Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến Nguyễn Minh Tuấn

NGUYỄN MINH TUƦN Chứng minh bất đẳng thức biến  Các toán chọn lọc từ nhiều diễn đàn tiếng  Sưu tầm nhiều cách chứng minh hay ( ) √( TƢP CHÍ OLYMPIC ) Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến MỤC LỤC LớI GIỚI THIỆU…………………………………………………………………… PHƨN CÁC BÀI TOÁN BƦT ĐẲNG THỨC BIẾN………………………….3 I CÁC BÀI TOÁN II HƢỚNG DẪN GIƦI PHƨN PHỤ LỤC – MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH BƦT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN KHƠNG CHỨA CĂN…………………………………………… …26 I PHƢƠNG TRÌNH BẬC 4. - 26 Sử dụng tính chất tam thức bậc - 26 Sử dụng đƥo hàm - 27 II PHƢƠNG TRÌNH BẬC 28 III CÁCH PHÂN TÍCH RIÊNG CHO HAI DỊNG MÁY ĐẶC BIỆT - 29 IV CHỨNG MINH TRÊN KHOƦNG - 31 V CHỨNG MINH TRÊN ĐOƤN - 33 Page Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến LớI GIỚI THIỆU Bất đẳng thức biến khïng phải phần tốn khỵ bất đẳng thức biến hai biến nhiên phần toán hay quan trọng học sinh Ta thường bắt gặp bất đẳng thức biến giải phương trënh, hệ phương trënh vï tỷ mà cần chứng minh phần cín lại vï nghiệm Hay bất đẳng thức biến ta đưa bất đẳng thức biến mà cín loay hoay chưa biết xử ló nào? Vë nên viết tïi giòp bạn giải phần câu hỏi đỵ! Bên cạnh đỵ cñng với phát triển cïng cụ máy tình điện tử sáng tạo phương pháp giải toán, tïi giới thiệu cho bạn đọc số cách giải tốn máy tình CASIO hay VINACAL, nhiên định hướng thïi tránh gây lạm dụng cïng cụ làm vẻ đẹp toán, chòng ta khïng học cách bấm máy mà, mà chòng ta học để sáng tạo cách bấm máy cách tư cần thiết cho toán Trong viết nhỏ tïi sưu tầm cách chứng minh hay từ nguồn tài nguyên Internet anh chị diễn đàn toán, đồng thời tham khảo cách làm số thầy cï, sách tham khảo hay Mà tiêu biểu là: Anh Bñi Thế Việt – Sinh viên đại học FPT Facbook: https://www.facebook.com/viet.alexander.7 Anh Lâm Hữu Minh – Sinh viên đại học bách khoa Hà Nội Facebook: https://www.facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh Facebook: https://www.facebook.com/tien.la.7161 Bài viết mënh chỉnh sửa nhiều khïng thể tránh khỏi thiếu xỵt được, người cỵ đỵng gỵp gë thë gửi qua mënh qua địa chỉ: NGUYỄN MINH TUƦN  Facebook: https://www.facebook.com/minhtuanblog  Fanpage:  Tạp chì Olympic: https://www.facebook.com/tapchiolympic.vn/  Blog toán học – Kinh nghiệm học toán: https://www.facebook.com/DXH.Mathematical/  Email: tuangenk@gmail.com  Blog: https://kinhnghiemhoctoan.wordpress.com/ Cuối cñng xin cảm ơn người bỏ thời gian theo dði viết mënh! Page Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến PHƨN CÁC BÀI TOÁN BƦT ĐẲNG THỨC BIẾN Trong phần tïi giới thiệu tới bạn số cách chứng minh bất đẳng thức biến tay khïng với kết hợp với chịt CASIO, đỵ cỵ số tốn phức tạp cỵ thể khïng giịp ìch nhiều cho lắm, tïi đưa vào để người cñng tham khảo cách làm sáng tạo thêm số cách giải hay khác! I CÁC BÀI TOÁN Bài 1: GiƧi phƣơng trënh: x2  8x  16   x   3x     x  7x   Bài 2: GiƧi phƣơng trënh:  x2  x     x  1 x2  x   2x  2x  9x  2 Bài 3: GiƧi phƣơng trënh: x5  7x4  12x3  x2  3x   12  5x  20x x  20 x   9    0x  1;  5x    5x   5 5x  5x  10 2x    0x   2;   Bài 5: Chứng minh rằng: f  x   x2   x7 3 x2 2 Bài 6: Chứng minh rằng: x1 x 1  f  x     0x   ; 1 2 x  3x   2  1x  3   2x     3 2   Bài 7: Chứng minh rằng: x  2x3  3x2  6x    x   2x    x   4x   0x   x1 2x  Bài 8: Chứng minh rằng: f  x      0x   3;  x2   x2   Bài 4: Chứng minh rằng: f  x    x  1 x    Bài 9: Chứng minh rằng: f  x   x4   x2  3x   2x  10 vï nghiệm x1 x3  x 11   0x   3;  x 1 1 x 3 3 x1 2x  19 Bài 11: Chứng minh