Các bài toán bất đẳng thức côsi (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 BTVN NGÀY 15-03 Bất đẳng thức Côsi. Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. CMR: 3 2 2 2 4 x x x x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + Bài 2 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1 CMR: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + Bài 3 : Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0. CMR: 2 4 2 4 2 4 3 3 x y z + + + + + ≥ Bài 4 : Cho 3 số dương tùy ý a,b,c: Tìm Min: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 a b c A a b b c c a b c a   = + + + + + + + +  ÷   Bài 5 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. Tìm Min của: 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +  ÷  ÷  ÷       ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 HDG BTVN NGÀY 15-03 Bất đẳng thức Côsi. Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. CMR: 3 2 2 2 4 x x x x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + Giải: Ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 4 1 2 4 1 1 3 2 4 4 4 1 2 4 x y z x y x z x y x z x x x x y z x y x z y y y x y y z x z VT x y z x y y z x y y z x z z z z x y z x z y z   = ≤ +  ÷ + + + + + + +      ≤ +   ÷ + + + +         + + +  ⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =   ÷  ÷ + + + + + + +          =≤ +  ÷ + + + +     Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z Bài 2 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1 CMR: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + Giải: Ta có: 2 2 3 2 1 1 4 9 3 1 3 ( ) 3( ) 3 3 ( ) 1 4 4 4 4 2 1 1 4 x y x y xyz y z x y z x y z y VT x y z z z x z x  + + ≥  +   − + + + + + + −  + ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =  +   + + ≥  +   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 Page 2 of 9 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Bài 3 : Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0. CMR: 2 4 2 4 2 4 3 3 x y z + + + + + ≥ Giải: Đặt: ( ) 1 1 1 1 3 6 6 6 6 (1) 1 18 4 , , 0 4 à : 2 2 2 3 3 (1) 1 4 ó : 2 1 1 3 2 3. 3. 3 3. 3 3 x y z a a b c b V a b c abc c Ta c a a a a a VT a b c abc  = >   = ⇒ + + + + + ≥   =   =    + = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + +  ÷   ≥ = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0 Bài 4 : Cho 3 số dương tùy ý a,b,c: Tìm Min: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 a b c A a b b c c a b c a   = + + + + + + + +  ÷   Giải: ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 4( ) 4( ) 4( ) 2 ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2 4( ) 4( ) 4( ) 2 6 1 1 à 2 6 6 12 12 a b c A a b b c c a b c a V a b ab a b ab a b b c c a ab bc ca abc a b c V A abc Min A b c a abc abc   = + + + + + + + +  ÷   + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + + + + + ≥ + + ≥     + + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =  ÷  ÷     Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. Bài 5 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. Tìm Min của: 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +  ÷  ÷  ÷       Giải: Page 3 of 9 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 3 1 ì : 3 ( ) à 1 . 2 2 2 ( ) 3 1 9 9 3 ( ) . . 2 2 2 ( ) x y z x y z x y z x y z P x y z xyz xyz xyz xyz xyz V x y z xyz V xyz xyz xyz xyz P xyz MinP xyz   + + + + + + = + + + = + = + + +  ÷     + + ≥ + = + + ≥  ÷   ⇒ ≥ = ⇒ = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 BTVN NGÀY 17-03 Sử dụng chiều biến thiên. Bài 1 : Tìm Min, Max của: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 12 xy A x y x x y = + + + Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ó : . : 3 1 1 12 1 1 12 1 1 1 3 12 1 3 1 1 12 3 1 1 12 1 1 12 1 1 . : 1 12 ( 1) 3 ( ) 3 12 4 3 1 '( ) 0 3 ( ) ( 3 y Ta c A Coi t x x y y x t t t A t t t t t t t u Coi u t u A f u t u u f u A f u f u = =          ÷  + ÷ + +  ÷  ÷  ÷  ÷         − + ⇒ = = =   + − + + + + + +  ÷   + − − = = + ≥ ⇒ = = + + = −  ⇒ = ⇔ ⇒ = ≤  =  1 1 3) ax . 6 18 à : lim ( ) 0 0 u M A V f u MinA →∞ = ⇒ = = ⇒ = Bài 2 : Cho 3 số thực thõa mãn: x 2 + y 2 + z 2 =1. Tìm Min, Max của: ( ) ( )P x y z xy yz zx = + + − + + Page 4 of 9 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Giải: Đặt: 2 2 2 2 2 2 3( ) 3 3; 3 1 2 1 à ( ) '( ) 0 1 3; 3 2 2 ax (1) 1 ó : ( 3) ( 3 1) t x y z t x y z t t t t V P t f t f t t M P f Qua BBT ta c MinP f   = + + ⇒ ≤ + + = ⇒ ∈ −   − − + +   = − = = ⇒ = ⇔ = ∈ −   = =    = − = − +   Bài 3 : Cho 2 số dương x,y thõa mãn: x+y=5/4. Tìm Min của: 4 1 4 A x y = + Giải: Ta có: ( ) 2 2 5 16 16 60 5 4 . 