Các dạng toán khảo sát hàm số

Tham khảo tài liệu ''các dạng toán khảo sát hàm số'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SÔ CHUYÊN ĐỀ 1: BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SÔ I Các dạng bài tập thường gặp Dạng 1: Tìm cực trị của một hàm số một đoạn, một khoảng Phương pháp: - Tìm cực trị của hàm số: y = f(x) đoạn [a ; b] - Tìm cực trị của hàm số y = f(x) khoảng (a ; b) Qui tắc 1: Lập BBT (Tổng quát) Qui tắc 2: Sử dụng ĐH cấp 2.(Đối với hàm đa thức) Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số) Xác định m để hàm số có cực trị? Phương pháp: - Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d TXĐ: � Ta có: y' = 3ax + 2bx + c Đối với hàm số bậc 3, cực trị của hàm số có thể xảy trường hợp sau: 3ax + 2bx + c = (1) TH1: Pt (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép �  �0 thì hàm số không có cực trị TH2: Pt (1) có nghiệm phân biệt �  �0 thì hàm số có CĐ, CT - Hàm trùng phương: y = ax + bx + c TXĐ: � Ta có: y' = 4ax + 2bx Đối với hàm t phương, để có cực trị ta xét các trường hợp sau 4ax + 2bx =0 � 2x  2ax  b   x0 � � �2 b  1 � x  2a � TH1: Pt (1) có một nghiệm thì hàm số có một cực trị TH2: Pt (1) có nghiệm thì hàm số có cực trị ax + b � c� - Hàm phân thức: y = �x � � cx + d � d� � c�  � TXĐ: �\ � �d ad  bc y'  (công thức tính đạo hàm nhanh của hàm phân thức)  cx  d  Hàm số ĐB hoặc NB nên hàm số không có cực trị Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số) Chứng minh rằng với mọi m hàm số có cực trị (hoặc không có cực trị) - - Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d TXĐ: � Ta có: y' = 3ax + 2bx + c Xét p.t y' = 0, ta c/m:         với mọi m Vậy hs có cực trị với mọi m Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số) Xác định m để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y' = f'(x) �f ( x0 )  Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì � �f ''( x0 )  �f ( x0 )  � �f ''( x0 )  Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số) Xác định m để hàm số đạt cực trị bằng h tại x0 Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y' = f'(x) �f ( x0 )  Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì � �f '( x0 )  h Dạng 6: Xác định điều kiện của m để hàm số bậc có CĐ, CT nằm về phía đối với đường thẳng (d)? Phương pháp: + Điều kiện để hàm số có C Đ, CT: M1  x1 ; y1  , M  x ; y  (x1, x2 là các nghiệm của pt y' = 0) +Đường thẳng (d) có thể xảy trường hợp: 1) Nếu (d) là trục 0y thì ycbt � x1 < < x2 (2 nghiệm trái dấu và chỉ a.c < 0) 2) Nếu (d) là đường thẳng x =m thì: x1 < m < x2 3) Nếu (d): ax + by + c = thì ycbt �  ax1 + by1 + c   ax + by + c  < Dạng 7: Xác định điều kiện của m để hàm số bậc có CĐ, CT nằm về một phía đối với đường thẳng (d)? Phương pháp: + Điều kiện để hàm số có CĐ, CT: M1  x1 ; y1  , M  x ; y  (x1, x2 là các nghiệm của pt y' = 0) +Đường thẳng (d) có thể xảy trường hợp: 1) Nếu (d) là trục 0y thì ycbt � x1 < x2 < v < x1 < x2 (2 nghiệm cùng dấu) Δ>0 � � S = x1 + x >  v S <  ĐK nghiệm cùng dấu: � � P = x x > � 2) Nếu (d) là đường thẳng x =m thì: x1 < x2 < m v m < x1 < x2 Để hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì 3) Nếu (d): ax + by + c = thì ycbt �  ax1 + by1 + c   ax + by + c  > Dạng 8: Lập phương trình đường thằng qua điểm cực trị (CĐ, CT) của hàm số bậc (Cm) Phương pháp: TH1: Hàm bậc tìm được cực trị: M1  x1 ; y1  , M  x ; y  x - x1 y - y1 = Ta có ptđt: x - x1 y - y1 TH2: Khi không tìm được cực trị y cx + d = ax + b + + Chia: ( cx + d: là phần dư của phép chia) y' y' Suy ra: y = (ax + b).y' + cx +d hay y = (ax + b).f'(x) + cx +d + Gọi M1  x1 ; y1  , M  x ; y  là điểm cực trị của hàm số suy ra: f'(x1) = f'(x2) = + M1 và M2 �(Cm) nên: y1 = (ax1 + b).f'(x1) + cx1 +d � y1 = cx1 +d (1) y2 = (ax2 + b).f'(x2) + cx2 +d � y2 = cx2 +d (2) + Từ (1) và (2) ta suy đt qua điểm c.trị là: y = cx + d Dạng 9: Xác định m để đồ thị hàm số bậc có CĐ và CT đối xứng qua đường thẳng y = ax + b  a �0  Phương pháp: + Điều kiện để hàm số có CĐ, CT (1) + Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm cực trị + Gọi I là trung điểm hai điểm C.Tr �DK  1 � � �y  ax  b   d  � KQ ycbt �I �y  ax  b � Dạng 10: Xác định ĐK m để hs bậc có CĐ, CT thỏa mãn ĐK cho trước Phương pháp: + ĐK để hs có CĐ và CT + Giả sử hàm số đạt CĐ, CT a tại x1, x2 (x1, x2 là nghiệm của pt y = 0) Theo đ.lí vi-ét: b � x1 + x = � � a � �x x = c �1 a + Biến đổi điều kiện cách thích hợp rồi áp dụng vi-ét -II Bài tập Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: a y = x - 5x + c y = - x + 6x + 15x + 10 b y = x - 8x + d 2x + x + y= x+1 Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: a y = sin2x b y = cosx - sinx c y = sin2x Bài 3: CMR hàm số có cực trị với mọi giá trị của m, n 2 a y = x + mx -  + n  x -  m + n  b y = x -  m -  x - 4x + m Bài 4: Xác định m đề hàm số sau có cực trị tại x = � 2� y = x - mx + � m- � x + Khi đó hàm số đạt CĐ hay CT? Tính cực trị � 3� tương ứng Bài 5: Tìm m để hàm số đạt CTr tại x = y = mx + 3x + 5x + ĐS: m = -17/12 2 Bài 6: Xác định m để hs: y = - m x + 2mx - 3m + có giá trị CĐ bằng - Bài 7: Xác định m để hàm số sau không có cực trị x + 2mx - a y = x-m b y = (m - 3)x3 - 2mx + ĐS: �m  Bài 8: Xác định a và b để hs: y = alnx + bx + x đạt CT tại x = 1, CĐ tại x = HD:  lnx  ' = ĐS: a = -2/3, b = -1/6 x Bài 9: Cho hàm số y = x3 - 3(m - 1)x2 + (2m2 - 3m + 2)x - m(m - 1) a Tìm m để hs có CĐ và CT b Viết pt đt qua điểm CĐ, CT 2 x  c Tìm m để đt qua điểm C Đ, CT song song với đt y  3- 3+ a m< v m> 2 ĐS: b y = -  m - 3m + 1 � x -  m - 1 � � � c m=0 v m=3 Bài 10: Cho hs: y = x + mx - Viết phương trình đường thẳng qua điểm c.trị của hàm số Bài 11: Cho hs: 3 a y = x - mx + m Xác định m để hàm số có các điểm CĐ, CT đối xứng qua đường thẳng y = x b y = x - 3x + m x + m Xác định m để hs có CĐ, CT đối xứng qua đường thẳng y = x - 2 2 Bài 12: Cho hàm số: y = x -  2m + 1 x +  m - 3m +  x +  C m  Xác định các g.trị của m để (Cm) có điểm CĐ và CT đối xứng qua trục 0y Bài 13: Cho hs: y = x4 - 4x3 + 8x a Viết phương trình đường thẳng qua điểm CĐ, CT của hs b CMR đt nối điểm