Các dạng toán khảo sát hàm số

Cỏc Dng Toỏn Kho Sỏt Hm S - Gm y phng phỏp, bi v ỏp ỏn CC DNG TON LIấN QUAN N KHO ST HM S Dng 1: CC BI TON V TIP XC Cho hm s , th l (C) Cú ba loi phng trỡnh tip tuyn nh sau: Loi 1: Tip tuyn ca hm s ti im - Tớnh o hm v giỏ tr - Phng trỡnh tip tuyn cú dng: Chỳ ý: Tip tuyn ti im cú h s gúc Loi 2: Bit h s gúc ca tip tuyn l - Gii phng trỡnh: , tỡm nghim - Phng trỡnh tip tuyn dng: Chỳ ý: Cho ng thng , ú: - Nu ị h s gúc k = a - Nu ị h s gúc Loi 3: Tip tuyn ca (C) i qua im - Gi d l ng thng qua A v cú h s gúc l k, ú - iu kin tip xỳc ca l h phng trỡnh sau phi cú nghim: Tng quỏt: Cho hai ng cong tip xỳc vi l h sau cú nghim Cho hm s a Kho sỏt v v th (C) ca hm s b Vit phng trỡnh tip tuyn D ca (C): v iu kin hai ng cong i Ti im cú honh ii Ti im cú tung y = iii Tip tuyn song song vi ng thng: iv Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng: Cho hm s cú th l (C) a Kho sỏt v v th (C) ca hm s trờn b Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): i ii Ti giao im ca (C) vi trc tung Ti giao im ca (C) vi trng honh iii Bit tip tuyn i qua im A(1;-1) iv Bit h s gúc ca tip tuyn k = -13 Cho hm s cú th (C) a Kho sỏt v v th (C) ca hm s trờn b Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im x = c Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cú tung y = d Tỡm tt c cỏc im trờn trc tung m t ú k c hai tip tuyn n (C) Cho hm s cú th (C) a Kho sỏt v v th hm s (C) b Chng minh rng qua im M(-3;1) k c hai tip tuyn ti th (C) cho hai tip tuyn ú vuụng gúc vi Cho hm s: cú th (C) a Kho sỏt v v th hm s b Tỡm M (C) cho tip tuyn ca (C) ti M vuụng gúc vi ng thng i qua M v tõm i xng ca (C) Cho hm s y = x3 + mx2 + cú th (Cm) Tỡm m (Cm) ct d: y = x + ti ba im phõn bit A(0;1), B, C cho cỏc tip tuyn ca (Cm) ti B v C vuụng gúc vi Li gii: Phng trỡnh honh giao im ca d v (Cm) l: x3 + mx2 + = x + 1) = (*) t g(x) = x2 + mx + d ct (Cm) ti ba im phõn bit bit khỏc x(x2 + mx + g(x) = cú hai nghim phõn Vỡ xB , xC l nghim ca g(x) = Tip tuyn ca (Cm) ti B v C vuụng gúc vi nờn ta cú: (nhn so vi iu kin) Cho hm s Tỡm hp cỏc im trờn mt phng ta t ú cú th k n (C) hai tip tuyn vuụng gúc Li gii: Gi M(x0;y0) Phng trỡnh ng thng d qua M cú h s gúc k l y = k(x x0) + y0 Phng trỡnh honh giao im ca (C) v d: d tip xỳc vi (C): T M v hai tip tuyn n (C) vuụng gúc vi (1) cú hai nghim phõn bit tha món: Vy hp cỏc im tha yờu cu bi toỏn l mt ng trũn: im ca ng trũn vi hai ng tim cn Cho hm s D 2007) loi b bn giao (H Khi- a Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho b Tỡm ta im M thuc (C), bit tip tuyn ca (C) ti M ct Ox, Oy ti A, B v din tớch tam giỏc OAB bng S: v Cho hm s B 2006) (H Khi- a Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho b Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C) bit tip tuyn ú vuụng gúc vi tim cn xiờn S: b 10 Gi (Cm) l th ca hm s: Khi-D 2005) (*) (m l tham s) (H a Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (*) m=2 b Gi M l im thuc (Cm) cú honh bng -1 Tỡm m tip tuyn ca (Cm) ti M song song vi ng thng S: m=4 11 Cho hm s 12 Cho hm s nh m tip xỳc vi trc honh nh m tip xỳc vi trc honh 13 Cho th hm s c mt tip tuyn n (C) Tỡm hp cỏc im trờn trc honh cho t ú k 14 Cho th hm s ú cú th k c tip tuyn vi (C) Tỡm hp cỏc im trờn trc honh cho t 15 Cho th hm s c tip tuyn n (C) Tỡm cỏc im M nm trờn Oy cho t M k 16 Cho th hm s cú th k c tip tuyn vi (C) 17 Cho hm s y = 4x3 6x2 + (1) Tỡm cỏc im trờn ng thng y = cho t ú (H Khi-B 2008) a Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) b Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1), bit rng tip tuyn ú i qua im M(1;9) Li gii: a D=R, y = 12x2 12x; y = x = hay x = BBT : x -Ơ +Ơ y' + y - + +Ơ -Ơ -1 b Tip tuyn qua M(-1;-9) cú dng y = k(x + 1) Phng trỡnh honh tip im qua M cú dng : 4x3 6x2 + = (12x2 12x)(x + 1) 4x3 6x2 + 