t > ) Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.1 Cho a = ( a1 , a2 , , an ) ; b = ( b1 , b2 , , bn ) hai dãy số thực dương + bi ≠ 0, ∀i =1, n Đặt A= a12 + a2 + + an ; B= b12 + b2 + + bn đặt A, B ≠ Khi đó, bất đẳng thức sau n ∑a i =1 i n ∑b i =1 i n ≥ ∑ bi + i =1 n ( B − bi A ) bi ∑ i =1 B + bi A4 2 2 TẠP CHÍ KHOA HỌC 13 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ (2.1) A= a12 + a2 + + an ; B= b12 + b2 + + bn đặt A, B ≠ Khi đó, bất đẳng thức sau ln 2 2 n ( B − bi A ) ∑ bi ≥ ∑ bi + ∑ 4 bi ∑ i =1 B + bi A4 i =1 i =1 i =1 n n n (2.1) Dấu xảy a b tỷ lệ a2 A i Chứng minh Đặt = ;b a = bi Theo bổ đề 2.1 ta có B2  B − bi A2 )  bi ( bi  + 22 ≥  + 4 2  (2.2) 22   aAB a(i aB bi bA −+ A B A ( ) bBi b ) i i i i  + ≥  + (2.2) A2 B  ( B + bi A4 )  AB   Cố định i=1, 2, 3,…, n bất đẳng thức (2.2), ta cộng n bất đẳng thức Cố thu định i=1, ta có2, 3,…, n bất đẳng thức (2.2), ta cộng n bất đẳng thức thu ta có 2 2    bi   n n ( B − bi A )  + ≥ + a b ∑ ∑  22 i i 24 24 24 24 bi   ∑ 22  n n n  a B b A − A B AB a B + b A ( )  a b 1 1 i =1  i i = = i i  i i i   2∑ a b + ∑ i bi  ∑  + ≥ i i 4 4  i =1 B + bi A B  AB  i =1 i =1  A   2 2 n n n n  bi  n ( B − bi A ) 2 ta có ∑ ∑ bi ≥ ∑ bi + ∑ 42 42 Vì ∑ ab  22 + 22  = n n n n − bi 24 A24 ) i i bBi  i =1  i =1 i =1 i =1 14 i =n1 ( B +  aAi 2 ta có ∑ ∑ bi ≥ ∑ bi + ∑ 4 Vì ∑  +  = bi B  i =1 B + bi A4 i =1  A i =1 i =1 i =1 a A Nếu a, b tỷ lệ, i = ⇔ B − bi A2 = 0, ∀i = 1, n ab B A Nếu a, b tỷ lệ, ii = ⇔ B − bi A2 = 0, ∀i = 1, n bi B n n n Trong trường hợp này, dấu xảy ∑ ∑ bi = ∑ bi n Trong trường hợp này, dấu xảy n i =1 ∑ i =1 n i =1 n i =1 i =1 i =1 ∑ bi = ∑ aibi Bất đẳng thức cải tiến trung bình bình phương trung bình số học Bất đẳng thức cải tiến trung bình bình phương trung bình số học Cho n số thực dương a1 , a2 , , an ta có Cho n số thực dương a1 , a2 , , an ta có a12 + + an a1 + a2 + + an ≥ n + an a1 + a2 n+ + an a12 + ≥ n n Khi bất đẳng thức QM-AM tương đương với bất đẳng thức sau Khi bất đẳng thức QM-AM tương2đương với bất đẳng thức sau n ( a12 + a2 + + an ) ≥ ( a1 + + an ) (3.1) n ( a + a2 + + an ) ≥ ( a1 + + an ) (3.1) Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức (3.1) cách áp dụng bất đẳng thức 14 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ DễQUẢN dàngLÝ minh bấtsố đẳng áp) dụng bất đẳng thức a =thức , , a 1,1, ,1 Cauchy –chứng Schwarz chođược hai ( a , a(3.1) ) ; b = (cách 2 2 n Cauchy – Schwarz cho hai số a = ( a1 , a2 , , an ) ; b = (1,1, ,1) Từ Định lý 2.1 ta có bổ đề 3.1 ≥ n n Khi bất đẳng thức QM-AM tương đương với bất đẳng thức sau n ( a12 + a2 + + an ) ≥ ( a1 + + an ) (3.1) Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức (3.1) cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho hai số a = ( a1 , a2 , , an ) ; b = (1,1, ,1) Từ Định lý 2.1 ta có bổ đề 3.1 Bổ đề 3.1 Cho a1 , an số thực dương cho a12 + a2 + + an ≠ Khi ta có bất đẳng thức n a12 + an ( ) 2 n nai − ( a1 + + an ) ≥ a1 + + an + ∑ i = ` n52 a + ( a + + a )2 i i n (3.2) Chứng minh Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức (3.2) cách áp dụng công thức (2.1) với b1= = bn= 1; B= n Chia hai vế (3.2) cho n ta có định lý 3.1 sau Định lý 3.1 Nếu a1 , , an số thực dương thỏa mãn a12 + + an ≠ ( ) 2 a12 + an a1 + + an n nai − ( a1 + + an ) ≥ + ∑ 4n i = ` n a + ( a + + a )2 n n i i n Sự làm mịn bất đẳng thức tam