50 bài tập về bất đẳng thức

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 50 Bài tập bất đẳng thức: Bài 1: Cho a  , tìm giá trị nhỏ S  a  Giải: S  a  a 8a a 24 a 10  (  ) 2  a 9 a 9 a a2 6a a a 12 a a 12  (   )   33    Giải: S  a   a 8 a 8 a 4 Bài 3: Cho a,b >0 a  b  , tìm giá trị nhỏ S  ab  ab 1 15 15 17 Giải: S  ab   (ab  )  ab   ab 16ab 16ab 16ab  ab 16     1 Bài 4: Cho a,b,c>0 a  b  c  Tìm giá trị nhỏ S  a   b   c  b c a Giải: Cách 1: Bài 2: Cho a  , tìm giá trị nhỏ S  a  Cách 2: S  a2  1  b2   c2  2 b c a (12  42 )(a  1 1 )  (1.a  ) 2 a   (a  ) b b b b 17 Tương tự 1 1 b2   (b  ); c   (c  ) c c a a 17 17 Do đó: 4 36 S (a  b  c    )  (a  b  c  ) a b c a bc 17 17  17  135 (a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c)   17   Bài 5: Cho x,y,z ba số thực dương x  y  z  Chứng minh rằng:  Gia sư Thành Được x2  www.daythem.edu.vn 1  y   z   82 y z x Giải: 1 1 (1.x  )  (12  92 )( x  )  x   (x  ) y y y y 82 1 1  ( y  ); z   (z  ) z z x x 82 82 9 81 S (x  y  z    )  (x  y  z  ) x y z x yz 82 82 TT : y    80  ( x  y  z  x  y  z )  x  y  z   82 82   Bài 6: Cho a,b,c>0 a  2b  3c  20 Tìm giá trị nhỏ S  a  b  c    a 2b c Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4 12 18 16 12   18   16   4S  4a  4b  4c     a  2b  3c   3a     2b     c    a b c a  b  c   20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13 1 1 1   Bài 7: Cho x,y,z>    Tìm giá trị lớn P  2x  y  z x  y  z x  y  2z x y z Giải: Ta có 1 1 1 1 4 16 1 1 1   ;                x y x y y z yz x y y z x  y y  z x  2y  z x  y  z 16  x y z  TT : 1 2 1 1 1 2     ;      x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z  4 4     1 16  x y z  Bài S x x x  12   15   20  Chứng minh với x  R , ta có          3x  x  5x 5 4   Giải: x x x x x x x x  12   15   12   15   15   12  x  20  x  20  x            2.3 ;       2.5 ;       2.4  5  4  5  4    4    5 Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: Cho x,y,z>0 x+y+z =6 Chứng minh 8x  y  8z  4x 1  y 1  4z 1 Giải: Dự đoán x=y=z = 8x.8x  64 x  x nên : Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 8x  8x  82  3 x.8 x.82  12.4 x ; y  y  82  3 y.8 y.82  12.4 y ; 8z  8z  82  3 z.8 z.82  12.4 z 8x  y  8z  3 x.8 y.8z  3 82.82.82  192 Cộng kết => đpcm Bài 10: Cho x,y,z>0 xyz = Hãy chứng minh  x3  y  y3  z3  z  x3   3 xy yz zx Giải: x  y  xy  x  y    x  y  xyz  xy  x  y   xy  x  y  z   3xy xyz  3xy  x3  y 3xy   xy xy yz  y3  z3 ;   xy yz yz  1  S  3   3  xy yz zx   x y2 z2  z  x3 zx ;   yz zx zx zx 3 Bài 11 Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức  x  y 1  xy  P 2 1  x  1  y  Giải:  x  y   xy    x  y 1  xy    x  y 1  xy       1  P  P  2 2 1  x  1  y  1  x  1  y   x  y   xy  4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy Bài 12 Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: a b3 c    ab  bc  ca b c a Giải: a3 b3 c3 a b c (a  b  c )2  ab  bc  ac          ab  bc  ac b c a ab bc ca ab  bc  ac ab  bc  ac 3 a3 b c  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2a Cách 2: b c a Cách 1: a b3 c    2(a  b  c )  ab  bc  ac  ab  bc  ac b c a 3x   y  Bài 13 Cho x,y >0 x  y  Tìm giá trị nhỏ A  4x y2 Giải: Dự đoán x=y=2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 3x   y 3x 1 x  y y  x y A      y         4x y x y 4    x 4  y 1   42 Bài 14: Cho x,y>0 x+y = Chứng minh P  3 x y xy Giải: Ta có  x  y  x  y  3xy(x+y)  x  y  3xy=1 x3  y  3xy x3  y  3xy 3xy x3  y      42 x3  y xy x3  y xy 1 1    Chứng minh xyz  Bài 