Thông tin tài liệu
Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 I Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho a, b, c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 4 xy Ta có a b 4ab ; b c 4bc ; c a 4ac a b b c c a 64a b c 8abc (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ 2: 1 9 (403-1001) a b c 2) Cho x, y, z > x + y + z = CMR:x + 2y + z 4(1 x)(1 y )(1 z ) 1) Cho a, b, c > a + b + c = CMR: 3) Cho a > 0, b > 0, c > CMR: a b c b c c a a b 4) Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn x y 1 ;CMR: x+y Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 a b c 1 Chứng minh a3 b3 c3 � bc a c ab Giải: a b c Do a, b, c đối xứng,giả sử a b c a b c b c a c a b Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a b c a2 b2 c2 a b c 2 a b c = = bc a c a b b c a c a b 2 a3 b3 c3 Dấu xảy a=b=c= Vậy b c a c a b 2 Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > abcd = 1.Chứng minh : a b c d a b c b c d d c a 10 Giải: Ta có a b 2ab 2 c d 2cd Do abcd =1 nên cd = 1 (dùng x ) ab x Ta có a b c 2(ab cd ) 2(ab Mặt khác: a b c b c d d c a ) 4 (1) ab Giaovienvietnam.com =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 ac bc 2 ab ac bc 2 2 Vậy a b c d a b c b c d d c a 10 = ab Ví dụ 5: Cho số a, b, c, d chứng minh rằng: (a c) (b d ) a b c d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd a b c d mà a c b d a b 2 ac bd c d a b2 a2 b2 c2 d c2 d ( a c) (b d ) a b c d II Một số tập thường gặp đề thi vào lớp 10 Bài 1: Cho số thực dương a, b, c CMR: a bc a2 b2 c2 + + bc ac ba Bài giải: bc a a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) + bc ac a b b2 c2 c Tương tự ta có: + b; + 4 ac ba a bc a2 b2 c2 a + b + c + + + bc ac ba a bc a2 b2 c2 + + (đpcm) bc ac ba a bc a2 b2 c2 Vậy + + bc ac ba 1 Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = Tìm Min A = 2 + xy Bài giải: x y Với a, b, c > ta có: a b 1 � (a, b > 0) ab a b a b a b (x y)2 xy � Mặt khác: x + y => xy = (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 4 1 1 4 A = 2 + 2xy + 2xy x2 y2 2xy + 2xy = (x y)2 + 2xy 4 + = + = x y Vậy MinA = x = y = Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab => Bài Cho a, b, c : abc 1 1 CMR : � 2 a 2b b 2c c 2a Hướng dẫn 2 2 Ta có: a b �2ab; b �2b � a 2b �2 ab b 1 Giaovienvietnam.com 1 2 a 2b ab b 1 Tương tự 1 1� 1 � � � � 2 2 a 2b b 2c c a �ab b bc c ca a � Mặt khác: 1 1 ab b 1 ab b bc c ca a ab b ab c abc ab bca ab b 1 1 � � a b c 1 => 2 2 a 2b b 2c c 2a Bài 4: Cho ba số x,y,z dương xyz = => CMR : Bài giải Ta có x3 y �3 x3 y 3xy z y �3 z y 3zy x z �3 x z xz �1 xy 3zy xz 1 � 3� �3 3 � � xy � xy zy xz zy xz � � Nên vế trái = Vì xyz = Dấu “ = “ x = y = z Bài 5: Cho số dương a, b, c chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c � b3 c a3 b c a Giải Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a3 b3 b3 c3 c3 a3 b3 b3 c3 c3 �3 a (1) b �3 b (2) c c (3) a a a Cộng vế theo vế (1) (2) (3) ta có: a3 2( b �3 b3 c3 a b c a b c ) � ( ) c3 a3 b c a b c a a b c �2( ) b c a 3 xy zy xz Giaovienvietnam.com a3 b3 c3 a b c � b3 c3 a3 b c a Vậy: Bài (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13) Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng: �3 x y HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z 9/(x + y + z) Bài 7: (Hải Dương 12 – 13) Cho số dương a, b thỏa mãn Q 1 Tìm giá trị lớn biểu thức a b 1 2 a b 2ab b a 2ba Hướng dẫn Với a 0; b ta có: (a b)2 �0 � a 2a 2b b �0 � a b �2a 2b � a b 2ab �2a 2b 2ab ۣ a b 2ab 1 Tương tự có b a 2a 2b �2ab a b (1) 2ab a b (2) Từ (1) (2) Q ab a b 1 1 � a b 2ab mà a �۳ b ab ab �Q 2(ab) a b 1 Khi a = b = � Q Vậy giá trị lớn biểu thức 2 Vì Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x �2y , tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y2 xy Hướng dẫn x2 y x2 y x y x y 3x ( ) Ta có M = xy xy xy y x 4y x 4y x y x y x y �2 1, Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho số dương y ; x ta có 4y x 4y x dấu “=” xảy x = 2y x x Vì x ≥ 2y y � y , dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ + = , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M Bài 9: , đạt x = 2y Giaovienvietnam.com Hướng dẫn: Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13) Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a �1; b �4;c �9 Tìm giá trị lớn biểu thức: P bc a ca b ab c abc Hướng dẫn: Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Giaovienvietnam.com 1 Chứng minh xy xz �1 1 �1 � 4 HD xy xz x �y z ��x y z x x � � Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13) Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b a > Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 8a b b2 4a Hướng dẫn a = b = 0,5 Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13) 2 xy Cho x 0, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A xy Hướng dẫn: Với x 0, y ta có x2 y � xy �۳۳xy xy 2 xy 2 xy Do A xy 2 xy �2 Dấu “=” xảy x y �x 0, y � �x y Từ �x y �2 x y � 2 Vậy A x y Bài 14: (Quảng nam 12 – 13) xy Cho a, b ≥ a + b ≤ Chứng minh : Hướng dẫn: a 2b � a 2b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Giaovienvietnam.com � a 2b 1 �2 (1) (bđt Cơsi) Ta có: = a 1 b (a 1)(b ) a 2b 2 a 1 b �7 (bđt Cô si) (a 1)(b ) � 2 � (2) (a 1)(b ) 2 � Từ (1) (2) suy ra: a 2b Dấu “=” xảy : a + = b + a + b = a = b = 4 Bài 15: Chun lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vịng 01) Cho a, b, c ba số thực dương t/m a + b + c = Tìm Max P biết P ab ab 2c bc bc 2a ca ac 2b Hướng dẫn * Vì a + b+ c = 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b) 1 1 áp dụng cosi ta có 2 ac b c a c b c 1 a+c=b+c a=b dấu (=) ( a c)(b c) a c b c 1 1 hay (c a)(c b) ( c a c b ) a ; b ; c > nên ab 2c ab ab ab ab (1) dấu a = b c a ( c b) c a c b bc cb bc (2) dấu b = c bc 2a a b a c ac ca ca (3) dấu a = c 2b ca c b b a Tương tự: cộng vế với vế (1) ; (2) ; (3) ta có ab bc ca ab ab cb cb ac ac ( + + ) ab 2c bc 2a ca 2b c a c b b a c a b a c b cb ab ac cb ac ab P ( )( )( b c c b a b a b ca ca (a c).b a.(b c ) c.(b a) 1 a b c 1 = bc a b 2 ca : P= Giaovienvietnam.com ab bc ca P= ≤ dấu a = b = c = ab 2c bc 2a ca 2b Vậy P = a = b = c = Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab bc ca c ab a bc b ca Hướng dẫn: Từ a + b + c = => ac + bc + c2 = c (Do c > 0) Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a) a b ab ab Do �a c b c (Cô – si) c ab (b c)(c a ) c a b c ca bc Tương tự: �c a a b �b c c a ; b ca a bc ac bc ab Vậy P �a c b c a b 2 Do đó: MinP = 3/2, xảy a = b= c = 1/2 Bài 17: (Hà Nội 11 – 12) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 4x 3x Hướng dẫn 2011 4x 1 2011 x x x 2010 4x 4x (2 x 1) ( x ) 2010 4x 1 Vì (2 x 1) �0 x > � , Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x + 4x 4x 1 �2 x 4x M = (2 x 1) ( x ) 2010 + + 2010 = 2011 4x � �x � � �x 2x 1 � � � � � 1 � � � � �x � �� x M 2011 ; Dấu “=” xảy �x x= � � 4x � �� � �x �� �x x � �� � � �x Vậy Mmin = 2011 đạt x = M x 3x Bài 18 (Hải Dương 11 – 12) Giaovienvietnam.com Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y z �1 x x yz y y zx z 3z xy Hướng dẫn Từ x yz �0 � x yz �2x yz (*) Dấu “=” x2 = yz Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) �x(y z) 2x yz Suy 3x yz � x(y z) 2x yz x ( y z ) (Áp dụng (*)) x 3x �yz x( x y z) x x 3x yz x (1) x y z y y z z � � (2), (3) y 3y zx x y z z 3z xy x y z x y z Từ (1), (2), (3) ta có x 3x yz y 3y zx z 3z xy �1 Tương tự ta có: Dấu “=” xảy x = y = z = Bài 19: Cho số a, b, c lớn 25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c b 5 c 5 a 5 25 Do a, b, c > (*) nên suy ra: a , b , c Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương, ta có: Q a b �2 a (1) b 5 b c �2 b (2) c 5 c a �2 c (3) a 5 Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q �5.3 15 Dấu “=” xẩy � a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 � a b c 25 ... c d II Một số tập thường gặp đề thi vào lớp 10 Bài 1: Cho số thực dương a, b, c CMR: a bc a2 b2 c2 + + bc ac ba Bài giải: bc a a (áp dụng bất đẳng thức Cô si) + bc ac a b b2 c2... x y Bài 14: (Quảng nam 12 – 13) xy Cho a, b ≥ a + b ≤ Chứng minh : Hướng dẫn: a 2b � a 2b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Giaovienvietnam.com � a 2b 1 �2... khác: x + y => xy = (áp dụng bất đẳng thức Cô si) 4 1 1 4 A = 2 + 2xy + 2xy x2 y2 2xy + 2xy = (x y)2 + 2xy 4 + = + = x y Vậy MinA = x = y = Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab => Bài
Ngày đăng: 08/11/2021, 07:55
Xem thêm: CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10
