DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH

bộ giáo dục đào tạo VIN KHOA HC GIO DỤC VIỆT NAM THỊNH THỊ BẠCH TUYẾT DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC H NI, 2016 giáo dục đào tạo VIN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM THỊNH THỊ BẠCH TUYẾT DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH Chuyên ngành: Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 62.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dn khoa hc: TS TRN LUN PGS.TS Đào Th¸i Lai HÀ NỘI, 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình nhiều nhà khoa học Các kết nêu luận án trung thực Những kết luận khoa học luận án chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận án Thịnh Thị Bạch Tuyết LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo ngồi Viện khoa học giáo dục Việt Nam, Trung tâm đào tạo bồi dưỡng Viện khoa học giáo dục Việt Nam hỗ trợ, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh đưa góp ý q báu q trình tác giả thực luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS Trần Luận Thầy giáo PGS.TS Đào Thái Lai người tận tình hướng dẫn, dìu dắt tác giả suốt thời gian qua Tác giả xin trân trọng cám ơn tạo điều kiện, giúp đỡ từ phía Ban Giám hiệu Trường Dự bị Đại học Dân tộc Sầm Sơn trình làm luận án Cuối cùng, tác giả xin chân thành cám ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình ln động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận án Do điều kiện chủ quan khách quan, luận án chắn thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến phản hồi để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng luận án Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2016 Tác giả Thịnh Thị Bạch Tuyết MỤC LỤC TRANG BÌA PHỤ LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Tổng quan vấn đề nghiên cứu Mục đích nghiên cứu 10 Khách thể, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 10 Giả thuyết khoa học 10 Nhiệm vụ nghiên cứu 10 Phương pháp nghiên cứu 11 Những đóng góp luận án 11 Nội dung đưa bảo vệ 12 10 Cấu trúc luận án 12 Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 13 1.1 Về lực giải vấn đề 13 1.1.1 Dạy học giải vấn đề 13 1.1.2 Quá trình giải vấn đề 16 1.1.3 Năng lực giải vấn đề 18 1.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức 23 1.2.1 Quan điểm hoạt động 23 1.2.2 Hoạt động nhận thức 24 1.2.3 Tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động 25 1.2.4 Về cách hiểu quan niệm thủ pháp hoạt động nhận thức 26 1.2.5 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức Toán học cụ thể 29 1.2.6 Đặc điểm thủ pháp hoạt động nhận thức 48 1.2.7 Mức độ biểu thủ pháp hoạt động nhận thức học sinh 50 1.3 Vấn đề trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh dạy học giải tích trường trung học phổ thông 51 1.3.1 Trang bị số ý tưởng vận dụng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh 51 1.3.2 Trang bị kiến thức thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh 51 1.3.3 Thiết kế hệ thống số nội dung đặc biệt để trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh 52 1.4 Nội dung giải tích chương trình mơn tốn trường trung học phổ thông 53 1.4.1 Vài nét giải tích cổ điển 53 1.4.2 Nội dung đặc điểm giải tích chương trình tốn trường trung học phổ thơng hành 54 1.4.3 Cơ hội hình thành phát triển lực giải vấn đề qua dạy học giải tích 56 1.4.4 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức sử dụng giải tích trường