Phương pháp giải toán Hình học 7

Phương pháp giải tốn Hình học PHẦN LÝ THUYẾT Hai góc đối đỉnh : Là góc có cạnh góc tia đối cạnh góc kia, hai góc đối đỉnh GT hai góc đối đỉnh KL Chú ý: - Với n đường thẳng phân biệt giao điểm có 2n tia chung gốc Số góc tạo hai tia chung gốc là: 2n(2n-1) : = n( 2n – 1) Trong có n góc bẹt Số góc cịn lại 2n(n – 1) Số cặp góc đối đỉnh là: n(n – 1) - Hai góc bù hai góc có tổng 180 0, hai góc phụ hai góc có tổng 90 0, góc bẹt góc có số đo 1800, góc tù góc có số đo nằm khoảng từ 90 đến 1800, góc vng = 900, góc nhọn có số đo nằm khoảng 00 đến 900 Đường trung trực đoạn thẳng: Là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm đoạn thẳng d  AB t� iI � �� IA =IB � - d trung trực AB -Tính chất: Mọi điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng M �d � MA = MB Góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng: - Khi đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo cặp góc sole trong, sole ngồi, đồng vị, phía - Các cặp góc sole trong: A1 B3; A4 B2 - Các cặp góc sole ngồi: A3 B1; A2 B4 - Các cặp góc đồng vị: A2 B2; A1 B1;A3 B3; A4 B4 - Các cặp góc phía : A1 B2; A4 B3 - Các cặp góc ngồi phía: A2 B1; A3 B4 Phương pháp giải toán Hình học Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song cặp góc sole nhau, cặp góc sole ngồi nhau, cặp góc đồng vị nhau, cặp góc phía, ngồi phía bù - Có a // b ; c � a = {A}; c � b = {B} M A2 * Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song - C� p so le trong; so le ngo� i; a B4 b � � � � ng v� b� ng � �� - C� p g� c c� ng ph� a; ngo� i� � c� ng ph� a b�nhau � a // b Tiên đề Ơclit : Qua điểm nằm đường thẳng tồn đường thẳng song song với đường thẳng cho A�a � � b qua A �� b // a � � b Từ vng góc đến song song: GT Cho a ; b phân biệt ; a // b ; b // c KL a // c GT KL Cho a ; b phân biệt ; a // b ; b a c  c Phương pháp giải tốn Hình học GT KL Cho a ; b phân biệt ; a a // b  c;b  c Tổng góc tam giác: Trong tam giác, tổng ba góc 1800 GT ΔABC KL Trong tam giác vng, tổng hai góc đáy 900 GT ΔABC; KL Trong tam giác, tổng hai góc ΔABC; GT Cx góc ngồi C KL Các trường hợp tam giác *Trường hợp : Cạnh – cạnh – cạnh - Nếu cạnh tam giác cạnh tam giác hai tam giác *Trường hợp : Cạnh – góc – canh - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác *Trường hợp : Góc – cạnh – góc Nếu cạnh hia góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Các trường hợp tam giác vuông *Trường hợp : Hai cạnh góc vng - Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng *Trường hợp : Cạnh góc vng góc nhọn kề - Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng M a A2 *Trường hợp : Cạnh huyền góc nhọn B4 b Phương pháp giải tốn Hình học - Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng *Trường hợp : Cạnh huyền cạnh góc vng - Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Tam giác cân - Định nghĩa: ΔABC cân A � AB = AC - Tính chất: ΔABC cân A - Tính chất đường: Đường cao từ đỉnh phân giác, đường trung trực cạnh đáy… 10 Tam giác - Định nghĩa: ΔABC � AB = BC = AC - Tính chất: ΔABC A  - Tính chất đường: Đường cao từ đỉnh đồng thời đường phân giác, trung trực cạnh đáy…… 11 Tam giác vuông: Tam giác ABC vuông A, đường cao AH: AC2=BC.HC ; AB2=BC.HB ; AB.AC=BC.AH ; Định lí Pi-ta-go : Trong tam giác vng, tổng bình phương hai cạnh góc vng bình phương cạnh huyền - Thuận: GT ΔABC có KL BC2=AB2+AC2 - Đảo: GT ΔABC có BC2=AB2+AC2 KL 12 Quan hệ cạnh góc tam giác Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn lớn ngược lại GT ΔABC; AB < AC KL GT ΔABC; KL AB < AC 