15: Cho x,y,z >0 1 x 1 y 1 z Giải: 1 1 y z yz  2   1 1   2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z 1  y 1  z  P= TT : 2 1 y xz ; 2 1  x 1  z   z xy 1  x 1  y  Nhân vế BĐT => đpcm Bài 16: Cho x,y,z>0 x+y+z = Tìm giá trị lớn S  Giải: S  x y z   x 1 y 1 z 1  x y z 1  9    3    3    3 x 1 y 1 z 1 x y z 3 4  x 1 y 1 z 1  Bài 17: Cho a,b,c >1 Chứng minh rằng: 4a 5b 3c    48 a 1 b 1 c 1 Giải: 4a  a  1  4    a  1    a  1      16 a 1 a 1 a 1 a 1 5b 3c   b  1   10  20;   c  1    12 dpcm b 1 b 1 c 1 c 1 Bài 18 Cho a,b,c >0, chứng ming : 1 1      3    a b c  a  2b b  2c c  2a  Giải: 1 1 1    ;    ;    cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a Bài 19 Với a,b,c >0 chứng minh rằng: 36    a b c abc 1   3 36     Giải: a b c a bc abc Bài 20: Cho a,b,c,d>0 chứng minh : Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 16 64     a b c d a bcd 1 16 16 16 64 ;   Giải:    a b c a bc a bc d a bcd Cần nhớ: a b2 c2  a  b  c     x y z x yz Bài 21 Với a,b,c>0 chứng minh rằng:      4    a b c  a b bc ca  Giải 1 3 1 2 1      ;      ;   a b ab a b ab b c bc b c bc c a ca Bài 22 Với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác 1 1 1 Chứng minh    2    p a p b p c a b c Giải: 1 2      p  a p  b p  c a  b  c a  b  c a  b  c 1 1 1 1 1       2    a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a b c Bài 23 x2 y2 z2   Cho x,y,z>0 x  y  x  Tìm giá trị nhỏ P  yz zx x y  Giải:  x  y  z   x  y  z   x2 y2 z2    Cách1: P  y  z z  x x  y 2 x  y  z 2 Cách 2: x2 yz y2 zx z2 x y   x;   y;  z yz zx x y x yz x yz  P  x y x    2 2 Bài 24 Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y  3z  z  x  x  y  51    1 x 1 y  3z Giải: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn y  3z  3z  x  x  y    1 x 1 y  3z y  3z  3z  x  x  2y   1 1 1 1 x 1 y  3z  1    x  y  3z      3    24 x  y  3z    x  y  3z  51  24   21 Bài 25 Chứng minh bất đẳng thức: a  b2   ab  a  b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26 Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p  a  p  b  p  c  3p Giải: Bu- nhi -a ta có : p  a  p  b  p  c  (12  12  12 )( p  a  p  b  p  c )  3(3 p  p )  p Bài 27 1 Cho hai số a, b thỏa mãn : a  1; b  Tìm giá trị nhỏ tổng A  a   b  a b 1 15b  b  15.4 17 21 Giải: a   2; b          A  a b 16  16 b  16 4 Bài 28 Chứng minh a  b4  a3b  ab3 Giải:  a 2  b2  (12  12 )  a  b2  a  b2 a  b2  2ab a  b2  a  b4  a3b  ab3   Bài 29           Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x  y  1) xy  y  x A  (Với x; y số thực dương) xy  y  x ( x  y  1) Giải: ( x  y  1)  a; a   A  a  Có Đặt xy  y  x a Aa 8a a a 10 10   (  )       A  a 9 a 9 a 3 3 Bài 30 Cho ba số thực a , b, c đôi phân biệt a2 b2 c2 Chứng minh   2 (b  c)2 (c  a)2 (a  b) Giải:  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a b b c c a    1 (b  c) (c  a) (c  a) (a  b) (a  b) (b  c)  a b c  VT      0 ( b  c ) ( c  a ) ( a  b )   (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =) Bài 31 Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c  Chứng ming 2009   670 2 a b c ab  bc  ca Giải: 2009  2 a  b  c ab  bc  ca 1 2007 2007 Bài 32:        670 2 2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b2  c  ab  bc  ca a 2b  b c  c a Giải: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) >  (a  b2  c ) ab  bc  ca 2 Pa b c  Suy P  a  b  c  2(a  b  c ) a  b2  c2 2 t = a2 + b2 + c2, với t  Suy P  t  9t t t      3    P  2t 2t 2 2 a=b=c=1 Bài 33 Ch x,y,z số thực dương thỏa