rằng: f  x      0x   ;  x2   x2    4  x  1 3x  2 Bài 12: Chứng minh rằng: f  x     x   0x   ;  5 x2   x2    x3  2x       0x   ;   Bài 13: Chứng minh rằng: f  x   8x   x  6x   x    Bài 10: Chứng minh rằng: f  x      Bài 14: GiƧi phƣơng trënh: 9x4  32x2   18  3x  1 x2    Bài 15: GiƧi phƣơng trënh: 2x  x4 x2  2x   Bài 16: Chứng minh rằng: f  x   x x   3x x  x3  x2  x    3x  3x5  3x  3x2  x   x    0x    x2  x  1  2x    1 y2  Bài 17: GiƧi hệ phƣơng trënh:  y  x  3y  11     xy  x   x   Page Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến 3x      0x   ;   Bài 18: Chứng minh rằng: f  x   x2  x   3x     3x  2x   Bài 29: Chứng minh rằng:  x2  x  1  x2  x  1 f  x    x2  2x  0x  2 2 x x 4 x x2 x  20x   x  2x  Bài 20: GiƧi phƣơng trënh: x5  5x4  2x3  2x2  4x    x  1 x6  x    Bài 21: GiƧi phƣơng trënh:  x x2   x2  x  1  x  x    a2  b2  c2  Bài 22: Cho số a, b, c  Chứng minh rằng:  a  b  c   2abc  11     Page 3 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến II HƯỚNG DẪN GIƤI Bài 1: Giƥi phương trình: x2  8x  16   x   3x     x  7x   Nguyễn Minh Tuấn   Giƥi Bài cỵ nhiều cách giƧi khác nhƣng ta liên hợp chứng minh vï nghiệm xem Ta có: x  8x  16   x   3x     x  7x     x   x     x     x   x        3x      x   x   x   3x      7x      x  x   7x   0 x   f  x   x    x  3    x    3x   7x   Nhiệm vụ chứng minh f  x   0x   3  x     Với x   2  x  Khi đỵ cỵ:   3x     x  3 2  x  2x  29  7x   29x  157 f  x  x     7x   7x    157  f  x  29 157 Với x  f  x   29  Với x      2x  29  7x   29x  157  157 29  x  3  3x   12   x    3x   21  3x 0 3x    3x   21  3x 0 3x   3x   3x   3  x     Với x   2; 3 , ta có: 2  x  Khi đỵ tƣơng tự nhƣ ta cỵ:   7x    f  x    7x    0x   2  x    Với x    ;  ta có:  Khi đỵ ta cỵ:     7x    f  x     28x3  21x  15225x  22967  x  3  3x   12   x   3x   3x   Vậy tốn đƣợc giƧi hồn tồn! Nhận xét Ngồi cách nhƣ ta cỵ thể tinh ó nhỵm nhƣ sau: Page f  x  x      3x   x 7x   4x  14   7x    2  x  7x    x  8   2  x  x  3 1 x  x4 7x   3x   3x   x  25 3x    Khi đỵ thìch dđng đƥo hàm hay dñng bất phƣơng trënh phụ thë tñy, tïi dñng đƥo hàm f  x   x 7x   4x  14 Đặt  g x  x  3x   x  25      8 7x   21x  280  275968 - Ta có: f '  x    f '  x  đổi dấu từ 0x 882 7x  280  275968 280  275968 nên đƥt cực tiểu tƥi 882 882  280  275968   f  x   f    12, 99  882   Chứng minh tƣơng tự ta suy g  x           x  3 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến qua Vậy toán đƣợc giƧi quyết!  Bài 2: Giƥi phương trình: x2  x     x  1 x2  x   2x  2x  9x  Đồn Chì Dũng  Giƥi Ta có:    x  1 x  x   2x  2x  9x    x  x    x  x      x    x  x      2x    x  x     x2  x      2 2  x2  x   x2    x2  x      2x    x2  x    x x1 2  2 x x1 x 1   2x  Đặt f  x   2 x x1 2 x x6 3  x2  x   xa   x x1 2 Chò ó rằng:   x   xb  x  x    x2  x   x   a lim  x   x2  x   Khi đỵ dđng lim ta tëm đƣợc  x 1 b  lim x   x   x2  x   Ta có: Page Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến       2  x      2x  x  x   x2  x   x2  x   x2   2  x  x      2x  x  x  x2  x  x   0 x2  x   2 x2  x   2 x2  x   x2  x  x2   x2  x    0 Vậy toán đƣợc giƧi quyết! Bài 3: Giƥi phương trình: x5  7x4  12x3  x2  3x   12  5x  Nguyễn Minh Tuấn  Giƥi Ta có: x  7x  12x  x  3x   12  5x    x    x  8x  20x  21x  18   12    5x   x   60  f  x    x    x  5x  5x    0   5x   Để ó thấy: 6  Với x    ; x0    3;   f  x   Với x thỏa mãn x0  5x0  5x0   5  Với x   x0 ; 3 ta có: - g  x  60 300  g 'x   5x   5x  5x     g  x   g  x0   13  39  - Khi đỵ: f  x    x  4x  1   x    0   Vậy toán đƣợc giƧi quyết! 