CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ - LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 1 CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN Xét hàm số ( ) y f x = có đồ thị ( ) C . Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại ( ) 0 0 ; M x y : ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ' y f x x x y y f x = − + = Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k - Hoành độ tiếp điểm x 0 là nghiệm của phương trình: f’(x 0 ) = 0 (*) - Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm x 0 ⇒ tung độ tiếp điểm y 0 ⇒ bài toán trở về dạng 1 Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) C đi qua điểm ( ) ; M a b Cách 1. (Phương pháp tiếp điểm) - Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với (C) tại điểm ( ) 0 0 ; M x y , suy ra tiếp tuyến ∆ có phương trình dạng ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' y f x x x f x = − + () - Vì ( ) ;M a b ∈∆ nên ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' b f x a x f x = − + (**) - Giải phương trình (**) tìm được x 0 ⇒ bài toán trở về dạng 1. Cách 2. (Phương pháp điều kiện tiếp xúc) - Đường thẳng ∆ đi qua ( ) ; M a b , với hệ số góc k (chưa biết k ) có phương trình dạng ( ) y k x a b = − + (***) - Điều kiện cần và đủ để ∆ tiếp xúc với ( ) C là hệ ( ) ( ) ( ) (1) ' (2) f x k x a b f x k  = − +   =   có nghiệm. - Thế (2) vào (1), giải phương trình tìm được x , sau đó thay x vào (2) tìm được k , rồi thay k vào phương trình (***) ⇒ phương trình tiếp tuyến cần lập. Chú ý : a) Đ/k để hai đường cong ( ) y f x = và ( ) y g x = tiếp xúc nhau là hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f x g x f x g x  =   =   có nghiệm. b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1. c) Hệ số góc của tiếp tuyến 0 '( ), tan k f x k ϕ = = ( ϕ là góc hợp bởi giữa tiếp tuyến và trục hoành). d) Tiếp tuyến có hệ số góc k (chưa biết k ) tạo với đường thẳng y ax b = + một góc ϕ thì tan 1 k a ka ϕ − = + e) Kho ả ng cách t ừ đ i ể m ( ) 0 0 ; M x y t ớ i đườ ng th ẳ ng : y ax b ∆ = + ( 0 ax y b ⇔ − + = ) là : 0 0 2 1 ax y b a − + + . f) ABC ∆ vuông t ạ i A khi và ch ỉ khi . 0 AB AC =   ; ABC ∆ cân t ạ i A khi và ch ỉ khi AB AC = . Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm Bài 1. Tìm , a b để đồ th ị hàm s ố ax 1 b y x + = − c ắ t Oy t ạ i ( ) 0; 1 A − đồ ng th ờ i ti ế p tuy ế n t ạ i A có h ệ s ố góc b ằ ng 3. Đ áp s ố : 4, 1 a b = − = Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 2 Bài 2. Cho hàm số ( ) 3 2 3 1 y f x x x mx = = + + + có đồ thị (C m ). a) Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng 1 y = tại 3 điểm phân biệt ( ) 0;1 , , C D E . b) Tìm m để các tiếp tuyến với (C m ) tại D và E vuông góc với nhau. Đáp số: 9 9 65 )0 ) 4 8 a m b m ± ≠ < = Bài 3. (ĐH Huế khối D-1998) Ch ứ ng minh r ằ ng hàm s ố 4 2 2 2 1 y x mx m = − + − + luôn đ i qua 2 đ i ể m c ố đị nh A và B . Tìm m để các ti ế p tuy ế n t ạ i A và B vuông góc v ớ i nhau. Đ áp s ố : 5 3 ; 4 4 m m = = Bài 4. ( Đ H kh ố i B-2004) Cho hàm s ố 3 2 1 2 3 3 y x x x = − + có đồ th ị (C). Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n d c ủ a (C) t ạ i đ i ể m u ố n và ch ứ ng minh r ằ ng d là ti ế p tuy ế n c ủ a (C) có h ệ s ố góc nh ỏ nh ấ t. Đ áp s ố : 8 / 3 y x = − + Bài 5. (HV Quân Y 1997) Cho hàm s ố 3 1 ( 1) y x m x = + − + có đồ th ị (C m ). a) Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a (C m ) tai các giao đ i ể m c ủ a (C m ) v ớ i Oy. b) Tìm m để ti ế p tuy ế n nói trên ch ắ n hai tr ụ c to ạ độ tam giác có di ệ n tích b ằ ng 8. Đ áp s ố : ) 1 b)m=9 4 5; 7 4 3 a y mx m m= − + − ± = − ± Bài 6. Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − có đồ thị (C). Cho M bất kì trên (C) có M x m = . Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi. Bài 7. Cho hàm số 1 1 x y x + = − có đồ thị (C). Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích không đổi. Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc Bài 8. (DB1 ĐH khối B-2002) Cho hàm số ( ) 3 2 1 1 4 2 3 2 3 y f x x x x = = + − − có đồ thị (C). Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đương thẳng : 4 2 d y x = + . Bài 9. (ĐH khối D-2005) Gọi (C m ) là đồ thị hàm số 3 2 1 1 3 3 3 m y x x = − + . Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ x = -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M song song với đường thẳng 5 0 x y − = . Đáp số: 6 m = Bài 10. Tìm m để ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố ( ) 2 3 1 m x m m y x m + − + = + ( ) 0 m ≠ t ạ i giao đ i ể m giao đ i ể m c ủ a (C) v ớ i tr ụ c Ox song song v ớ i đườ ng th ẳ ng : 10 d y x + = . Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n. Đ áp s ố : 1 3 ; 5 5 m y x = − = − Bài 11. Cho hàm s ố 3 2 1 x y x − = − có đồ th ị (C). Vi ế t ph ươ ng tình ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ o v ớ i tr ụ c hoành m ộ t góc 45 0 . Đ áp s ố : 2; 6 y x y x = − + = − + D ạng 3: Đ/k tiếp xúc của hai đường Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 3 Bài 12. (DB1 ĐH khối D-2008) Gọi (C m ) là đồ thị hàm số ( ) 3 2 2 1 1 y x m x m = − − + − − . Tìm m để đồ thị (C m ) tiếp xúc với đường thẳng 2 1 y mx m = − − . Đáp số: 0; 1/ 2 m m = = Bài 13. Cho hµm sè 3 3 y x x m = − + . T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi trôc Ox Đáp số: 2 m = ± Dạng 4: Tìm điểm sao cho tiếp tuyến thoả mãn tính chất nào đó Bài 14. (DB2 DDH kh ố i B-2003) Cho hàm s ố 2 1 1 x y x − = − có đồ th ị (C). G ọ i I là giao đ i ể m c ủ a hai đườ ng ti ệ m c ậ n c ủ a (C), Tìm đ i ể m M thu ộ c (C) sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i M vuông góc v ớ i IM. Bài 15. ( Đ H kh ố i D-2007) Cho hàm s ố 2 1 x y x = + có đồ th ị (C). Tìm to ạ độ đ i ể m M thu ộ c (C), bi ế t ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i M c ắ t hai tr ụ c Ox, Oy t ạ i A, B và tam giác OAB có di ệ n tích b ằ ng 1 4 . Đ áp s ố : ( ) ( ) 1/ 2; 2 ; 1;1 M M− − Bài 16. (DB2 Đ H kh ố i D-2007) Cho hàm s ố 1 x y x = − có đồ th ị (C). Vi ế t ph ươ ng trình d c ủ a (C) sao cho d và hai ti ệ m c ậ n c ủ a (C) c ắ t nhau t ạ o thành m ộ t tam giác cân. Bài 17. (DB2 DDH kh ố i B-2003) Cho hàm s ố 2 2 3 x y x + = + có đồ th ị (C). Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị (C), bi ế t ti ế p tuy ế n đ ó c ắ t tr ụ c Ox, Oy l ầ n l ượ t t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A, B và tam giác OAB cân t ạ i g ố c to ạ độ O. Đ áp s ố : 2 y x = − − Bài 18 ( Đ H Công Đ oàn 2001) Tìm đ i ể m M thu ộ c đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố 2 2 2 3 12 1 y x x x = + − − sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i M đ i qua g ố c t ọ a độ . Bài 19. Tìm trên đườ ng th ẳ ng 2 y = − các đ i ể m k ẻ đế n đồ th ị (C): 3 2 3 2 y x x = − + hai ti ế p tuy ế n vuông góc v ớ i nhau. Đ S: ( ) 55/ 27; 2 M − Bài 20. ( Đ HSP Hà N ộ i II, kh ố i B, 1999) Tìm trên tr ụ c hoành các đ i ể m k ẻ đượ c 3 ti ế p tuy ế n đế n đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố 3 3 2 y x x = − + + . Đ S: 2; 1 2 / 3 a a > − ≠ < − Bài 21. Tìm m để đồ th ị (C): 4 3 2 1 3 7 2 y x x x = − − + luôn luôn có ít nh ấ t hai ti ế p tuy ế n song song v ớ i đườ ng th ẳ ng y mx = . Bài 22. Tìm m để t ừ đ i ể m ( ) 0; A m k ẻ đượ c 2 ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị (C): 2 1 x y x + = − sao cho 2 ti ế p đ i ể m n ằ m v ề hai phía v ớ i tr ụ c hoành. Bài 23. Tìm hai đ i ể m A, B thu ộ c đồ th ị (C): 3 2 3 1 y x x = − + sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i A và B song song v ớ i nhau và độ dài đ o ạ n AB = 4 2 . Đ S: A(3; 1) và B(–1; –3) Bài 24. Cho hàm s ố 3 2 3 4 = − + y x x có đồ th ị (C). G ọ i d là đườ ng th ẳ ng đ i qua đ i ể m A (3; 4) và có h ệ s ố góc là m . Tìm m để d c ắ t ( C ) t ạ i 3 đ i ể m phân bi ệ t A , M , N sao cho hai ti ế p tuy ế n c ủ a ( C ) t ạ i M và N vuông góc v ớ i nhau. Đ S: 18 3 35 9 m ± = Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 4 CHUYÊN ĐỀCỰC TRỊ Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị 1. Hàm bậc ba: y=f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Đạo hàm y’ = f’(x) = 3ax 2 + 2bx + c Hàm số có cực trị (có CĐ và CT) ⇔ f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. ' 0 y ⇔ ∆ > . Chú ý: + Hai cực trị CĐ,CT đối xứng nhau qua điểm uốn. + Hai giá trị CĐ, CT trái dấu nhau ( ) 1 2 ' ( ) 0 . 0 y x x y y ∆ >    <   , trong đó 1 2 , x x là các nghiệm của ' 0 y = . ( ⇔ PT 3 2 0 ax bx cx d + + + = ( 0 a ≠ ) có ba nghiệm phân biệt). 2. Hàm trùng phương: y=f(x) = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) Đạo hàm y’ = f’(x) = 4ax 3 + 2bx = 2x(2ax 2 + b). Hàm số có đúng cực trị 0 0 0 . 0 a b a a b  ≠    =   ⇔  ≠    >    ; Hàm số có đúng 3 cực trị 0 . 0 a a b ≠  ⇔  <  Chú ý: + Nếu hàm số có 3 cực trị thì 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân. + Để nhận biết tại điểm 0 x là hoành độ của CĐ hay CT, ta có hai dấu hiệu: 1. Dấu hiệu 1 (Xét dấu đạo hàm y’): Lập bảng biến thiên. 