giác Ta biết, với hai vecto u, v không gian ( X ,|| ||) trường số thực trường số phức ta có || u + v ||≤|| u || + || v || Có nhiều làm mịn bất đẳng thức tam giác Ví dụ, Maligranda chứng minh với hai vec tơ khác không x y không gian ( X ,|| ||) bất đẳng thức sau   x y  x y  + +  2−  min{|| x ||,|| y || } ≤|| x || + || y || − || x − y ||≤  − || x || || y ||  || x || || y ||    Minculete and Păltanea chứng minh rằng: Cho ( X , ⋅, ⋅ ) khơng gian tích TẠP CHÍ KHOA HỌC 15 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ với chuẩn ⋅ , với phần tử khác không x, y ∈ X ta có  x y + 2− || x || || y ||    x y  +  min{|| x ||,|| y || } ≤|| x || + || y || − || x − y ||≤  −  || x || || y ||    Minculete and Păltanea chứng minh rằng: Cho ( X , ⋅, ⋅ ) khơng gian tích với chuẩn ⋅ , với phần tử khác không x, y ∈ X ta có   || x || + || y || − || x − y ||≤ 1 − || v ( x, y ) ||  (|| x || + || y ||)   || v ( x, y ) ||=  x, y  x y + = 1 + t || x || || y ||  || x || || y ||  Trong đưa làm mịn bất đẳng thức tam giác khơng gian Euclidean R n tích chuẩn tắc Định lý 4.1 Cho u = ( u1 , , un ) ; v = ( v1 , , ) hai vecto R n cho u, v ≠ ui + vi ≠ 0, ∀i =1, n , 2 2 n ( ui || v || −vi || u || ) ui vi ≤ (|| u || + || v ||) || u + v || + ∑ 4 4 i =1 ui || v || +vi || u || 2 Chứng minh Vì u + v = ( u1 + v1 , , un + ) ;|| u ||= u12 + + un ;|| v ||= v12 + + 2 2 n ( ui || v || −vi || u || ) ta có || u + v || + ∑ ui vi i =1 ui || v ||4 +vi || u ||4 2 2 2  n u || v || − v || u || ( ) u v  ≤ || u || + || v || i i = ∑ ui + ∑ vi +  ∑ ui vi + ∑ ( ) i i  i =1  ui || v ||4 +vi || u ||4 =i =i   n n Nhận xét: Nếu || u ||=|| v || ui + vi ≠ 0, ∀i =1, n bất đẳng thức tam giác cải tiến trở thành 2 n ( ui − vi ) || u + v || + ∑ ui vi ≤ || x ||2 i =1 ui + vi TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 TẠP CHÍ KHOA HỌC [1]QUẢN H LÝ Alzer (1998), VÀ CÔNG NGHỆ A refinement of the Cauchy –Schwarz inequality, J Math.Anal Appl TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Alzer (1998), A refinement of the Cauchy –Schwarz inequality, J Math.Anal Appl [2] K Bhattacharyya (2019), Improving the Cauchy –Schwarz inequality, ArXiv [3] S.S Dragomir (2019), Improving Schwarz inequality in inner product spaces, Linear and Multilinear Algebra [4] S Filipovski (2019), Improved Cauchy-Schwarz inequality and its applications, Turkish Journal ò Inequality [5] L Maligranda (2008), Some remarks on the triangle inequality for norm, Banach J Math Anal [6] N Minculete and R Păltanea (2017), Improved estimates for the triangle inequality, Journal o Inequalityies and Applications [7] A Ostrowski (2017), A sefl-improvement to the Cauchy – Schwarz inequality, Statistics and Probability Letters TẠP CHÍ KHOA HỌC 17 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ ... đẳng thức trung bình bình phương và trung bình số học định lý 3.1 làm mịn bất đẳng thức tam giác R n định lý 4.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến. .. bất đẳng thức tam giác R n 12 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN VÀ CƠNG NGHỆ định lý LÝ 4.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến không cần thêm điều kiện tham số bi Kết có đươc hai cải tiến là: bất đẳng. . .Bất đẳng thức Cauchy ? ?Schwarz bất đẳng thức biết đến nhiều toán học Bất đẳng thức Cauchy ? ?Schwarz phát biểu sau: Cho a = ( a1 , a2 , , an ) b