Bài viết đề cập đến việc cần thiết phải bồi dưỡng năng lực tư duy phân tích cho học sinh khối trung học khi tiếp nhận kiến thức về môn Toán thông qua dạy học chuyên đề bất đẳng thức AM-GM. Qua mỗi ví dụ, tác giả đã phân tích và làm rõ những thành tố cơ bản góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy phân tích của học sinh.
TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Xã hội, Số 19 (4/2020) tr 81 - 87 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TƯ DUY PHÂN TÍCH THƠNG QUA DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM CHO HỌC SINH TRUNG HỌC Nguyễn Tiến Đà, Đỗ Văn Lợi Trường Đại học Hồng Đức Tóm tắt: Trong báo này, đề cập đến việc cần thiết phải bồi dưỡng lực tư phân tích cho học sinh khối trung học tiếp nhận kiến thức mơn Tốn thơng qua dạy học chun đề bất đẳng thức AM-GM Một số ví dụ minh họa cho việc định hướng, hình thành phát triển bồi dưỡng lực tư phân tích cho học sinh tác giả đề cập Qua ví dụ, tác giả phân tích làm rõ thành tố góp phần hình thành phát triển lực tư phân tích học sinh Từ khóa: Tư phân tích, bất đẳng thức AM-GM, Cơsi Mở đầu Trong q trình học tập học sinh, tư phân tích có ý nghĩa quan trọng, đóng vai trị tảng, giúp học sinh hiểu nội dung nắm vấn đề trọng tâm cách rõ ràng sâu sắc, giúp cho việc phân tích, tìm lời giải giải vấn đề Có thể nói tư phân tích tư đối tượng, thành phần tham gia vào đối tượng, mối liên kết, quan hệ hữu đối tượng, từ xác định đặc điểm, tính chất, đặc trưng, vai trị đối tượng mối quan hệ với đối tượng khác (gọi chung yếu tố) Với việc xác định yếu tố cấu thành đối tượng, tư phân tích mang tính suy luận theo chiều sâu Như tìm hiểu đối tượng, tư phân tích địi hỏi phải phân chia đối tượng thành phận cấu thành (theo hướng đó), thành phần đối tượng phải xem xét, đánh giá cách kỹ lưỡng, tỉ mỉ, sâu sắc toàn diện Đồng thời, việc tìm tịi, phát mối quan hệ thành phần, phát liên quan đối tượng xem xét yếu tố quan trọng góp phần cho hình thành phát triển tư phân tích người học Trong học tốn, tư phân tích thể qua quan sát, nhận dạng đối tượng, qua phân chia trường hợp xảy (nếu có) vấn đề; tìm mối liên hệ giả thiết kết luận Định lí, hiểu rõ yếu tố quan hệ yếu tố giả thiết; hiểu rõ ràng bước chứng minh, tìm mối quan hệ khái niệm, mệnh đề hay tập; suy nghĩ sâu sắc sau học hay giải toán, thể việc khái quát hóa hay đưa kết luận riêng học sinh Trong chương trình Tốn dành cho khối trung học, bất đẳng thức chun đề khơng cịn xa lạ em học sinh, đặc biệt học sinh giỏi, học sinh lớp chuyên, lớp chọn học sinh nằm đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia, khu vực quốc tế Thông qua việc dạy học bất đẳng thức cho học sinh khối trung học góp phần vào việc hình thành phát triển lực tư phân tích cho học sinh Tuy nhiên, việc tiếp cận chuyên đề bất đẳng thức phần đông học sinh cịn gặp khó khăn hạn chế định Nguyên nhân dẫn đến điều chủ yếu khả xử lý, suy luận lực phân tích tốn số đơng học sinh yếu kém, đồng thời thực tiễn dạy học chuyên đề bất đẳng thức, nhiều giáo viên xem nhẹ cần thiết phải định hướng, tìm tịi lời giải rèn luyện phát triển phát triển lực tư phân tích cho học sinh qua tốn Từ thực tế đó, việc phát bồi dưỡng lực tư phân tích cho học sinh dạy học bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức AM-GM nói riêng cần phải thực cách kịp thời, nghiêm túc có hệ thống Điều 81 hồn toàn nằm mục tiêu đổi giáo dục theo hướng phát triển lực tư cho người học mà lực tư phân tích thành tố quan trọng