13 Bất đẳng thức tam giác Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu hai cạnh nhỏ tổng hai cạnh lại |AC – AB| < BC < AC + AB 14 Quan hệ đường vng góc đường xiên đường Phương pháp giải tốn Hình học Đường xiên lớn đường vng góc, đường xiên lớn hình chiếu tương ứng lớn ngược lại GT A�d;B,C �d; AH  d   H KL Có AH ngắn AC > AB � HC > HB AB = AM � HB = HM 15 Các đường tam giác a) Đường cao: Là đường kẻ từ đỉnh vng góc với cạnh đối diện, đường cao tam giác đồng quy điểm gọi trực tâm tam giác b) Đường phân giác tam giác: Là đường chia góc tam giác thành phần Ba đường phân giác cắt điểm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ( đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác cách cạnh tam giác - Một điểm nằm đường phân giác góc ln có khoảng cách tới hai cạnh - Phân giác phân giác ngồi góc vng góc với - Trong tam giác, hai đường phân giác ngồi hai góc đồng quy với đường phân giác góc cịn lại Tính chất: Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc Nếu điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc c) Đường trung tuyến tam giác: Là đường kẻ từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện Ba đường trung tuyến đồng quy điểm trọng tâm tam giác Phương pháp giải tốn Hình học Nếu O trọng tâm tam giác 2OE=OA; 2OD=OC; 2OF=OB d)Đường trung trực tam giác: Là đường qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Ba đường trung trực tam giác đồng quy điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( Đường tròn qua đỉnh tam giác) - Một điểm nằm trung trực cách hai đầu mút đoạng thẳng e) Đường trung bình tam giác: Là đường qua trung điểm cạnh bên tam giác Đường trung bình song song nửa cạnh đáy - CÁC CHÚ Ý ĐẶC BIỆT Trong tam giác cân, đường cao, đường trung tuyến, trung trực, phân giác đỉnh cân Trong tam giác đều, tất đường từ đỉnh Trong tam giác vuông: đường trung tuyến nửa cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 30 có độ lớn nửa cạnh huyền Phương pháp giải toán Hình học MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HAY DÙNG TRONG HÌNH HỌC Các phương pháp chứng minh định lý : Muốn chứng minh định lý " Nếu A B " ( ký hiệu A B) ta dùng phương pháp sau : Chứng minh từ A ta suy C từ C ta suy B Phương pháp gọi phương pháp: chứng minh trực tiếp Giả sử A ta suy ( có nội dung trái ngược với B ) ta dẫn đến điều vô lý Vậy giả sử sai, nghĩa từ A suy B Phương pháp gọi phương pháp: chứng minh phản chứng Các phương pháp chứng minh hai góc đối đỉnh : Muốn chứng minh hai góc xOy x'Oy' hai góc đối đỉnh ta dùng phương pháp sau : Chứng minh tia Ox tia đối tia Ox' ( Oy' ) tia Oy tia đối tia Oy' ( Ox' ), tức hai cạnh góc tia đối hai cạnh góc ( định nghĩa ) Chứng minh xOy = x'Oy' ; tia Ox tia Ox' đối hai tia Oy tia Oy' nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng xx' (hệ định nghĩa ) Các phương pháp chứng minh điểm trung điểm đoạn thẳng Muốn chứng minh điểm B trung điểm đoạn thẳng AC ta dùng phương pháp sau đây: 1.Chứng minh rằng: AB + BC = AC AB = BC (định nghĩa ) 2.Chứng minh rằng: Điểm B nằm hai điểm A, C AB = AC (hệ định nghĩa ) 3.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB = BC (hệ định nghĩa ) 4.