2. Dấu hiệu 2 (Xét dấu đạo hàm y”): Dựa vào điều kiện sau 0 x là điểm CĐ ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 y x y x  =  ⇔  <   0 x là điểm CT ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 y x y x  =  ⇔  >   Bài 1. Tìm m để hàm s ố sau có c ự c đạ i và c ự c ti ể u 1) ( ) ( ) 3 2 1 6 2 1 3 y x mx m x m = + + + − + 2) ( ) 3 2 2 3 5 y m x x mx = + + + − Đ áp s ố : 1) 2 3 m m < −   >  2) 2 3 1 m m ≠ −   − < <  Bài 2. ( Đ H Bách khoa HN-2000) Tìm m để hàm s ố ( ) 3 2 3 1 1 y mx mx m x = + − − − không có c ự c tr ị . Bài 3. ( Đ H Kh ố i B 2002) Tìm m để hàm s ố ( ) 4 2 2 9 10 y mx m x = + − + có 3 đ i ể m c ự c tr ị . Đ áp s ố : 3;0 3 m m < − < < Bài 4. ( Đ H c ả nh sát-2000) Tìm m để hàm s ố 4 2 1 3 4 2 y x mx = − + ch ỉ có c ự c đạ i mà không có c ự c ti ể u. Bài 5. ( Đ H ki ế n trúc-1999) Tìm m để hàm s ố ( ) ( ) 4 2 1 1 2 y mx m x m = − − + − có đ úng m ộ t c ự c tr ị . Bài 6. ( Đ H kh ố i A DB1 - 2001) Tìm m để hàm s ố ( ) 3 3 y x m x = − − đạ t c ự c ti ể u t ạ i đ i ể m có hoành độ 0 x = . Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 5 Đáp số: 1 m = − Bài 7. (ĐH khối B - 2002) Tìm m để hàm s ố ( ) 4 2 2 9 10 y mx m x = − − + có ba c ự c tr ị . Đ áp s ố : 3 m < ho ặ c 0 3 m < < Bài tập tự luyện Bài 1. Ch ứ ng minh r ằ ng các hàm s ố sau luôn có c ự c đạ i và c ự c ti ể u 1) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 1 6 1 1 y x m x m m x = − + + + + . 2) 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + . Bài 2. Tìm m để các hàm s ố sau có c ự c đạ i và c ự c ti ể u 1) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 3 2 1 x m x m m x m m − − + − + − − . 2) ( ) 3 3 1 1 y mx mx m x = + − − − . 3) ( ) 2 2 3 2 1 x m x m y x + + + + = + . 4) ( ) 2 1 1 2 mx m y mx + + + = + . Bài 3. Tìm m để hàm s ố 1) ( ) 3 2 2 2 1 2 y x mx m x = − + − + đạ t c ự c đạ i t ạ i 2 x = . 2) ( ) 4 2 2 5 y mx m x m = − + − + − có m ộ t c ự c đạ i t ạ i 1 2 x = . 3) 2 2 2 x mx y x m − + = − đạ t c ự c ti ể u khi 2 x = . 4) 2 1 x x m y x − + = − có m ộ t giá tr ị c ự c đạ i b ằ ng 0 . Bài 4. Tìm m để hàm s ố ( ) ( ) 2 1 4 3 1 y x x mx m = − − − + có hai giá tr ị c ự c tr ị trái d ấ u. Bài 5. Cho hàm s ố ( ) ( ) 3 2 3 1 6 1 1 y x m x m x = − + + + + . 1) Tìm m để hàm s ố có hai đ i ể m c ự c tr ị d ươ ng. 2) Tìm m để hàm s ố nh ậ n 3 3 x = + làm đ i ể m c ự c ti ể u. Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 1. Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng đ i qua C Đ và CT c ủ a hàm b ậ c ba 3 2 ( ) ax y f x bx cx d = = + + + * Chia f(x) cho f’(x) ta đượ c: ( ) ( ). '( ) Ax f x Q x f x B = + + * Khi đó, giả sử ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; x y x y là các điểm cực trị thì: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 Ax Ax y f x B y f x B  = = +   = = +   * Vậy PT đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y Ax B = + . Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2 3 6 8 y x x x = − − + . Đáp số: 6 6 y x = − + . Bài 2. (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ( ) 3 2 2 3 2 3 3 1 y x mx m x m m = − + + − + − . Đáp số: 2 2 y x m m = − + . Bài 3. Tìm m để hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 2 1 y x m x m x = + − + − − có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng 4 1 y x = − + . ĐS: 1; 5 m m = = . Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 6 Bài 4. Tìm m để hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 1 2 y x m x m m x = + − + − có các điểm cực trị nằm trên đường thẳng 4 y x = − . ĐS: 1 m = . Bài 5. Tìm m để hàm s ố 3 2 2 3 y x x m x m = − + + có các đ i ể m c ự c c ự c đạ i và c ự c ti ể u đố i x ứ ng nhau qua đườ ng th ẳ ng 1 5 2 2 y x = − . Đ S: 0 m = . Bài tập tự luyện Bài 1. ( Đ H – DB2 kh ố i A 2007) Tìm m để đồ th ị hàm s ố 2 m y x m x = + + − có c ự c tr ị t ạ i các đ i ể m , A B sao cho đườ ng th ẳ ng AB đ i qua g ố c t ọ a độ O . Đ S: 2 m = . Bài 2. Tìm m để hàm s ố 3 2 7 3 y x mx x = + + + có đườ ng th ẳ ng đ i qua hai đ i ể m c ự c tr ị vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng 3 7 y x = − . Đ S: 3 10 2 m = ± . Bài 3. Tìm m để hàm s ố 3 2 3 2 y x x mx = − − + có C Đ , CT cách đề u đườ ng th ẳ ng : 1 y x ∆ = − . Bài 4. Tìm m để hàm s ố ( ) 3 2 3 1 2 y x m x m = − + + + có hai giá tr ị c ự c tr ị trái d ấ u và đườ ng th ẳ ng đ i qua hai c ự c tr ị đ i qua đ i ể m ( ) 1;4 M − . Bài 5. Tìm t ậ p h ợ p trung đ i ể m c ủ a hai c ự c tr ị c ủ a hàm s ố 3 2 1 2 3 3 y x mx x m = − − + + . Dạng : Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó Bài 1. Tìm m để hàm s ố ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 6 5 1 4 1 y x m x m x m = − + + + − + có hai đ i ể m c ự c tr ị nh ỏ h ơ n 2. Đ áp s ố : 1 0 3 m − < < . Bài 2. ( Đ H kh ố i B DB2 - 2006) Tìm m để hàm s ố ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 y x m x m x m = + − + − + + có hai đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u đồ ng th ờ i hoành độ c ủ a đ i ể m c ự c ti ể u nh ỏ h ơ n 1. Đ áp s ố : 5 7 1; 4 5 m m < − < < . Bài 3. (C Đ - 2009) Tìm m để hàm s ố ( ) ( ) 3 2 2 1 2 2 y x m x m x = − − + − + có c ự c đạ i và c ự c ti ể u đồ ng th ờ i các đ i ể m c ự c tr ị c ủ a hàm s ố có hoành độ d ươ ng. Đ áp s ố : 1 1, 0 3 m m − < < ≠ . Bài 4. (HV quan h ệ qu ố c t ế 1996) Tìm m để hàm s ố 4 2 4 2 2 y x mx m m = − + + có các đ i ể m c ự c tr ị l ậ p thành m ộ t tam giác đề u. Đ áp s ố : 3 3 m = . Bài 5. Tìm m để đồ th ị hàm s ố 4 2 4 2 2 y x mx m m = − + + có ba đ i ể m c ự c tr ị t ạ o thành m ộ t tam giác đề u. Đ áp s ố : 3 3 m = . Bài 6. ( Đ H kh ố i A BD1 - 2004) Tìm m để hàm s ố 4 2 2 2 1 y x m x = − + có ba đ i ể m c ự c tr ị là ba đỉ nh c ủ a m ộ t tam giác vuông cân. Đ áp s ố : 1 m = ± . Bài 7. Ch ứ ng minh r ằ ng hàm s ố ( ) ( ) 3 2 3 1 3 2 1 y x m x m m x = − + + + + luôn có c ự c đạ i, c ự c ti ể u. Xác đị nh m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ i các đ i ể m có hoành độ d ươ ng . Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 7 Đáp số: 0 m > . Bài 8. (Khối B - 2007) Tìm m để hàm s ố ( ) 3 2 2 2 3 3 1 3 1 y x x m x m = − + + − − − có c ự c đạ i và c ự c ti ể u và các đ i ể m c ự c tr ị c ủ a đồ th ị hàm s ố cách đề u g ố c t ọ a độ O. Đ áp s ố : 1 2 m = ± . Bài 9. Tìm m để hàm s ố 4 2 2 2( 2) 5 5 y x m x m m = + − + − + có các đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ o thành 1 tam giác vuông cân. Đ áp s ố : m = 1. Bài 10. Tìm m để hàm s ố ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 1 4 1 2 1 y x m x m m x m = + − + − + − + đạ t c ự c tr ị t ạ i x 1 , x 2 th ỏ a mãn ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 x x x x + = + Đ áp s ố : 1; 5 m m = = . Bài 11. (ĐH Khối A 2005) Tìm m để hàm số 1 y mx x = + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên bằng 1 2 . Bài tập tự luyện Bài 1. Tìm m để hàm số 1) 3 2 1 1 3 y x mx mx = − + − đạt cực đại tại hai điểm 1 2 , x x sao cho 1 2 8 x x − ≥ . ĐS: 1 65 1 65 ; ; 2 2 m     − − ∈ −∞ ∪ +∞           . 2) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 3 3 y mx m x m x = − − + − + đạ t c ự c tr ị t ạ i hai đ i ể m 1 2 , x x sao cho 1 2 2 1 x x + = . 3) 4 2 4 y x mx x m = − + + có 3 c ự c tr ị là , , A B C và tam giác ABC nh ậ n g ố c t ọ a độ O làm tr ọ ng tâm. Bài 2. Cho hàm s ố ( ) ( ) 3 2 2 2 1 4 3 3 y x m x m m x = + + + + + G ọ i 1 2 , x x là các đ i ể m c ự c tr ị c ủ a hàm s ố . 1) Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c tr ị t ạ i ít nh ấ t 1 đ i ể m > 1. 2) Tìm m sao cho ( ) 1 2 1 2 2 A x x x x = − + đạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t. Đ S: 1) 5 3 2 m− < < − + ; 2) 9 4 max 2 m A = − = . Bài 3. ( Đ H Kh ố i B 2005) CMR v ớ i m ọ i m, đồ th ị hàm s ố ( ) 2 1 1 1 x m m y x + + + + = + luôn có c ự c tr ị và kho ả ng cách gi ữ a hai đ i ể m c ự c đạ i và c ự c ti ể u b ẳ ng 20 . Bài 4. ( Đ H Kh ố i A 2007) Tìm m để đồ th ị hàm s ố ( ) 2 2 2 1 4 2 x m m m y x + + + + = + có c ự c đạ i, c ự c ti ể u, đồ ng th ờ i các đ i ể m c ự c tr ị cùng v ớ i g ố c t ọ a độ O t ạ o thành m ộ t tam giác vuông t ạ i O . Đ S: 4 2 6 m = − ± . Bài 5. Tìm m để hàm s ố 3 2 1 1 3 y x mx x m = − − + + có kho ả ng cách gi ữ a các đ i ể m C Đ và CT là nh ỏ nh ấ t. Đ S: 0 m = ; kho ả ng cách = 2 13 3 . Chun đề khảo sát hàm số Ơn thi đại học 2011 GV: Hồng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục n. n Bái Trang 8 CHUN ĐỀ TƯƠNG GIAO 1. Phương pháp chung: • Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: ( ) ( ) ( ) 1 f x g x= • Khảo sát nghiệm của phương trình (1). Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C1) và (C2). • Chú ý: * (1) vơ nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) khơng có điểm chung * (1) Có n nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung * Nghiệm x 0 của (1) chính là hồnh độ điểm chung của (C 1 ) và (C 2 ). Khi đó tung độ điểm chung ( ) 0 0 y f x = hoặc ( ) 0 0 y g x = 2. Xét phương trình ( ) 3 2 ax 0 f x bx cx d = + + + = (1) a) Đ/k để (1) có 1, 2, 3 nghiệm • (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( )    <   ( ) có cực đại, cực tiểu 1 y . 