mãn x+y+z = tìm giá trị nhỏ 1   P= 16 x y z Giải:  1 1 1  y x   z x   z y  21 P=     x  y  z          16x y z  16x y z   16 x y   16 x z   y z  16 z y y x z x   có =khi y=2x;   z=2y   z=4x; =>P  49/16 4y z 16 x y 16 x z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:   23 x y Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  8x   18y  x y Giải:  2  2 4 5  18y    8x    18y         12  23  43 x y  x  y x y 1 1 1 1 Dấu xảy  x; y    ;  Vậy Min B 43  x; y    ;   3  3 B  8x  Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng không vượt Chứng minh x2 + y2 + z2 9 Gải:  x   x   x    (x  1)( x  2)   x  3x  Tương tự y  3y  z  3z  2 2  x + y + z  3( x + y +z) –  – = Bài 36 Cho a,b,c số thuộc  1; 2 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = Chứng minh a  b  c  Giải:  a  1 a     a  a   0; b2  b   0; c  c    a  b  c  a  b2  c2   Bài 37 Cho số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1 97 a   b2   c2   b c a Giải:   81      1.a       a    a    a  ; b  16  b  b 4b  97       b2   b  ; c   c   c 4c  a 4a  97  97  Bài 38 cộng vế lại Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p   9 p a p b p c Giải: p p p 1 9    hay     p a p b p c p a p b p c p a  p b p c p Bài 39 Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a  b2  c )  2abc  52 Giải: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn abc  ( a  b  c)(a  b  c)(a  b  c )  (6  2a)   2b   2c   abc  24   2abc  48   ab  bc  ac  16  36  (a  b  c )   (a  b  c )  2abc  48 (1)     a  b2  c2  (2) (1)and(2)  dpcm Có chứng minh 3(a  b2  c )  2abc  18 hay không? Bài 40 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 P  ( a  bc )1  a b c Giải: 2 2 2  a  ( b  c )  ( a  b  c ) ( a b  c )  b  ( c  a )  ( b  c  a ) ( b c  a ) Có a (1) , b (2) 2 c  ca  (  b )  ( c  a  b ) ( c a  b ) (3) Dấu „=‟ xảy abc Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), b ca  ( b  c ) ( b c  a ) ( c a  b ) (2), (3) ta có : a (*)  a b c  (  a ) (  b ) (  c )  ( a  b  ca )  ( b  b c  c a )  a b c  a  b  c  Từ nên (*)   a b c  ( a b  b c  c a )   a b c  ( a b  b c  c a )   (*) 3 3  b  c  () a  b  c  () a  b  c ( a b  b c  c a )  a b c   ( a b  b c  c a )  a b c Ta có a 3 ( a  b  c )  a b c  a b c  ( a b  b c  c a )   a b c  ( a b  b c  c a )    Từ (**)  a  2  b  2   c  2 2 0 3 ( a  b  c )  a b c  (  )   Áp dụng (*) vào (**) cho ta Dấu “=” xảy abc Từ giá trị nhỏ P đạt abc Bài 41 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh  a3  b3  c3  3abc  Giải: *P  a  b3  c3  3abc Ta có a  b3  c3  3abc  (a  b  c )(a  b  c  ab  bc  ac )  a  b3  c3  3abc  (a  b  c  ab  bc  ac) (1) có abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  2   ab  bc  ca  (2) 3 (1)and(2)  a3  b3  c3  3abc  a  b  c    ab  bc  ca  3 1  4(ab  bc  ca )  8abc  6abc  mà ab  bc  ca    a  b2  c2 2 P1 a   b2  c2  1  1  1 1 1  2  a    b    c     a  b  c   P    3  3  3 6  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn *P  a  b3  c3  3abc abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4(ab  bc  ca)  8abc   ab  bc  ca )  2abc  (3) P  a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ac)  6abc  a  b  c  ab  bc  ac  6abc   a  b  c    ab  bc  ca   6abc 1    ab  bc  ca  2abc     4 Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x  y  z  xy  yz  zx  xyz  Giải: Chứng minh xyz    x  y  z  x  y  z  x  y  z   (6  x)(6  y )(6  z )  216  72( x  y  z )  24( xy  yz  zx)  8xyz  xyz  24  ( xy  yz  zx) (1) mà  x  y  z    x  y  z  2xy  