CĐ và CT song song với trục hoành Bài 14: Xác định m đê hs: y = x4 + mx2 - m - có điểm c.trị Bài 14: Cho hs: y = x + mx + 7x + Xác định m để đt qua điểm CĐ, CT vuông góc với đt y = 3x - 2 Bài 15: Cho hs: y = - x + 3x +  m - 1 x - 3m -1 Xác định m để hs có CĐ, CT cách đều góc tọa độ O Bài 16: Cho hs: y = x - mx + mx - Tìm m để hs có cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn: x1 - x �8 Bài 17 Cho hs: y = 2x +  m - 1 x +  m -  x - Tìm m để hs có cực trị tại x1 ; x2 thỏa mãn: x1 + x = Bài 18 Cho hs: y = x - mx - x + m +1 Tìm m để hs có CĐ và CT và khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất Bài 19 Cho hs: y = x - 3x +  1-m  x + 3m +1 Tìm m để hs có CĐ, CT đồng thời các điểm c.trị cùng với gốc tọa độ tạo thành t.giác có S = Bài 20 Cho hs: y = x + 2mx - m - Tìm m để hs có điểm C.trị, đồng thời các điểm c.trị của đồ thị tạo thành t.giác có S = 2 Bài 21 Cho hs: y = x +  m -  x + m - 5m + Tìm m để hs có các điểm CĐ, CT tạo thành một tam giác vuông cân Bài 22 Cho hs: y = x - 2x + 3x Gọi A, B là các điểm CĐ và CT của đồ thị hs Tìm điểm M thuộc trục hoành cho t.giác ABM co diện tích bằng 2 Bài 23 Cho hs: y = - x + 3x +  m -1 x - 3m - Tìm m để hs có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm c.trị tạo với gốc O t.giác vuông tại O Bài 24 Cho hs : y = 2x + 9mx +12m x +1 Tìm m để hs có cực đại tại xCĐ và cực tiểu tại xCT thỏa mãn: xCĐ2 = xCT Bài 25 Cho hs: y =  m +  x + 3x +mx - Tìm m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hs có các hoành độ là các số dương CHUYÊN ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SÔ I Các dạng toán thường gặp ax + b � d� Dạng 1: Tìm điểm đồ thị hàm số (C): y = �x � � cx + d � c� cho: Tổng khoảng cách tới tiệm cận là nhỏ nhất Phương pháp: + Xét điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C) �  x ; y0  ta có: y = thương + dư/mẫu + Dùng BĐT Côsi Suy KQ ax + b � d� Dạng 2: Tìm đk để tiếp tuyến với đồ thị (C): y = �x � �cắt t.c của cx + d � c� đ.t.h.s tạo thành một t.giác có s = h (hằng số) Phương pháp: + Gọi I là giao điểm của t.c I(-d/c; a/c) + Gọi M  x ; y  là tọa độ tiếp điểm của tt với đồ thị (C) pttt: y = f'(x0).(x- x0) + y0 d a tcđ: x = ; tcn: y = c c + Tìm tọa độ giao điểm A, B của t.c với pttt của đồ thị + Ta thấy t.giác ABI vuông tại I nên: S = AI.BI = h  = const  (Áp dụng c.thức k.c giữa điểm) II Bài tập - x + 2m ( C ) Gọi I là giao của hai t.c Tìm M đồ thị cho x+m t.giác AIB vuông cân tại A 2mx + ( Cm ) Tìm m để t.tuyến b kỳ của hs cắt đường t.c tạo Bài Cho hs: y = x-2 thành một t.giác có diện tích bằng 3x - Bài Tìm điểm M thuộc đồ thị (C): y = để tổng k.c từ M tới t.c là nhỏ nhất x-2 x-1 Bài Tìm điểm M thuộc đồ thị (C): y = để tổng k.c từ M tới t.c là nhỏ nhất x+1 x+1 Bài Tìm điểm M thuộc đồ thị (C): y = để tổng k.c từ M tới t.c là nhỏ nhất x-2 2x + Bài Cho hs: y = Tìm các điểm M đồ thị có tổng k.c tới t.c của đồ thị x-1 bằng Bài Cho hs: y = CHUYÊN ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN I Các dạng toán về tiếp tuyến Dạng 1: Cho hs