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB, BC hai cạnh tương ứng hai tam giác Các phương pháp chứng minh đường thẳng đường trực đoạn thẳng : Muốn chứng minh đường thẳng a đường trung trực đọan thẳng AB ta dùng phương pháp sau : 1.Chứng minh a vng góc với AB trung điểm I AB ( định nghĩa ) Lấy điểm M tùy ý đường thẳng a chứng minh MA = MB Các phương pháp chứng minh hai góc nhau: Muốn chứng minh hai góc ta dùng phương pháp sau : 1.Chứng minh hai góc có số đo 2.Chứng minh hai góc góc thứ ba,chứng minh hai góc phụ với góc ,chứng minh hai góc bù với góc 3.Chứng minh hai góc tổng ,hiệu hai góc tương ứng 4.Chứng minh hai góc đối đỉnh 5.Chứng minh hai góc nhọn tù có cạnh tương ứng song song vng góc Phương pháp giải tốn Hình học 6.Chứng minh hai góc hai góc tương ứng hai tam giác 7.Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân 8.Chứng minh hai góc hai góc tam giác 9.Chứng minh dựa vào định nghĩa tia phân giác góc 10.Chứng minh dựa vào tính chất hai đường thẳng song song (đồng vị, so le) Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng : Muốn chứng minh hai đoạn thẳng ta dùng phương pháp sau : 1.Chứng minh hai đoạn thẳng có số đo 2.Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba 3.Chứng minh hai đoạn thẳng tổng, hiệu, hai đoạn thẳng đôi 4.Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh tương ứng hai tam giác 5.Chứng minh hai đoạn thẳng suy từ tính chất tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, v.v 6.Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào định nghĩa trung điểm đoạn thẳng ,định nghĩa trung tuyến tam giác,định nghĩa trung trực đoạn thẳng,định nghĩa phân giác góc 7.Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 8.Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào tính chất giao điểm ba đường phân giác tam giác,tính chất giao điểm ba đường trung trực tam giác 9.Chứng minh dựa vào định lí Pitago Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song : Muốn chứng minh a // b ta dùng phương pháp sau : Chứng minh hai góc so le : a 4A ( dấu hiệu song song ) 2 Chứng minh hai góc đồng vị : hoặc b (Dẫn tới dấu hiệu song song ) B4 Chứng minh hai góc phía bù : c ( Dẫn tới dấu hiệu song song ) Chứng minh hai góc sole (Dẫn tới dấu hiệu song song ) 5.Chứng minh hai góc ngồi phía bù (Dẫn tới dấu hiệu song song ) c 6.Chứng minh a b vng góc a với đường thẳng c 7.Chứng minh a b song song với đường thẳng c b Để chứng minh a//b Ta giả sử a b có điểm chung dẫn đến điều vô lý ( chứng minh phản chứng ) Phương pháp giải tốn Hình học Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc : Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với ta dùng phương pháp sau : 1.Chứng minh góc tạo thành hai đường thẳng góc vng (định nghĩa ) 2.Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù 3.Chứng minh dựa vào tính chất tổng góc tam giác 180, ta chứng minh cho tam giác có hai góc phụ suy góc thứ ba 90 4.Chứng minh dựa vào định lí "đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng " 5.Chứng minh dựa vào định nghĩa ba đường cao tam giác, định nghĩa đường trung trực đoạn thẳng 6.Chứng minh dựa vào tính chất tam giác cân , tam giác 7.Chứng minh dựa vào tính chất ba đường cao tam giác 8.Chứng minh dựa vào định lí Pitago 9.Chứng minh dựa vào định lí nhận biết tam giác vng biết tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nửa cạnh Các phương pháp chứng minh tam giác tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông : *Muốn chứng minh ABC tam giác cân ta dùng phương pháp sau : 1.Chứng minh hai cạnh : AB = AC BA = BC CA = CB ( định nghĩa ) 2.Chứng minh hai góc : hoặc 3.Chứng minh:Một đỉnh nằm đường trung trực cạnh đối diện ( để dẫn tới định nghĩa ) 4.Chứng minh : Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh trùng với đường cao phát xuất từ đỉnh (để dẫn tới định nghĩa ) Chứng minh hai đường trung tuyến, hai đường cao…bằng *Muốn chứng minh ABC tam giác ta dùng phương pháp sau : 1.Chứng minh ba cạnh : AB = BC = CA ( định nghĩa ) 2.Chứng minh ba góc 600 : hoặc 3.Chứng minh : Tam giác ABC tam giác cân có góc 60 (để dẫn tới định nghĩa ) *Muốn chứng minh ABC tam giác vng ta dùng phương pháp sau : Chứng minh tam giác có góc vng 2.Dùng định lý Pytago đảo 3.Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng” TAM GIÁC CÂN TAN GIÁC ĐỀU TAM GIÁC VNG CÂN Phương pháp giải tốn Hình học A A HÌNH VẼ C B B ABC cân A AB = AC Định nghĩa +B=C = Tính chất Dấu hiệu nhận biết B - Tam giác có hai cạnh nhau(ĐN) - Tam giác có hai góc nhau(TC) C CBC AB = BC = CA A=B=C = 600 - Tam giác có cạnh - Tam giác có góc - Tam giác cân có góc 600 A C ABC vuông cân A A = 900 AB = AC B = C = 450 - Tam giác vng có hai cạnh góc vng - Tam giác cân có góc đỉnh 900 11 Các phương pháp chứng minh đường vuông góc : Muốn chứng minh AH đường vng góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng a ta dùng phương pháp sau đây: 1.Chứng minh : AH a (định nghĩa) 2.Lấy điểm B tùy ý a Chứng minh AH < AB (Dễ chứng minh AH a phản chứng ) 12 Các phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng: Muốn chứng minh điểm thẳng hàng ta dùng phương pháp sau: 1.Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm hai cạnh hai tia đối x Ta có BAx + xAC = 180 B, A, C thẳng hàng B A C 2.Chứng minh ba điểm thuộc tia thuộc đường thẳng 3.Chứng minh ba đoạn nối hai ba điểm có đoạn thẳng tổng hai đoạn thẳng A C B Phương pháp giải tốn Hình học b Chứng minh : BE + CF = EF c Xác định vị trí d để A trung điểm EF HD: a, => ΔABE = ΔACF(ch-gn) b, BE+CF=AF+AE=EF c, để A trung điểm FE AE=FA mà FA=EB nên EB=EA suy hay d//BC Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên cạnh huyền BC lấy M cho BM = BA, Trên cạnh AC lấy N cho AN = AH Chứng minh : a AM phân giác góc HAC b MN vng góc AC c AH + BC > AB + AC HD: a, ; mà nên b, MAH=MAN (c.g.c) nên c, Giả sử AB+AC3/2(AB+BC+CA) hay BE+CF+AD>3/4(AB+BC+CA).(1) Theo câu a: AB+AC>2AD, tương tự: AC+CB>2CF; BC+BA>2BE cộng vế bất đẳng thức ta được: 2(AB+BC+CA)>2(AD+BE+CF) hay AB+BC+CA>AD+BE+CF.(2) Từ (1)(2) => chu vi  ABC < AD + BE + CF < chu vi  ABC d, - GH=GA=2/3AD; GC=2/3CF; CH=BG=2/3BE - Ba đường trung tuyến HI; GJ; BD Ta có: BD=1/2BC; HI==AE=1/2AC; GJ=1/2AB( GJ đường trung bình tam giác HAB) Bài 4: Cho  ABC cân A, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho HD = HA Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = CB a Chứng minh C trọng tâm  ADE b Tia AC cắt DE M Chứng minh AE// HM Bài 5: Cho  ABC, O điểm nằm tam giác Vẽ BH CK vng góc đường thẳng AO Cho biết tam giác AOB, BOC, COA có diện tích nhau, chứng minh rằng: a BH = CK b O trọng tâm  ABC Bài 6.Cho tam giác ABC cân A có AD đường phân giác a Chứng minh ABD  ACD b Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm A; D; G thẳng hàng c Tính DG biết AB = 13cm ; BC = 10cm Bài 7:Cho  ABC cân A, AB đường phân giác AI a Chứng minh IBA=ICA b Các đường trung tuyến BM CN cắt G Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng c Cho AB = 10 cm, BC = 12 cm Tính AG? Bài 8: Cho ΔABC vuông A, đường trung tuyến CM Phương pháp giải tốn Hình học a) Cho biết BC = 10cm, AC = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, BM b) Trên tia đối tia MC lấy điểm D cho MD = MC Chứng minh ΔMAC = ΔMBD AC = BD c) Chứng minh AC + BC > 2CM d) Gọi K điểm đoạn thẳng AM cho Gọi N giao điểm CK AD, I giao điểm BN CD Chứng minh rằng: CD = 3ID Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = 2AB Gọi M trung điểm BC, N trung