Phương pháp Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

“Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” Phương pháp Giải toán cách lập hệ phương trình nói chung gồm bước sau: */ Bước 1: Lập hệ phương trình, bao gồm: - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn số đại lượng biết - Từ lập hệ phương trình biểu diễn tương quan đại lượng */ Bước 2: Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình vừa lập */ Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không trả lời - Như bước phân tích đề khơng thấy có bước giải “Giải toán cách lập hệ phương trình”, lại bước quan trọng để định hướng cách lập hệ phương trình Nếu học sinh không làm tốt bước khó khăn lập hệ phương trình - Bên cạnh cách gọi ẩn gián tiếp giúp học sinh giải hệ phương trình vừa lập cách nhanh dễ dàng Cụ thể là: Bài toán giải toán cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” “vịi nước chảy chung – vịi nước chảy riêng” nói chung hỏi thời gian làm đội hay vòi chảy đầy bể Theo dạng toán trước, tốn hỏi điều ta chọn đại lượng làm ẩn, dạng tốn ta : “Gọi thời gian hồn thành cơng việc đội 1(người 1…) x (đv), đk Gọi thời gian hồn thành cơng việc đội 2(người 2…) y (đv), đk “ Từ ta suy ra: (đv) x Thời gian hồn thành cơng việc đội 1(người 1…) y (đv) Thời gian hồn thành cơng việc đội 1(người 1…) - Để áp dụng cách giải toán cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” cách phân tích đề cách hợp lý việc phải giúp học sinh nhận dạng tốn Điều khơng khó khăn dạng tốn “Làm chung – Làm riêng” đề cho: “Thời gian làm chung hai đội (hai người,…)” yêu cầu tìm: “Thời gian làm đội (mỗi người,…) để hồn thành cơng việc” Khi thực giải tốn cần lưu ý tất thời gian phải đổi dạng phân số chẳng hạn: 10 phút = 10 12   giờ, 12 phút = 60 60 Lưu ý: Khi tìm người, đội hay vịi nước thứ thứ hai 1 hay y x suy để hồn thành cơng việc vòi nước chảy vào bể Còn đại lượng đề mô tả u số thời gian đề cho Đây dạng tốn khó hiểu u giải tốn cách lặp hệ phương trình Giaovienvietnam.com “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” - Có nhiều cách phân tích đề dùng cách phân tích cách lập bảng, sau: Hai đội (2 vòi ) Đội (vòi ) Đội (vịi ) Thời gian hồn thành công việc a Năng suất làm việc ngày (1 ) a x y x y Ngoài cần nhấn mạnh cho học sinh: “Thời gian hồn thành cơng việc suất làm việc hai đại lượng tỉ lệ nghịch” Ví dụ: */ Bài toán 1: (Bài 33/24 SGK Toán – Tập 2) “Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu?” */ Gv hướng dẫn học sinh phân tích đề cách lập bảng sau: (Gv dùng hệ thống câu hỏi, học sinh trả lời, gv điền vào bảng phân tích) -Yêu cầu h/s đọc đề Cho h/s xác định dạng tốn Gv nhấn mạnh: Có cách gọi ẩn a/ Gv học sinh lập bảng phân tích: (gọi ẩn trực tiếp) Hai người Người Người Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) 16 Năng suất làm việc x (đk: 16 < x) y (đk: 16 < y) 16 x y -Bài tốn cho biết thời gian hồn thành công việc người bao lâu? h/s: thời gian hồn thành cơng việc người 16 - gv điền bảng - Thời gian hoàn thành công việc suất làm việc hai đại lượng có quan hệ nào? h/s: thời gian hồn thành cơng việc suất làm việc hai đại lượng tỉ lệ nghịch - Gv nhấn mạnh: Vì thời gian hồn thành cơng việc suất làm việc đại lượng tỉ lệ nghịch , nên suất làm việc người bao nhiêu? h/s: Năng suất làm việc người -Bài toán yêu cầu gì? Giaovienvietnam.com (cv) - Gv điền vào bảng 16 “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” h/s: Nếu làm riêng người phải hồn thành cơng việc -Gv nhấn mạnh: Dạng tốn này, đề u cầu tìm thường gọi đại lượng làm ẩn Vậy tốn ta gọi ẩn nào? h/s: gọi thời gian hồn thành cơng việc đội x (giờ) thời gian hồn thành cơng việc đội y (giờ) -Điều kiện ẩn? h/s: 16 < x, 16 < y - Gv điền vào bảng -Vậy suất làm việc người bao nhiêu? h/s: suất làm việc người công việc x -Vậy suất làm việc người bao nhiêu? h/s: suất làm việc người y công