PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Cho hàm số y  f ( x, m ) có tập xác định D Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu D Hướng dẫn  Hàm số đồng biến D  y '  0, x  D  Hàm số nghịch biến D  y '  0, x  D  Chú ý: + Với hàm số y  a.x  b đồng biến y '  , nghịch biến y '  c.x  d TH1:  + Nếu y '  ax  bx  c y '  0, x     TH2:  a0 TH1:  a  y '  0, x     TH2:     a0 a     Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m ) đơn điệu khoảng ( a; b ) Hướng dẫn  Hàm số đồng biến (a; b)  y '  0, x  (a; b)  Hàm số nghịch biến (a; b)  y '  0, x  (a; b)  Sử dụng kiến thức tam thức bậc lớp rút m đưa dạng: Gr: 2004 học toán 12 m  f ( x), x  a; b)  m  max f ( x) m  f ( x), x  (a; b)  m  f ( x) ( a ;b ) ( a ;b ) Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m)  ax  bx  cx  d đơn điệu khoảng độ dài k cho trước Hướng dẫn  Ta có: y '  A.x  B.x  c  Hàm số đồng biến khoảng ( x1 ; x2 )  PT: y '  có hai nghiệm phân biệt x1 A  x2   (1)    Biến đổi x1  x2  k thành ( x1  x2 )  x1 x2  k (2)  B   x1  x2   A Sử dụng định lý Viet  đưa phương trình (2) thành phương trình theo m c  x x   A  Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m ) có cực trị Hướng dẫn  Đối với hàm số y  ax  bx  cx  d , Khi đó, ta có: y '  3ax  2bx  c Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ CT  PT: y '  3ax  2bx  c  có hai a  nghiệm phân biệt      Đối với hàm số: y  y' ax  bx  c Khi đó, ta có: mx  n amx  2anx  (bn  cm) g ( x)  (mx  n) (mx  n) Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ CT  PT : g ( x)  amx  2anx  (bn  cm)  có hai nghiệ phân biệt khác   a   Suy     n  f       m  Gr: 2004 học tốn 12 n m Dạng 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m ) đạt cực trị điểm x0 Hướng dẫn  Hàm số đạt cực trị điểm x0 y '( x0 )  GPT ta tìm giá trị m  Thử lại giá trị m vừa tìm xem có thỏa mãn hay khơng?  Nếu y  BËc y  BËc vận dụng kiến thức: y ''( x0 )   x0 điểm CĐ y ''( x0 )   x0 điểm CT  Nếu y  BËc BËc kiểm tra cách lập bảng biến thiên Dạng 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m ) có cực trị hai điểm x1 , x2 điểm cực trị thỏa mãn hệ thức ( I ) Hướng dẫn  Tìm điều kiện m để hàm số có cực trị (1)  Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ x1 x2  Biến đổi hệ thức ( I ) cho vận dụng định lí Viet để tìm m  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y  f ( x ) Hướng dẫn  Đối với hàm số y  ax  bx  cx  d :  Thực phép chia đa thức y cho y ' viết hà số dạng: y  u ( x ) y ' Mx  N  Gọi A( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) hai d diểm cực trị Khi đó: y1  Mx1  N y2  Mx2  N  Do đó, phương trình dường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y  Mx  N ax  bx  c  Đối với hàm số y  mx  n  Chứng minh bồ để:Nếu hàm số y  Gr: 2004 học toán 12  y ( x0 )  u ( x) u '( x0 ) có  y ( x0 )  v ( x) v '( x0 ) v( x0 )   Áp dụng bổ đề: Gọi A1 ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị Khi đó: y1  2ax1  b 2ax2  b y2  m m  Do đó, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y  2a b x m m Dạng 8: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m ) có điểm cực trị nằm hai phía trục tung Hướng dẫn  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  A B nằm hai phía trục Oy  x1 x2  (sử dụng hệ thức (2))  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 9: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m ) có đặc điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh Hướng dẫn  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lí Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Các điểm cực trị nằm hai phía trục Oy  y1 y2  (sử dụng hệ thức (2))  Kết hợp điều kiện (1) đưa kết Dạng 10: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m ) có đặc điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng d : Ax  By  C  