50 Bài tập về bất đẳng thức

50 Bài tập bất đẳng thức Bài 1: Cho a ≥ , tìm giá trị nhỏ S = a + a Bài 2: Cho a ≥ , tìm giá trị nhỏ S = a + a2 Bài 3: Cho a, b > a + b ≤ , tìm giá trị nhỏ S = ab + Bài 4: Cho a, b, c> a + b + c ≤ ab 1 + b2 + + c + 2 b c a x + y + z ≤ Bài 5: Cho x, y, z ba số thực dương Chứng minh rằng: Tìm giá trị nhỏ S = a + x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 y2 z x Bài 6: Cho a, b, c > a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ S = a + b + c + Bài 7: Cho x, y, z > + + a 2b c 1 + + =4 x y z Tìm giá trị lớn P = 1 + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Bài 8: Chứng minh với x x x  12   15   20  x x x ÷ + ÷ + ÷ ≥ +4 +5  5  4   x ∈ R , ta có  Bài 9: Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh x + y + 8z ≥ x +1 + y +1 + z +1 Bài 10: Cho x, y, z> xyz = Hãy chứng minh + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Bài 11: Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức ( x − y ) ( − xy ) P= 2 ( 1+ x) ( 1+ y ) Bài 12: a b c3 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: + + ≥ ab + bc + ca b c a Bài 13: Cho x,y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ A = 3x + + y + 4x y2 Bài 14: Cho x, y > x+y = Chứng minh P = 1 + ≥ 4+2 3 x +y xy 1 1 + + = Chứng minh xyz ≤ 1+ x 1+ y 1+ z x y z + + Bài 16: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị lớn S = x +1 y +1 z +1 Bài 17: Bài 15: Cho x, y, z > Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 4a 5b 3c + + ≥ 48 a −1 b −1 c −1 Bài 18: Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng: 1 1   + + ≥ 3 + + ÷ a b c  a + 2b b + 2c c + 2a  Bài 19: Với a, b, c > chứng minh rằng: 36 + + ≥ a b c a+b+c Bài 20: Cho a, b, c, d > chứng minh rằng: 1 16 64 + + + ≥ a b c d a+b+c+d Bài 21: Với a, b, c > chứng minh rằng:   + + ≥ 4 + + ÷ a b c  a +b b+c c +a  Bài 22: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p −a p −b p −c a b c Bài 23: Cho x, y, z> Bài 24: Cho số x + y + x ≥ Tìm giá trị nhỏ P = thực dương x, y, y + 3z + 3z + x + x + y + 51 + + ≥ 1+ x 1+ y + 3z z thỏa mãn x2 y2 z2 + + y+z z+x x+ y x+2y+3z =18 Chứng minh Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a + b + ≥ ab + a + b Bài 26: Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p − a + p −b + p − c ≤ 3p Bài 27: 1 Cho hai số a, b thỏa mãn: a ≥ 1; b ≥ Tìm giá trị nhỏ tổng A = a + + b + a b Bài 28: Chứng minh a + b ≥ a 3b + ab3 Bài 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x + y + 1)2 xy + y + x A= + (Với x; y số thực dương) xy + y + x ( x + y + 1)2 Bài 30: Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥2 (b − c )2 (c − a) ( a − b) Bài 31: Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng ming 2009 + ≥ 670 2 a +b +c ab + bc + ca Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a 2b + b 2c + c 2a Bài 33: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P= 1 + + 16 x y z Bài 34: + ≥ 23 x y B = 8x + + 18y + x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng không vượt Chứng minh x2 + y2 + z2 Bài 36: Cho a, b, c số thuộc [ −1; 2] ≤9 thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh a + b + c ≥ Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: a2 + 1 97 + b2 + + c + ≥ b c a Bài 38: Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p + + ≥9 p−a p−b p−c Bài 39: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a + b2 + c ) + 2abc ≥ 52 Bài 40: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4(a + b3 + c ) + 15abc Bài 41: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh ≤ a + b3 + c3 + 3abc < Bài 42: Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x + y + z − xy − yz − zx + xyz ≥ Bài 43: Cho a ≥ 1342; b ≥ 1342 Chứng minh a + b + ab ≥ 2013 ( a + b ) Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 44: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) 4 ( x − 3) Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca + + ≤ c +1 a +1 b +1 Bài 46 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng: 1+ x + y + 1 + ≤1 3 + y + z + z + x3 Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh rằng: ( a + b) + a+b ≥ 2a b + 2b a Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 + 8a + 1 + 8b + 1 + 8c3 ≥1 Bài 49 Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh rằng: a b3 c + + ≥ a + b2 + c2 b c a Bài 50 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 + + ≥ y +1 z +1 x +1 ... x+2y+3z =18 Chứng minh Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a + b + ≥ ab + a + b Bài 26: Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p − a + p −b + p − c ≤ 3p Bài 27: 1 Cho hai số a,... + xyz ≥ Bài 43: Cho a ≥ 1342; b ≥ 1342 Chứng minh a + b + ab ≥ 2013 ( a + b ) Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 44: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) 4 ( x − 3) Bài 45:... A = a + + b + a b Bài 28: Chứng minh a + b ≥ a 3b + ab3 Bài 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x + y + 1)2 xy + y + x A= + (Với x; y số thực dương) xy + y + x ( x + y + 1)2 Bài 30: Cho ba số