2   Bài 4: Chứng minh rằng: f  x    x  1 x    20x x  20 x   9    0x  1;  5x    5x   5 Giƥi Để ó thấy:  9 Do x  1;  nên  5  5x    20 x   x1  5x  2 Khi đỵ f  x   g  x    x   x   Lƥi cỵ: g  x    x  1   5x    20x x  5 x1 1 5x   x1  5x     9 Nên f  x   0x  1;  ( đpcm) Xong!  5 Page  5x     9  0x  1;   5 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến   Hướng dẫn Bài nhën hënh thức khủng bố, trïng cỵ vẻ rối rắm nhƣng đơn giƧn Đầu tiên ta thấy cỵ q nhiều bài, điều làm ta nƧy ó tƣởng đánh giá bớt để đƣa dƥng đơn giƧn Hai khïng đƣợc chặt cho vàcác biểu thức bậc nhấtnên nƧy ó tƣởng đánh giá với số đỵ Ba thấy cỵ phân thức nên thử đánh giá em xem sao, tïi chọn thứ 20 x  Dễ thấy  5x     x  Lịc tốn cín Dđng  5x  MODE nhận thấy f  x   Điều chẳng khác cho ta biết phƣơng trënh: 20x x   x   cỵ nghiệm kép Mà may mắn thay ta lƥi ròt 5x   đƣợc x  ra, lòc giƧi phƣơng trënh cỵ nghiệm kép x  (tự tëm nhé) nghiệm x  (khïng quan tâm) dễ dàng, sử dụng liên hợp ngƣợc chia cho nhanh ra!  x  1 x        x  1  5x  20x x  x1  5 x1  5x   5x    Ta đƣợc:  x    Vậy toán đƣợc giƧi quyết! x1 0 Bài 5: Chứng minh rằng: f  x   x2          5x2  5x  10 2x    0x   2;   x7 3 x2 2 Giƥi Hƣớng làm nhƣ trƣớc, ta đánh giá mẫu đƣợc: x    5x2  5x  10 2x   0 Khi đỵ: f  x   g  x   x2   Nên f  x   g  x   0x   2;   (đpcm) Xong! x7 3  3  Hướng dẫn Bài khïng cỵ gë để nỵi hết, chứa đa thức bậc nên ta đánh giá với số đỵ xong! Ngồi thìch DAC thë việc dđng thử nhé! Ngồi cách cín cỵ cách khác   x2  x      x  3  x 3 Ta có: f  x    x  x     x     x2 2       9   x2  x        x  3     0x  1;  x7 3 x2 2     Đến dựa vào điều kiện tự giƧi thìch nhé! Page Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến Bài 6: Chứng minh rằng: f  x   x1 x 1    0x   ; 1 2 x  3x   2  1x  3   2x     3 2   Giƥi  Nhận thấy 2 x 1  g  x    x     nghịch biến  ; 1 nên g  x   g    3 2 2  1  3x   1  v  x   2x     đồng biến  ; 1 nên v  x   v    2   2  x1 x  Khi đỵ f  x    2 0 3 6  Vậy ta cỵ điều phƧi chứng minh   Hướng dẫn Bài khïng cỵ gë phƧi bàn cƧ Do dƣới mẫu cỵ chứa đa thức bậc nên ta đánh giá với số, khïng đánh giá đƣợc nhƣ thë dđng DAC khïng cỵ gë khỵ cƧ Ở tïi trënh bày tắt, phƧi cỵ phần chứng minh đƥo hàm mang dấu nữa, nhƣng thïi thời gian cỵ hƥn mong thïng cƧm Bài 7: Chứng minh rằng: x  2x3  3x2  6x    x   2x    x   4x   0x   Giƥi    2x   x  Khi đỵ ta cỵ: Với x  ta cỵ bổ đề sau (tự chứng minh nhé):   4x   x      Với x    ;    16 6 1  427  x  x  9,   x  x     x    0 10 5 2 5 50   2x   ta có:  Khi đỵ:  4x   f  x   x  2x3  f  x   x  2x3  3x2   x2  x  1  2x2    Vậy toán đƣợc giƧi quyết!  Nhận xét Ở tïi cỵ nêu lên bổ đề mà nhiều ngƣời đọc chẳng hiểu đƣợc kiếm đâu Sau tïi xin trënh bày bƣớc làm Page Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến Vậy cần chứng minh Ta đƣợc a  d dx   2X   2a2  ax  b Ta sử dụng phìm d dx  0, 8858596433 Bây ta lấy a cho bất đẳng thức X A khïng bị đánh giá trội vừa đồng thời số hữu tỷ đẹp vừa để sau dễ đánh giá 22 Do đỵ mënh lấy a  0, 88  Bây cần tëm b ,do cần chứng minh 25 22 đoƥn  0; 1 nên ta dñng MODE để tëm b MODE với hàm F  X    2X  X 25  0; 1 ta đƣợc: 22 x  2, 449489742 Bây 25 ta chọn b số hữu tỷ vừa đẹp vừa gần số 61 2, 449 Ta chọn số b  2, 44  , đồng thời 25 thay vào toán ta thấy nhân tử thỏa mãn Vậy 22 61 ta tëm đƣợc nhân tử  2a  a  25 25 Để ó thấy  2x2  Chị ó bƥn tëm đƣợc a thë thay luïn X  A vào để tëm b tëm đƣợc b  2,884982846 , hiển nhiên nhân tử sai Đối với mà chứng minh đoƥn thë ta thƣờng dđng MODE để tëm b, cín chứng minh khoƧng thë ta dñng cách thay trực tiếp nhân tử vào, cỵ thời gian thử chứng minh sau thë rð Ngoài giƧi phƣơng trënh đƥo hàm mà