5 4 4 (5 4 ) 4 ( ) 4 4 0 , 5 16 16 1 16 1 : à : ( ) 5 4 5 5 0 16 1 16 '( ) 0 (1) 1 5 5 4 5 3 y y y x y A xy y y y y a y a b a b Coi V A f a b y a b ab b a a a a f a MinA f a a a + − + + = = = − − = < <   + ⇒ = = + = + =   = − + = −   =   ⇒ = − = ⇒ ⇒ = = + =  = − −  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=1; y=1/4 Bài 4 : CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có: 1 os 1 os 1 os 2 2 2 3 3 A A A c c c A A A + + + + + > Giải: Xét hàm số: 2 cos 1 2 x y x = + − Page 5 of 9 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 ' sin à '' 1 cos 0; ; 2 y x x v y x x o π   = − = − > ∀ ∈  ÷   Ta thấy y’ đồng biến và ta có: y > 0. Vậy ta có: 2 cos 1 2 x x > − Áp dụng cho các góc A/2, B/2 , C/2 ta có: 2 2 2 cos 1 ;cos 1 ;cos 1 2 8 2 8 2 8 A A B B C C > − > − > − 2 1 1 1 1 9 2 ( ) 2. 8 8 18 144 3 3 8 8 A B C VT A B C A B C A B C π π π π + +   ⇒ > + + − + + ≥ −  ÷ + +   − = − = > Bài 5 : Cho 2 số không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max của: 1 1 x y S y x = + + + Giải: Ta có: 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 . 1 1 ( ) 1 2 ( ) 1 1 2 2 6 à : 0 . : 0; à 2 ( ) 4 4 4 2 2 1 2 inS ( ) 6 ' 0 4 3 ( 2) ax (0) 1 x y x y x y xy S y x xy x y xy x y t M xy Coi t xy t v S f t t t M f S t M S f + + + − = + = = + + + + + + + −   ≤ ≤ = = ⇒ ∈ = = − + =   + +    = = −  ⇒ = < ⇒  +  = =  BTVN NGÀY 19-03 Sử dụng các phương pháp khác. Bài 1 : Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn điều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng: Page 6 of 9 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 2 2 2 3 3 3 1 x y z P x y y z y z z x z x x y = + + ≥ + + + + + + Giải: 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ì : à : 0 2 . x x V x y y z x xy y x y x y y z z x M x y x xy y x xy y y yz z z zx x x y z y z x x xy y y yz z z zx x x xy y y yz z z zx x x y y z z x P x xy y y yz z z zx x V = + + + + − − − − = − ⇒ + + = + + + + + + + + ⇔ + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + ⇔ = + + + + + + + + 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 1 ì : ( ) . à : 3 2 2 ( ) 2 2 1. 3 3 x y x xy y x xy y x y m x xy y x xy y x xy y x y x y P x y z xyz P x xy y + − + − + = + ≥ + + + + + + + + ⇒ ≥ ⇒ = + + ≥ = ⇒ ≥ + + Bài 2 : Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 (*) 1 . 1 1 . 1 1 . 1 a c a b b c a c a b b c − − − ≤ + + + + + + + Giải: Đặt: Page 7 of 9 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 [ ] tan tan (*) sin( ) sin( ) sin( ) tan ì : sin( ) sin ( ) ( ) ) sin( ) os( ) os( )sin( ) sin( ) os( ) os( ) sin( ) sin( ) sin( ) a b c V c c c c α β α β β γ α γ γ α γ α β β γ α β β γ α β β γ α β β γ α β β γ α β β γ =   = ⇒ ⇔ − + − ≥ −   =  − = − + − = − − + − − ≤ − − + − − ≤ − + −  Điều phải chứng minh. Bài 3 : Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a 2 +b 2 =1; c – d =3. Chứng minh: 9 6 2 4 F ac bd cd + = + − ≤ Giải: Gọi: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ( ) : 1 à ; : 3 ó : ( ) ( ) 2 2 ( ) 2( ) 1 9 2 A a b A C x y v B c d B d x y Ta c AB a c b d a b c d ac bd a b c d ac bd cd F ⇒ ∈ + = ⇒ ∈ − = = − + − = + + + − − = + + − − + − = + − Vì AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A,B thuộc đường vuông góc với d kẽ từ O. 2 3 2 3 2 2 22 12 2 1 2 2 4 22 12 2 11 6 2 9 6 2 10 2 5 4 4 4 AB Min OB OA AB F F F − − ⇒ = − = − = ⇒ ≥ − − + ⇒ − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≤ Bài 4 : Cho: 0;a c b c ≥ ≥ ≥ Chứng minh: ( ) ( )c a c c b c ab − + − ≤ Giải: Page 8 of 9 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Gọi: ( ) ( ) , , : . . ( ) ( ) a c b c a c b c b b a c c b a c c a Do a b a b c a c c b c ab − ⇒ = + − = − ⇒ = − + = ≤ ⇔ − + − ≤ r r r r r r r r Bài 5 : Cho x,y,z thuộc khoảng (0;1) thõa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm Min của: 2 2 2 1 1 1 x y z P x y z = + + − − − Giải: Đặt ( ) 2 2 2 3 tan 2 tan tan tan 1 2 2 2 tan t anA tan tan 2 2 1 tan 1 tan 1 tan 2 2 2 tan 2 ì : ó : t anA tan tan t anA.tan .tan 3 t anA.tan .tan 3 3 t anA tan tan t anA.tan .tan 3 3 2 A x A B C B y P B C A B C C z V Trong ABC ta c B C B C B C B C B C P  =    = ⇒ = + + = + +   − − −  =   ∆ + + = ≥ ⇒ + + = ≥ ⇒ ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A=B=C=60 0 hay 1 3 x y z = = = ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 9 of 9 . 2010 BTVN NGÀY 15-03 Bất đẳng thức Côsi. Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. CMR: 3 2 2 2 4 x x x x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + Bài 2 : Cho 3 số dương. (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 HDG BTVN NGÀY 15-03 Bất đẳng thức Côsi. Bài 1 : Cho 3 số dương tùy ý x,y,z. CMR: 3 2 2 2 4 x x x x y z x y