cho trước Hướng dẫn  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2   A B nằm hai phía d  ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   kết Gr: 2004 học tốn 12 Dạng 11: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m ) có điểm CĐ CT đối xứng với qua đường thẳng d : Ax  By  C  Hướng dẫn  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)   AB  d I trung điểm AB  giá trị A B đối xứng qua d   I  d m  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 12: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m ) có điểm CĐ CT cách đường thẳng d : Ax  By  C  Hướng dẫn  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 )   AB / / d  giá trị m A B cách đường thẳng   I  d I trung điem AB  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 13: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m ) có điểm cực trị A B thỏa mãn hệ thức (VD : AB  k , AB ngắn nhất, OA  2OB ) Hướng dẫn  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính giá trị y1 y2 (tính giống Dạng 7)  Tọa độ điểm cực trị: A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 )  Từ hệ thức liên hệ điểm A, B ta tìm giá trị m Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : Ax  By  C  cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  f ( x ) nhỏ Gr: 2004 học toán 12 Hướng dẫn  Tìm điểm cực trị A( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) ĐTHS y  f ( x )  Viết phương trình đường thẳng AB  Kiểm tra xem A B nằm phía hay nằ hai phía đường thẳng d + Nếu: ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   A B nằm hai phía d Khi đó: MA  MB  AB Do đó: MA  MB nhỏ  M giao điểm AB với đường thẳng d + Nếu: ( Ax1  By1  C )( Ax2  By2  C )   A B nằm phía d - Xác định tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d - Khi đó: MA  MB  MA ' MB  A ' B Do MA  MB nhỏ  M giao điểm A'B (có hình) Dạng 15: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x, m ) có điểm CĐ, CT đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : Ax  By  C  góc  Hướng dẫn  Tìm điều kiện m để hàm số có điểm cực trị (1)  Viết phương trình đường thẳng  qua hai điểm cực trị    / / d  k  kd  Khi    d  k kd  1  giá trị m   k  k d  tan    tao voi d goc    k k d  Dạng 16: Tìm điều kiện tham số m dể đồ thị hàm số y  ax  bx  c có điểm CĐ, CT tạo thành tam giác vuông cân Hướng dẫn  Tìm điều kiện m để hà số có điểm cực trị (1)  Tìm tọa độ điểm cực trị A, B , C ĐTHS  Xác định xem ABC cân điểm nào, giả sử cân A  Khi đó: ABC vng cân  OA.OB   giá trị m  Kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Gr: 2004 học toán 12 Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng trục Oy ĐTHS có điểm CĐ, CT  ĐTHS có ba điểm cực trị Dạng 17: Tìm giá trị m để tiệm cận xiên ĐTHS y  ax  bx  c chắn hai trục tọa độ mx  n tam giác có diện tích k Hướng dẫn  Tìm đường tiệm cân xiên ĐTHS  Tìm tọa độ giao điểm A( xA ;0) B (0; y B ) TCX với trục tọa độ 1  Khi đó: OA  xA OB  yB  S OAB  OA.OB  x A yB 2  Từ đó, suy kết m (có hình) Dạng 18: Tìm điểm M đồ thị (C ) : y  ax  b cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao cx  d điểm hai đường tiệm cận nhỏ Hướng dẫn  Tìm đường tiệm cận ĐTHS  Giao điểm A B hai đường tiệm cận  Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số cho dạng: y  p  q (với cx  d p, q   ) q    Gọi M  m; p    (C ) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận cm  d    Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm  kết Chú ý: Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : Ax  By  C  là: d ( M ; )  Ax0  By0  C A2  B - Bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm A B : A  B  AB Dấu “=” xảy  A  B ax  bx  c - Đối với hàm số dạng y  cách làm hoàn toàn tương tự mx  n Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x ) điểm M ( x0 ; y0 ) Hướng dẫn  Xác định x0 y0 Gr: 