nhiều nghiệm thë ta chọn nghiệm làm phƣơng trënh đầu max Page 25 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến PHƨN PHỤ LỤC – MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH BƦT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN KHÔNG CHỨA CĂN I PHƯƠNG TRÌNH BẬC Sử dụng tính chƧt tam thức bậc 2 ax   Nền tƧng: Ta phân tìch phƣơng trënh ban đầu thành  x   m   f  x  đỵ f  x    tam thức bậc luïn lớn với x  Ví dụ: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x4  x3  3x2  x    Bước 1: Đầu tiên ta biến đổi phƣơng trënh theo tham số m nhƣ sau: x  x  3x  x   x    11    x   m     2m  x    m  x   m      x Nhiều bƥn đặt câu hỏi tƥi lƥi x   m Rất đơn giƧn, ta khai triển biểu thức 2  x  x 3  x   m  xuất x 2.x  x Hiểu chứ, khác tách tƣơng 2   tự đƣợc nhƣ vậy, cỵ điều ta phƧi đƣa nỵ dƥng tổng qt: x4  2ax3  bx2  cx  d  tách thành nhƣ  11   Bước 2: Ta tính  theo tham số m:     m     2m    m    Bước 3: Ta thấy phƣơng trënh ban đầu vï nghiệm thë phƣơng trënh  11  2   2m  x    m  x   m       PhƧi vï nghiệm Để phƣơng trënh vï nghiệm thë  11   2m    Dùng MODE ,nhập hàm sau vào máy: Start  10 End  10 Step   11  F  X     X     2X    X    11  2X  Nhën vào bƧng ta thấy nhiều giá trị làm F  X   , nhƣng Sau đỵ ta tëm giá trị X làm F  X   & 11  2X  đỵ phƧi giá trị bé dễ ròt gọn Với lì nhƣ tïi chọn X  hay m   Bước 4: Do biết m  nên phƣơng trënh trở thành: nhiên ta phƧi chọn cho Page 26 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến 2 x  11   76  x  x  3x  x     x     x    0 2  11  11   x Nên phƣơng trënh vï nghiệm! Sử dụng đƣo hàm Ta xét phƣơng trënh tổng quát: x4  ax3  bx2  cx  d   Bước 1: Đƥo hàm vế trái: f '  x   4x3  3ax2  2bx  c  Bước 2: GiƧi phƣơng trënh f '  x   Nếu : Phƣơng trënh cỵ nghiệm thë điểm rơi tốn Phƣơng trënh cỵ nhiều nghiệm thë thử xem nghiệm làm vế trái nhỏ  Bước 3: Tìm k cho: ax   + x  ax  bx  cx  d   x   k   0x   a + k  x0  x0 Mục tiêu phƣơng pháp tƣơng tự nhƣ phƣơng pháp nhƣng cỵ vài điểm tối ƣu  Bước 4: Sau ta tëm đƣợc k thë việc lấy : 2 a   x  ax  bx  cx  d   x  x  k   mx  nx  p  0x    h  x   Do f  x   g  x   h  x  mà đỵ  nên f  x   Thế xong bài!  g  x   Ví dụ 1: Chứng minh rằng: f  x   x4  x2  x   0x  Bước 1: Đƥo hàm vế trái f '  x   4x3  2x   Bước 2: GiƧi phƣơng trënh f '  x    x  x0  0 8846461771  Bước 3: Tìm k: a k  x0  x0  0.7825988  k  0.8   4   Bước 4: Ta lấy: x  x  x    x    x  x  1, 36  0x 5  Do đỵ phƣơng trënh ban đầu vï nghiệm! Nhanh chứ! Ví dụ 2: Chứng minh : f  x   2x4  x3  2x2  x    Bước 1: Đƥo hàm: f '  x   8x3  3x2  4x   x  x0  1 Page 27 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến   a Bước 2: Tìm k  x0  x0   3  Bước 3: Lấy f  x    x  x     x    Xong! 4  Ví dụ 3: Chứng minh rằng: f  x   4x4  2x3  2x2  x  14     Bước 1: Đƥo hàm f '  x   16x3  6x2  4x    x  x0  0,7909677904 a Bước 2: Tìm k  x0  x0   2 2 1 7  87  Bước 3: Lấy f  x    x  x     x     0x 2 4 7  II PHƯƠNG TRÌNH BẬC Ta xét phƣơng trënh tổng quát sau: f  x   x6  ax5  bx4  cx3  dx2  ex  f   a   Ta thêm bớt biểu thức:  x  x  mx  n    2       a a2    Lấy f  x    x3  x2  mx  n    b   2m  x      GiƧi phƣơng trënh f '  x    x  x0 thỏa mãn f  x   f  x0  m  a2  Tëm m thỏa mãn  , thïng thƣờng ta cho b   2m  a b   2m    n   Tëm n thỏa mãn  a x0  x0  mx0  n   x  Khi tëm đƣợc m,n toán coi nhƣ đƣợc giƧi quyết! Sau dụ để tëm hiểu rð cách làm Ví dụ 1: Chứng minh rằng: f  x   x6  2x5  x4  4x2  2x    Ta có f '  x   6x5  10x4  4x3  8x    x  x0  0, 25219838  Lấy f  x    x3  x2  mx  n    2  2m  x   Ta tëm m thỏa mãn 2  2m   m      3 Ta tëm n thỏa mãn x0  x0  x0  n   