điểm BM Trên tia đối tia NA lấy điểm E cho AN = EN Chứng minh: a) tam giác NAB = tam giác NEM b) Tam giác MAB tam giác cân c) M trọng tâm tam giác AEC AB > AN ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Bài 1: Cho  ABC,  = 1200, phân giác AD, BE, CF Tính chu vi DEF biết DE = 21cm, DF = 20cm Bài 2: Cho góc xOy Lấy điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Vẽ tia phân giác góc BAx ABy cắt M Từ M vẽ đường thẳng vng góc với OM, cắt Ox, Oy C D Chứng minh  ACD cân Bài 3: Cho ABC, B=1200, phân giác BD, CE Đường thẳng chứa tia phân giác đỉnh A  ABC cắt đường thẳng BC F Chứng minh rằng: a ADF = BDF b Ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài 4: Cho ABC, tia phân giác góc B góc C cắt O Từ A vẽ đường thẳng vng góc với OA, cắt tia BO CO M N Chứng minh BM  BN CM  CN Bài 5: Cho ABC, B=450, đường cao AH, phân giác BD Cho biết góc BDA = 450 chứng minh HD// AB Bài 6: Cho  ABC vng góc A, AB =3, AC = Phân giác góc B, góc C cắt O Vẽ OE  AB; OF  AC a Chứng minh AB + AC - BC = 2AE b Tính khoảng cách từ O tới đỉnh cạnh  ABC c Tính OA, OB, OC Bài 7: Cho tam giác ABC vng A có AB = 5cm, BC = 10cm a) Tính độ dài AC b) Vẽ đường phân giác BD ΔABC gọi E hình chiếu D BC Chứng minh ΔABD = ΔEBD c) Gọi giao điểm hai đường thẳng ED BA F Chứng minh: ΔABC = ΔAFC d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt CF G Phương pháp giải tốn Hình học Chứng minh ba điểm B, D, G thẳng hàng ĐƯỜNG TRUNG TRỰC Bài 1: Cho  ABC cân A Trên cạnh AB AC lấy điểm M N cho AM + AN = AB a Đường trung trực AB cắt tia phân giác góc A O Chứng minh  BOM =  AON b Chứng minh M N di động hai cạnh AB AC có AM + AN = AB tbì đường trung trực MN ln qua điểm cố định Bài 2: Cho góc xOy = a0, A điểm di động góc góc Vẽ điểm M N cho đường Ox đường trung trực AM, đường thẳng Oy đường trung trực AN a Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định b Tính giá trị a để O trung điểm MN Bài 3: Cho góc vng xOy A điểm cố định góc Một góc vng đỉnh A quay quanh A, có hai cạnh cắt Ox, Oy B C Gọi M trung điểm BC Chứng minh M di động đường thẳng cố định Bài 4: Cho  ABC không vuông Các đường trung trực AB AC cắt O, cắt đường thẳng BC theo thứ tự M N Chứng minh tia AO tia phân giác góc MAN Bài 5: Cho  ABC Trên tia BA lấy điểm M, tia CA lấy điẻm N cho BM + CN = BC Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định ĐƯỜNG CAO Bài 1: Cho ABC vuông cân B Trên cạnh AB lấy điểm H cho Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho BK = BH Tính góc AKH Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE gặp H Vẽ điểm K cho AB trung trực HK Chứng minh góc KAB = góc KCB Bài 3: Tam giác ABC có cạnh BC cạnh lớn Trên cạnh Bc lấy điểm D E cho BD = BA CE = CA Tia phân giác góc B cắt AE M; tia phân giác góc C cắt AD N Chứng minh tia phân giác góc BAC vng góc với MN Bài 4: Cho ABC cân A ( ), vẽ BD  AC CE  AB Gọi H giao điểm BD CE a) Chứng minh :  ABD =  ACE b) Cho tính số đo góc BCE c) Chứng minh  AED cân d) Chứng minh AH đường trung trực BC Bài 5: Cho ABC , hai đường cao BD CE, Gọi M N trung điểm BC DE Chứng minh MN vuông DE Phương pháp giải tốn Hình học BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho ABC cân A,  = 30 ; BC = Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = a Tính góc ABD b So sánh ba cạnh  DBC Bài 2: Cho  ABC cân A, Â= 1080 Gọi O giao điểm đường trung trực, I giao điểm tia phân giác Chứng minh BC đường trung trực OI Bài 3: Cho  ABC có , phân giác AD Trên AD lấy điểm O Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho góc ABM = góc