có đồ thị (C): y = f(x) và M(x0 ; y0) thuộc (C) Viết PTTT với đồ thị tại điểm M Phương pháp: Ta có: y' = f'(x) � f'(x ) Phương trình tt tại điểm M(x0 ; y0) là: y - y0 = f'(x )(x - x ) Các dạng thường gặp khác Viết pttt với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 PP: Ta tìm y0 = f(x0) Từ đó suy pttt Viết pttt với đồ thị (C) tại điểm thỏa mãn pt f''(x0) = PP: + Tính: f'(x), f''(x) + Giải pt: f''(x0) = suy x0 + Tìm y0 Từ đó viết pttt Dạng 2: Cho hs có đồ thị (C): y = f(x) Viết PTTT (d) của (C) a Song song với đường thẳng y = ax + b b Vuông góc với đt y= ax + b Phương pháp: a Vì tt (d) song song với đt y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng a Ta có pt: f'(x0) = a (x0 là hoành độ tiếp điểm) Suy x0, y0 PTTT (d): y - y = a.(x - x ) b Vì tt (d) vuông góc với đt y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng -1/a Ta có pt: f'(x0) = -1/a (x0 là hoành độ tiếp điểm) Suy x0, y0 PTTT (d): y - y = -1/a.(x - x ) Dạng 3: Sự tiếp xúc của hai đường cong có pt y = f(x) và y = g(x) Phương pháp: f(x) = g(x) � Hai đường cong tiếp xúc và chỉ khi: � có nghiệm và nghiệm đó là f'(x) = g'(x) � hoành độ tiếp điểm của đ.c Dạng 4: Cho hs có đồ thị (C): y = f(x) và A(x1 ; y1) ko thuộc (C) Viết PTTT với đồ thị (C) qua điểm A Phương pháp: + Ta có : y' = f'(x) + Ptđt (d) qua A(x1 ; y1) co hệ số góc k có dạng: y = k(x - x1) + y1 + Giả sử tọa độ tiếp điểm của (d) và (C) là M0(x0 ; y0) f(x ) = k(x - x1 ) + y1 � � x0 � k + Ta có hpt: � f'(x ) = k � + Pttt (d): y = k(x - x1) + y1 Dạng 5: Tìm điểm A, từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C) y = f(x) Phương pháp: + Giả sử A(x0 ; y0) + Pt đt qua A(x0 ; y0) có hệ số góc k có dạng: y = k(x - x0) + y0 + Đường thẳng (d) tx với đồ thị (C) hệ sau có nghiệm f(x) = k(x - x ) + y � � f'(x) = k � Thay pt (2) vào (1) ta đc pt (3) Khi đó số nghiệm của pt (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tới đồ thị II Bài tập Bài Cho hs y = x - 3x + a Viết pttt của đths tại điểm M(1 ; 3) b Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 = c Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn điều kiện f''(x0) = 12 d Viết pttt của đths song song với đường thẳng y = 9x - 2012 e Viết pttt của đths vuông góc với đt y = x + 2013 Bài Cho hs y = x - 2x - a Viết pttt của đths tại điểm M(1 ; - 2) b Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 = - c Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn điều kiện f''(x0) = d Viết pttt của đths song song với đường thẳng y = 24x + 2012 x + 2013 e Viết pttt của đths vuông góc với đt y = 24 19 � � Bài Viết pttt kẻ từ điểm A � ; �đến đồ thị hàm số y = 2x - 3x + 12 � � Bài Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C) y = - x + 3x - mà qua đó kẻ được một tiếp tuyến tới đồ thị Bài Tìm những điểm thuộc đường thẳng y = mà từ đó kẻ được tiếp tuyến đến đồ thị hs y = x - 3x Bài Tìm những điểm thuộc trục tung mà từ đó kẻ được tiếp tuyến đến đồ thị hs y = x - 2x + Bài Tìm những điểm thuộc đường thẳng x = mà từ đó kẻ được tiếp tuyến