trung học phổ thơng 60 1.4.5 Mối liên hệ thủ pháp hoạt động nhận thức lực giải vấn đề dạy học giải tích 64 1.5 Thực trạng dạy học giải tích cho học sinh trường trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng lực giải vấn đề thông qua trang bị số thủ pháp hoạt động nhận thức .66 1.5.1 Mục đính khảo sát 66 1.5.2 Đối tượng khảo sát 66 1.5.3 Phương pháp khảo sát 66 1.5.4 Kết khảo sát thực trạng 67 1.5.6 Nguyên nhân dẫn đến hạn chế 70 1.6 Kết luận chương 71 Chương MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG THPT THEO HƯỜNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GQVĐ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC 72 2.1 Định hướng xây dựng biện pháp dạy học giải tích trường trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng lực giải vấn đề thông qua trang bị số thủ pháp hoạt động nhận thức .72 2.2 Một số biện pháp dạy học giải tích Trung học Phổ thơng theo hướng bồi dưỡng lực giải vấn đề thông qua trang bị số thủ pháp hoạt động nhận thức 72 2.2.1 Biện pháp Trang bị số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp 72 2.2.2 Biện pháp Trang bị số thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS dạy học số tình vận dụng kiến thức giải tích thơng qua tìm hiểu nhận biết vấn đề, tìm giải pháp 91 2.2.3 Biện pháp Lựa chọn tình ứng dụng kiến thức giải tích tập luyện cho HS sử dụng số thủ pháp hoạt động nhận thức thực hoạt động nghiên cứu sâu giải pháp 112 2.3 Kết luận chương 1412 Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 143 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm .143 3.2 Tổ chức thực nghiệm 143 3.3 Nội dung thực nghiệm 145 3.4 Kết thực nghiệm 152 3.4.1 Đánh giá định tính 152 3.4.2 Đánh giá định lượng 159 3.5 Kết luận chương 164 KẾT LUẬN 167 CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC 169 TÀI LIỆU THAM KHẢO 170 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu, viết tắt Viết đầy đủ DT : Dẫn theo ĐH : Đại học GQVĐ : Giải vấn đề GV : Giáo viên HĐNT : Hoạt động nhận thức HS : Học sinh NXB : Nhà xuất THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học sở TPHĐNT : Thủ pháp hoạt động nhận thức Tr : Trang DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.3: Phân bố điểm nhóm nhóm lớp thực nghiệm nhóm lớp đối chứng sau thực nghiệm vòng .161 Bảng 3.4: Phân bố tần số lũy tích hội tụ lùi lớp thực nghiệm lớp đối chứng sau thực vòng 161 Bảng 3.5: Phân bố điểm nhóm nhóm lớp thực nghiệm nhóm lớp đối chứng sau thực nghiệm vòng 2……………………………………………………….…… 163 Bảng 3.6: Phân bố tần số lũy tích hội tụ lùi lớp thực nghiệm lớp đối chứng sau thực vòng 2………………………………………………………….….… 164 DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.3: Đồ thị biểu diễn đường tần suất lũy tích hội tụ lùi nhóm lớp đối chứng lớp thực nghiệm sau thực nghiệm vòng 161 Biểu đồ 3.4: Đồ thị biểu diễn đường tần suất lũy tích hội tụ lùi nhóm lớp đối chứng lớp thực nghiệm sau thực nghiệm vòng 164 DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1 Các thành tố lực GQVĐ 23 Hình 1.2 Sơ đồ cấu trúc chung hoạt động 24 Hình 1.3 Biểu diễn dãy số un  (1) n , n  ………………………… …………… 41 n Hình 1.4 Minh họa hình phẳng………………….……………… ………………….43 Hình 2.1 Minh họa đồ thị hàm số………………………………… … ………76 Hình 2.2 Minh họa đồ thị hàm số…………………………………………….………77 Hình 2.3; Hình 2.4; Hình 2.5 Minh họa đồ thị hàm số………………………….……80 Hình 2.6 Minh họa đồ thị hàm số…………………… .