TUYỂN TẬP CÔNG THỨC – CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Trang TUYỂN TẬP CƠNG THỨC – CÁC DẠNG TỐN KHẢO SÁT HÀM SỐ CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM Cơ (c ) '  ( x) '  ; ( x )   x 1 ;  x '    n ' 1    x  x u ' ; u ' u'  u  u '.v  u.v '  '  v2 v (u1  u2   un ) '  u1'  u2'   un' ; n n u n 1  tan u  '  (tan x) '  ; cos x (k u ( x)) '  k u '( x) sin x (u n ( x))'  nu n1 ( x).u '( x) n n 1  cos u   n.cos  x2  x2  tan u   n.tan n u. cos u  n 1 u. tan u   co t u   n.co t  arctan x  '  x 1 n u. sin u  n 1 n '  u ( x)  u '( x)v( x)  v '( x)u ( x)    v ( x)  v( x)  u' sin u sin u   n.sin (uvw) '  u ' vw  uv ' w  uvw ' u' cos u  cot u  '   n 1 u. co t u   e   e ;  a   a ln a  e   u '.e ;  a   u '.a ln a x '  ln x  x ' x ' x  ln u   ; x  log a x  '  u ' u '  u' ; u ' u' 1 ;    u u  u.v  '  u '.v  u.v ' (cos u ) '  u 'sin u ; (cos x) '   sin x  arccos x  '    1 (sin u ) '  u '.cos u (sin x) '  cos x ;  arcsin x  '     x n n x n 1 (cot x)'   u  '   u  u  '  2u 'u x ' n Hàm tích - thương Hàm hợp u '  log a u  u '  u' u.ln a  c  c.u '( x)  '   u ( x)  u ( x)   ax  b  ad  bc     cx  d   cx  d   ax  bx  c  acx  2afx   bf  ce      ex  f   ex  f  a1  a2  a1 x  b1 x  c1      a2 x  b2 x  c2  b1 a x 2 b2 a2 a x 2  b2 x  c2  x.ln a ĐẠO HÀM CẤP CAO 1 x   n x  m   1  n ! n n x n1  m  m   m    m  n   x m n   m  n   ax  b m  n mn  a n m  m    m    m  n    ax  b  c1 b x c2 b2 mn LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 c1 c2 Trang    ax  b    n   1  a n n ! n  ax  b n 1   sin x  n   sin  x  n  ;   e x  n   cos x  n   cos  x  n  ; 2  2  ln x  n    1 n 1  n  !.x  n ;  ex ;  log a x  n    1 n1  n  !   sina x  n   a n sin  ax  n  ; ; n x ln a  2   cosa x  n   a n cos  ax  n  ;   ekx  n 2  a x   k n e kx ; n  a x  ln a  ;  ln  ax  n   n    1 n1  n  ! n an  ax  n n CÁC BƯỚC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU Bước 1: Tìm TXĐ Bước 2: Tính y giải phương trình y  Bước 3: Lập bảng biến thiên kết luận TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN  a; b  Bước 1: Tính y ' giải phương trình y '   nghiệm x1 , x2   a; b  Bước 2: Tính f  x1  , f  x2  , f  a  , f  b  Bước 3: So sánh giá trị bước 2, số lớn GTLN, số nhỏ GTNN Chú ý: Nếu yêu cầu tìm GTLN – GTNN  a; b  bước ta khơng tính f  a  , f  b  CÁCH TÌM TIỆM CẬN Tiệm cận đứng: lim f  x     x  x0 tiệm cận đứng x  x0 Tiệm cận ngang: lim f  x   a  y  a tiệm cận ngang x  Chú ý: Hàm số y  f  x nhận x  a làm tiệp cận đứng g  x  g  a     f  a   LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ Bước 1: Tìm TXĐ Bước 2: Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: - Tính y giải phương trình y   x1 , x2 - Xét dấu y suy chiều biến thiên + Tìm cực trị + Tính giới hạn tìm tiệm cận ( có) + Lập bảng biến thiên Bước 3: Vẽ đồ thị + Chỉ điểm đặc biệt, giao điểm với Ox, Oy, lấy thêm điểm vẽ HÀM SỐ BẬC BA y  ax3  bx  cx  d TRƯỜNG HỢP  a  0 a0 a0 y y Phương trình y /  O có nghiệm phân biệt x O x y y Phương trình y /  có nghiệm 1 O x kép O x y y Phương trình y  vơ nghiệm / O x 1 O +Nhận biết hệ số a : Nếu a  + Nhận biết b : x + Nhận biết d : nét cuối đồ thị hướng lên - Giao với Oy trùng O  d  ngược lại - Giao với Oy O  d  LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang - Điểm uốn bên phải Oy - Giao với Oy O  d  ab  , bên trái Oy ab  , nằm Oy b  + Nhận biết c : Hai cực trị nằm hai phía Oy  ac  , nằm phía Oy ac  , có cực trị nằm Oy  c  , cực trị c  ac  HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y  ax  bx  c  a  0 a0 a0 TRƯỜNG HỢP Phương trình y /  có nghiệm phân biệt Phương trình y /  có nghiệm Nhận biết dấu a : Nhận biết c : Nhận biết b : - Nét cuối đồ thị hướng lên a  - Giao điểm