0 CĐ CT f x y • (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( )    =   ( ) có cực đại, cực tiểu 2 y . 0 CĐ CT f x y • (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi ( )        >    ( ) không có cực đại, cực tiểu 3 ( ) có cực đại, cực tiểu y . 0 CĐ CT f x f x y b. Đ/k để (1) có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng, cấp số nhân * Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSC: Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm 1 2 3 , , x x x lập thành CSC khi đó 2 3 b x a = − thế vào (1)  giá trị của tham số Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành CSC hay khơng. * Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSN: Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm 1 2 3 , , x x x lập thành CSN khi đó 3 2 d x a = − thế vào (1)  giá trị của tham số Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành CSN hay khơng. Chú ý: Nếu a = 1 ( ) ( ) 3 3 3 2 2 0 0 x d f x c b d d ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ≠ 3. Xét phương trình ( ) 4 2 ax 0 = + + = f x bx c (2) Đặt 2 t x = đ/k 0 t ≥ ta được phương 2 ( ) 0 g t at bt c = + + = (*) Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 9 a) Đ/k để (2) vô nghiệm, có 1,2, 3,4 nghiệm * (2) vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm 1 2 0 t t ≤ < * (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1 2 0 0 t t  =   <   * (2) có 2 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1 2 0 t t < < * (2) có 3 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1 2 0 0 t t  =   >   * (2) có 4 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1 2 0 t t < < b) Đ/k để (2) có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng (2) có 3 nghiệm lập thành CSC ⇔ (*) có 2 nghiệm 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 0 9 0 . 0 9 0 t t t t t t t t t t  ∆ >  =  < <   ⇔   > =     + >  4. Xét phương trình ( ) ax 3 + = + + b mx n cx d - Đư a ph ươ ng trình v ề d ạ ng: 2 ( ) 0 d f x Ax Bx C x c   = + + = ≠ −     (**) (3) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t khi và ch ỉ khi (**) có 2 nghi ệ m ph ậ n bi ệ t 0 0 d d f c c  ∆ >  ≠ − ⇔    − ≠       Chú ý: Trên đây chỉ là điều kiện trong trường hợp tổng quát, khi giải bài toán cụ thể ta cố gắng nhầm nghiệm để phân tích phương trình về dạng tích khi đó điều kiện sẽ đơn giản hơn 5. Bài tập: Dạng 1: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại k điểm phân biệt Bài 1 (DB2 Đ H Kh ố i D -2002) Tìm m để đồ th ị hàm s ố 4 2 1 y x mx m = − + − c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 4 đ i ể m phân bi ệ t. Đ áp s ố : 1 2 m < ≠ Bài 2 (DB1 Đ H Kh ố i B -2003) Tìm m để đồ th ị hàm s ố ( ) ( ) 2 1 y x x mx m = − + + c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 3 đ i ể m phân bi ệ t. Đ áp s ố : 1 4;0 2 m m > < ≠ − Bài 4: Tìm m để đồ th ị hàm s ố ( ) 3 2 3 3 1 1 3 y x x m x m = − + − + + c ắ t tr ụ c