……81 Hình 2.7; Hình 2.8; Hình 2.9; Hình 2.10; Hình 2.11; Hình 2.12 Minh họa đồ thị hàm số 84 Hình 2.13 Minh họa đồ thị hàm số 101 Hình 2.14; Hình 2.15; Hình 2.16 Minh họa đồ thị hàm số 102 Hình 2.17 Hình vẽ tình ví dụ 2.18…………………… …………107 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Hình thành phát triển lực giải vấn đề cho học sinh mục tiêu quan trọng mơn tốn Mục tiêu giáo dục thời đại không dừng lại việc truyền thụ kiến thức, kỹ có sẵn cho HS mà điều đặc biệt quan trọng phải trang bị cho HS cách học bồi dưỡng cho HS lực sáng tạo, lực GQVĐ Nghị Trung ương khoá XI đổi toàn diện giáo dục đào tạo khẳng định: “Chuyển mạnh trình giáo dục chủ yếu từ trang bị kiến thức kĩ sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kĩ người học; khắc phục lối truyền thụ chiều ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kĩ năng, phát triển lực” [18] Ở nhiều nước giới, nhà giáo dục toán học nhấn mạnh giáo dục toán học phải lấy việc nâng cao lực GQVĐ làm trọng tâm thể rõ quan điểm trình bày kiến thức phương pháp dạy học thơng qua chương trình sách giáo khoa Cụ thể: Năm 1980, Hội đồng Quốc gia GV toán (DT [114]) Mỹ đề nghị chương trình nghị họ “hoạt động GQVĐ phải trọng tâm toán học nhà trường” Chương trình giảng dạy đánh giá Tốn Hội đồng Quốc gia GV Toán Mỹ yêu cầu HS THPT dạy xây dựng kiến thức tốn học thơng qua GQVĐ (DT [102]) Chuẩn mơn Tốn Bang New Jersey - Mỹ khẳng định tất HS phát triển khả đặt GQVĐ toán học, ngành khác sống hàng ngày (DT [67]) Báo cáo Cockerroft (DT [114]) Anh nhìn nhận khả GQVĐ mục tiêu có tính trọng điểm giáo dục toán học yếu tố quan trọng việc dạy toán cho lứa tuổi khả Chương trình giảng dạy lớp 11, 12 Canada [120] coi GQVĐ trung tâm học tập Tốn nên trở thành trụ cột giảng dạy Toán Năm 2001, Bộ Giáo dục Singapore (DT [102]) khẳng định, mục tiêu chương trình giảng dạy toán học giúp HS phát triển khả GQVĐ Toán học (GQVĐ toán học bao gồm sử dụng áp dụng toán học vào nhiệm vụ thực tế, vấn đề thực tế sống tốn học) xxxi - Giáo viên sử dụng thủ pháp đồ thị, biểu tượng hóa, tạo tình huống, sử dụng yếu tố trung gian,… thiết kế giảng - Sử dụng đồ tư hệ thống lại tốn phương trình đồ thị phương pháp giải II Tiến trình dạy học HĐ Hình thành phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động GV HS GV: Yêu cầu HS nêu điều kiện để hai đồ Ví dụ a) Tìm hàm số g ( x )  Ax  B, A  có đồ thị tiếp thị hàm số tiếp xúc với xúc với đồ thị hàm số f ( x)  điểm x0  ; b) Chứng minh c) Cho HS: Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm x với tiếp  x2 3 A B  GV: Vẽ hình ảnh hai đồ thị y  f ( x ) x 3  x , x  (0;1) 1 x số a, b, c dương y  g ( x ) tiếp xúc với điểm x0 thỏa mãn Hướng dẫn HS nhận xét mặt hình đồ thị vị trí hai đồ thị đưa bất đẳng a  b  c  Chứng minh rằng: thức so sánh f ( x ) g ( x) khoảng a b c 3    2 b c c a a b (0;1) HS: Chứng minh câu b) biến đổi đại Lời giải a) Đồ thị hàm số g ( x )  Ax  B, A  tiếp xúc với đồ thị hàm số f ( x)  x với điểm x0  1 x số GV: Yêu cầu HS tìm điều kiện a, b, c ? Áp dụng b) để chứng minh bất đẳng thức?  f ( x)  g ( x)  hệ phương trình  có nghiệm HS: Tìm điều kiện:  f '( x )  g '( x )  a, b, c  3 Áp dụng câu b) để chứng minh câu c) Tìm A  B  x0  Vậy g ( x )  3 x b) Với x  (0;1) , ta có: x 3  x 1 x  ( x  1) ( x  2)  (Đúng với x  (0;1) ) Vậy x 3  x , x  (0;1) , dấu xảy 1 x xxxi xxxii x  c) Do a  b2  c  , nên bất đẳng thức cho thành: a b c 3    2 1 a 1 b 1 c Theo giả thiết, ta có:  a, b, c  Áp dụng câu b) ta được: a b c 3    (a  b  c ) 2 1 a 