Chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng - Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

Tham khảo tài liệu ''chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng - các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y = f ( x ) ,đồ thị (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) −Tính đạo hàm giá trị f ' ( x0 ) − Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) có hệ số góc k = f ' ( x0 ) Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến k − Giải phương trình: f ' ( x ) = k , tìm nghiệm x0 ⇒ y0 − Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 Chú ý: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = , đó: − Nếu d //∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = a − Nếu d ⊥ ∆ ⇒ ( d ) : y = ax + b ⇒ hệ số góc k = − a Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A ( x A ; y A ) ∉ ( C ) − Gọi d đường thẳng qua A có hệ số góc k, ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A  f ( x ) = k ( x − x A ) + y A − Điều kiện tiếp xúc ( d ) ( C ) hệ phương trình sau phải có nghiệm:   f ' ( x ) = k Tổng quát: Cho hai đường cong ( C ) : y = f ( x ) ( C ') : y = g ( x ) Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với  f ( x ) = g ( x ) hệ sau có nghiệm   f ' ( x ) = g ' ( x ) Cho hàm số y = x − x a khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): i Tại điểm có hồnh độ x = ii Tại điểm có tung độ y = iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x − y + 2009 = iv Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: d : x + 24 y + 2009 = Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến (Cm) B C vng góc với Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm d (Cm) là: x3 + mx2 + = – x + ⇔ x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x2 + mx + d cắt (Cm) ba điểm phân biệt ⇔ g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác ∆g = m − > m > ⇔ ⇔  m < −2  g ( ) = ≠  S = xB + xC = −m Vì xB , xC nghiệm g(x) = ⇒   P = xB xC = Tiếp tuyến (Cm) B C vng góc với nên ta có: f ′ ( xC ) f ′ ( xB ) = −1 ⇔ xB xC ( 3xB + 2m ) ( xC + 2m ) = −1 ⇔ xB xC 9 xB xC + 6m ( xB + xC ) + 4m  = −1 ⇔ 9 + 6m ( − m ) + 4m  = −1 (nhận so với điều kiện) ⇔ 2m = 10 ⇔ m = ± Trang Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng 2x (ĐH Khối−D 2007) x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B diện tích tam giác OAB   ĐS: M  − ; −2 ÷ M ( 1;1)   m Gọi (Cm) đồ thị hàm số: y = x − x + (*) (m tham số) (ĐH Khối−D 2005) 3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m=2 b Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ −1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng x − y = ĐS: m=4 Cho hàm số y = x − 3mx − x + 3m ( Cm ) Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành Cho hàm số y = Cho hàm số y = x + x + ( m − 1) x − x − m ( Cm ) Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x − 3x + Tìm tập hợp điểm trục hồnh cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x − x + Tìm điểm M nằm Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x − 3x + Tìm điểm đường thẳng y = cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 10 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH Khối−B 2008) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9) y f(x)=4x^3-6x^2+1 Lời giải: a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = ⇔ x = hay x = 23 461 =−+ yx BBT : x y' y −∞ + −∞ 0 CĐ − +∞ -7 -6 -5 -4 -3 -2 x -1 + +∞ -2 CT −1 -4 b Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – Phương trình hồnh độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) – ⇔ 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) ⇔ 2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1) ⇔ x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x ⇔ x = –1 hay 4x2 – x – =   15 ⇔ x = –1 hay x = ; y’(−1) = 24; y '  ÷ = 4 15 21 Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = x− 4 Dạng 2: CÁC BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sơ y = f ( x ) ,đồ thị (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ: − Nghiệm phương trình f ' ( x ) = hoành độ điểm cực trị Trang -6 Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng  f − Nếu   f  f − Nếu   f ' ( x0 ) = '' ( x0 ) < ' ( x0 ) = '' ( x0 ) > hàm số đạt cực đại x = x0 hàm số đạt cực tiểu x = x0 Một số dạng tập cực trị thường gặp − Để hàm số y = f ( x ) có cực trị − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hoành − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục tung − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hoành − Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm phía trục hoành − Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hồnh  a ≠ ⇔  ∆ y ' > ⇔ yCĐ yCT < ⇔ xCĐ xCT <  yCĐ + yCT > ⇔  yCĐ yCT >  yCĐ + yCT < ⇔  yCĐ yCT > ⇔ yCĐ yCT = Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y = ax + bx + cx + d Lấy y chia cho y’, thương q(x) dư r(x) Khi y = r(x) đường thẳng qua điểm cực trị 1 Cho hàm số y = x − mx + ( m + ) x − Định m để: a Hàm số ln có cực trị b.Có cực trị khoảng ( 0; +∞ ) c Có hai cực trị khoảng ( 0; +∞ ) ( ) Định m để hàm số y = x − 3mx + m − x + b − 4ac đạt cực đại x = 3 Cho hàm số y = x -3x +3mx+3m+4 a Khảo sát hàm số m = b.