với Oy trùng O - Hàm số có điểm cực trị - Nét cuối đồ thị hướng xuống thì c  , giao điểm với Oy ab  a0 O c  , nằm O - Hàm số có điểm cực trị c  ab  HÀM SỐ NHẤT BIẾN y  D  ad  bc  ax  b cx  d  c  0, ad  bc   D  ad  bc  LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang 10 CÁCH BIỂN ĐỔI ĐỒ THỊ TỪ ĐỒ THỊ  C  : y  f  x  BAN ĐẦU ĐỒ THỊ CÁCH VẼ y  f x Lấy đối xứng đồ thị y  f  x  qua trục Oy y   f  x Lấy đối xứng đồ thị y  f  x  qua trục Ox + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy đồ thị y  f  x  y f x + Bỏ phần đồ thị bên trái Oy y  f  x  , lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy + Giữ nguyên phần đồ thị phía Ox đồ thị y  f  x  y  f  x + Bỏ phần đồ thị phía Ox y  f  x  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox y f x y  u  x  v  x  với  C  : y  u  x  v  x  Thực liên hoàn biến đổi đồ thị y  f  x  thành đồ thị y  f  x  , sau biến đổi đồ thị y  f  x  thành đồ thị y  f  x  + Giữ nguyên phần đồ thị miền u  x   đồ thị y  f  x  + Bỏ phần đồ thị miền u  x   y  f  x  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox y  f  x   m với m  Dịch chuyển đồ thị lên m đơn vị y  f  x   m với m  Dịch chuyển đồ thị xuống m đơn vị y  f  x  n  với n  Dịch chuyển đồ thị sang trái n đơn vị y  f  x  n  với n  Dịch chuyển đồ thị sang phải n đơn vị y  f  px  với p  Co đồ thị theo chiều ngang hệ số p p y  f  px  với  p  Giãn đồ thị theo chiều ngang hệ số y  qf  x  với p  Giãn đồ thị theo chiều dọc hệ số q y  qf  x  với  q  y  f  x  m Co đồ thị theo chiều dọc hệ số q Vẽ y  f  x  trước sau tịnh tiến đồ thị lên xuống tùy theo m LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau lấy đối xứng qua trục y  f  x  m Ox (Giữ nguyên phần Ox , bỏ phần Ox , lấy đối xứng phần bị bỏ qua Ox ) Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau lấy đối xứng qua trục y  f  x  m Oy (Giữ nguyên phần bên phải Oy , bỏ phần bên trái Oy , lấy đối xứng phần giữ nguyên qua Oy ) Vẽ y  f  x  trước sau tịnh tiến đồ thị sang trái phải tùy theo y  f  xm m 11 SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI + Gọi m số điểm cực trị hàm số y  f  x  k số giao điểm đồ thị y  f  x  với trục Ox  Số điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  m  k + Gọi n số điểm cực trị có hồnh độ dương hàm số y  f  x   Số điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  2n  + Bài toán chứa tham số: Cho hình vẽ đồ thị hàm số y  f  x  có n1 điểm cực trị Tìm giá trị tham số m để hàm số y  f  x  k   f  m  có n2 điểm cực trị + Khi tịnh tiến sang trái sang phải k đơn vị số điểm cực trị hàm số y  f  x  k  số điểm cực trị hàm số y  f  x  + Để tìm số giao điểm y  f  x   f  m  với trục Ox ta chuyển dạng tìm số giao điểm đồ thị y  f  x  đường thẳng y   f  m  Lưu ý: Số giao điểm khơng tính giao điểm cực trị hàm y  f  x  12 Cho hàm số y  f ( x, m) có tập xác định D Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu D Bước 1: Tìm TXĐ: D Bước 2: Tính y ' + Hàm số đồng biến y '  x  D + Hàm số nghịch biến y '  x  D  Với hàm số bậc 3: y '  ax  bx  c LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang  a  b  0; c  y '  x   a       + Hàm số đồng biến + Hàm số nghịch biến  Với hàm bậc y   a  b  0; c  y '  x   a       ad  bc ax  b y  cx  d  cx  d  + Hàm số đồng biến TXĐ ad  bc  nghịch biến TXĐ ad  bc  13 Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) đơn điệu khoảng (a; b) Với hàm đa thức: m  f  x + Hàm số đồng biến  a; b   y '  x   a; b  Rút m chuyển  m  f  x m  f  x + Hàm số nghịch biến  a; b   y '  x   a; b  Rút m chuyển  m  f  x Để giải bất phương trình trên, em sử dụng kiến thức : m  f  x  x   a; b   m  max f  x   a ;b  m  f  x  x   a; b   m  f  x   a ;b  Với hàm phân thức y  