1 b 1 c Hay a b c 3    2 1 a 1 b 1 c Dấu xảy a  b  c  HĐ Phát biểu phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động GV HS *) Quy trình chứng minh bất đẳng thức GV: Yêu cầu HS từ ví dụ xây dựng phương pháp tiếp xúc phương pháp tiếp xúc để chứng minh bất B1 Tìm điều kiện biến dự đoán dấu đẳng thức Và GV xác lại quy trình xảy B2 Từ bất đẳng thức xây dựng hàm đặc trưng y  f (x) GV: Yêu cầu HS xây dựng quy trình B3 Tìm hàm số y  g ( x ) có đồ thị tiếp xúc với đồ tương tự cho tốn tìm giá trị lớn thị hàm số y  f ( x ) điểm xảy dấu B4 Với x thỏa mãn điều kiện biến, so giá trị nhỏ biểu thức phương pháp tiếp tuyến sánh f ( x ) g ( x) Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức cho HĐ Vận dụng phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động GV HS Ví dụ Cho số thực dương a, b, c, d , e thỏa mãn GV: Nêu ví dụ HS: Tìm điều kiện biến 1 1      Chứng minh 4a 4b 4c 4d 4e a, b, c, d , e  dự đoán dấu xảy rằng: a  b  c  d  e  HS: Xác định hàm đặc trưng: xxxii xxxiii a b c d e     1 2 2 4a 4b 4c 4d  e2 f ( x)  Lời giải HS: Tìm hàm số g ( x )  *) Điều kiện: a, b, c, d , e  *) Nhận xét: A  B có đồ 4 x thị tiếp xúc với đồ thị hàm số x   , x  4 x 4 x f ( x)  Thậy vậy, với x  , ta có: x   4 x 4 x x  x2 HS Tìm g ( x )    ( x  1) ( x  1)  (Luôn với x  ) Dấu xảy x   4 x GV: Yêu cầu HS sử dụng biến đổi đại số chứng minh bất đẳng thức đặc trưng: x   , x  4 x 4 x *) Áp dụng nhận xét ta có: a b c d e     2 2 4a 4b 4c 4d  e2 HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng 1 1    3        4a 4b 4c 4d 4e Hay x  x2 chứng minh bất đẳng thức cho a b c d e     1 2 2 4a 4b 4c 4d  e2 Dấu xảy a  b  c  d  e  Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn GV: Nêu ví dụ yêu cầu HS vận dụng quy trình giải toán a  b  c  Chứng minh rằng: HS:  a   b   c  ( a  b  c)  + Lời giải đồ thị tiếp xúc với đồ thị hàm số f ( x ) 11 điểm x  g ( x )   x  8  3( x  1)  2(4  x  x  7)  trưng + Tìm hàm số g ( x )  Ax  B, A  có 11  x  x   x2  8 ( x  1) đặc dấu xảy a  b  c  Dấu xảy x   hàm + Xác định điều kiện  a, b, c  11  x  x   x  , x  (0; 3) (1) 8  3( x  1)  định f ( x)   x  x *) Nhận xét: Thật vậy, Xác 2( x  1) 3 x  x7 12 3 x  x7 GV: Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp so 0 sánh, chia nhỏ kết hợp để chứng  minh:  x  x  19  11  x  x   x  , x  (0; 3) 8 xxxiii xxxiv (Bất đẳng thức với x  (0; 3) ) HS: Áp dụng vào chứng minh bất đẳng Dấu xảy x  thức GV: Yêu cầu HS nhận xét dạng biểu *) Từ giả thiết suy ra:  a, b, c  thức bất đẳng thức cần chứng minh Áp dụng (1), ta có: HS: Có dạng tổng hàm số  a   b   c  ( a  b  c) 33   (a  b  c )  8 Hay  a   b   c  ( a  b  c)  Dấu xảy a  b  c  Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn GV: Nêu ví dụ HS: Tìm điều kiện biến a, b, c  1    Chứng minh rằng: a b c 2a  3a  2b   3b  2c   3c   xác định dấu xảy a  b  c  HS: Xác định hàm đặc trưng f ( x)  Lời giải *) Nhận xét: 2x 1 3x   31  , x  16 x 16 Thật vậy, x  ta có: 2x 1 3x   31  16 x 16 32( x  1)  31( x  1)(2   32( x  1)  x  1)  6(3x   93( x  1) 2  3x   3x  HS: Tìm hàm số g ( x)  A  B có đồ thị x tiếp thị xúc f ( x)  với 2x 1 3x  đồ hàm số điểm x  HS: Điều kiện tiếp xúc hệ sau có  32 x  16  (31x  7) x   2x 1 x  1)  54( x  1) 3x   x  0 93 54    ( x  1)  32   0  x  3x   x     32 x   29  54   ( x  1)  0 3x   x     3x  Luôn với x  nghiệm x  : A  2x 1  3x   x  B   6x 1 A   x  x  Tìm A   Và g ( x )   31 B  16 16 31  16 x 16 Dấu xảy x  