Tuyển tập các bài tập bất đẳng thức côsi

Tuyển tập các bài tập bất đẳng thức Côsi - đáp án chi tiết A Kiến thức cơ bản: * Một số bất đẳng thức cần nhớ: - Bất đẳng thức Côsi Với Dấu bằng xảy ra khi... Tìm giá trị nhỏ nhất của

Tuyển tập các bài tập bất đẳng thức Côsi - đáp án chi tiết

A Kiến thức cơ bản:

* Một số bất đẳng thức cần nhớ:

- Bất đẳng thức Côsi

Với Dấu bằng xảy ra khi

Mặt khác theo giả thiết x+ y+ z = 1 nên từ(2) ta có (3)

Từ (3) và (1) Ta có P Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =

Vậy Max P = khi và chỉ khi x = y = z =

Bài 2: Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : xy2z2 + x2z +y = 3 z2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

Vậy Max P = khi và chỉ khi x =y = z = 1.

Bài 3 Cho a, b, c là các số thục dương thỏa điều kiện abc = 1 Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P =

Lời giải : Do a2+b2 2ab, b2 + 1 2b khi đó :

Tương tự và

Khi đó P

Dấu bằng trong BĐT trên xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy Max P = khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 4 ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên)

Cho a, b, c là các số dương tùy ý và thỏa điề kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

Lời giải: Ta có 2c + ab = c( a+b+c) + ab = c2 + c( a+b) + ab = ( c+a)( c+b)

Vậy (1) Tương tự ta có :

(3) Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta được

P = 1 khi a = b = c =

Vậy Max P = 1 khi và chỉ khi a = b = c =

Bài 5 Cho a,b,c là ba số dương thỏa điều kiện a+ b+ c = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Lời giải: Áp dụng BĐT (x+y+z) 9 ta có

Kết luận : Min P = 3 khi a = b = c =

Bài 6 Cho các số không âm x , y, z thỏa mãn x2 + y2 +z2 3 y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Bài 7 Cho x,y,z dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3x2 + 3y2 + z2

Lời giải: Ta có 2P = ( 4x2 + z2) + (4y2+ z2) +(2x2+ 2y2)

Áp dụng BĐT Cô si ta có 4x2 + z2 4xz , 4y2 + z2 4yz, 2x2 + 2y2 4xy

Khi đó 2P 4( xy + yz + zx) = 20 hay P 10

P =10 khi x = y = 1 , z =2

Kết luận Min P = 10 khi và chỉ khi x = y =1 , z= 2

Bài 8 Cho , và Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải : Ta có: =

= = (vì x+y =1)

hay

Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Vậy MinP =

Bài 11 Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện:

xy + yz + zx ³ 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

Bài 13 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức: Dấu bằng xảy ra khi a = b

Ta có :

Tương tự (2)

(3)

Cộng vế với vế của (1),(2),(3) và áp dụng giả thiết ta được P 1

Mà P =1 Khi x = y = z = Vậy Max P = 1 x = y = z =

Bài 14 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Lời giải: Ta có: P =

Bài15 Cho hai số dương thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải:

Thay ở tỉ số cuối

được:

= khi Vậy Min P =

Bài 16 Cho x, y, z > 0 thỏa điều kiện xyz = 1

Bài 17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 £ 3 Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải: Ta có:

Mà P = khi x = y = z= 1

Vậy Min P = x = y = z= 1

Bài 18 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải: Ta có : (*)

Nhận thấy : x2 + y2 – xy ³ xy "x, y Î

Do đó : x3 + y3 ³ xy(x + y) "x, y > 0 hay "x, y > 0

Tương tự, ta có : "y, z > 0 và "x, z > 0

Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:

P ³ 2(x + y + z) = 2 "x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = Vì vậy Min P = 2

Bài 19 Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn:

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải: Vì , Áp dụng BĐT Côsi ta có:

Dấu bằng xảy ra Vậy MaxP =

Bài 20 Cho x,y Î R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải: Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy £ (x + y)2 ta có

Do 3t - 2 > 0 và nên ta có

Xét biểu thức f(t) = f(t) = 8 khi t = 4

Do đó min P = = f(4) = 8 đạt được khi

I.2 Các bài toán giao về nhà cho học sinh thực hiện

Bài 21 Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy Min P = khi x = y =

Bài 22 Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy

Lời giải: S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy

= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy

= 16x2y2 – 2xy + 12

Đặt t = x.y, vì x, y ³ 0 và x + y = 1 nên 0 £ t £

Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 = f(t) Hàm số f(t) xét trên đoạn

0 £ t £ đạt giá trị lớn nhất tại t = , đạt giá trị nhỏ nhất tại t =

Max S = khi x = y =

Min S = khi hay

Bài 23 Cho x, y, z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải: Với x, y > 0 ta chứng minh :

4(x3 + y3) ³ (x + y)3 (*) Dấu = xảy ra Û x = y

Thật vậy (*) Û 4(x + y)(x2 – xy + y2) ³ (x + y)3

Û 4(x2 – xy + y2) ³ (x + y)2 do x, y > 0

Û 3(x2 + y2 – 2xy) ³ 0 Û (x – y)2 ³ 0 (đúng)Tương tự ta có 4(y3 + z3) ³ (y + z)3 Dấu = xảy ra Û y = z4(z3 + x3) ³ (z + x)3 Dấu = xảy ra Û z = x

Do đó

Ta lại có Dấu = xảy ra Û x = y = z

Suy ra

Dấu = xảy ra Û x = y = z = 1

Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1

Bài 24 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải: Ta có A =

Þ A

Với x = y = 2 thì A =

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

Bài 25 Cho Tìm GTLN của biểu thức

Vậy P

=

Dấu “=” xảy ra Vậy Min P = 2

Bài 30 Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z +

Lời giải: Theo BĐT Cơsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 > 0 Û ³ 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =

Lời giải:Với mọi ta có: (*)

Suy ra P ³ Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =

Vậy Min P = khi và chỉ khi x = y = z =

Bài 32 Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z – x – y) = x + y + 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải: Từ giả thiết z(z – x – y) = x + y + 1 suy ra ( z+1)( x+y) = z2 –

1 và do z > 0 nên ta có x + y + 1 = z Khi đó biểu thức đã cho có thể viết dạng

Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương x , y ta có :

Mà T = khi và chỉ khi x = 3, y = 3, x= 7

Vậy Max T = khi x = 3, y = 3, x= 7

Bài 33 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thúc: với

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức :

Ta có :

Þ

Khi x = 3 thì A = Vậy Min A =

Bài 34 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

P

P

Dấu bằng xảy ra khi và chí khi

Vậy giá trị lớn nhất của P là