việc - Gv điền vào bảng -Năng suất làm việc người cịn tính nào? h/s: suất người + suất người = suất người -Vậy ta lập phương trình nào? 1 h/s : x  y  16 1 Gv ghi xuống bảng phân tích: Pt (1) : x  y  16 Gv nhấn mạnh : Pt (1) lập: suất người + suất người = suất người Gv hướng dẫn học sinh lập pt(2) (Gv hỏi - H/s trả lời – Gv ghi bảng ) -Bài tốn cịn cho biết gì? Thời gian làm người 1: khối lượng c/việc (c/việc) x y (c/việc) 25% = (c/việc) người 2: người làm -Vậy người htws làm phần công việc? h/s trả lời : người làm (c/việc) – Gv ghi sang bên x -Vậy người làm phần công việc? h/s trả lời : người làm y (c/việc) – Gv ghi sang bên Gv nhấn mạnh: Khối lượng c/việc = Thời gian x suất -Dựa vào quan hệ ta lập pt nào? h/s: 1   x y Giaovienvietnam.com “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” Gv nhấn mạnh : cách lập pt (2): K/lượng c/việc người + K/lượng c/việc người = K/lượng c/việc người làm *> Gv nhấn mạnh lại cách phân tích đề lập bảng Giải: (Gv hướng dẫn học sinh lập luận để lập hệ phương trình dựa vào bảng phân tích làm theo sơ đồ bước: từ bước (1) đến bước (6) để lập pt(1); từ bước (7) đến bước (9) để lập pt (2) theo sơ đồ đây: ) Hai người Người Người Thời gian hoàn thành công việc (giờ) (5) 16 (1) x (đk: 16 < x) (2) y (đk: 16 < x) Năng suất làm việc 16 x y (6) (3) (4) 1 -Yêu cầu h/s dựa vào bảng phân tích lập luận để lập pt (1): x  y  16 Thời gian làm khối lượng c/việc x (8) người 2: y (9) người làm 25% = 1 -Yêu cầu h/s dựa vào phần phân tích thứ để lập pt (2): x  y  (7) người 1: -Vậy ta có hệ phương trình nào? �1 1 �x  y  16 � h/s: � 1 �   � y � x -Yêu cầu lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình �x  24 (TM) �y  48 h/s giải hpt tìm nghiệm : � -Kiểm tra lại điều kiện trả lời toán Gv củng cố lại cách làm Giaovienvietnam.com (c/việc) (c/việc) (c/việc) “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” b/ Gv học sinh lập bảng phân tích: (gọi ẩn gián tiếp) Hai người Người Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) 16 Năng suất làm việc x x Người y 16 (đk: < x < ) 16 y (đk: < y < ) 16 */ Gv ý h/s cách phân tích đề giống ta gọi ẩn gián tiếp -Gv nhấn mạnh: Nếu ta gọi ẩn gián tiếp tức gọi suất làm việc người ẩn toán ta gọi ẩn nào? h/s: gọi suất làm việc đội x (c/việc) suất làm việc đội y (c/việc) -Điều kiện ẩn? h/s: < x < 1 ,0 Gv nhấn mạnh lại cách phân tích đề lập bảng Giải: (Gv hướng dẫn học sinh lập luận để lập hệ phương trình dựa vào bảng phân tích làm theo sơ đồ bước: từ bước (1) đến bước (6) để lập pt(1); từ bước (7) đến bước (9) để lập pt (2) theo sơ đồ đây: ) Thời gian hoàn Năng suất làm việc thành công việc (giờ) Hai (5) 16 (6) 16 người Người (1) x (3) x (đk: < x < ) 16 Người y (4) (2) y (đk: < y < -Yêu cầu h/s dựa vào bảng phân tích lập luận để lập pt (1): x  y  (7) (8) Thời gian làm người 1: người 2: (9) ) 16 16 Khối lượng c/việc 3.x (c/việc) 6.y (c/việc) người làm (c/việc) 25% = -Yêu cầu h/s dựa vào phần phân tích thứ để lập pt (2) : 3x  y  -Vậy ta có hệ phương trình nào? h/s: � x  y  � � 16 � � 3x  y  � -Yêu cầu lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình h/s giải hpt tìm nghiệm : �1 �  24 x � � � 24 �x (TM) � �1 � �y  �  48 � 48 �y -Kiểm tra lại điều kiện trả lời toán: Vậy người thứ hồn thành cơng việc 24 người thứ hai hồn thành cơng việc 48 Gv nhấn mạnh: Với cách gọi ẩn trả lời phải ý: Thời gian hồn thành cơng việc người là: Giaovienvietnam.com x “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” Thời gian hồn thành cơng việc người là: y Gv củng cố lại cách làm -Em so sánh hệ phương trình cách gọi ẩn trực tiếp gọi ẩn gián tiếp hệ phương trình dễ giải hơn? h/s: hệ pt cách gọi ẩn gián tiếp dễ giải Gv nhấn mạnh lại: Trong dạng toán ta nên gọi ẩn gián tiến lập hệ phương trình hệ phương trình dễ giải cách gọi ẩn trực tiếp phải ý trả lời */Bài toán 2: (Bài 38/24 SGK Toán – Tập 2) “Nếu