ax  b cx  d ad  bc   + Hàm số đồng biến  a; b   d  c   a; b  ad  bc   + Hàm số nghịch biến  a; b   d  c   a; b  14 Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) có cực trị  Đối với hàm số y  ax3  bx  cx  d , Khi đó, ta có: y '  3ax  2bx  c LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ CT  PT: y '  3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt a      amx  2anx  (bn  cm) g ( x) ax2  bx  c Đối với hàm số: y   Khi đó, ta có: y '  (mx  n) (mx  n)2 mx  n Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ CT  PT : g ( x)  amx  2anx  (bn  cm)  có hai nghiệm phân  a   n biệt khác  Suy    m  n  f       m  15 Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m)  ax3  bx  cx  d đơn điệu khoảng độ dài k cho trước  Ta có: y '  A.x  B.x  c  A  (1) Hàm số đồng biến khoảng ( x1 ; x2 )  PT: y '  có hai nghiệm phân biệt x1 x2      Biến đổi x1  x2  k thành ( x1  x2 )2  x1 x2  k (2)  B   x1  x2   A Sử dụng định lý Viet  đưa phương trình (2) thành phương trình theo m  x x  c  A Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa kết 16 Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) đạt cực trị điểm x0  Hàm số đạt cực trị điểm x0 y '( x0 )  GPT ta tìm giá trị m  Thử lại giá trị m vừa tìm xem có thỏa mãn hay khơng?  Nếu y  BËc y  BËc vận dụng kiến thức: y ''( x0 )   x0 điểm CĐ y ''( x0 )   x0 điểm CT Nếu y  BËc kiểm tra cách lập bảng biến thiên BËc  y( x0 )   y( x0 )  Hàm số đạt cực đại x0  Hàm số đạt cực tiểu x0   y( x0 )   y( x0 )  LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang 17 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y  f ( x)  Đối với hàm số y  ax3  bx  cx  d :  Thực phép chia đa thức y cho y ' viết hàm số dạng: y  u ( x) y ' Mx  N  Gọi A( x1 ; y1 ) B( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị Khi đó: y1  Mx1  N y2  Mx2  N  Do đó, phương trình dường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y  Mx  N  Đối với hàm số y   Chứng minh bồ để:Nếu hàm số y   Gọi A1 ( x1; y1 ) B( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị Khi đó: y1  ax  bx  c mx  n  y ( x0 )  u '( x0 ) u ( x) có  y ( x0 )  v '( x0 ) v( x) v( x0 )  2ax1  b 2ax2  b y2  m m Do đó, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y  2a b x m m Chú ý: Nếu em tìm tọa độ hai điểm cực trị A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị :  AB  : x  x1 y  y1  x2  x1 y2  y1 18 Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m) có cực trị hai điểm x1 , x2 điểm cực trị thỏa mãn hệ thức ( I )  Tìm điều kiện m để hàm số có cực trị (1)  Vận dụng định lý ViEt, ta có hệ thức liên hệ x1 x2  Biến đổi hệ thức ( I ) cho vận dụng định lí Viet để tìm m Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết 19 Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm cực trị nằm hai phía trục tung  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  A B nằm hai phía trục Oy  x1 x2  (sử dụng hệ thức (2)) Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang 10 20 Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có đặc điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lí ViEt ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2  Các điểm cực trị nằm hai phía trục Oy  y1 y2  (sử dụng hệ thức (2)) Kết hợp điều kiện (1) đưa kết 21 Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có đặc điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng d : Ax  By  C  cho trước  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2  Tọa độ điểm cực trị: A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  Để A B nằm hai phía d  ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   kết 22 Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm CĐ CT đối xứng với qua đường thẳng d : Ax  By  C   Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  AB  d A B đối xứng qua d   I trung điểm AB  giá trị m Kết hợp với I  d điều kiện (1) đưa kết 23 Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm CĐ CT cách đường thẳng d : Ax  By  C   Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2  Tọa độ điểm cực trị: A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) Để A B cách  AB / / d  giá trị m đường thẳng   I  d I trung điem AB Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang 11 24 Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm cực trị A B thỏa mãn hệ thức (VD : AB  k , AB ngắn nhất, OA  2OB )  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý ViEt ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) Từ hệ thức liên hệ điểm A, B ta tìm giá trị m 25 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : Ax  By  C  cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  f ( x) nhỏ B B A Đường thẳng d M A M A'  Tìm điểm cực trị A( x1 ; y1 ) B( x2 ; y2 ) ĐTHS y  f ( x)  Viết phương trình đường thẳng AB  Kiểm tra xem A B nằm phía hay nằ hai phía đường thẳng d + Nếu: ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   A B nằm hai phía d Khi đó: MA  MB  AB Do đó: MA  MB nhỏ  M giao điểm AB với đường thẳng d + Nếu: ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   A B nằm phía d - Xác định tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Khi đó: MA  MB  MA ' MB  A ' B nên MA  MB nhỏ  M giao điểm A ' B 26 Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m) có điểm CĐ, CT đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : Ax  By  C  góc   Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị (1)  Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm cực trị LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang 12     / / d  k  kd  giá trị m Khi    d  k kd  1   k  kd  tan    tao voi d goc    k k  d  27 Tìm điều kiện tham số m dể đồ thị hàm số y  ax  bx  c có điểm CĐ, CT tạo thành tam giác vng cân  Tìm điều kiện m để hà số có điểm cực trị (1)  Tìm tọa độ điểm cực trị A, B, C ĐTHS  Xác định xem ABC cân điểm nào, giả sử cân A  Khi đó: ABC vng cân  OAOB   giá trị m  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng trục Oy ĐTHS có điểm CĐ, CT  ĐTHS có ba điểm cực trị 28 Tìm giá trị m để tiệm cận xiên ĐTHS y  ax  bx  c chắn hai trục tọa độ tam mx  n giác có diện tích k  Tìm đường tiệm cân xiên ĐTHS  Tìm tọa độ giao điểm A( xA ;0) B(0; yB ) TCX với trục tọa độ  1 Khi đó: OA  xA OB  yB  SOAB  OAOB  x A yB 2 Từ đó, suy kết m 29 Tìm điểm M đồ thị (C ) : y  ax  b cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao điểm cx  d hai đường tiệm cận nhỏ  Tìm đường tiệm cận ĐTHS  Giao điểm A B hai đường tiệm cận  Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số cho dạng: y  p   q   Gọi M  m; p    (C ) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận cm  d    Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm  kết q (với p, q  cx  d LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 ) Trang 13 Chú ý: Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : Ax  By  C  là: d ( M ; )  Ax0  By0  C A2  B - Bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm A B : A  B  AB Dấu “=” xảy  A  B - Đối với hàm số dạng y  ax  bx  c cách làm hoàn toàn tương tự mx  n 30 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x) điểm M ( x0 ; y0 )  Xác định x0 y0 Tính y ' Từ suy ra: y '( x0 ) Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 31 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k ; tạo Ox góc  k  tan  ) a  Xác định k : (Nếu / / y  a.x  b  k  a, vng góc k    