2004 học tốn 12  Tính y ' Từ suy ra: y '( x0 )  Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x ) biết tiếp tuyến có hệ số góc k Hướng dẫn  Xác định k  Tính f '( x ) giải phương trình f '( x )  k để tìm hồnh độ tiếp điểm x0 Từ suy ra: y0  f ( x0 )  PT tiếp tuyến cần tìm: y  k ( x  x0 )  y0 Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y  f ( x ) biết tiếp tuyến qua điểm A( x A ; y A ) Hướng dẫn  Gọi  đường thẳng qua điểm A( x A ; y A ) có hệ số góc k  PT  : k  ( x - x A )  y A (*)   f ( x)  k ( x  x A )  y A (1) có nghiệm  tiếp tuyến (C)  HPT   k  f '( x) (2)  Thay từ k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f '( x)( x  x A )  y A (3)  Giải phương trình (3) ta x0  k y0 (thay vào (2))  PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*)) Dạng 22: Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ n tiếp tuyến tới đồ thị (C ) : y  f ( x ) Hướng dẫn  Giả sử M ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y  k ( x  x0 )  y0   f ( x)  k ( x  x0 )  y0 (1) có nghiệm  tiếp tuyến (C)  HPT:  k  f '( x ) (2)   Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f '( x)( x  x0 )  y0 (3)  Khi đó, từ M kẻ n tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có n nghiệm phân biệt  kết Dạng 23: Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C ) : y  f ( x ) hai tiếp tuyến vng góc với Hướng dẫn Gr: 2004 học toán 12  Giả sử M ( x0 ; y0 ) Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y  k ( x  x0 )  y0   f ( x)  k ( x  x0 )  y0 (1) có nghiệm  tiếp tuyến (C)  HPT:   k  f '( x) (2)  Thay k từ (2) vào (1) ta được: f ( x)  f '( x)( x  x0 )  y0 (3)  Khi đó, qua M kẻ tiếp tuyến đến (C)  PT (3) có nghiệm phân biệt x1 x2  Hai tiếp tuyến vng góc với  f '( x1 ) f '( x2 )  1  kết Chú ý: Qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp tuyến nằm hai phía (3) co hai nghiem phan biet trục hoành    f ( x1 ) f ( x2 )  Dạng 24: Tìm giá trị m để đồ thị (C1 ) : y  f ( x, m) cắt đồ thị (C2 ) : y  g ( x ) n điểm phân biệt Hướng dẫn  (C1 ) cắt (C2 ) n điểm phân biệt  PT: f ( x; m )  g ( x ) có n nghiệm phân biệt  Tìm m số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm PT bậc hau, dựa vào bảng biến thiên, dưa vào đồ thị,…  kết Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: F ( x, m )  Hướng dẫn  Biến đổi phương trình F ( x; m )  dạng: f ( x)  g ( m) , đồ thị y  f ( x ) vẽ đồ thị  Số nghiệm PT cho số giao điểm đồ thị (C ) : y  f ( x ) với đường thẳng d : y  g (m)  Dựa vào số giao điểm d với (C )  kết Dạng 26: Tìm giá trị m để đường thẳng d : y  px  q cắt đồ thị (C ) : y  ax  b hai điểm phân cx  d biệt M , N cho độ dài đoạn MN nhỏ Hướng dẫn  d cắt (C ) hai điểm phân biệt  PT : ax  b  px  q có hai nghiệm phân biệt cx  d  PT : Ax  Bx  C  (1) có hai nghiệm phân biệt khác  Gr: 2004 học toán 12 d c  điều kiện m (*)  Khi đó, d cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) N ( x2 ; y2 ) Theo định lý Viet ta có mối liên hệ x1 x2 ( x1 x2 hai nghiệm pt (1))  Tính MN  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  kết m để MN nhỏ Chú ý: - Khi tính y1 y2 ta thay x1 x2 vào phương trình đường thẳng d - OMN vng  OM ON   x1 x2  y1 y2  ax  bx  c - Đối với đồ thị hàm số (C ) : y  cách làm hoàn toàn tương tự mx  n Dạng 27: Tìm giá trị m để đường thẳng d : y  px  q cắt đồ thị (C ) : y  ax  b hai điểm cx  d phân biệt thuộc nhánh (C ) Hướng dẫn  Xác định tiệm cận đứng (C )  d cắt (C ) hai điểm phân biệt thuộc nhánh (C )  PT: ax  b  px  q cos hai nghiệm phân biệt nằm phía TCĐ cx  d  PT: Ax  Bx  C  (1) có hai nghiệm phân biệt khác  d nằm c phía với TCĐ  kết m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm phía đường thẳng) Dạng 28: Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C ) : y  ax  bx  cx  d cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Hướng