góp phần phát triển toàn diện cho em ngồi ghế nhà trường Các dạng biểu diễn bất đẳng thức AM-GM 2.1 Dạng tổng quát Giả sử a1 , a2 , , an n số thực khơng âm, ta có: Dạng Dạng a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an Dấu đẳng thức xảy a= a2= = an ≥ 2.2 Các trường hợp đặc biệt n Điều kiện n=2 ∀a , b ≥ n=3 n=4 ∀a, b, c ≥ ∀a, b, c, d ≥ a+b+c+d ≥ abcd Dạng a+b ≥ ab a+b+c ≥ abc Dạng a + b ≥ ab Dạng Dấu a + b + c ≥ 3 abc a + b + c + d ≥ 4 abc a+b ≥ ab a+b+c ≥ abc a+b+c+d ≥ abcd a=b a= b= c a= b= c= d Chú ý: Tên gọi AM-GM tên viết tắt thuật ngữ Tiếng Anh Arithmetric mean – Geometric mean nêu lên chất bất đẳng thức: a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an , ∀ai ≥ n Các sách Toán học xuất Việt Nam thường gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Côsi Tên gọi xuất phát từ tên nhà Tốn học Pháp Cơsi (Cauchy) người chứng minh bất đẳng thức ông chứng minh phương pháp quy nạp đặc biệt gọi phương pháp “ Quy nạp Cơsi” (Quy nạp Tiến Lùi) [3, tr.19] Một số ví dụ bồi dưỡng lực tư phân tích cho học sinh thông qua hoạt động dạy học chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM Ví dụ [4, tr 10] Cho x, y , z số thực dương Chứng minh rằng: 2( x + y + z) x y z (1) 1 + y 1 + z 1 + x ≥ + xyz Bước Nhận dạng toán - Đây toán chứng minh bất đẳng thức đối xứng với biến số số thực dương; biến khơng có ràng buộc điều kiện; vai trị biến nhau, từ dấu bất đẳng thức xảy ba biến nhận giá trị 82 nhau, điều giúp ta nghĩ đến bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương; - Việc xuất biểu thức ba biến, giáo viên gợi ý để học sinh liên tưởng đến trường hợp n = , (như đề cập trên) Bước Phân tích biến đổi Từ quan sát tiếp cận toán theo hai cách sau: VT(1)= - Cách tiếp cận thứ nhất:Ta biến đổi vế trái (1) sau x + y y + z z + x ( x + y )( y + z )( z + x ) = y z x xyz Đến đây, dùng bất đẳng thức AM-GM cho tử mẫu biểu thức trên, chắn không đem lại kết khả quan Ta quan sát Bổ đề sau: Bổ đề Với a , b, c số thực khơng âm tùy ý, ta ln có: ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Áp dụng Bổ đề vào biểu thức trên, ta được: ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ ( x + y + z )( xy + yz + zx ) = xyz xyz xyz Đến ta thấy biểu thức x + y + z xuất bên vế phải (1) Nếu quan sát tiếp, thấy rằng, vế phải có dạng tổng, ý tưởng nghĩ tới tách biểu thức sau thành hai phần, cụ thể, ta làm sau: ( x + y + z )( xy + yz + zx ) = A+ B xyz , ta chọn A, B cho hai bất đẳng thức sau A ≥ B ≥ 2( x + y + z) xyz phải xảy đồng thời Điều hoàn toàn thực được, thật vậy, để ý chút đa thức x + y + z bậc một, đa thức xy + yz + zx bậc hai đơn thức xyz bậc ba, đồng thời ta có 3.3 = Như vậy, ta dùng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương ( x, y, z ) ( xy, yz , zx ) xyz bị triệt tiêu, từ ta cần tách 8= + ta thu kết A ≥ Tóm lại, ta biến đổi sau: ( x + y + z )( xy + yz + zx ) ( x + y + z )( xy + yz + zx ) ( x + y + z )( xy + yz + zx ) = + xyz xyz xyz x + y + z ≥ xyz Ta có: , dấu xảy x= y= z Do đó: xy + yz + zx ≥ ( xyz ) ( x + y + z )( xy + yz + zx ) 2.3.3 xyz ( xyz ) ≥ = 2, xyz xyz đồng thời, Do đó: ( x + y + z )( xy + yz + zx ) ( x + y + z ) 3 ( xyz ) 2 ( x + y + z ) ≥ = xyz xyz 3xyz ( x + y + z )( xy + yz + zx ) 2( x + y + z) ≥2+ Tóm lại, ta ln có bất đẳng thức: xyz xyz x y 1 + y 1 + z 1 + 2( x + y + z) z , với x, y , z > ≥2+ xyz x -Cách tiếp cận thứ hai: Ta biến đổi sau 83 x y 1 + y 1 + z 1 + ⇔ 2( x + y + z) z ≥2+ xyz x x y z y z x 2( x + y + z) + + + + + ≥ xyz y z x x y z Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x x x 3x + + ≥ y z x xyz y y y 3y + + ≥ z x y xyz z z z 3z + + ≥ x y z xyz Dấu xảy khi: x= y= z Cộng bất đẳng thức chiều trên, cho ta: 3( x + y + z ) x y z y z x + + + + + +3≥ xyz y z x x y z 3( x + y + z ) ( x + y + z ) x + y + z x+ y+z = + ≥3 xyz xyz xyz xyz Do đó: Ta lại có: x y z y z x 2( x + y + z) + + + + + ≥ xyz y z x x y z , dấu xảy x= y= z Bước Kết luận Dù tiếp cận theo cách hay cách hai, phải sử dụng bất đẳng thức AM-GM cách linh hoạt hợp lý Nhận xét - Việc bồi dưỡng lực tư phân tích cho học sinh thơng qua toán thể qua số điểm sau: Thứ nhất: Giáo viên đặt câu hỏi mang tính gợi ý để học sinh liên tưởng tới kết quen thuộc (như Bổ đề 1), điều giúp học sinh có thói quen hình thành phát triển khả nhận dạng đối tượng thông qua đối tượng biết Đây thành tố quan trọng, góp phần bồi dưỡng lực tư phân tích học sinh Thứ hai: Việc định hướng cho học sinh tách vế trái thành hai số hạng (theo cách tiếp cận thứ nhất) khơng giúp học sinh hình thành kỹ xử lý tình để giải 84 đơn lẻ mà cịn giúp học sinh hình thành thói quen quan sát đối tượng (vế phải bất đẳng thức có dạng tổng) Đây thành tố quan trọng lực tư phân tích học sinh Thứ 3: Việc định hướng cho học sinh tiếp cận theo cách thứ hai góp phần phát triển kỹ tư biến đổi sáng tạo học sinh việc tìm kiếm phương pháp giải khác cho toán Điều thực cần thiết, lẽ sáng tạo tảng cho việc hình thành tư phân tích mềm dẻo linh hoạt Ngược lại, có tư phân tích linh hoạt mềm dẻo sáng tạo lời giải học sinh đa dạng phong phú - Thông qua việc chứng minh bất đẳng thức, việc biết quan sát đối tượng cách cụ thể, chi tiết, giúp học sinh phân tích toán cách đầy đủ rõ ràng, sở cho hình thành phát triển lực tư phân tích học sinh Ví dụ [4, tr.14] Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn xy ≥ 12, yz ≥ Chứng minh rằng : 1 1 121 P = x + y + z + 2 + + + ≥ xy yz zx xyz 12 Bước 1.Nhận dạng toán - Trước hết ta thấy, chứng minh bất đẳng thức có điều kiện; - Vai trị biến biểu thức vế trái bất đẳng thức, nhiên vai trò biến khác biểu thức điều kiện giả thiết Đây khó khăn cho học sinh xác định dấu xảy Bước Phân tích biến đổi - Để dấu đẳng thức xảy hai bất đẳng thức điều kiện phải đồng thời xảy dấu bằng, tức = xy 12; = yz Như vậy, dấu xảy điểm nguyên dương, y phải ước là: chung 12 8, suy y ∈ {1;2;4} Nếu y = , ta có ( x, y , z ) = (12,1,8) Nếu y = , ta có ( x, y , z ) = ( 6, 2, ) , cịn lại y = , ta có ( x, y , z ) = ( 3, 4, ) 1033 121 33 121 121 > > ; P ( 6, 2, 4= ; P ( 3, 4, ) = ) 48 12 12 12 Như vậy, “điểm rơi” toán ( x, y , z ) = ( 3, 4, ) Vấn đề lại ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM dấu đẳng thức xảy ( x, y , z ) = ( 3, 4, ) Đầu tiên, ta 1 1 2 cần triệt tiêu số hạng + + = + + , để làm điều ta để ý xy yz zx xy yz zx 2 2 2 x 3;= y 4;= z = = ; = = ; = = , x, y , z , ta khi= xy 12 yz xz = - Ta có P (12,1,8 ) chọn cách phân tích sau: x= x x 5x y 23 y y y 43 y z z 17 z + + ;y= + = + + ;z = + + 18 24 24 24 16 48 24 Như ta có: x y x y 2 + ≥ 33 = = ; + 18 24 xy 18 24 xy y z y z ≥ 33 =; + + 16 yz 16 yz x z xz + + ≥ 33 = = zx zx x 3;= y 4;= z Tiếp theo, ta cần triệt tiêu thêm số hạng Dấu xảy khi:= , để ý rằng, xyz 8 x 3;= y 4;= z = = Như ta cần tách sau: khi= xyz 3.4.2 x x 13x 43 y y 13 y 17 z z 13z = + ; = + ; = + 18 48 12 16 24 24 Khi đó, ta có: x y z x y z + + + ≥ 44 =, 12 xyz 12 xyz x 3;= y 4;= z dấu xảy khi:= 85 13x 13 y 13z ; ; Sau triệu tiêu hai số hạng