n   2 1   11 11  Lấy f  x    x3  x2  x     x  x    x  0 4   16 16  Vậy toán đƣợcgiƧi quyết! Page 28 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến Ví dụ 2: Chứng minh rằng: f  x   x6  2x5  2x4  4x3  8x2  2x  12   Ta có f '  x   6x5  10x4  8x3  12x2  16x    x  x0  0,115820665  Lấy f  x    x3  x2  mx  n    3  2m  x   Ta tëm m thỏa mãn 3  2m   m  2  Ta tëm n thỏa mãn x0  x0  2x0  n   n    Lấy f  x    x3  x2  2x   x  4x2  2x  12   Vậy tốn đƣợc giƧi hồn tồn Để ó thấy f  x0   11, 58  nhiều nên tốn lỏng lẻo Do đỵ ta cỵ thể coi n  để tiện rịt gọn máy tình III CÁCH PHÂN TÍCH RIÊNG CHO HAI DỴNG MÁY ĐẶC BIỆT Phương pháp hữu ìch cho díng máy VINACAL 570es PLUS II CASIO 570VN – PLUS vë díng máy cỵ tình tình max tam thức bậc Đối với máy VINACAL thë ta bấm SHIFT 6 máy lên sau: Còn máy CASIO VN thë tìch hợp chức giải phương trënh bậc  Nội dung Phƣơng pháp dung tình chất bƧn tam thức bậc nhƣ sau:Xét tam thức b    f  x   ax2  bx  c ta ln có f  x   a  x    Tƣởng chừng đơn giƧn nhƣng lƥi 2a  4a  giúp ìch nhiều!  Ví dụ minh họa 3 Ví dụ 1: Chứng minh rằng: f  x   x  3x  3x  x   0x 16 Giƥi Do tïi dñng máy VINACAL nên khởi động tình tëm max Nhập vào máy    , máy cho kết quƧ: Page 29 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến  3x  Vậy ta cỵ x  3x  3x  x  x    2  3 Tiếp tục nhập    ta lƥi đƣợc kết quƧ: 4 16 2 3x 3 3 1 Vậy ta cỵ  x  x  4 16  2 2 3 3 1  Vậy ta đƣợc f  x   x  x     x    Bài toán đƣợc giƧi quyết! 2 4 2  Nhanh chứ! Đấy bënh thƣờng ta chiến dụ tiếp theo! Ví dụ 2: Chứng minh rằng: f  x   x6  3x5  3x4  x3  2x2  x   Giƥi Nhập hệ số đầu vào máy ta đƣợc kết quƧ: 3  Vậy cỵ x  3x  3x  x  x    x 2  4 Nhập vào máy hệ số đƣợc kết quƧ: 3  2 Vậy cỵ x  x3  2x  x  x    x 4  3 3 Nhập vào máy hệ số cuối đƣợc kết quƧ: Page 30 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến Vậy cỵ x2  x   5  17 x   3 10  20 2 3  2 5  17  Vậy f  x   x  x    x  x     x     0x 2  3 3 10  20  Bây chiến nốt dụ cuối cđng! 14 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: f  x   x8  x7  3x6  x5  x  2x  3x  x   0x 3 3 Giƥi Chỉ cần bấm máy khoƧng phịt ta cỵ kết quƧ dƣới đây: 2 2  26   176  39  489  88  119  f  x   x  x    x4  x    x x    x   3 13  39 176  176  489  489    Tự làm nhé! Cuối cñng thử sức với sau  Chứng minh: f  x   x12  2x11  18x10  11x9  18x8  16x7  22x6  17x5  31x4  10x3  20x2  10x  21   Chị ó rằng: Nếu bạn khïng cỵ díng máy thë cỵ thể tình thời b  gian tính  & 2a 4a Nếu bạn cỵ VINACAL hay VN PLUS thë đừng vội mừng, nhiều gặp phải hệ số xấu thë phải tình tay thïi vë máy tình khïng hiển thị được, Tiêu biểu bên tïi cho, vui vẻ IV CHỨNG MINH TRÊN KHOƤNG Đầu tiên xét dƥng tổng qt cho tốn cỵ điểm rơi khïng chặt GiƧ sử cần chứng minh phƣơng trình f  x   vï nghiệm  b;   ;  ;a Ta CALC cho X  a  1000; X  b  1000 sau đỵ khai triển nhƣ bënh thƣờng Để hiểu rð ta cđng chiến dụ lấy Ví dụ 1: Chứng minh : f  x   3x4  2x3  2x2  10x   0x  2;   Cách 1: Hàm số  Ta có f '  x   12x3  6x2  4x  10  f ''  x   36x2  12x  Page 31 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến   x f ''  x   1 x  f ''  x      1 x   Lập bƧng biến thiên cho f '  x  ta đƣợc: 1   1    83  5  f ' x 83  5 Nhën vào bƧng biến thiên ta cỵ thể thấy phƣơng trënh f '  x   cỵ nghiệm thuộc  vào khoƧng  0,9; 0,8  f '  0,9  f '  0,8   GiƧ vờ nghiệm đỵ x  x0  0,8997774777 Lƥi tiếp tục lập bƧng biến thiên cho f  x  ta đƣợc x f ' x  x0       f  x 48 f  x0  Nhën vào bƧng dễ thấy f  x   0x   2;   Vậy hết bài! Cách 2: Nhóm thành tổng dựa vào điều kiện Ta dễ dàng nhận thấy x   x   nên nƧy ó tƣởng viết f  x  dƣới dƥng : f  