10 = (12x2 12x)(x + 1) 2x3 3x2 + = 6(x2 x)(x + 1) x = hay 2x2 5x + = 6x2 6x x = hay 4x2 x = x = hay x = ; y(-1) = 24; Vy phng trỡnh cỏc tip tuyn qua M l: y = 24x + 15 hay y = Dng 2: CC BI TON V CC TR Cho hm sụ , th l (C) Cỏc v cc tr cn nh: - Nghim ca phng trỡnh l honh ca im cc tr - Nu thỡ hm s t cc i ti - Nu thỡ hm s t cc tiu ti Mt s dng bi v cc tr thng gp x Chỳ ý: i vi hm hu t Cho hm s a Kho sỏt hm s b nh k phng trỡnh sau cú bn nghim phõn bit Cho hm s a Kho sỏt v v th hm s b Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: Cho hm s a Kho sỏt hm s b nh m phng trỡnh Cho hm s cú bn nghim phõn bit Kho sỏt hm s nh m phng trỡnh sau cú hai nghim phõn bit: a Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s b Tỡm m phng trỡnh sau cú sỏu nghim phõn bit: 2006) (H Khi A- a S: b 4 3) u ct th ca hm s (1) ti ba im phõn bit I, A, B ng thi I l trung im ca on thng AB Li gii: a D = R y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2), y' = x = 0, x = y" = 6x - 6, y" = x = x -Ơ y' + - | - + y" - - + + y C -Ơ U +Ơ +Ơ d : y - = k(x - 1) y = kx - k + CT Phng trỡnh honh giao im: x3 - 3x2 + = kx - k + x3 - 3x2 - kx + k + = (x - 1)(x2 - 2x - k - 2) = x = g(x) = x2 - 2x - k - = Vỡ D' > v g(1) (do k > - 3) v x1 + x2 = 2xI nờn cú pcm! Dng 9: MT S BI TON LIấN QUAN N TIM CN nh ngha: (d) l tim cn ca (C) Cỏch xỏc nh tim cn Tim cn ng: Tim cn ngang: Tim cn xiờn: TCX cú phng trỡnh: y=lx+m ú: Cỏc trng hp c bit: *Hm s bc nht trờn bc nht (hm nht * Hm s bc hai trờn bc nht (hm hu bin) t) +TX: D= R\ +TX: D= R\ +TC: +TC: +TCN: +TCX: Cho hm s , vi m l tham s thc a Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) m =1 ị TCX: y=lx+m b Tỡm cỏc giỏ tr ca m gúc gia hai ng tim cn ca th hm s (1) bng 450 (H Khi A-2008) Li gii: a Khi m =1: TX: Tim cn: tim cn ng: x = -3 tim cn xiờn: y = x , Bng bin thiờn th: b Gi (Cm) l th hm s (Cm) cú tim cn ng v tim cn xiờn Theo gi thuyt ta cú: (nhn) Cho hm s cn xiờn i qua gc ta Tỡm m cho th ca hm s f cú tim Cho hm s cú th (C) Chng minh rng th ca hm s ny cú tim cn xiờn luụn i qua mt im c nh Cho hm s cú th (C) a Chng minh rng tớch khong cỏch t mt im M bt k trờn (C) n hai ng ng tim cn l mt s khụng i b Tỡm ta im N thuc (C) cho tng khong cỏch t N n hi tim cn nh nht Cho hm s cú th (Cm) Tỡm m ng tim cn xiờn ca th hm s to vi hai trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng Tỡm m th hm s cú hai tim cn ng l x=x1 v x=x2 tha Cho hm s cú th (C) a Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s b Tỡm nhng im M thuc (C) cho tng khong cỏch t nú n hai ng tim cn nh nht Cho hm s cú th (H) a Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s b Vit phng trỡnh tip tuyn D ca (H) ti giao im vi trc tung c Tỡm nhng im N (xN >1) thuc (H) cho khong cỏch t N n tip tuyn D ngn nht HD cõu b, c * Gi M kl giao im ca (C) vi trc tungị hay Phng trỡnh tip tuyn l * Ly Khi ú t * Kho sỏt hm , trờn khong , (lp bng bin thiờn ) , * Do nờn ta ch nhn nghim thỡ thay vo N ta c Vy - Dng 10: DIN TCH-TH TCH ng dng tớch phõn (Dng ny thng xut hin nhiu cỏc thi tt nghip) a Din tớch Cho hai hm s y=f(x) v y=g(x) cú th (C1), (C2) Din tớch hỡnh phng gii hn bi (C1), (C2) v hai ng thng x=a, x=b c tớnh bi cụng thc: ặChỳ ý: Nu din tớch thiu cỏc ng thng x=a, x=b ta phi gii phng trỡnh f(x)=g(x) tỡm a, b b Th tớch Th tớch hỡnh phng gii hn bi {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox c tớnh bi cụng thc: Th tớch hỡnh phng gii hn bi {(C): x=x(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy c tớnh bi cụng thc: Th tớch trũn xoay hỡnh phng gii hn bi hai ng y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)g(x), "xẻ[a;b]) c tớnh bi cụng thc: * * * Cho hm s s) (1) (H Khi-D 2002) (m l tham a Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) ng vi m=-1 b Tớnh din tớch hỡnh phng gii hm bi ng cong (C) v hai trc ta c Tỡm m th hm s (1) tip xỳc vi ng thng y=x S: b Cho hm s ,c a Kho sỏt v v th hm s trờn b Tớnh phn din tớch hỡnh phng c gii hn bi th ca hm s v trc honh [...]... có , nên đây là hàm số chẵn do đó có đồ thị đối xứng qua trục tungOy Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ 1 Cho hàm số a Khảo sát hàm số b Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt 2 Cho hàm số a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 Cho hàm số a Khảo sát hàm số b 4 Định m để phương trình Cho hàm số có bốn nghiệm phân biệt 1 Khảo sát hàm số 2 Định m để phương... và vẽ đồ thị của hàm số b 2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình Cho hàm số có đồ thị là (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 Cho hàm số a Khảo sát hàm số trên khi k = 3 b Tìm các giá trị của k để phương trình 4 Cho hàm số 2006) có nghiệm duy nhất (ĐH Khối-D a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b Gọi... Khối-B a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ ĐS : b 12 Cho hàm số (1) (m là tham số) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị 2002) (ĐH Khối-B năm a b ĐS : 13 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số (*) (m... thị hàm số (1) ĐS: b , c Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức về khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): (ĐH Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng điểm M(x0;y0) khi đó 1 Cho hàm số thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất Định m để 2 Cho hàm số hai tiệm cận là nhỏ nhất 3 Cho hàm số cận là nhỏ nhất 4 Cho hàm số cho đoạn MN nhỏ nhất 5 Cho hàm số. .. trên khoảng 2 Xác định m để hàm số a Đồng biến trên R b Đồng biến trên 3 Cho hàm số a Định m để hàm số đồng biến trên khoảng b Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng 4 Cho hàm số Định m để hàm số nghịch biến trên Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát sự tương giao giữa hai... 2 điểm cực trị Dạng 2: Hàm số Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng 1 Chứng minh rằng hàm số y = Tìm m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x 2 Cho hàm số luôn có có cực trị với mọi m Định m để: a Hàm số luôn có cực trị b Có cực trị trong khoảng c Có hai cực trị trong khoảng 3 Định m để hàm số 4 Cho hàm số y = x3-3x2+3mx+3m+4 a Khảo sát hàm số khi m = 0 b Định m để hàm số không có cực... đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía 9 Cho hàm số cùng dương Định m để hàm số có hai điểm cực trị 10 Cho hàm số 2007) (1) (ĐH Khối-A năm a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=-1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O ĐS: 11 Cho hàm số năm 2007) (1), m là tham số (ĐH... qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt ĐS: b 5 Cho hàm số A 2004) (1) (ĐH Khối- a Khảo sát hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1 ĐS: b 6 Cho hàm số A 2003) (*) (m là tham số) (ĐH Khối- a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=-1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành... đoạn MN nhỏ nhất 7 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: Khối-A 2005) (*) (m là tham số) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = (ĐH b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên bằng ĐS: m=1 Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số ta đưa về dạng nghiệm của hệ phương trình 1 Cho hàm số điểm cố định khi m thay đổi Khi đó tọa... tọa độ O 3 Cho hàm số (m là tham số) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2 ĐS: a (ĐH Khối B-2003) Þ … m>0 4 Cho hàm số nhau qua trục tung có đồ thị Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng 5 Cho hàm số là I(0;1) và đi qua điểm M(1;-1) Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng 6 Cho hàm số y = x3 – 3x2