Các bài toán bất đẳng thức (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2010 BTVN NGÀY 16-05 1, 2 2 ( 3) 4 9x x x− − ≤ − 5, 1 3 4x x + > − + 2, 3 2 8 7x x x + ≥ − + − 6, 2 2 5 10 1 7 2x x x x + + ≥ − − 3, 2 1 1 4 3 x x − − < 7, 2 8 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤ 4, 3 1 3 2 7 2 2 x x x x + < + − 8, 2 1 3 2 4 3 5 4x x x x − + − < − + − ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 12-05 1, 1 3 2 1 3 2 x y x y x y  + =     + =   - đây là hệ đối xứng loại II - Điều kiện: 0; 0x y≠ ≠ - Trừ vế theo vế ta được: ( ) 1 1 2 4 2 x y x y xy x y =    − = − ⇔  ÷  = −    Với x y= , hệ tương đương với 2 2 1x x x = ⇔ = ± Với 2 2xy y x − = − ⇒ = , thế vào pt đầu được: 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 x y x x x x x x y  = → = − − = ⇔ = ⇔  = − → =   - Vậy hệ có nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 1;1 , 1; 1 , 2; 2 , 2, 2x y = − − − − 2, ( ) 3 3 1 1 1 1 0 2 1 2 1 x y x y y x xy y x y x     − = − − + =    ÷ ⇔       = + = +   ⇒ ĐS: ( ) ( ) 1 5 1 5 ; 1;1 ; ; 2 2 x y     − ± − ±   =  ÷    ÷       3, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 12 (3 2 )( 1) 12 2 4 8 0 3 2 8 x y x x x x y x x y x x y x x  + + = + + =   ⇔   + + − = + + + =    Page 2 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Đặt 2 3 2 ;u x y v x x = + = + suy ra: 12 6 2 8 2 6 uv u u u v v v = = =    ⇔ ∨    + = = =    Giải từng trường hợp ta dẫn tới đáp số: ( ) ( ) ( ) 3 11 ; 2;6 , 1; , 2; 2 , 3, 2 2 x y       = − − −    ÷  ÷       4, ( ) 2 2 2 0 1 4 2 4 2 ( 1) ( 1) 2 2 x y x y x y x y x y x y xy xy x x y y y xy  + = ∨ + = −  + + + = + + + − =  ⇔ ⇔    = − + + + + = = −     ⇒ ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 2; 2 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2x y = − − − − 5, 2 2 4 2 2 4 5 13 x y x x y y  + =   − + =   - Đây là hệ đối xứng loại I đối với 2 x và 2 y - Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 2; 1 , 2; 1 , 1; 2 , 1, 2x y = ± − ± ± − ± 6, 2 2 2 3 2 16 3 2 8 x xy x xy y  − =   − − =   - Đây là hệ đẳng cấp bậc 2 - Nhận xét x = 0 không thỏa mãn hệ, ta xét 0x ≠ , đặt y tx = Hệ trở thành: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 16 1 3 2 8 x t x t t  − =   − − =   - Giải hệ này tìm t, x - Đáp số: ( ) ( ) ( ) { } ; 2; 1 , 2,1x y = − − 7, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 1 1 4 1 1 1 2 2 1 3 x y x x x y y x y y y x x y x y y x y x y  + + + =  +   + + + = =    ⇔ ⇔    + + + − =     + − = + =    ⇒ ĐS: ( ) ( ) ( ) { } ; 1;2 ; 2;5x y = − Page 3 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 8, 2 2 2 2 2 2 1 1 7 7 1 7 1 1 13 1 13 13 x x x x y y xy x y y y x x y xy y x x x y y y y     + + = + + =   ÷  + + =      ⇔ ⇔    + + =      + + = + − =  ÷       9, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 