yz  2xz   x  y  z  xy  yz  xz  36  3xy  yz  3xz (2) Bài 43 Nên xyz  x  y  z  xy  yz  xz   24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  yz  3xz  xyz  x  y  z  xy  yz  xz   12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z   3( xy  yz  zx)  x  y  z 36  xyz  x  y  z  xy  yz  xz   12   12  8 3 Cho a  1342; b  1342 Chứng minh a  b2  ab  2013  a  b  Dấu đẳng thức xảy 2 2 nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau:  a  1342    b  1342  2  0;  a  1342  b  1342   0; a  1342  b  1342  Thật vậy: (1)  a  1342    b  1342    a  b  2.1342. a  b   2.13422  (2)  a  1342  b  1342    ab  1342a  1342b  13422   a  b  2.1342  a  b   2.13422  ab  1342a  1342b  13422   a  b  ab  3.1342  a  b   3.13422  2.2013  a  b   3.13422  2013  a  b   2013  a  b   2.2013.1342  2013  a  b   2013  a  b  1342  1342   2013. a  b  2 10 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Cách : A   x  1   x  3   x  1  x  3 4 2 2 2 A   x  1   x  3    x  1  x  3   A   2x  8x  10    x  4x  3 A   2( x  2)     ( x  2)  1 2 A  4( x  2)  8( x  2)   4( x  2)  8( x  2)  A  8( x  2)   Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca    c 1 a 1 b 1 Giải: Bài 46 Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 1 x  y 3  1  1 3  y  z  z  x3 Giải: 11 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn x  y  2xy   x  y   x  y   2xy  x  y   x  y  xy  x  y    x  y  xy  x  y  z    1 x  y 3  1 x  y 3  xy  x  y  z  z x y ;  ;   dpcm 3 3 x  y  z 1 y  z x  y  z 1 z  x x y z Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh :  a  b  ab  2a b  2b a 2  ab 1  1      a  b   a  b     a  b    a     b     ab  a  b   2a b  2b a Bài 2 4     Giải:  a  b 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1  8a  1   8b3  8c3 1 Giải: 1  8a ;    2a  1  4a  2a  1 1    2 2a   4a  2a  4a  2a  1  8c3 2c  1 1  VT     1 2a  2b  2c  2a   2b   2c  1  8b3 2b  ;  2 Bài 49 a b3 c Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh :    a  b  c b c a Giải: Cách 1: 2 a  b2  c  a  b2  c   a b3 c a b c  a  b  c          a  b2  c b c a ab bc ca ab  bc  ca ab  bc  ca Cách 3 a3 b c  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2c  VT   a  b  c   (ab  bc  ca )  a  b  c Bài 50 b c a Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2    y 1 z 1 x 1 Giải: x2 y 1 y2 z 1 z2 x 1 3 3   x;   y;   z  VT   x  y  z      y 1 z 1 x 1 4 4 12 [...]...  2 2 Bài 49 a 3 b3 c 3 Với a,b,c là ba số thực dương Chứng minh rằng :    a 2  b 2  c 2 b c a Giải: Cách 1: 2 2 2 a 2  b2  c 2  a 2  b2  c 2   a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4  a  b  c          a 2  b2  c 2 b c a ab bc ca ab  bc  ca ab  bc  ca 2 Cách 2 3 3 a3 2 b 2 c  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2c 2  VT  2  a 2  b 2  c 2   (ab  bc  ca )  a 2  b 2  c 2 Bài 50 b c...  1 xy  x  y  z  z 1 x 1 y ;  ;   dpcm 3 3 3 3 x  y  z 1 y  z x  y  z 1 z  x x y z Bài 47 Cho a,b là các số thực dương Chứng minh rằng :  a  b 2  ab  2a b  2b a 2 2  ab 1  1  1     a  b   a  b     a  b    a     b     2 ab  a  b   2a b  2b a Bài 2 2 4  4    Giải:  a  b 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 1  8a 3  1 1... A   2( x  2) 2  2   4  ( x  2) 2  1 2 2 2 A  4( x  2) 4  8( x  2) 2  4  4( x  2) 4  8( x  2) 2  4 A  8( x  2) 4  8  8 Bài 45: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca 1    c 1 a 1 b 1 4 Giải: Bài 46 Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 1 1 x  y 3 3  1 1  1 3 3 1  y  z 1  z 3  x3 Giải: 11 Gia