ABO Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho góc CAN = góc ACO Chứng minh rằng: a AM = AN b  MON tam giác Bài 4: Cho  ABC cân A, cạnh đáy nhỏ cạnh bên Đường trung trực AC cắt đường thẳng BC M Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN = BM a Chứng minh b Chứng minh CM = CN c Muốn cho CM  CN tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện gì? HD: a, =1800-2 b,ANC=BMA nên NC=MA c,  ABC cân A có Bài 5: Cho ABC nhọn, M trung điểm BC, đường cao BD CE a Chứng minh ME=MD b Gọi H trung điểm DE CMR : MH vuông ED c Gọ I,K trung điểm BE DC Tìm điều kiện ABC để MI=MK HD: a ME=MD=1/2.BC c ABC cân A Bài 6: Cho ABC trung tuyến AM, I trung điểm BM, tia đối IA lấy E cho IE=IA a b c d Điểm M trọng tâm tam giác nào? Gọi F trung điểm CE, CMR: A,M,F thẳng hàng So sánh BE AF EM cắt AC K, chứng minh IK//EC HD: a Tam giác AEC, c.BE=AM, d IK đường trung bình kéo dài KQ=KI, IQC=CEI Bài 7: ABC cân A đường phân giác góc B C cắt E Gọi G,H,K chân đường vng góc kẻ từ E tới BC, AB, AC a So sánh EH,EG,EK b Chứng minh AE phân giác góc BAC c Đường thẳng d vng góc với AE A cắt EB,EC D,F Chứng minh BF phân giác góc B d Gọi O giao AE BF Chứng minh C,O,D thẳng hàng HD:a, EH=EG=EK c, ACF cân nên ABE cân, d, Chứng minh DC phân giác góc C Phương pháp giải tốn Hình học Bài 8: Cho ABC có góc B>C kẻ AH vuông BC a So sánh BH,CH b Lấy D thuộc tia đối BC cho BD=BA Lấy E thuộc tia đối CB cho CE=CA Chứng minh Từ so sánh AD,AE c M K trung điểm AD AE, BM đường ABD d MB giao KC I, Chứng minh AI phân giác góc A e Chứng minh trung trực DE qua I HD: EDA CBA cân, từ tính hai góc đáy Bài 9: Cho ABC vng C, có góc A 600 Tia phân giác góc BAC cắt BC E Kẻ EK vng góc với AB( K thuộc AB) a Chứng minh AC =AK AE CK b Chứng minh KA = KB c Chứng minh EB > AC d Kẻ BD vng góc với tia AE( D thuộc tia AE) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, KE qua điểm Bài 10: Cho ∆ABC nhọn có AC > AB, đường cao AH a Chứng minh HC > HB b Vẽ trung tuyến AM, tia đối tia MA lấy điểm D cho AM = MD Chứng minh : ∆ABM =∆DCM So sánh góc ADC góc DAC c So sánh góc BAH góc CAH d) Vẽ hai điểm P, Q cho AB, AC trung trực đoạn thẳng HP HQ Chứng minh tam giác APQ cân HD: a, Cách 1: AC có hình chiếu HC, AB có hình chiếu HB mà AC>AB nên HC>HB Cách 2: Theo Pytago: HC2=AC2-AH2; HB2=AB2-AH2 mà AC>AB nên HC>HB b, ∆MAB=∆MDC nên AB=CD mà AB IDAC E F I A B H C M D Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => góc FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) (2) => CAI = FIA => IC = AC = AF (3) góc E FA = 1v (4) Mặt khác góc EAF = BAH (đđ), góc BAH = ACB ( phụ ABC) =>góc EAF = ACB (5) Từ (3), (4) (5) => AFE = CAB =>AE = BC Phương pháp giải tốn Hình học Bài 17*: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC  H �BC  Biết HD: a/ AMC = EMB (c.g.c ) � AC = EB; Suy AC // BE b/ AMI  EMK ( c.g.c ) => mà c/ Trong tam giác vuông BHE có => => � Ba điểm I;M;K thẳng hàng A tam giác ABC) Tia phân Bài 5: Cho tam giác ABC cân A có , vẽ tam giác DBC (D nằm giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC 20 b) AM = BC M HD: a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c) suy D b)  ABC cân A,  ABC nên Tia BD nằm hai tia BA BC suy ra: Tia BM phân giác góc B ABD nên C  ABM =  BAD (g.c.g) => AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 18*: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC a Chứng minh: DC = BE DC  BE b Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME ABC =EMA c Chứng minh: MA HD:  BC Phương pháp giải tốn Hình học => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE  Xét AIE TIC => góc CTI = 900 => DC BE b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)=> AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì DA//ME => góc DAE + AEM = 1800 ( phía ) mà BAC + DAE = 1800 => góc BAC = AEM ( ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => ABC = EMA ( đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP Xét  MH AHC = EPA : => góc EPA = AHC => góc AHC = 900 => MA  BC (đpcm) Bài 19: Từ điểm O tùy ý tam giac ABC,kẻ OM,ON,OP vng góc với cạnh BC,CA,AB CMR: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 Bài 20: Cho tam giác ABC nhọn có AB MG vng góc PN, mà AC vng góc PN nên MG//AC d, Gọi MG giao PN O, suy O trung điểm NP => GP+GN>2GO hay GP+GN>GM Bài 25: Cho ABC vng A phân giác góc B góc C cắt I.Gọi D,E,F hình chiếu I lên AB,AC,BC a Chứng minh: AI DE vng góc với trung điểm đoạn b IF=(AB+AC-BC):2 HD: a, Ta có: DIEA hình chữ nhật( có góc vng) mà ID=IE( tính chất phân giác) nên DIEA hình vng Suy AI DE vng góc với trung điểm đoạn b, BDI=BFI(ch-gn) nên BD=BF; CFI=CEI(ch-gn) nên CE=CF Ta có: AB+AC-BC=BD+DA+AE+EC(BF+FC)=DA+DE=2ID=2IF( DIEA hình vng) Bài 26: Cho ABC có M thuộc BC, gọi I K cho AB trung trực MI, AC trung trực MK a CMR: AIK cân b c Tìm vị trí M để chu vi tam giác AIK nhỏ HD: Phương pháp giải tốn Hình học a, AIK cân IA=AK=AM b, nên c, Chu vi tam giác AIK=2AI+KI=2AM+KI Vì khơng đổi nên IK nhỏ AI nhỏ hay 2AM+KI AM nhỏ Suy M chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống BC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Bộ ba đoạn thẳng sau số đo ba cạnh tam giác? A cm, cm, cm B cm, cm, cm C cm, cm, cm Câu 2: Cho hình vẽ: Góc BOC = A 1000 B 1100 C 1200 B D 130 Câu 3: Cho hình vẽ: Điền số thích hợp vào trống: a) MG = ME b) MG = GE c) GF = NG d) NF = GF N A 600 O C M F G E P Câu 4: Cho tam giác ABC vuông B Kẻ đường trung tuyến AM Trên tia đối tia AM lấy E cho MA = ME Chứng minh rằng: a) ABM = ECM b) AB // CE c) Góc BAM > MAC d) Từ M kẻ MH  AC Chứng minh BM > MH Câu 5: Cho tam giác ABC có AB < BC < CA, thì: A B AC; C) AB + AC < BC; D) BC > AB Câu 10: Cho ABC có =700, I giao ba đường phân giác, khẳng định ? ˆ ˆ ˆ ˆ A BIC 110 B BIC 125 C BIC 115 D BIC 140 Câu 11: Cho tam giác ABC cân A, đường trung tuyến AM Cho biết AB = 13 cm, BC = 10 cm a Tính độ dài AM 0 b Trên AM lấy điểm G cho GM = AM Tia BG cắt AC N Chứng minh: NA = NC c Tính độ dài BN d Tia CG cắt AB L Chứng minh LN // BC Câu 12: Trong tam giác, điểm cách ba cạnh tam giác là: A Giao điểm ba đường trung tuyến B Giao điểm ba đường trung trực C Giao điểm ba đường phân giác D Giao điểm ba đường cao Câu 13: Cho tam giác ABC M trung điểm BC G trọng tâm AM =12cm Độ dài đoạn thẳng AG = A 8cm B 6cm C 4cm D 3cm 0 Câu 14: Cho tam giác ABC có =50 , =35 Cạnh lớn tam giác ABC là: A Cạnh AB B Cạnh BC C Cạnh AC D Khơng có Câu 15:Trong tam giác ABC AB = 4cm, AC = 11cm Thì độ dài cạnh BC là: A 5cm B 7cm C 10cm D 16cm Câu 16: Cho tam giác ABC, có AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 5cm Khẳng định sau A) ; B) ; C) ; D) Câu 17: Cho tam giác ABC vuông A Trên hai cạnh AB AC lấy điểm M N Đáp án sau sai ? A BC > AC B MN > BC C MN < BC D BN >BA Câu 18: Cho ABC cân A, vẽ trung tuyến AM Từ M kẻ ME vng góc với AB E, MF vng góc với AC F a) Chứng minh BEM = CFM b) Chứng minh AM đường trung trực EF c) Từ B kẻ đường thẳng vng góc với AB B, từ C kẻ đường thẳng vng góc với AC C Hai đường thẳng cắt D Chứng minh ba điểm A; M; D thẳng hàng d) So sánh ME DC ? Câu 19: Trong ba đoạn thẳng có độ dài sau, trường