Giaovienvietnam.com Bất đẳng thức cauchy Schwarz (Cosi) ∀a, b, c Bài 1: Chứng minh (a + b )(b + c )(c + a ) ≥ 8a b c -∀a, b ≥ Bài 2: Chứng minh ( a + b ) ≥ 64ab( a + b) -∀a, b ≥ Bài 3: Chứng minh (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab -Bài 4: Chứng minh 3a + 6b ≥ 9ab ∀a, b ≥ -Bài 5: Chứng minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab ∀a, b ≥ -1 Bài 6: Chứng minh + ≥ a b a+b -Bài 7: Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca ∀a, b, c ≥ -Bài 8: Chứng minh a b + b c + c a ≥ abc (a + b + c ) ∀a, b, c -Bài 9: Chứng minh (a + 1)(b + 1)(a + c )(b + c) ≥ 16abc ∀a, b, c ≥ -1 1 1 2 Bài 10: Chứng minh a + b + c ≤ a b + b c + c a + + + ∀a, b, c > 2 a b c -a4 b4 c4 Bài 11: Chứng minh + + ≥ 3abc ∀a, b, c > b c a -a b c ∀a, b, c > Bài 12: Chứng minh a + + b + + c + ≥ bc ca ab -∀a, b, c > Bài 13: Chứng minh a + b + c ≥ a 2b + b c + c a 3 Hướng dẫn: a + a + b ≥ 3a b Tương tự cộng vế -∀a, b, c > a b + b c + c a ≥ abc ab + bc + ca Bài 14: Chứng minh -a3 b3 c3 a b2 c ∀a, b, c > Bài 15: Chứng minh + + ≥ + + b c a bc ac ab -a5 b5 c5 Bài 16: Chứng minh + + ≥ a + b + c ∀a, b, c > b2 c2 a2 -a4 b4 c4 Bài 17: Chứng minh + + ≥ a + b + c ∀a, b, c > b c c a a 2b -a5 b5 c5 ∀a, b, c > Bài 18: Chứng minh + + ≥ a2 + b2 + c2 2 bc ca ab ( ) Giaovienvietnam.com -a4 b4 c4 ab + bc + ca ∀a, b, c > Bài 19: Chứng minh + + ≥ a+b b+c c+a -a6 b6 c6 Bài 20: Chứng minh + + ≥ a b + b c + c a ∀a, b, c > b c c a a b Giaovienvietnam.com HƯỚNG DẪN Bài 1: Chứng minh (a + b )(b + c )(c + a ) ≥ 8a b c Hướng dẫn: a + b ≥ a b = ab ; ∀a, b, c b + c ≥ b c = bc ; c + a ≥ c a = ca -∀a, b ≥ Bài 2: Chứng minh ( a + b ) ≥ 64ab( a + b) [ ] = [(a + b) + ab ] ≥ 2 (a + b)(2 ab ) = 64ab( a + b) -∀a, b ≥ Bài 3: Chứng minh (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab Hướng dẫn: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 33 a.b a.b.ab = 9ab -Bài 4: Chứng minh 3a + 6b ≥ 9ab ∀a, b ≥ Hướng dẫn: ( a + b ) = ( a + b ) 4 Hướng dẫn: 3a + 6b = 3a + 3b + 3b ≥ 33 3a 3b 3c = 9ab -Bài 5: Chứng minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab ∀a, b ≥ Hướng dẫn: Cô si cho ngoặc nhân vế -1 Bài 6: Chứng minh + ≥ a b a+b Hướng dẫn: Cô si cho VT mẫu thức VP -Bài 7: Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca ∀a, b, c ≥ Hướng dẫn: a + b ≥ ab ; b + c ≥ bc ; c + a ≥ ca cộng vế -Bài 8: Chứng minh a b + b c + c a ≥ abc (a + b + c ) ∀a, b, c Hướng dẫn: a b + b c ≥ 2ab c; b c + c a ≥ 2abc ; c a + a b ≥ 2a bc Cộng vế -Bài 9: Chứng minh (a + 1)(b + 1)(a + c )(b + c) ≥ 16abc ∀a, b, c ≥ Hướng dẫn: Cô si cho ngoặc nhân vế -1 1 1 2 Bài 10: Chứng minh a + b + c ≤ a b + b c + c a + + + ∀a, b, c > 2 a b c 1 2 Hướng dẫn: a b + ≤ 2a ; b c + ≤ 2b ; c a + ≤ 2c cộng vế b c a -a4 b4 c4 Bài 11: Chứng minh + + ≥ 3abc ∀a, b, c > b c a Hướng dẫn: Áp dụng Cô si với vế trái -a b c ∀a, b, c > Bài 12: Chứng minh a + + b + + c + ≥ bc ca ab a2 a b2 b c2 c a2 c b b2 c a c2 a b + + + + ≥ + + + + + = + + + + Hướng dẫn: VT = bc ca ab 2ab 2ca 2ab 2bc 2bc 2ca -∀a, b, c > Bài 13: Chứng minh a + b + c ≥ a 2b + b c + c a Giaovienvietnam.com Hướng dẫn: a + a + b ≥ 3a b Tương tự cộng vế -∀a, b, c > a b + b c + c a ≥ abc ab + bc + ca Bài 14: Chứng minh 1 1 1 Hướng dẫn: Chia hai vế cho a b c > , có: + + ≥ + + , tương tự 13 a b b a b b c c a -a3 b3 c3 a b2 c ∀a, b, c > Bài 15: Chứng minh + + ≥ + + b c a bc ac ab a3 a3 b3 a2 Hướng dẫn: + + ≥ Tương tự cộng vế bc b b c -a5 b5 c5 Bài 16: Chứng minh + + ≥ a + b + c ∀a, b, c > b c a a Hướng dẫn: + b a ≥ 2a , Tương tự cộng vế Sử dụng thêm kết 13 b -a4 b4 c4 Bài 17: Chứng minh + + ≥ a + b + c ∀a, b, c > b c c a a 2b a4 Hướng dẫn: + b + b + c ≥ 4a Tương tự cộng vế b c -a5 b5 c5 ∀a, b, c > Bài 18: Chứng minh + + ≥ a2 + b2 + c2 bc ca ab a5 Hướng dẫn: + c + ba ≥ 3a Tương tự cộng vế Sử dụng thêm a + b + c ≥ ab + bc + ca bc -a4 b4 c4 ab + bc + ca ∀a, b, c > Bài 19: Chứng minh + + ≥ a+b b+c c+a a4 Hướng dẫn: + (a + b)a ≥ 4a Tương tự cộng vế Sử dụng thêm a + b + c ≥ ab + bc + ca a+b -a6 b6 c6 Bài 20: Chứng minh + + ≥ a b + b c + c a ∀a, b, c > 2 b c c a a b a Hướng dẫn: + b c ≥ 2a Tương tự cộng vế Sử dụng thêm a + b + c ≥ ab + bc + ca b c -3 3 ( ) ... -1 Bài 6: Chứng minh + ≥ a b a+b Hướng dẫn: Cô si cho VT mẫu thức VP -Bài 7: Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca ∀a, b, c ≥