dẫn  Điều kiện cần: Hoành độ giao điểm x1 , x2 , x3 nghiệm PT: ax  bx  cx  d  (1) Theo định lí Viet, ta có: x1  x2  x3   b (2) a Do x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng, nên: x1  x3  x2 Thay vào (2) ta được: x2   b 3a Thay vào (1), ta giá trị m Gr: 2004 học toán 12  Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay khơng  Kết luận: Đưa giá trị m Dạng 29: Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C ) : y  ax  bx  cx  d cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân Hướng dẫn  Điều kiện cần: Hoành độ giao điểm x1 , x2 , x3 nghiệm PT: ax  bx  cx  d  (1) Theo định lí Viet, ta có: x1  x2  x3   d (2) a Do x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng, nên: x1  x3  x22 Thay vào (2) ta được: x2  3 Thay vào (1), ta giá trị m  Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay không  Kết luận: Đưa giá trị m Dạng 30: Cho họ đường cong (Cm ) : y  f ( x, m) , với m tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong qua với giá trị m Hướng dẫn  Gọi A( x0 ; y0 ) điểm cố định họ (Cm ) Khi ta có: y0  f ( x0 ; m), m  Am  B  0, m A    x0 y0  điểm cố định A B   Kết luận điểm cố định mà họ (Cm ) qua Dạng 31: Cho họ đường cong (Cm ) : y  f ( x, m) , với m tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong không qua với giá trị m Hướng dẫn  Gọi A( x0 ; y0 ) điểm mà họ (Cm ) khơng qua m  Khi phương trình ẩn m : y0  f ( x0 ; m) vô nghiệm  điều kiện x0 y0 Dạng 32: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x ) Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  Gr: 2004 học toán 12 d a Hướng dẫn  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x )  f ( x) nÕu x   Ta có: y  f  x     f (- x) nÕu x   Do đó, đồ thị hàm số y  f  x  hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên phải trục Ox  Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Dạng 33: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x ) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) Hướng dẫn  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x )  f ( x) nÕu f ( x)   Ta có: y  f  x      f ( x) nÕu f ( x)   Do đó, đồ thị hàm số y  f  x  hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên trục Ox  Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C ) bên trục Ox qua trục Ox Dạng 34: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x ) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) Hướng dẫn  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x )  f ( x)    Ta có: y  f ( x)    y  f ( x)   y   f ( x)   Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x) hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên trục Ox  Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Dạng 35: Cho đồ thị (C ) : y  f ( x ) Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  u ( x) v( x) Hướng dẫn  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x ) u ( x).v( x) nÕu u ( x)  Ta có: y   u ( x).v( x) nÕu u ( x)  Gr: 2004 học toán 12  Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x)  u ( x) v( x) hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C ) miền u ( x )   Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C ) miền u ( x )  qua trục Ox Gr: 2004 học toán 12 ... định lý Viet  đưa phương trình (2) thành phương trình theo m c  x x   A  Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa kết Dạng 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x, m ) có... Đối với hàm số y  ax  bx  cx  d , Khi đó, ta có: y '  3ax  2bx  c Hàm số có cực trị  Hàm số có CĐ CT  PT: y '  3ax  2bx  c  có hai a  nghiệm phân biệt      Đối với hàm số: y...  Mx2  N  Do đó, phương trình dường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: y  Mx  N ax  bx  c  Đối với hàm số y  mx  n  Chứng minh bồ để:Nếu hàm số y  Gr: 2004 học toán 12  y ( x0 )