1 3 0 2 1 2 1 5 1 1 5 1 1 0 1 2 x x y x y x y x y x x y x y x x x x   + + − =  + = + − = − + =        ⇔ ⇔ ∨     = + − + =     = + − = −       ⇒ ĐS: ( ) ( ) 3 ; 1;1 ; 2; 2 x y     = −    ÷     10, ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 0 2 3 4 6 4 4 12 3 4 4 12 3 x y xy x y x y x y x y x y  + + = + + = −   ⇔   + + + = + + + =    ⇒ ĐS: ( ) 1 3 3 3 ; 2; ; 2; ; 2; ; 6; 2 2 2 2 x y           = − − − − − −    ÷  ÷  ÷  ÷           11, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) 3( ) 3( ) 7( ) 2 2 2 5 2 0 x xy y x y x xy y x y x xy y x y y x xy y x y x y x x y yx − +  − + = −  − + = −  − + = −   ⇔ ⇔    + + = − = ∨ =    =   ⇒ ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 0;0 ; 1;2 ; 1; 2x y = − − Page 4 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 12, ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 8 2 8 2 (1) 3 3 1 3 6(2) 8 0 0 8 0 *) ét 0 ( ô ý) 6 3 3 6 *) 2 ê' (1) à 2 ê' (2) ó : 1 8 2 . 6 3 x x y y x y x y x y x y x x x x x X y V l x x x Chia v cho y v v cho y ta c x x y y y y C x y y  − = +  − = +   ⇔   − = + − =      − = =  − =    = ⇒ ⇔ ⇔    = − =  =        − = +   ÷        − =  ÷     3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 8 2 1 3 : 1 (8 2). 6 6 3 0 3 3 (4 1)( 3) 12 0 ( 12) 0 4 3 ) 0 0 2 0( ) ) 3 3 9 3 6 1 (3;1),( 3; 1) ) 4 4 16 3 6 t t y x t oi t t t y t y t t t t t t t t t t t t t x y loai t x y y y y t x y y y y +  − =  −  = ⇒ ⇒ − = +   − =   =   ⇔ − = + − ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = −   =  + = ⇒ = ⇒ = − < + = ⇒ = ⇒ − = ⇔ = ± ⇔ − − + = − ⇒ = − ⇒ − = ⇒ = ( ) 6 6 6 6 6 ( 4 ; );(4 ; ) 13 13 13 13 13 6 6 â 3; 1 , 4 ; 13 13 V y S ± ⇒ − −       = ± ± ±  ÷    ÷       m • BTVN NGÀY 14-05 1, 3 5 3 4x x − = − + - Điều kiện: 3x ≥ Với điều kiến trên ta biến đổi về dạng: 3 3 4 5x x − + + = sau đó bình phương 2 vế, đưa về dạng cơ bản ( ) ( )f x g x= ta giải tiếp. - Đáp số: 4x = 2, 2 2 5 1 ( 4) 1x x x x x + + = + + + Page 5 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 - Đặt 2 1 0t x x = + + > , pt đã cho trở thành: ( ) 2 4 4 0 4 t x t x t x t =  − + + = ⇔  =  Với 2 1 :t x x x x = ⇔ + + = vô nghiệm Với 2 1 61 4 15 0 2 t x x x − ± = ⇔ + − = ⇔ = - Vậy phương trình có nghiệm: 1 61 2 x − ± = 3, 4 4 18 5 1x x − = − − - Ta đặt 4 4 4 4 18 0; 1 0 17u x v x u v = − ≥ = − ≥ ⇒ + = , ta đưa về hệ đối xứng loại I đối với u, v giải hệ này tìm được u, v suy ra x - Đáp số: Hệ vô nghiệm 4, ( ) ( ) 3 2 2 2 6 *x x x + − = + + - Điều kiện: 2x ≥ - Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 8 3 * 2 3 3 2 6 3 2 6 4 x x x x x x x =  − ⇔ − = ⇔  − + + − + + =  - Đáp số: 108 4 254 3; 25 x   +   =       5, 2 2 2 8 6 1 2 2x x x x + + + − = + - Điều kiện: 2 2 1 2 8 6 0 1 1 0 3 x x x x x x = −   + + ≥   ⇔ ≥   − ≥    ≤ −  - Dễ thấy x = -1 là