hoành a) t ạ i 1 đ i ể m b) t ạ i 2 đ i ể m c) t ạ i 3 đ i ể m Đ áp s ố : ) 1 b)m=1 c)m>1 a m < Bài 5: Tìm m để đồ th ị hàm s ố ( ) 3 2 2 1 2 y x m x mx m = + + + + c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 3 đ i ể m phân bi ệ t có hoành độ âm Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 10 Đáp số: 1 0 4 m < < Bài 6: Tìm m để đồ th ị hàm s ố ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 1 1 y x mx m x m m = − + − + − c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 3 đ i ể m phân bi ệ t có hoành độ d ươ ng Đ áp s ố : 2 1 3 m < < Bài 7: Tìm m để đồ th ị hàm s ố ( ) ( ) 2 1 2 1 y x x mx m = − − − − c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 3 đ i ể m phân bi ệ t có hoành độ l ớ n h ơ n -1 Đ áp s ố : Bài 8: Tìm m để đồ th ị hàm s ố 3 2 18 2 y x x mx m = − + − c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 3 đ i ể m phân bi ệ t th ỏ a mãn 1 2 3 0 x x x < < < Đ áp s ố : 0 m < Bài 9. (ĐH khối A 2010). Tìm m để đồ th ị hàm s ố ( ) 3 2 2 1 y x x m x m = − + − + c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 3 đ i ể m phân bi ệ t có hoành độ 1 2 3 , , x x x th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n 2 2 2 1 2 3 4. x x x + + < Đáp số: 1 1; 0 4 m m − < < ≠ Dạng 2: Tìm đ/k để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại k điểm phân biệt Bài 9 (CĐ -2008) Tìm m để đồ thị hàm số 1 x y x = − cắt đường thẳng : d y x m = − + tại hai điểm phân biệt Đáp số: 0 4 m m  <  >  Bài 10: Cho hàm số 3 2 2 8 4 3 3 y x x x = − − + . Tìm m để đường thẳng 8 3 y mx = + cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt Đáp số: 35 4 8 m − < ≠ − Bài 11 (DB2 ĐH Khối D -2003) Cho hàm số 3 2 2 3 1 y x x = − − có đồ thị (C), gọi k d là đường thẳng đi qua điểm ( ) 0; 1 M − và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng k d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Đáp số: 9 0 8 k − < ≠ Bài 12 (ĐH Khối D -2006) Cho hàm số 3 2 3 2 y x x = − + có đồ thị (C), gọi d là đường thẳng đi qua điểm ( ) 3;20 A và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Bài 13 (ĐH Khối D -2009) Tìm m để đường thẳng 1 y = − cắt đồ thị ( ) m C của hàm số ( ) 4 2 3 2 3 y x m x m = − + + tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số: 1 1, 0 3 m m − < < ≠ Bài 14: Tìm để đường thẳng : 2 d y x m = + cắt đồ thị hàm số 3 1 4 x y x + = − tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm m để đoạn thẳng AB ngắn nhất. Đáp số: . khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 4 CHUYÊN ĐỀCỰC TRỊ Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị 1. Hàm. để hàm s ố 3 2 1 1 3 y x mx x m = − − + + có kho ả ng cách gi ữ a các đ i ể m C Đ và CT là nh ỏ nh ấ t. Đ S: 0 m = ; kho ả ng cách = 2 13 3 . Chun đề khảo sát hàm số Ơn thi đại học 2011. x = − + VD2: Cho hàm s ố 1 1 x y x + = − (1) 3. Kh ả o sát s ự bi ế n thi n và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố (1) Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011 GV: Hoàng Ngọc