GV: Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp *) Áp dụng nhận xét ta có: phân nhỏ, thủ pháp kết hợp, thủ pháp so 2a  3a   2b  3b   2c  3c        93   16  a b c  16 xxxiv sánh chứng minh bất đẳng thức đặc trưng: xxxv 2a  Hay 3a   2b  3b   2c  3c   2x 1 3x  Dấu xảy a  b  c   31  , x  16 x 16 HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng chứng minh bất đẳng thức cho Ví dụ Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc  GV: Nêu ví dụ Chứng minh rằng: HS: Xác định điều kiện a, b, c  dự 1  log a log b log c     3    a b c b c   a đoán dấu xảy a  b  c  3 HS: Xác định hàm đặc trưng Lời giải f ( x)  *) Ta có: abc   log a  log b  log c  log x 3 x x *) Nhận xét: GV: Hướng dẫn HS đưa điều kiện log x 1  3   log x  , x  x x dạng tổng log a  log b  log c  HS: Tìm hàm số g ( x )  A log x  B Thật vậy, x  , ta có: cho đồ thị tiếp xúc với đồ thị hàm log x 1  3   log x  x x số f ( x )  log x 3 điểm x  3 x x  (1  3log x)( 3  x)  (*) HS: Tìm được: Xét hàm số h( x)  (1  3log x)( 3  x) với x  g ( x)   log x  Ta có: h( x)   x  Hàm số h( x) liên tục khoảng (0; 3) ( 3; ) 3 3 GV: Hướng dẫn HS chứng minh bất đẳng thức đặc trưng: khoảng khơng có giá trị làm cho hàm số triệt tiêu Do khoảng hàm số giữ nguyên dấu log x 1  3   log x  , x  x x Do (*) ln HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng *) Áp dụng nhận xét, ta được: chứng minh bất đẳng thức cho a  b Hay  c 3  log a a  log b  log c b c    (log a  log b  log c)  1  log a log b log c     3    a b c b c   a Dấu xảy a  b  c  3 HĐ Củng cố kiến thức tập nhà 1) Sử dụng đồ tư củng cố lại phương pháp tiếp xúc chứng minh bất đẳng thức 2) Đưa nhận xét đặc điểm tốn sử dụng phương pháp tiếp xúc 3) Giải toán sau: xxxv xxxvi Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng:  1 1      ( a  b  c)  a b c Bài Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn a  b2  c  d  Chứng minh rằng: 1 1     2( a  b  c  d )  12 a b c d 1 15 Chứng minh    (a  b  c)  a b c 2 Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b2  c  Chứng minh rằng: Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2a  a 2b  b 2c  c   1 4a  2a  4b  2b  4c  2c  Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 3a  b  c  3 Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a 1 a  b 1 b  c 1 c  2 4) Sưu tầm, phân loại xây dựng toán sử dụng phương pháp tiếp xúc 5) Nghiên cứu đề xuất phương pháp giải Mở rộng phương pháp giải toán (Phương pháp nghiệm bội, Phương pháp hàm đặc trưng) Phụ lục 8: HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC Hệ thống toán có tình sử dụng tính chất liên tục hàm số để hình thành phương pháp giải bất phương trình dạng A( x)  Bài Giải bất phương trình: ( x  2) x   x  Bài Giải bất phương trình: Bài Giải bất phương trình: Bài Giải bất phương trình: 5 x2 x    x  x  5x  0 x 1      2.x   x   log  x  5     0 x  4x  3.2 x2   x  17 log ( x  4)  log ( x  7)    x2  xxxvi xxxvii Bài Giải bất phương trình: x  x  3x  Bài Giải bất phương trình: x log7 11  3log7 x  x Bài Giải phương trình: 2013x  2015x  2014 x x  Bài Giải bất phương trình: log 22 x  x log ( x  3)  log x  log ( x  3)  2  Bài Giải bất phương trình: 2( x  2)( x   x  2)  x  Bài 10 Giải bất phương trình: x   x  x   x Bài 11 Giải bất phương trình: x   Bài 12 Giải bất phương trình 4x  2x  1  ( x  1)( x  2x)  x 1   x  2 Hệ thống tốn có tình sử dụng tính đơn điệu hàm số để phát triển phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Bài Giải phương trình x  2x   ( x  1)( x   2) x  2x+3  x  3x  9x  22  y  3y2  y  Bài Giải hệ phương trình  2 x  y  x  y    x  x  13x  y  y  10 Bài Giải hệ phương trình   x  y    x  y  x  x  10 y   x   x   y   y Bài Giải hệ phương trình  2  x  2x( y  1)  y  y    xy   (2 y  x ) x  y  Bài Giải hệ phương trình  , biết y  ( y  x)( y  1)  ( y  2) x    x  y  y  x  x  y y  1( x  x ) Bài Giải hệ phương trình   x  x  x   x ( y  1)3   x( x  y )  x  y  y ( y  1) Bài Giải hệ phương trình  2  x y  5x  7( x  y )   xy  x   x  y  x  x  y  y y  1( x  x ) Bài Giải hệ phương trình  3  x  x  x   x ( y  1)  xxxvii xxxviii  x  3x  5x   y  Bài Giải hệ phương trình  y  3y2  5y   z  z  3z  5z   x  Bài 10 Chứng minh với a  , hệ phương trình sau có nghiệm nhất: e x  e y  ln(1  x )  ln(1  y )  y  x  a Bài 11 Cho số thực x, y thỏa mãn  x  y   Chứng minh ( x  x) sin y  ( y  y ) sin x Hệ thống toán sử dụng chiều biến thiên hàm số hình thành phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số Bài Tìm m để phương trình phân biệt x  x  24  x   x  m có nghiệm thực   Bài Tìm m để phương trình x 1993  1995  x  m có nghiệm thực phân biệt Bài Tìm m để phương trình mx  x   m  có nghiệm Bài Tìm m để phương trình x  m  m x  có nghiệm thực phân biệt  Bài Tìm m để phương trình x x  x  12  m  x   x  có nghiệm Bài Tìm m để phương trình x  x  x   x  x  m có nghiệm Bài Tìm m để phương trình x  2m  x   x có nghiệm Bài Tìm m để phương trình sin x  cos x x   m cos x  sin  có nghiệm khoảng [0; 2   ] Bài Chứng minh phương trình x (4 x  1)  có nghiệm thực phân biệt Hệ thống toán sử dụng chiều biến thiên hàm số phát triển phương pháp đánh giá thông qua sử dụng hàm số Bài Giải phương trình:  2015 x   2015 x  x   x 1 Bài Giải phương trình:  2014 2014 x  2014 x 1  1007(2015 x  2015  x ) Bài Giải phương trình: x  3x  x  40  4 x    x (4 x  1)  y (2 y  1)  y  32  Bài Giải hệ phương trình:  2 x  y  x  y   xxxviii xxxix  4x  ( x2   1)( x2  y3  y  2)  Bài Giải hệ phương trình:   x2 )  x  ( y  1)  2(1  y   12  x   y Bài Giải hệ phương trình:    y  y   x  2   x    y  x Bài Giải hệ phương trình:  1 (x  )  y   x  xy  y   y  x   y  3x  Bài Giải hệ phương trình:  (1  y) 2x  y  2( x  1)  (2x  y  1) y Hệ thống toán sử dụng đồ thị hàm số xây dựng phương pháp tiếp xúc chứng minh bất đẳng thức Bài Cho số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c   a  b  c  Chứng minh rằng: a b c    2  a  b  c 10 Bài Cho bốn số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a  b  c  d  Chứng minh rằng: a b c d     2 2  3a  3b  3c  3d Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1    a  b2  c2 a b c Bài Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x2  1  y   z   82 x y z Bài Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x  y  z  12 Chứng minh rằng: 8 x  8 y  8 z  Bài Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1  a b c  b  c  3 a  b  c  a 3 3 3  Bài Cho a, b, c số thực dương a  b  c  Chứng minh : xxxix xl a2  b2  c2    5 2a  (b  c) 2b  (c  a) 2c  ( a  b) Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (2a  b  c) (2b  c  a) (2c  a  b)   8 2a  (b  c) 2b  (c  a) 2c  ( a  b) Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (b  c  a) (c  a  b) (a  b  c)    (b  c)  a (c  a)  b (a  b)  c Bài 10 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1       4    a b c a b c a b b c c a  Phụ lục 8: KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HS Nhóm lớp đối chứng lớp thực nghiệm trước thực nghiệm sư phạm đợt Bảng 3.1 