Tính f '( x) giải phương trình f '( x)  k để tìm hồnh độ tiếp điểm x0 Từ suy ra: y0  f ( x0 )  PT tiếp tuyến cần tìm: y  k ( x  x0 )  y0 32 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến qua điểm A( xA ; y A ) Cách 1:  Gọi  đường thẳng qua điểm A( xA ; y A ) có hệ số góc k  PT  : k  ( x  xA )  y A (*)   f ( x)  k ( x  x A )  y A (1)  tiếp tuyến (C)  HPT  có nghiệm k  f '( x) (2)  Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f '( x)( x  xA )  y A (3) Giải phương trình (3) ta x0  k y0 (thay vào (2))  PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*)) Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến y  k  x  x0   y0  f   x0   x  x0   y0 d  Để  d  tiếp tuyến phương trình f  x   f   x0   x  x0   y0   có nghiệm Thay tọa độ điểm A( xA ; y A ) vào phương trình   để tính x0 33 Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ n tiếp tuyến tới đồ thị (C ) : y  f ( x)  Giả sử M ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y  k ( x  x0 )  y0   f ( x)  k ( x  x0 )  y0 (1)  tiếp tuyến (C)  HPT:  có nghiệm k  f '( x) (2)  Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f '( x)( x  x0 )  y0 (3) LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang 14 Từ M kẻ n tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có n nghiệm phân biệt  kết 34 Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C ) : y  f ( x) hai tiếp tuyến vng góc với  Giả sử M ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y  k ( x  x0 )  y0  f ( x)  k ( x  x0 )  y0 (1)   tiếp tuyến (C)  HPT:  có nghiệm k  f '( x) (2)  Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f '( x)( x  x0 )  y0 (3)  Khi đó, qua M kẻ tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có nghiệm phân biệt x1 x2  Hai tiếp tuyến vng góc với  f '( x1 ) f '( x2 )  1  kết Chú ý: Qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp tuyến nằm hai phía trục hồnh (3) co hai nghiem phan biet   f ( x1 ) f ( x2 )  35 Tìm giá trị m để đồ thị (C1 ) : y  f ( x, m) cắt đồ thị (C2 ) : y  g ( x) n điểm phân biệt  (C1 ) cắt (C2 ) n điểm phân biệt  PT: f ( x; m)  g ( x) có n nghiệm phân biệt Tìm m số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm PT bậc hau, dựa vào bảng biến thiên, dưa vào đồ thị,…  kết 36 Biện luận theo m số nghiệm phương trình: F ( x, m)   Biến đổi phương trình F ( x; m)  dạng: f ( x)  g (m) , đồ thị y  f ( x) vẽ đồ thị Số nghiệm PT cho số giao điểm đồ thị (C ) : y  f ( x) với đường thẳng d : y  g (m) Dựa vào số giao điểm d với (C )  kết 37 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số  C  : y  f  x   C ' : y  g  x   f  x   g  x  Đồ thị  C   C tiếp xúc khi hệ phương trình:  / có nghiệm / f x  g x      38 Tìm giá trị m để đường thẳng d : y  px  q cắt đồ thị (C ) : y  ax  b hai điểm phân biệt cx  d M , N cho độ dài đoạn MN nhỏ LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang 15  d cắt (C ) hai điểm phân biệt  PT : ax  b  px  q có hai nghiệm phân biệt cx  d  PT : Ax  Bx  C  (1) có hai nghiệm phân biệt khác  d  điều kiện m (*) c  Khi đó, d cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) N ( x2 ; y2 ) Theo định lý Viet ta có mối liên hệ x1 x2 ( x1 x2 hai nghiệm pt (1))  Tính MN  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )  kết m để MN nhỏ Chú ý: - Khi tính y1 y2 ta thay x1 x2 vào phương trình đường thẳng d - OMN vuông  OM ON   x1 x2  y1 y2  - Đối với đồ thị hàm số (C ) : y  ax  bx  c cách làm hoàn tồn tương tự mx  n 39 Tìm giá trị m để đường thẳng d : y  px  q cắt đồ thị (C ) : y  ax  b hai điểm phân cx  d biệt thuộc nhánh (C )  Xác định tiệm cận đứng (C )  d cắt (C ) hai điểm phân biệt thuộc nhánh (C )   PT: ax  b  px  q có hai nghiệm phân biệt nằm