x  a  x    b  x    c  x    d x    e Và cïng việc nhờ tới trợ giòp thủ thuật CASIO  Ta CALC X cho X   1000  X  1002  CALC X  1002 ta đƣợc kết quƧ 3, 022058  1012   x    Ghi vào sau 3  X   , CALC X  1002 ta đƣợc kết quƧ 2, 205807  1010  22  x    Ghi vào sau 22  X   , CALC X  1002 ta đƣợc kết quƧ 58074048  58  x    Ghi vào sau 58  X   , CALC X  1002 ta đƣợc kết quƧ 74048  74  x    48  Thử lƥi với X   ta đƣợc kết quƧ Vậy kết quƧ lụn địng 4  Vậy f  x    x    22  x    58  x    74  x    48  0x  2;    Thế toán đƣợc giƧi quyết! Page 32 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến Ví dụ 2: Chứng minh rằng: f  x   x  x  x  4x  6x   0x  1  Giƥi Đòng nhƣ bƣớc làm bên ta tách thành: f  x    x  1   x  1  13  x  1  17  x  1  20  x  1  10   x  5   Để ó thấy với x  1  13  x     f  x   0x    ; 1  20  x    Ví dụ 3: Chứng minh rằng: f  x   x7  x6  x5  2x4  8x3  8x2  10x   0x  Giƥi   Do bậc tƣơng đối cao nên ta làm nhƣ bënh thƣờng tëm hệ số cín lƥi đồng hệ số Ta có: f  x    x  1   x  1  16  x  1  23  x    a  x    b  x    c  x    f 1    Lập hệ, cho x lần lƣợt 1,2,3 tëm đƣợc a,b,c Ta đƣợc: f  x    x  1   x  1  16  x  1  23  x    25  x    20  x    16  x    7  Bài toán đƣợc giƧi V CHỨNG MINH TRÊN ĐOƢN Ý tưởng phương pháp chình phương pháp DAC – Phương pháp cỵ “ Những viên kim cương bất đẳng thức – Trần Phương” bạn đọc cỵ thể tham khảo thêm! Bài 1: Chứng minh rằng: f  x   x5  x4  2x3  2x2  5x   0x  1;    Giƥi Để ó thấy: f  x    x  1   x  1   x  1   x  1   x    2  3x  1 2  9 58   x     x     x     x      x     x    0  20   175   Nên đỵ f  x   0x  1;   (đpcm) Xong! Hết Hướng dẫn  Do ta cần chứng minh f  x   0x  nên nƧy ó tƣởng tách thành:  x  1   a  x  1  b  x  1  c  x  1  d  x    e Để tách thành nhƣ ta sử dụng máy tình cầm tay để giƧi Để ó thấy với x   x   nên ta nhập vào máy CALC cho X   1000  X  1001 sử dụng kỹ thuật xấp xỉ nhƣ khai triển đa thức ta tách thành dƥng nhƣ Cụ thể bƣớc làm nhƣ sau: Page 33 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến 1.1 Nhập vào máy biểu thức trên, CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ 1.0  10   x  1 15 1.2 Ghi vào sau   X  1 CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ 4.0  1012   x  1 1.3 Ghi vào sau 4  X  1 CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ 3.99  109   x  1 1.4 Ghi vào sau 4  X  1 CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ 4003996  4  x  1 3 1.5 Ghi vào sau 4  X  1 CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ 3996  4  x  1  1.6.Nhớ để tëm hệ số tự ta CALC giá trị mốc tức đƣợc kết quƧ  Vậy ta đƣợc kết quƧ f  x    x  1   x  1   x  1   x  1   x    , thử lƥi với x   ta thấy kết quƧ lụn địng Đến vấn đề đặt ta tất cƧ khïng phƧi dấu "  " nên ta cần phƧi xử ló thêm bƣớc Thật may biểu thức bậc đằng sau luïn dƣơng nên ta quy nỵ tốn chứng minh phƣơng trënh bậc vï nghiệm với ẩn y  x  Sử dụng thủ thuật SOS ta tách nỵ thành:  x  1   x  1   x  1   x    4 2  3x  1   9 58    x     x   0  20   175    Khi đỵ tốn đƣợc giƧi hồn tồn! Nhận xét Bài tốn dƥng đăc biệt biểu thức f  x  lỏng Vậy toán chặt khác mà tách dƥng nhƣ toàn dấu "  " thë phƧi làm nhƣ nào? Sau cách giƧi 1.1 Thứ ta cần nới rộng khoƧng cần chứng minh ta, cỵ nghĩa toán cho x  thë ta chứng minh hẳn nỵ lớn với x  chẳng hƥn, sau đỵ chứng minh nỵ lớn với x   1; 3 1.2 Để chứng minh f  x   0x  1; 3 ta sử dụng kỹ thuật chia để trị DAC ( Áp dụng chứng minh vï nghiệm đoƥn) 1.3 Nội dung phƣơng pháp DAC: Bổ đề: Cho hàm số f  x, y  liên tục xác định D  a; b  a; b Hàm số f  x, y  đồng biến theo x nghịch biến theo y Khi đỵ f  a, b   f  