Thống kê kết học tập HS nhóm lớp thực nghiệm nhóm lớp đối chứng trước thực nghiệm sư phạm đợt Tổng số HS xi 48 f i (TN) 12 10 49 f i (ĐC) 11 12 Biểu đồ 3.1 Đa giác đồ lớp thực nghiệm lớp đối chứng trước thực nghiệm sư phạm đợt Nhìn vào biểu đồ 3.1, ta thấy đỉnh hai đa giác đồ gần ngang nhau, điều chứng tỏ chất lượng nhóm lớp thực nghiệm nhóm lớp đối chứng tương đương Phụ lục 9: KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HS Nhóm lớp đối chứng lớp thực nghiệm trước thực nghiệm sư phạm đợt Bảng 3.2 Thống kê kết học tập HS lớp đối chứng lớp thực nghiệm trước thực nghiệm sư phạm đợt xl xli Tổng số HS xi 6,5 7,5 8,5 9,5 10 51 f i (TN) 14 13 2 52 f i (ĐC) 2 13 14 10 Biểu đồ 3.2 Đa giác đồ lớp thực nghiệm lớp đối chứng trước thực nghiệm sư phạm đợt Nhìn vào biểu đồ 3.2 ta thấy đỉnh hai đa giác đồ gần ngang nhau, điều chứng tỏ chất lượng nhóm lớp thực nghiệm nhóm lớp đối chứng tương đương Phụ lục 10: ĐỀ KIỂM TRA Thực nghiệm sư phạm đợt thực nghiệm sư phạm đợt Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ Bài kiểm tra Thời gian: 120 phút Bài Cho hàm số y  x  2(m  3) x  (m  5) x  Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (0;1) a) Em hãy: Tính đạo hàm bậc xác định dạng đồ thị hàm đa thức bậc hai? b) Dựa vào hình ảnh hàm đa thức bậc hai, xác định cách giải tốn? c) Trình bày cách giải tốn? d) Tìm cách giải khác: Sử dụng chiều biến thiên; Sử dụng tam thức bậc hai? 1 Bài Cho hàm số f ( x)  mx  (m  2) x  (2  m) x  Tìm m để hàm số có cực 3 đại bé cực tiểu a) Em hãy: Tính đạo hàm bậc xác định dạng đồ thị hàm đa thức bậc 3? b) Dựa vào dạng hình ảnh đồ thị hàm số đa thức bậc ba, xác định cách giải tốn? c) Trình bày cách giải toán? xli xlii d) Mở rộng tốn: Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc ba khơng có cực trị; Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc ba có cực trị phụ thuộc điều kiện? Bài Chứng minh bất đẳng thức 3 2 52   x  2x2  9x  5x   x  11  , x   ;3  15 21   a) Bài tốn có giải biến đổi đại số thông thường không? Đưa tốn tìm giá trị lớn hàm số f ( x)  3 2 x  2x  9x  5x   x  11 15 21   khoảng   ;3    b) Giải phương trình f '( x)  c) Trình bày cách giải tốn? d) Đưa phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng chiều biến thiên hàm số? Bài Giải bất phương trình nghiệm thực sau x  16   x  x  x  3x   x   0 a) Bài toán có đưa tốn xét dấu biểu thức trái bất phương trình hay khơng? b) Hãy so sánh dấu biểu thức sau: x  16   x  x  x  x  x   x   x  c) Trình bày cách giải? d) Tìm giải pháp khác (gợi ý dựa vào tính liên tục xét dấu hàm số)? Bài Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x2 y2 z2    x 1 y 1 z 1 a) Tìm điều kiện x, y, z ? Dự đoán dấu xảy ra? Biểu thức điều kiện có dạng nào? Biểu thức vế trái bất đẳng thức dạng tổng hàm số nào? b) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số f ( x)  bất đẳng thức x2 điểm x  ? Chứng minh x 1 x2 5x  , x  (0; ) xét dấu xảy  x 1 c) Trình bày cách giải? xlii xliii d) Tìm cách giải khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki? Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ hai Bài kiểm tra số GV HS vấn đáp tìm giải pháp giải tốn sau: Bài Tìm m để đồ thị hàm số y  x  mx  cắt trục hoành điểm + Tìm hiểu tốn: Xác định dạng đồ thị hàm đa thức bậc ba? + Tìm giải pháp: Quan sát đồ thị hàm số xác định cách giải tốn? + Thực giải pháp: Trình bày cách giải tốn? + Tìm cách giải khác: Viết phương trình hồnh độ giao điểm? Đưa phưuơng trình dạng g ( x)  m ? Lập bảng biến thiên hàm số g ( x) tìm m ? + Đưa phương pháp sử dụng chiều biến thiên tốn tìm điều kiện có nghiệm phương trình bất phương trình? Bài Tìm m để đồ thị hàm số y  x 1 cắt đường thẳng d có hệ số góc m qua x 1 A(2; 2) hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị + Tìm hiểu tốn: Xác định phương trình đường thẳng d ? Xác định biến đổi phương trình hồnh độ giao điểm? + Tìm giải pháp: Xét phương trình hồnh độ giao điểm quan sát dạng đồ thị hàm số xác định cách giải toán? Sử dụng chiều biến thiên tìm điều kiện? + Thực giải pháp: Trình bày cách giải tốn? + Tìm cách giải khác: Đặt ẩn phụ t  x  xác định tốn tương đương? Bài Giải phương trình nghiệm thực sau: 15 x  30x  18 x  x  8( x  2) 15x   35  + Tìm hiểu tốn: Đưa biểu thức 15 x  30x dạng tích; So sánh với 8( x  2) 15x  biến đổi phương trình? + Tìm giải pháp: Đưa phương trình dạng hai hàm số f ( 15x  1)  g ( x ) Xét biến thiên hai hàm số tìm nghiệm? + Thực giải pháp: Trình bày cách giải toán? + Tổng quát toán: Phương pháp chiều biến thiên giải phương trình? Bài kiểm tra số Thời gian: 120 phút Bài Cho hàm số y  (m  1) x  (m  2m  8) x  m Tìm m để hàm số có cực trị, có cực đại cực tiểu xliii xliv a) Xác định thông tin liên quan đến toán: Đạo hàm bậc nhất; Các dạng đồ thị hàm đa thức bậc bốn? b) Quan sát dạng hình ảnh đồ thị hàm đa thức bậc bốn xác định cách giải tốn? b) Trình bày cách giải toán? c) Mở rộng toán: Xác định điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu, hàm số có cực đại Bài Cho hàm số y  x  3mx  m Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn 1 a) Xác định thông tin liên quan đến tốn: Phương trình hồnh độ giao điểm có nhẩm nghiệm không? Vẽ dạng đồ thị hàm đa thức bậc ba hệ số a dương hình ảnh trục Ox ? b) Quan sát hình ảnh đồ thị hàm số bậc ba xác định cách giải? c) Trình bày cách giải? d) Mở rộng tốn: Dựa vào hình ảnh đồ thị hàm số, tìm cách giải tốn “Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d , a  cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn x0 ”? e) Tìm cách giải khác: Sử dụng chiều biến thiên hàm số? Bài Tìm điểm A thuộc trục tung cho qua A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y  2 x  x  a) Xác định thông tin: Điểm thuộc trục trung có hồnh độ mấy? Nêu tính chất đối xứng hàm đa thức bậc bốn trùng phương? b) Nêu tính chất tiếp tuyến qua A Tìm điều kiện cần để hàm số có ba tiếp tuyến? c) Thực giải pháp? d) Đề xuất toán cách giải? Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  3a  1  b3  3b   c  3c   2 2 a) Tìm điều kiện a, b, c ? Dự đoán dấu xảy ra? Biểu thức điều kiện có dạng nào? Biểu thức vế trái bất đẳng thức dạng tổng hàm số nào? xliv xlv b) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số f ( x )  x  3x  Chứng minh bất đẳng thức x  3x  điểm x  ? 1  2x  , x  [0;1] xét dấu xảy ra? 2 c) Trình bày cách giải? d) Tìm cách giải khác: Tìm bất đẳng thức x  3x   ax  b, x  [0;1] theo cách khác? Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  2abc Tìm giá trị nhỏ P  1   2 a (2a  1) b(2b  1) c(2c  1) a) Tìm điều kiện a, b, c ? Dự đoán dấu xảy ra? Biến đổi biểu thức điều kiện dạng tổng hàm? Biểu thức vế trái bất đẳng thức dạng tổng hàm số nào? b) Đặt ẩn phụ x  1 , y  , z  đưa toán toán ẩn Chọn “hàm số a b c đặc trưng” viết phương trình tiếp tuyến điểm xảy dấu bằng? Xác định chứng minh bất đẳng thức đặc trưng? c) Trình bày cách giải? d) Tìm cách giải khác (Sử dụng phương pháp tiếp xúc)? xlv