hai vòi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) bể đầy sau 20 phút Nếu mở vòi thứ 10 phút mở vịi thứ hai 12 phút bể nước Hỏi mở riêng vòi thời gian để vịi chảy đầy bể bao nhiêu? ” 15 */ Gv học sinh phân tích đề bài: -Yêu cầu h/s đọc đề toán -Bài toán thuộc dạng nào? - Hãy đổi thời gian giờ? 20 phút = , 10 phút = , 12 phút = Gv lưu ý học sinh đổi thời gian phải đưa dạng phân số Tương tự toán 1: Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng pt: Thời gian chảy đầy bể Năng suất chảy (h/thành c/việc) (giờ) (làm việc) Hai vòi Vòi Vòi x (5) (3) (1) x (đk: < x < ) (2) y (4) (6) y (đk: < y < ) -Nhìn vào bảng phân tích lập pt (1)? h/s: x  y  -Bài tốn cho biết thêm điều gì? h/s trả lời: Thời gian chảy (7) vòi 1: (8) vòi 2: (9) giờ vòi chảy Khối lượng c/việc được x (bể) y (bể) (bể) 15 -Vậy với thời gian vịi chảy phần bể? Giaovienvietnam.com “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt -Từ phân tích, lập pt (2)? h/s: 1 x y  15 -Từ ta có hệ phương trình nào? � x y  � � � �x  y  �� h/s: có hpt: �1 � x y  � 5x  y  � �6 15 Giải: Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào bước bảng phân tích h/s đứng trả lời �1 � 2 x  � � � �x -Yêu cầu h/s giải hpt nghiệm : � (TM) � �1 �y  � 4 � �y -Yêu cầu h/s đứng trả lời toán: Vậy vịi thứ chảy đầy bể vịi thứ hai chảy đầy bể Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải ý: x Thời gian hồn thành cơng việc người là: y Thời gian hoàn thành cơng việc người là: */Bài tốn 3: (Bài 32/23 SGK Toán – Tập 2) đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm vòi thứ hai sau đầy “Hai vịi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) sau bể Hỏi từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể? ” */ Gv h/s phân tích: -Yêu cầu h/s đọc đề toán -Bài toán thuộc dạng nào? Tương tự ví dụ : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng h/s: Đổi 4 24 = 5 Gv lưu ý học sinh đổi thời gian phải đưa dạng phân số Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) Hai vịi Vòi Giaovienvietnam.com (5) (3) 24 x Năng suất làm việc (6) 24 (1) x (đk: < x < ) 24 “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” Vòi (2) y (4) y (đk: < y < ) 24 h/s: x  y  -Vậy lập pt (1) nào? 24 -Bài tốn cho biết thêm điều gì? h/s trả lời: Thời gian chảy (7) (8) Khối lượng c/việc vòi 1: + vòi 2: (9 + y ).x (bể) (bể) (9) vòi chảy đầy bể = 100% = -Vậy với thời gian vịi chảy phần bể? h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt */Gv ý học sinh: - Vòi chảy mở thêm vòi Tức là: vòi chảy + 6 vòi chảy 5 - Chảy đầy bể tức 100% bể = -Vậy ta có phương trình lập nào? h/s: (9 + 6 ).x + y = 5 Gv: Ngoài cách lập pt (2) ta cách khác sau: -Vịi chảy giờ? h/s trả lời -Hai vòi chảy chung giờ? Gv vẽ sơ đồ phân tích : vịi 1: Thời gian vòi 1: (7) (8) sau vịi: vịi: k/lượng c/việc 9.x (bể ) 24 (9) Khi chảy đầy bể = 100% (bể ) = -Trong vòi chảy phần bể? h/s trả lời - gv ghi xuống bên sơ đồ -Trong vòi chảy phần bể? h/s trả lời - gv ghi xuống bên sơ đồ -Vậy ta có phương trình (2) nào? h/s: 9.x + = � 9.x   24 -Từ ta có hpt nào? Giaovienvietnam.com (bể ) “Hướng dẫn Phân tích đề giải toán cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” � x y  � � 24 h/s: � � 9x   � Giải -Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào bước bảng phân tích h/s đứng trả lời �1 �  12 x  � � � 12 �x -Yêu cầu h/s giải hpt tìm nghiệm : � (TM) � �1 �y  � 8 � � �y -Yêu cầu h/s đứng trả lời tốn: Vậy từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải ý: x Thời gian hồn thành cơng việc người là: y Thời gian hồn thành cơng việc người là: */ Bài toán 4: (Bài – Đề kiểm tra chương III- Sách nâng cao Toán 9, Tập - Nhà xuất Hà Nội ) “Hai đội công nhân làm đoạn đường 24 ngày xong Mỗi ngày đội thứ hai làm khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội thứ Hỏi làm đội làm xong đoạn đường bao lâu? “ */ Gv h/s phân