đến đồ thị hs y = x - 3x Bài Tìm những điểm thuộc trục tung mà từ đó kẻ được tiếp tuyến đến đồ thị hs x+1 y= x-1 Bài Cho hs y = x + mx - m +  Cm  Tìm m để tt tai giao điểm của (Cm) với trục Oy chắn hai trục tọa độ một t.giác có S = x+m Bài Cho hs y = Tìm điểm m để từ A(1 ; 2) kẻ đc tt AB, AC đến đths x-2 cho t.giác ABC đều 2mx +  Cm  Tìm điểm m để tt b.kỳ của đths cắt đường t.cận x-m tạo thành t.giác có S = 2x Bài 10 Cho hs y =  C  Tim M thuộc (C) cho tt tại M cắt trục Ox, Oy x+1 tại A, B cho SOAB = 2x Bài 11 Cho hs y =  C  Viết pttt của (C) biết tt tạo với trục tọa độ tam x+1 giác có S = Bài 12 Tìm điểm A, B thuộc đths y = x - 3x + cho t.tuyến tại A, B song song với và AB = Bài Cho hs y = CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ I Các dạng toán về sự tương giao của đồ thị Dạng 1: Tìm giao điểm của đồ thị y = f(x) và y = g(x) Phương pháp: + TXĐ: + Phương trình h.độ giao điểm của đồ thị là: f(x) = g(x) � f(x) - g(x) = (1) + Số nghiệm của pt (1) là số hoành độ g.điểm + Kết luận về tọa độ giao điểm Dạng 2: Biện luận về số giao điểm của đồ thị (C1) = f(x) và (C2) y = g(x) Phương pháp 1: (B.luận bằng PT) + TXĐ: + Phương trình h.độ giao điểm của đồ thị là: f(x) = g(x) � f(x) - g(x) = (1) + Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của hai đồ thị Dạng 3: Dựa vào đths (C): y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của pt: f(x) + g(m) = Phương pháp: + Ta có: f(x) + g(m) = � f(x) = g(m) (1) + Số nghiệm của pt (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng g(m) + Dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả vv… Dạng 4: Vẽ đồ thị các hàm số y = f( x ) (C1 ) ; y = f(x) (C2 ) ; y = f( x ) (C3 ) Phương pháp: + Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) Để vẽ đồ thị y = f( x ) ta thực hiện sau: Bỏ phần đt bên trái trục Oy, lấy đối xứng phần đt bên phải của (C) qua trục Oy Để vẽ đồ thị y = f(x) ta thực hiện sau: Giữ nguyên phần đt bên trục Oy, Lấy đối xứng phần đt nằm dưới trục Ox qua trục Ox Bỏ phần đt nằm phía dưới trục Ox 3 Để vẽ đồ thị y = f( x ) ta thực hiện sau: Thực hiện (C1), rồi thực hiện (C2) ta được đồ thị (C3) II Các dạng toán thường gặp x+1 Bài Cho hs y = (C) và đường thẳng (d): y = 2x - Xác định tọa độ giao x-1 điểm của hai đồ thị hàm số (C) và (d) 2mx + Bài Cho hs y =  Cm  và đường thẳng (d): y = 2x - Xác định m x-m cho (Cm) và (d) cắt tại điểm có hoành độ bằng Xác định tọa độ giao điểm đó? Bài Cho hs y = x - 3x + (C) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đths b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x - 3x + 2m = c Dựa vào đths (C) biện luận số nghiệm của pt - x + x + 2m - 1= x Bài Cho hs y = - 3x + 2 a Khảo sát sbt và vẽ đths 2 b Tìm m để pt sau có tám nghiệm phân biệt x - 6x + = m - 2m Bài Cho hs y = x - 3mx - 6mx a KS sbt và vẽ đths m =1/4 b Biện luận theo m số nghiệm của pt x - 3x - x - 4m = Bài Cho hs y = 4x - 3x  C  a KS và vẽ (C) b.Tìm m để pt x - x = 4m - 4m có nghiệm phân biệt Bài Tìm m để hs y = x -  m + 3 x + 18mx - có đt tiếp xúc với Ox