hợp không độ dài ba cạnh tam giác? Phương pháp giải tốn Hình học A) 9m, 4m, 6m B) 7m, 7m, 3m C) 4m, 5m, 1m D) 6m, 6m, 6m Câu 20: Cho ABC có AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 4cm thì: A) A < B < C B) C < B < A C) A < C < B D) C < A < B Câu 21: Cho MNP vng M, đó: A) MN > NP C) MP > MN B) MN > MP D) NP > MN Câu 22: Các phân giác tam giác cắt điểm, điểm gọi là: A) Trọng tâm tam giác C) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác D) Trực tâm tam giác Câu 23: Trực tâm tam giác giao điểm của: A) Ba đường trung tuyến C) Ba đường trung trực B) Ba đường phân giác D) Ba đường cao Câu 24: Cho G trọng tâm ABC; AM đường trung tuyến (hình vẽ), chọn khẳng định đúng: AG A AM = AG B GM = GM C AM = GM D AG A G B M Câu 25: Cho ABC có AB < AC; AD phân giác Trên AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh: a) ABD = AED b) Trên tia AB lấy điểm F cho AF = AC Chứng minh: FBD = CED c) AD  CF; DF = DC; BE // CF d) Ba điểm F, D, E thẳng hàng Câu 26: Chọn câu trả lời đúng: Tam giác cân có độ dài hai cạnh 5cm, 11 cm chu vi tam giác là: A 27 cm B 21 cm C Cả A, B, C Câu 27: Chọn câu � D Cả A, B, C sai Cho xOy  60 Oz tia phân giác , M điểm tia Oz cho khoảng cách từ M đến cạnh Oy cm Khoảng cách từ M đến cạnh Ox là: A 10 cm B.5 cm C.30 cm D 12 cm Phương pháp giải tốn Hình học Câu 28: Cho  ABC cân A, AH đường phân giác Biết AB= 10 cm, BC=16 cm G trọng tâm ABC Kết luận sau đúng: A AG= cm B GH= cm C AH= cm D Cả A, B, C Câu 29: Gọi I giao điểm phân giác tam giác ABC, O giao điểm ba đường trung trực tam giác Biết BC đường trung trực OI Tìm số đo góc ABC Câu 30: Câu 1) Trong tam giác , đối diện với cạnh lớn góc tù 2) Trong đường xun đường vng góc kẻ từ điểm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường xuyên đường ngắn 3) Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song) ta vẽ tia phân giác góc 4) Trong tam giác cân, đường phân giác địng thời l đường trung tuyến Đúng Sai 5) Tam giác có ba đường trung tuyến tam giác 6) Tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân 7) tam giác ABC cân A có góc đáy nhỏ 600 góc đỉnh lớn 600 Câu 31 :Cạnh lớn tam gic ABC có A AB B AC �A  800;�B  400 : C BC Câu 32 Cho hình Biết AB < AC Trong kết luận sau, kết luận đúng?: A HB < HC B HB > HC C HB = HC Câu 33 Cho hình Tỉ số MG/MR là: A B C Câu 34 Bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau ba cạnh tam giác: A 2cm; 3cn; 6cm B 3cm; 4cn; 6cm C 3cm; 3cn; 6cm Câu 35: Cho tam giác DEF với hai cạnh EF = 1cm; DE = 5cm Tìm độ dài cạnh DF, biết độ dài số nguyên (cm) Câu 36: Điền từ: Giao điểm ba đường cao tam giác gọi là………… Phương pháp giải tốn Hình học Điểm năm trên……….của đoạn thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng Giao điểm ba đường trung tuyến tam giác gọi là…… Tâm đường tròn ngoại tiếp là………… ; Tâm đường tròn nội tiếp là………………… Điểm cách ba cạnh tam giác là……… Điểm cách ba đỉnh tam giác là………… ... 14: J D x x B 20 G A 72  28 Hình C E 50 x 30 F Hình I 90 35 Hình H K x x Hình L Hình hình có số đo x 80 0? (đánh dấu X vào ô vuông) Hình Hình Hình hình Hình 1, hình hình Bài 15: Vẽ tam giác... huyền Phương pháp giải tốn Hình học MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HAY DÙNG TRONG HÌNH HỌC Các phương pháp chứng minh định lý : Muốn chứng minh định lý " Nếu A B " ( ký hiệu A B) ta dùng phương pháp sau... thẳng c 7. Chứng minh a b song song với đường thẳng c b Để chứng minh a//b Ta giả sử a b có điểm chung dẫn đến điều vô lý ( chứng minh phản chứng ) Phương pháp giải tốn Hình học Các phương pháp