tích: -Yêu cầu h/s đọc đề toán -Bài toán thuộc dạng nào? Tương tự ví dụ : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng Hai đội Đội Đội Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) (5) 24 (3) (4) -Vậy lập pt (1) nào? x Năng suất làm việc (6) 24 (1) x (đk: < x < y h/s: x  y  (2) ) 24 y (đk: < y < ) 24 24 -Bài toán cho biết thêm điều gì? h/s: Mỗi ngày đội thứ hai làm khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội thứ - Em hiểu điều nào? Giaovienvietnam.com “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” h/s: Năng suất đội hai làm gấp đôi suất đội -Vậy ta có phương trình lập nào? h/s: y = 2.x -Từ ta có hpt nào? � �x  y  24 h/s: � � �y  x Giải -Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào bước bảng phân tích h/s đứng trả lời � x � � 72 -Yêu cầu h/s giải hpt nghiệm : � �y  � 36 �1  72 � �x (TM) � �1 �  36 �y -Yêu cầu h/s đứng trả lời toán Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải ý: x Thời gian hồn thành cơng việc người là: y Thời gian hoàn thành cơng việc người là: */ Bài tốn 5: (Bài – Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2007 -2008 tỉnh Đăk Lăk) “Hai máy cày làm việc xong cánh đồng Nếu máy thứ làm 18 việc máy thứ hai làm việc 10 hai máy cày 10% cánh đồng Hỏi máy cày làm việc riêng cày xong cánh đồng giờ? */ Gv h/s phân tích: -Yêu cầu h/s đọc đề toán -Bài toán thuộc dạng nào? -Bài tốn có khác so với tốn trước? h/s: Bài tốn khơng cho thời gian hồn thành cơng việc hai đội -Vậy tốn cho điều gì? h/s: Cho hai máy cày làm việc cày xong cánh đồng 18 -Vậy thời gian cày xong cánh đồng máy bao lâu? h/s: Thời gian cày xong cánh đồng máy là: 5.18 = 90 Tương tự ví dụ : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng Hai máy Máy Giaovienvietnam.com Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) (5) 90 (3) x Năng suất làm việc (6) 90 (1) x (đk: < x < ) 90 “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” Máy (2) y (4) y (đk: < y < ) 90 -Vậy lập pt (1) nào? h/s: x  y  90 -Bài tốn cho biết thêm điều gì? h/s trả lời: Thời gian làm Khối lượng c/việc (7) máy 1: 6.x (cánh đồng ) (8) máy 2: 10 10.y (cánh đồng ) (9) máy làm 10% = (cánh đồng ) 10 -Vậy với thời gian máy làm phần cánh đồng? h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt -Vậy ta có phương trình lập nào? h/s: 6.x  10.y    10 -Từ ta có hpt nào? � x y  � � 90 h/s: � � x  10 y  � 10 Giải: Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào bước bảng phân tích h/s đứng trả lời �1 �  360 x � � � 360 �x -Yêu cầu h/s giải hpt nghiệm : � (TM) � �1 �y  �  120 � 120 � �y -Yêu cầu h/s đứng trả lời toán Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải ý: x Thời gian hồn thành cơng việc người là: y Thời gian hồn thành cơng việc người là: Như thông qua ví dụ ta thấy: Sau em giải tốn cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” cần lập bảng phân tích em dựa vào để lập luận lập hpt, cách gọi ẩn gián tiếp khiến cho hệ phương trình em lập dễ dàng giải Cũng cần nhấn mạnh thêm tất tập giải tốn cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” áp dụng cách phân tích bảng để lập hệ phương trình Giaovienvietnam.com “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình Dạng: Làm chung-làm riêng” Giaovienvietnam.com ... gián tiếp hệ phương trình dễ giải hơn? h/s: hệ pt cách gọi ẩn gián tiếp dễ giải Gv nhấn mạnh lại: Trong dạng toán ta nên gọi ẩn gián tiến lập hệ phương trình hệ phương trình dễ giải cách gọi ẩn... tập giải tốn cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” áp dụng cách phân tích bảng để lập hệ phương trình Giaovienvietnam.com “Hướng dẫn Phân tích đề giải tốn cách lập hệ phương trình. .. em giải tốn cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” cần lập bảng phân tích em dựa vào để lập luận lập hpt, ngồi cách gọi ẩn gián tiếp khiến cho hệ phương trình em lập dễ dàng giải