x, y   f  a, b   1.4 Chứng minh bổ đề: + Do hàm số đồng biến theo x , x  a nên f  x, y   f  a, y   1 + Do hàm số nghịch biến theo y , y  b nên f  a, y   f  a, b   + Từ  1 &   cỵ điều phƧi chứng minh Áp dụng Page 34 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến Đối với ta giƧ vờ tách nỵ dƣới dƥng  x   ta đƣợc: f  x    x    14  x    76  x    196  x    236  x    108  0x  2 Xét x   1; 3 Đây điều quan trọng Do bổ đề xét tới hàm biến nên ta biến f  x  thành hàm biến dựa vào tình đồng biến nghịch biến Ta cỵ: 2.1  x5  '  5x   Chỗ đồng biến ta đặt x 2.2  x4  '  4x3   Chỗ nghịch biến nên đặt y 2.3 Tƣơng tự với chỗ cín lƥi Cuối cđng ta đặt g  x, y   x  y  2y  2y  5x  , hàm chắn đồng biến theo x nghịch biến theo y với x, y  D  1; 3  1; 3 Sau đặt xong hàm g  x, y  ta cần phƧi chứng minh nỵ lớn Do bổ đề phát biểu f  a, b    f  x, y   thë nhiều ngƣời tƣơng luïn x  1& y  , nhƣng trêu nỵ âm cht ta đánh giá mƥnh tay, nhiều bƥn nghĩ bổ đề sai, nhƣng để ó phƣơng pháp cỵ tên chia để trị nên bƥn cần phƧi chia 1; 3  1;a  a; b   z; 3 xét khoƧng để thay cận vào nỵ lụn dƣơng, hiểu chứ? Để tëm khoƧng phƧi sử dụng đến tài sƧn q báu máy tình 3.1 Nhập hàm g  x, y  vào máy: X5  Y4  2Y3  2Y2  5X  Đầu tiên bấm CALC nhập X  trƣớc cận nhỏ nhất, sau đỵ ta thử thay Y  vào thấy âm thë chuyển Y  thấy âm Chuyển tiếp Y xuống 1, 369 thấy âm, lịc đừng hoƧng ta tëm đƣợc Y  1, g  x, y   0, 625 tëm đƣợc khoƧng 3.2 Để tëm tiếp khoƧng ta lƥi cho X  1, tëm Y Cứ lặp lƥi trënh ta chia đƣợc: 1; 3  1;1, 2  1, 2;1, 3  1, 3;1, 39  1, 39;1, 46  1, 46;1, 51 1, 51;1, 56  1, 56;1,6  1,6;1,64  1,64;1,67   1,67;1,7   1,7;1,73 1,73;1,76  1,76;1,8 ; 1,8;1,84  1,84;1,88  1,88; 1,93  1,93;1,99  1,99;  Woa! Thật đẹp mắt Lịc đến bƥn gặp khỵ khăn khoƧng ngày hẹp Ta lƥi nƧy ó tƣởng chứng minh f  x   0x  Ta đƣợc: f  x    x     x    30  x    42  x    21  x     Vậy lời giƧi sơ lƣợc nhƣ sau: Xét x  ta có f  x    x     x    30  x    42  x    21  x     2 Xét x   1;  + Ta cỵ bổ đề sau: Cho hàm số f  x, y  liên tục xác định D  a; b  a; b Hàm số f  x, y  đồng biến theo x nghịch biến theo y Khi đỵ f  a, b   f  x, y   f  a, b   + Chứng minh: Page 35 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến - Do hàm số đồng biến theo x , x  a nên f  x, y   f  a, y   1 - Do hàm số nghịch biến theo y , y  b nên f  a, y   f  a, b   - Từ  1 &   cỵ điều phƧi chứng minh + Xét hàm g  x, y   x5  y  2y3  2y2  5x   f  x   g  x, x  Hàm số đồng biến theo x , nghịch biến theo y , liên tục 1;1, 2 ; 1, 2;1, 3 ; 1, 3;1, 39 ; 1, 39;1, 46 ; 1, 46;1, 51 ; 1, 51;1, 56 ; 1, 56;1,6 ; 1,6;1,64  ; 1,64;1,67  ; 1,67;1,7  ; 1,7;1,73 ; 1, 51;1, 56 ; 1, 56;1,6 ; 1,6;1,64  ; 1,64;1,67  ; 1,67;1,7  ; 1,7;1,73 369  g  1; 1,   625   + Lƥi cỵ  nên theo bổ đề ta cỵ g 1, 99;  4, 1579601      f  x   g  x, x   0x   1; 1,    f x  g x, x  0x  1, 99;        Từ đỵ suy điều phƧi chứng minh! * Lưu ó: Một điều đáng buồn viết khïng ghi “…” mà phải ghi hết để người ta cïng nhận khïng bị bắt bẻ Nỵi chung cách làm tổng quát dài cách làm dñng IQ mà Sau số cỵ thể làm theo DAC Bài 2: Chứng minh rằng: f  x   x8  x5  x2  x   0x  Giƥi Cách 1: Tƣo dựng đẳng thức 2  3 2  Ta ln có: f  x   x8  x  x  x    x  x    x      4 3  Từ đỵ suy điều phƧi chứng minh Cách 2: DAC Nhën cách cỵ vẻ ngắn gọn nhƣng nhiều bƥn cỵ thể khïng nhận thấy dấu hiệu tách đẳng thức thë ta cỵ thể làm nhƣ sau:  1  x  x    x      Xét x  đỵ x5  lƥi cỵ  nên cỵ điều phƧi chứng 2  x8    minh Xét x  đỵ x8  x5  x5  x3  1  x5  x  1  x2  x  1  ta cỵ điều phƧi  chứng minh Xét x   0;1 khâu quan trọng Cách làm DAC nhƣ sau: + Bƣớc 1: Phát biểu, chứng minh bï đề Page 36 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến + Bƣớc 2: Đặt hàm g  x, y  cho hợp lì đƧm bƧo lụn địng theo bổ đề ( quan trọng!) Để đặt hàm g  x, y  ta đƥo hàm biến xét tình đồng biến, nghịch biến.Nhớ chỗ đồng đặt x, nghịch biến y  x  '  8x7    x  '  5x   Có:  Nên đặt hàm g  x, y   x8  y5  x2  y   x  '  2x     x  '  1  + Chia để trị: Để chứng minh vï nghiệm đƣợc ta phƧi chia thành khoƧng nhỏ a;m ; m; n  ; ;  y; b cho ta thay cận x cận max bẳng y thë g  x, y   Cïng việc cỵ casio để hỗ trợ  Nhập vào máy X8  Y5  X2  Y  Ta CALC X  trƣớc thử cho với Y  lụn xem cỵ dƣơng khïng Nhƣng tiếc biểu thức bị âm ta đánh giá trội, vë cần thu nhỏ khoƧng lƥi Thử CALC tiếp cho Y  0, xem.Lần dƣơng, nhƣng ta cỵ thể nới rộng khoƧng thử cho Y  0,7 lần dƣơng nhƣng nới rộng bị âm.Thế tëm đƣợc khoƧng Ta lập lƥi trënh với X  0,7 phƧi tëm Y Lần lƣợt tëm đƣợc khoƧng 0,7;0,9 & 0,9;1 + Bƣớc 3: Lời giƧi: - Viết lƥi bƣớc - Đặt g  x, y   x8  y5  x2  y  liên tục khoƧng 0;0,7  ; 0,7;0,9 ; 0,9;1 Đồng biến theo x, nghịch biến theo y, cỵ f  x   g  x, x  - g  0; 0,7     f  x   g  x, x   0x  0; 0,7   Lƥi cỵ g  0,7; 0,     f  x   g  x, x   0x  0,7; 0,   g  0, 9;     f  x   g  x, x   0x  0, 9; 1 - Suy điều phƧi chứng minh Vậy toán đƣợc giƧi quyết! Hay Chiến nào! Ví dụ 2: Chứng minh rằng: f  x   x6  x5  x  2x2  x   4  0x   ;  10  3 Giƥi Đây toán chặt nên chắn phƧi chia tƣơng đối nhiều khoƧng   Xét x    ;  Đặt g  x, y   x6  x5  x  2y  x  Ta chia đƣợc khoƧng 10       ; 0, 1 ;  0, 1; 0, 05 ;  0, 05;    Page 37 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến  4 Xét x  0;  Đặt g  x, y   y6  x5  y  2x  x  Ta chia đƣợc khoƧng 10  3 1; 1, 1 ; 1, 1; 1,  ; 1, 2; 1, 25 ; 1, 25; 1, 29  ; 1, 29; 1, 31 ; 1, 31; 1, 32  ; 1, 32;  Ghê chƣa! 3  Vậy toán đƣợc giƧi quyết!  Áp dụng làm sau: Chứng minh rằng: f  x   x4  3x2  6x   0x  0, 2;1,1  Thử áp dụng cách làm làm sau Chứng minh rằng:  4 f  x   x6  x5  x  2x2  x   0x   ;  10  3 f  x   x8  x5  x2  x   0x ( thử dñng DAC nhé) f  x   x5  x4  x3  4x2  6x   0x   ; 1 f  x   x7  x6  x5  2x4  8x3  8x2  10x   0x  f  x   x4  3x2  6x   0x  0, 2;1,1 Kết thòc phương pháp đây, mục tïi trënh bày cho bạn số cách bấm máy thơi để xử ló đa thức thïi, muốn tëm hiểu thêm cách chứng minh bất đẳng thức hay biến DAC thë tham khảo thêm sách mà tïi nỵi đầu mục nhé! Cảm ơn bạn theo dði viết! Page 38 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến TÀI LIỆU THAM KHƤO Những viên kim cương bất đẳng thức toán học – Trần Phương Sáng tạo bất đẳng thức – Phạm Kim Hñng Bất đẳng thức – Định ló áp dụng – Nguyễn Văn Mậu Sáng tạo phương trënh, bất phương trënh, hệ phương trënh – Nguyễn Tài Chung Bất đẳng thức đánh giá phương trënh vï tỷ - Nguyễn Minh Tuấn Vận dụng tình đơn điệu hàm số giải phương trënh vï tỷ - Nguyễn Minh Tuấn Tài nguyễn Internet Page 39 ... theo dði viết mënh! Page Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến PHƨN CÁC BÀI TOÁN BƦT ĐẲNG THỨC BIẾN Trong phần tïi giới thiệu tới bạn số cách chứng minh bất đẳng thức biến tay khïng với kết hợp... trënh đầu max Page 25 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến PHƨN PHỤ LỤC – MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH BƦT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN KHƠNG CHỨA CĂN I PHƯƠNG TRÌNH BẬC Sử dụng tính chƧt tam thức bậc 2 ax  ... thức thïi, muốn tëm hiểu thêm cách chứng minh bất đẳng thức hay biến DAC thë tham khảo thêm sách mà tïi nỵi đầu mục nhé! Cảm ơn bạn theo dði viết! Page 38 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức biến