nghiệm của phương trình - Xét với 1x ≥ , thì pt đã cho tương đương với: ( ) 2 3 1 2 1x x x + + − = + Page 6 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản ( ) ( )f x g x= ta dẫn tới nghiệm trong trường hợp này nghiệm 1x = - Xét với 3x ≤ − , thì pt đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 1x x x− + + − − = − + Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản ( ) ( )f x g x= ta dẫn tới nghiệm trong trường hợp này là: 25 7 x = − - Đáp số: 25 ; 1 7 x   = − ±     6, 2 ( 1) ( 2) 2x x x x x− + + = ĐS: 9 0; 8 x   =     7, 3 3 4 3 1x x + − − = - Sử dụng phương pháp hệ quả để giải quyết bài toán, thử lại nghiệm tìm được. - Đáp số: { } 5;4x = − 8, 2 2 2 4 2 14 4 2 3 4 4 ;2 0;2; 3 3 x x x x t x x t x   − −     + − = + − → = + − ⇒ = − ⇒ =           9, 2 2 3 3 3 6 3x x x x− + + − + = - Đặt 2 2 2 3 3 0 3 3t x x x x t = − + > ⇒ − + = - Phương trình thành: ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 3 3 t t t t t t t t ≥   + + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =  + = −   Suy ra { } 2 3 2 0 1;2x x x− + = ⇔ = - Vậy tập nghiệm của phương trình là { } 1;2x = 10, 2 3 2 4 3 4x x x x + + = + - Điều kiện: 0x ≥ Page 7 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 - Đặt ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2; 0 2 0 2 3 u v u v u x v x u v u v u v uv   = + = +   = + ≥ = ≥ ⇒ ⇒   − − = + =     Giải ra ta được 4 3 x = (thỏa mãn) 11, 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x − + − = − + − + - Điều kiện: 1x ≥ - Khi đó: 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x − + − = − + − + Đặt t = 3 2 1 ( 0)x x t− + − > ta có: 2 2 6 6 0 3; 2( 0)t t t t t t = − ⇔ − − = ⇔ = = − < 3 2 1 3x x − + − = Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm 2x = 12, 3 2 1 1x x − = − − - Điều kiện: 1x ≥ - Đặt 3 2 ; 1 0u x v x = − = − ≥ dẫn tới hệ: 3 2 1 1 u v u v = −   + =  Thế u vào phương trình dưới được: ( ) ( ) 1 3 0v v v − − = - Đáp số: { } 1;2;10x = 13, 3 3 1 2 2 1x x + = − 3 3 3 1 2 1 5 2 1 1; 2 1 2 y x y x x y x x y    + = − ±    → = − ⇒ ⇒ = ⇒ =    + =       14, 2 2 5 14 9 2 5 1x x x x x + + − − − = + ĐS: 9 1; ;11 4 x   = −     15, 3 2 3 2 3 6 5 8x x − + − = - Giải hoàn toàn tương tự như ý bài 1.12 Page 8 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 - Đáp số: { } 2x = − 16, 2 7 5 3 2x x x + − − = − - Điều kiện: 2 5 3 x≤ ≤ - Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản. Sau đó giải tiếp theo như đã học. - Đáp số: 14 1; 3 x   =     17, 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x + − = − + − + − + - Điều kiện: 1 7x≤ ≤ - Ta có: 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − + ( ) ( ) 1 1 7 2 1 7x x x x x ⇔ − − − − = − − − 1 2 5 4 1 7 x x x x x  − = =  ⇔ ⇔   = − = −    - Đáp số: { } 4;5x = 18, ( ) 2 2 3 3 2 4 2 1 2 2 2 x