nói trên, việc xử lý phần lại 18 16 24 trở thành đơn giản Thật vậy, ta có: 13 y 13 y 13 y = + 16 24 48 13x 13 y 13 13x 13 y + ≥2 = 24 18 24 18 13 y 13z 13 y 13z 13 + ≥2 = 48 24 48 24 x 3;= y 4;= z Dấu xảy khi:= Bước Kết luận Từ đánh giá Bước ta thu được: 13 13 121 + +1+ + + = 3 12 x 3;= y 4;= z Bài toán giải hoàn toàn Dấu xảy khi:= P≥ Nhận xét - Việc bồi dưỡng lực tư phân tích cho học sinh thơng qua toán thể qua số điểm sau đây: Thứ nhất: Việc hướng dẫn cho học sinh thao tác kỹ dự đoán dấu bước quan trọng giúp học sinh hình thành thói quenbiết chọn lọc, khoanh vùng đối tượng nghiên cứu, từ việc xử lý tốn có trọng tâm tập trung Thứ hai: Việc phân tích giả thiết tốn từ đầu giúp học sinh hình thành kỹ xử lý phán đoán cách hiệu quả, tránh việc phải thử thử lại nhiều lần, rút ngắn thời gian để tìm phương pháp giải tối ưu - Như thơng qua tốn trên, kỹ biết chọn lọc đối tượng, xử lý tình phán đoán kết học sinh hình thành phát triển Đây thành tố quan trọng, cấu thành nên lực tư phân tích học sinh Tóm lại, dạy học chứng minh bất đẳng thức phương pháp AM-GM việc hướng dẫn định hướng cho học sinh cách dự đoán dấu 86 đẳng thức (hay lựa chọn điểm rơi) cần thiết, kỹ mà học sinh cần nắm phải vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo học bất đẳng thức Từ đó, lực tư phân tích học sinh dần hình thành phát triển cách tích cực tự nhiên Kết luận chung: Thông qua dạy học chuyên đề bất đẳng thức cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM, lực tư phân tích học sinh phát triển cách tích cực, góp phần hồn thiện lực tư học sinh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Chu Cẩm Thơ (2012), Phát triển tư thơng qua dạy học mơn Tốn trường phổ thông Nxb Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Phúc Chỉnh (2009), Cơ sở lý thuyết đồ khái niệm. Tạp chí Giáo dục, số 210, tr 18-20 [3] Trần Phương (2016), Những Viên kim cương bất đẳng thức Nxb tri thức [4] https://boxmath.vn (Diễn đàn toán học) (2011), Chuyên đề tốn phổ thơng, tuyển tập bất đẳng thức FOSTERING ANALYTICAL THINKING COMPETENCE FOR HIGH SCHOOL STUDENTS THROUGH TEACHING AM-GM INEQUALITY Nguyen Tien Da, Do Van Loi Hong Duc Univeristy Abstract: In this paper, we discuss the necessity to foster analytical thinking competence for high school students when acquiring knowledge of Mathematics through teaching AM-GM inequality A number of examples illustrating the orientation, formation and development as well as fostering analytical thinking competence for students are presented In each example, the basic components contributing to the formation and development of analytical thinking competence for students are analyzed and clarified Keywords: Analytical thinking, AM-GM inequality, Cauchy Ngày nhận bài: 20/8/2019 Ngày nhận đăng: 14/10/2019 Liên lạc: Nguyễn Tiến Đà; e-mail: dovanloi@hdu.edu.vn 87 ... tạo học bất đẳng thức Từ đó, lực tư phân tích học sinh dần hình thành phát triển cách tích cực tự nhiên Kết luận chung: Thông qua dạy học chuyên đề bất đẳng thức cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ... [3, tr.19] Một số ví dụ bồi dưỡng lực tư phân tích cho học sinh thơng qua hoạt động dạy học chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM Ví dụ [4, tr 10] Cho x, y , z số thực dương... Nhận xét - Việc bồi dưỡng lực tư phân tích cho học sinh thơng qua tốn thể qua số điểm sau đây: Thứ nhất: Việc hướng dẫn cho học sinh thao tác kỹ dự đoán dấu bước quan trọng giúp học sinh hình thành