phía TCĐ cx  d  PT: Ax  Bx  C  (1) có hai nghiệm phân biệt khác  d nằm phía với TCĐ  kết c m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm phía đường thẳng) 40 Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C ) : y  ax3  bx  cx  d cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng  Điều kiện cần: Hoành độ giao điểm x1 , x2 , x3 nghiệm PT: ax3  bx  cx  d  (1) Theo định lí Viet, ta có: x1  x2  x3   Thay vào (2) ta được: x2   b (2) Do x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng, nên: x1  x3  x2 a b 3a Thay vào (1), ta giá trị m Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay khơng kết luận LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang 16 41 Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C ) : y  ax3  bx  cx  d cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân  Điều kiện cần: Hoành độ giao điểm x1 , x2 , x3 nghiệm PT: ax3  bx  cx  d  (1) Theo định lí Viet, ta có: x1  x2  x3   d (2) a Do x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng, nên: x1  x3  x22 Thay vào (2) ta được: x2  3 d Thay vào (1), ta a giá trị m Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay không kết luận 42 Cho họ đường cong (Cm ) : y  f ( x, m) , với m tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong không qua với giá trị m  Gọi A( x0 ; y0 ) điểm mà họ (Cm ) không qua m Khi phương trình ẩn m : y0  f ( x0 ; m) vô nghiệm  điều kiện x0 y0 43 Cho họ đường cong (Cm ) : y  f ( x, m) , với m tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong qua với giá trị m  Gọi A( x0 ; y0 ) điểm cố định họ (Cm ) Khi ta có: y0  f ( x0 ; m), m  Am  B  0, m A    x0 y0  điểm cố định A B  Kết luận điểm cố định mà họ (Cm ) qua 44 Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f  x   Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)   f ( x) nÕu x  Ta có: y  f  x     f (- x) nÕu x   Do đó, đồ thị hàm số y  f  x  hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên phải trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox 45 Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang 17  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)   f ( x)   Ta có: y  f ( x)    y  f ( x)   y   f ( x)   Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x) hợp hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox 46 Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)   f ( x) nÕu f ( x)  Ta có: y  f  x     f ( x) nÕu f ( x)   Do đó, đồ thị hàm số y  f  x  hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên trục Ox  Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C ) bên trục Ox qua trục Ox 47 Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  u ( x) v( x)  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)  u ( x).v( x) nÕu u ( x)  Ta có: y   u ( x).v( x) nÕu u ( x)   Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x)  u ( x) v( x) hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C ) miền u( x)   Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C ) miền u( x)  qua trục Ox 48 Hàm số y  ax3  bx  cx  d + Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị với Ox : ax3  bx  cx  d   x  x0 Nhẩm nghiệm x0 đưa   ax  b ' x  c '  1 + Đồ thị cắt trục hoành ba điểm phân biệt : Cách 1: yCD yCT  LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang 18 a   Cách 2: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác x0    a.x  b.x  c  0  + Đồ thị có hai điểm chung với trục hồnh  yCD yCT  + Đồ thị có điểm chung với trục hoành  yCD yCT  hàm số khơng có cực trị + Nếu y '  3ax  2bx  c  nhẩm hai nghiệm tính yCD , yCT dễ dàng Trường hợp khơng nhẩm nghiệm dùng mối liên hệ hai nghiệm hệ thức Viet + Đồ thị hàm số y  