x x x x + + + = ⇔ + − = - Đặt 3 1 2 x y + + = ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 1 3 x y y x  + = +  ⇒  + = +   - Đáp số: 3 17 5 13 ; 4 4 x   − ± − ±   =       19, ( ) 2 2 4 13 5 3 1 2 3 4 3 1x x x x x x − + − = + ⇔ − − + + = + - Đặt ( ) ( ) 2 2 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 4 2 3 y x y x x x y  − = +  − = + ⇒  − − + + = −   Page 9 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 - Đáp số: 15 97 11 73 ; 8 8 x   − +   =       20, 2 2 2 2 5 5 1 1 1 4 4 x x x x x− + − + − − − = + - Điều kiện: 1x ≤ - PT đã cho 2 2 1 1 1 1 1 2 2 x x x ⇔ − + + − − = + - Đáp số: 3 ; 1 5 x   = −     21, 5 2 7 5 2 7 x y y x  + + − =   + + − =   5 2 5 2x y y x x y ⇒ + + − = + + − ⇔ = ⇒ ĐS: ( ) ( ) ; 11;11x y = 22, 2 1 1 3 2 4 x y x y x y  + + − + =   + =   - Đặt 2 2 2 1 0 1 2 1 1 2 5 0 u x y u v u u v v u v v x y  = + + ≥ − = = = −     ⇒ ⇒ ∨     = = − + = = + ≥      - Đáp số: ( ) ( ) ; 2; 1x y = − 23, 2 3 2 2 2 3 2 2 9 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y  + = +  − +    + = +  − +  ⇒ ĐS: ( ) ( ) ( ) { } ; 0;0 ; 1;1x y = • BTVN NGÀY 16-05 Page 10 of 14 [...]... y = 4 x − 6 x − 9 x với x ∈ ( −∞;1] giao với đường thẳng y = 1 − m tại đúng 1 điểm - Xét hàm y = 4 x − 6 x − 9 x với x ∈ ( −∞;1] , lập bảng biến thiên từ đó ta dẫn tới đáp số của bài toán là: 1 − m < −11 ⇔ m > 10 3 2 Bài 2 Tìm tham số m để bất phương trình: m ( ) x 2 − 2 x + 2 + 1 + x (2 − x) ≤ 0 có nghiệm x ∈ 0;1 + 3    HDG: Page 12 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010... 2 bằng 1, (*) Vì ∆ = ( m − 2 ) + 4 > 0, ∀m nên f(x) luôn có 2 nghiệm phân biệt; do đó (*) xảy ra khi và chỉ khi af ( 1) = 2 − m ≤ 0 ⇔ m ≥ 2 - Đáp số Page 13 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 14 of 14 ...  ⇒ t ∈ [ 1; 2] Hệ trở thành:   m ( t + 1) + 2 − t 2 ≤ 0 ⇔ m ≤ t2 − 2 = f ( t ) , ( *) t +1 - BPT đã cho có nghiệm x ∈ 0;1 + 3  ⇔ ( *) có nghiệm t ∈ [ 1; 2]   ⇔ m ≤ max f ( t ) ⇔ m ≤ [ 1;2] 2 3 Bài 3 Tìm tham số m để hệ phương trình: 2 x − y − m = 0    x + xy = 1 có nghiệm duy nhất  HDG: 2 x − y − m = 0  có nghiệm duy nhất  x + xy = 1    2 x − y − m = 0   y = 2x − m ⇔  x + xy... x − 3 < 5 x − 4 − 2 x − 1 ⇔ 3 ( x − 1) 1− x < 3x − 2 + 4 x − 3 5x − 4 + 2 x −1 Nếu x ≤ 1 ⇒ VT ≥ 0 ≥ VP : BPT vô nghiệm Nếu x > 1 ⇒ VT < 0 < VP : BPT luôn đúng - Đáp số: x ∈ ( 1; ∞ ) • BTVN NGÀY 18-05 Bài 1 Tìm tham số m để phương trình: Page 11 of 14 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 1, 2, 4 x 2 + 1 − x = m có nghiệm 4 x 4 − . −∞ , lập bảng biến thiên từ đó ta dẫn tới đáp số của bài toán là: 1 11 10m m− < − ⇔ > Bài 2. Tìm tham số m để bất phương trình: ( ) 2 2 2 1 (2 ). - Điều kiện: 1x ≥ - Đặt 3 2 ; 1 0u x v x = − = − ≥ dẫn tới hệ: 3 2 1 1 u v u v = −   + =  Thế u vào phương trình dưới được: ( ) ( ) 1 3 0v v v − − =