Định m để hàm số khơng có cực trị c Định m để hàm só có cực đại cực tiểu Cho hàm số y = x − 3mx + x + 3m − Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Cho hàm số y = x + ( − 2m ) x + ( − m ) x + m + Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ 1 Cho hàm số y = x − mx + ( 2m − 1) x − m + ( Cm ) Định m để hàm số có hai điểm cực trị dương ĐS: m = −4 ± ( ) 2 Cho hàm số y = − x − 3x + m − x − 3m − (1), m tham số (ĐH Khối−B năm 2007) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ ĐS : b m = ± Trang Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng ( ) 2 Cho hàm số y = mx + m − x + 10 (1) (m tham số) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị (ĐH Khối−B năm 2002)  m < −3 b ĐS :  0 < m < Dạng 3: CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỒNG BIẾN−NGHỊCH BIẾN Cho hàm sơ y = f ( x ) có tập xác định miền D − f(x) đồng biến D ⇔ f ' ( x ) ≥ , ∀x ∈ D − f(x) nghịch biến D ⇔ f ' ( x ) ≤ , ∀x ∈ D (chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm miền D) Thường dùng kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c Nếu ∆ < f(x) ln dấu với a b b Nếu ∆ = f(x) có nghiệm x = − f(x) ln dấu với a x ≠ − 2a 2a Nếu ∆ > f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, khoảng nghiệm f(x) dấu với a So sánh nghiệm tam thức với số ∆ > ∆ >   * x1 < x2 < ⇔  P > * < x1 < x2 ⇔  P > S < S >   * x1 < < x2 ⇔ P < Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m + 1) x + Định m để: a Hàm số đồng biến R b Hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + ( 12m + ) x + a Định m để hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) b Định m để hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG Quan hệ số nghiệm số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm (1) (1) vơ nghiệm ⇔(C1) (C2) khơng có điểm chung (1) có n nghiệm ⇔(C1) (C2) có n điểm chung (1) có nghiệm đơn x1 ⇔(C1) (C2) cắt N(x1;y1) (1) có nghiệm kép x0 ⇔(C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0) Trang Chuyên đề luyện thi Đại học – Cao đẳng Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) có đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2 ( ) b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x − − 2m + = Cho hàm số y = x + kx − a Khảo sát hàm số k = b Tìm giá trị k để phương trình x3 + kx − = có nghiệm Cho hàm số y = x − x + (ĐH Khối−D 2006) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Gọi d đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 15 ĐS: b m > , m ≠ 24 4 Cho hàm số y = − x3 + 3mx2 + 3(1 − m2)x + m3 − m2 (1) (m tham số) (ĐH Khối−A 2002) a Khảo sát biến thiên vẽ đố thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình − x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1)  −1 < k < ĐS: b  , c y = x − m + m k ≠ ∧ k ≠  Dạng 5: CÁC BÀI TỐN VỀ KHOẢNG CÁCH Các cơng thức khoảng cách: Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = điểm M(x0;y0) Ax0 + By0 + C d ( M ,.∆ ) = A2 + B Cho hàm số y = x − 3mx − x + 3m + ( Cm ) Định m để ( Cm ) có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng bé 2x + 2 Cho hàm số ( C ) : y = Tìm tọa độ điểm M nằm (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ x −1 2x + Cho hàm số ( C ) : y = Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ x −1 Gọi (Cm) đồ thị hàm số: y = mx + (*) (m tham số) (ĐH Khối−A 2005) x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên ĐS: m=1 Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Trang Chuyên đề luyện thi đại học – cao đẳng Phương pháp: Từ hàm số y = f ( x, m ) ta đưa dạng F ( x, y ) = mG ( x, y ) Khi tọa độ điểm cố định có nghiệm  F ( x, y ) = hệ phương trình  G ( x, y ) = Cho hàm số y = x − ( m − 1) x − 3mx + ( Cm ) Chứng minh ( Cm ) qua hai điểm cố định m thay đổi Cho hàm số ( Cm ) : y = ( − 2m ) x + 3mx − ( m + 1) Tìm điểm cố định họ đồ thị Chứng minh đồ thị hàm số y = ( m + 3) x − ( m + 3) x − ( 6m + 1) x + m + ( Cm ) qua ba điểm cố định Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f ( x ) có đồ thị (C “) y = f ( x ) có đồ thị (C’) y = f(x) có đồ thị (C) y = f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D Do ta phải giữ nguyên phần phía trục Ox lấy đối xứng phần phía trục Ox lên y f(x)=x^3-2x^2-0.5 y = f ( x ) có f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D nên hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy y f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) f(x)=x^3-2x^2-0.5 y f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 (C') (C) x (C'') x x Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x + 12 x − b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: x − x + 12 x = m f(x)=2x^3-9x^2+12x y (ĐH Khối A−2006) f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x) y 2 2 = y -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 − x + x 2 12 x = x y -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 + x x x -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 a 12 − x ĐS: b 4