ax3  bx  cx  d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng phương trình ax3  bx  cx  d  có nghiệm x0   nghiệm x0   b Nếu lập thành cấp số nhân có 3a d a + Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax3  bx  cx  d có dạng y   Ax  B  với  B  T   y '' với T  9ay  y '   A  T 1  T   Hoặc lấy y : y ' phần dư ax  b  đường thẳng qua CĐ – CT : y  ax  b + Hàm số có hai cực trị: b2  3ac  + Hàm số khơng có cực trị: b2  3ac  ●Hai cực trị thỏa mãn: + x1    x2   x1    x2       x    x2     + x1  x2       x1  x2  2   x    x2     +   x1  x2     x1  x2  2 + Điểm uốn không thuộc Oy  ac  + Đường thẳng qua điểm uốn tạo với đồ thị hai phần có diện tích + Hàm số đồng biến  a     : + Hàm số nghịch biến  a  b    c   a     :  a  b    c  + Hàm số không đơn điệu khi: a  b  c  LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang 19    + Hàm đơn điệu khoảng có độ dài e khi: a  x x e  + Khoảng cách hai cực trị: AB  4e  16e3 b  3ac ; e a 9a 49 Hàm số y  ax  bx  c + Có cực trị  ab  , a  cực tiểu, a  cực đại + Có cực trị  ab  , a  : có cực đại hai cực tiểu, a  có hai cực đại cực tiểu   b  b  + Tọa độ cực trị là: A  0; c  , B    ;   , C   ;     2a 4a  2a 4a    BC   b4 b b ; AB  AC   16a 2a 2a Với   b2  4ac + Phương trình qua điểm cực trị : 3  b   b   BC : y   ; AB : y    x  c; AC : y     x  c ; 4a a a     ● Gọi BAC   , ln có cos   b5 b3  8a S   ABC ● Diện tích tam giác 32a b3  8a ● Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC R  b3  8a 8ab  ac   + y  ax  bx  c cắt Ox điểm lập thành cấp số cộng  ab   100 b2  ac  + Diện tích phần phần đồ thị với trục hoành nhau:  b2  36 ac 2   2    c  y  c     + Phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC : x  y     b 4a   b 4a  Với a.b  ta có: + B, C  Ox  b  4ac  + BC  m0  am02  2b  + AB  AC  n0  16a 2n02  b4  8ab   BC  kAB  kAC  b3 k  8a  k    LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang 20 2   + ABOC nội tiếp  c      b 4a  + ABOC hình thoi  b2  2ac  + ABC  24a  b3  + ABC vuông cân A  8a  b3  + ABC có : BAC    8a  b3 tan  0 + ABC có góc nhọn  b  8a  b3   + Diện tích S ABC  S0  32a  S0   b  + ABC có diện tích lớn nhất: S max   b5 32a + ABC có trọng tâm O  b2  6ac  + ABC trực tâm O  b3  8a  4ac  + ABC có tâm đường trịn nội tiếp O  b3  8a  4abc  , bán kính đường trịn nội tiếp: r b2  b3  a 1     8a   + ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp O  b3  8a  8abc  , bán kính đường trịn ngoại tiếp  b 2a  R    2a b  + ABC có điểm cực trị cách trục hoành  b2  8ac  + Trục hồnh chia ABC thành hai phần diện tích nhau: b2  ac 50 Hàm số y  + Tiệm cận đứng: 1 : x  + Nếu M  x0 ; y0   y  d  0; c ax  b ;  ad  bc   cx  d + Tiệm cận ngang: 2 : y  a 0 c  ax  b  ax  b  M  x0 ; y0   cx0  d  cx  d   cx0  d d d1  d  M , 1   x0  c  c  ● Khoảng cách từ M đến hai tiệm cận:  d  d  M ,    y  a  ad  bc  c c  cx0  d   + d1  kd  cx0  d ad  bc d k  x0    kp c c  cx0  d  c LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang 21 + d1.d  ad  bc  p  const c2  d1  d2   d1  d2  + Điểm M  x0 ; y0  có hồnh độ x0   cách đến tâm đối xứng nhỏ ad  bc d  p  x0    p c c d  p tổng khoảng cách đến hai tiệm cận ngắn p Khoảng c 2p + Khoảng cách ngắn A, B hai nhánh đồ thị là: ABmin  2 ●Giao đường thẳng d : y  kx  p với y  độ giao điểm kx  p  ad  bc c2 ax  b hai điểm phân biệt M , N Phương trình hồnh cx  d ax  b  Ax2  Bx  C  cx  d Có   B  AC; M  x1 ; kx1  p  , N  x2 ; kx2  p   MN  k 1  A2 + MN nhỏ  nhỏ + OMN cân O   x1  x2  1  k   2kp  + OMN vuông O   x1.x2  1  k    x1  x2  kp  p  51 Cho đồ thị  C  : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I ( xI , y I ) + Gọi M  a; Aa  Ba  Ca  D  , N  b; Ab3  Bb2  Cb  D  hai điểm  C  đối xứng qua điểm I  a  b  xI + Ta có  3 2 A ( a  b )  B a  b  C a  b  D  y     I   Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N 52 Cho đồ thị  C  : y  Ax  Bx  Cx  D Trên đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Gọi M  a, Aa  Ba  Ca  D  , N  b, Ab3  Bb2  Cb  D  hai điểm  C  đối xứng qua gốc tọa độ  a  b  Ta có  3 2 A ( a  b )  B a  b  C a  b  D        Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang 22 53 Cho đồ thị  C  : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d : y  A1 x  B1 Gọi M  a; Aa  Ba  Ca  D  , N  b; Ab3  Bb2  Cb  D  hai điểm  C  đối xứng qua đường thẳng d (1)  I  d Ta có:  (với I trung điểm MN u d vectơ phương đường thẳng d )  MN u d  (2) Giải hệ phương trình tìm M, N 54 Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách + Cho hai điểm A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2   AB   x2  x1    y2  y1  2 Cho điểm M  x0 ; y0  đường thẳng d : Ax  By  C  , khoảng cách từ M hM ;d   Ax0  By0  C A2  B + Cho hàm phân thức: y  ax  b tiếp tuyến M cắt TCĐ, TCN A B M trung điểm AB cx  d Diện tích tam giác IAB không đổi: SIAB  55 Cho hàm số y  đến d ad  bc c2 ax  b  c  0, ad  bc  0 có đồ thị  C  Hãy tìm (C ) hai điểm A B thuộc cx  d hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn  C  có tiệm cận đứng x   d tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía tiệm cận đứng c Nên gọi hai số  ,  hai số dương  Nếu A thuộc nhánh trái: xA   d d d  xA       ; y A  f ( x A ) c c c  Nếu B thuộc nhánh phải: xB   d d d  xB       ; yB  f ( xB ) c c c  Sau tính: AB2   xB  xA    yB  yA    a      a      yB  yA  2 2  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tìm kết LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Trang 23 56 Cho đồ thị hàm số  C  có phương trình y  f ( x) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ  Gọi M  x; y  tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d  x  y  Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hồnh, trục tung  Sau xét tổng quát, điểm M có hoành độ, tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm hai trục loại khơng xét đến  Những điểm cịn lại ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d 57 Cho đồ thị (C ) có phương trình y  f ( x) Tìm điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy  f  x   kx  y  kx Theo đầu ta có y  k x     y  kx  f  x   kx 58 Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y  f ( x)  ax  b  c  0, ad  bc  0 Tìm tọa độ điểm M cx  d (C ) cho độ dài MI ngắn (với I giao điểm hai tiệm cận)  Tiệm cận đứng x  d a ; tiệm cận ngang y  c c  d a   Ta tìm tọa độ giao điểm I  ;  hai tiệm cận  c c  Gọi M  xM ; yM  2 d  a  điểm cần tìm Khi đó: IM   xM     yM    g  xM  c  c   Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu kết 59 Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y  f ( x) đường thẳng d : Ax  By  C  Tìm điểm I (C ) cho khoảng cách từ I đến d ngắn  Gọi I thuộc (C )  I  x0 ; y0  ; y0  f ( x0 )  Khoảng cách từ I đến d g ( x0 )  h  I ; d   Ax0  By0  C A2  B  Khảo sát hàm số y  g ( x) để tìm điểm I thỏa mãn yêu cầu LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 ... dương hàm số y  f  x   Số điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  2n  + Bài tốn chứa tham số: Cho hình vẽ đồ thị hàm số y  f  x  có n1 điểm cực trị Tìm giá trị tham số m để hàm số y ... 11 SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI + Gọi m số điểm cực trị hàm số y  f  x  k số giao điểm đồ thị y  f  x  với trục Ox  Số điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  m  k + Gọi n số điểm...  Chú ý: Hàm số y  f  x nhận x  a làm tiệp cận đứng g  x  g  a     f  a   LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ Bước 1: