50 bài tập về bất đẳng thức

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 50 Bài tập bất đẳng thức: a 8a a 24 a 10 Giải: S = a + = + ( + ) ≥ +2 = a 9 a 9 a Bài 2: Cho a ≥ , tìm giá trị nhỏ S = a + a 6a a a 12 a a 12 Giải: S = a + = + ( + + ) ≥ + 33 = + = a 8 a 8 a 4 Bài 3: Cho a,b >0 a + b ≤ , tìm giá trị nhỏ S = ab + ab 1 15 15 17 S = ab + = (ab + )+ ≥ ab + = Giải: ab 16ab 16ab 16ab  a+b  16  ÷   Bài 4: Cho a,b,c>0 a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ 1 S = a + + b2 + + c + b c a Giải: Cách 1: Bài 1: Cho a ≥ , tìm giá trị nhỏ S = a + Cách 2: S = a2 + 1 + b2 + + c + 2 b c a (12 + 42 )(a + 1 1 ) ≥ (1.a + ) 2⇒ a + ≥ (a + ) b b b b 17 Tương tự 1 1 b2 + ≥ (b + ); c + ≥ (c + ) c c a a 17 17 Do đó: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 4 36 (a + b + c + + + ) ≥ (a + b + c + ) a b c a +b+c 17 17 S≥  17  135 (a + b + c + 4(a + b + c) ) + 4(a + b + c)  ≥ 17   x + y + z ≤ Chứng minh rằng: Bài 5: Cho x,y,z ba số thực dương = x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 y z x Giải: 1 1 (1.x + ) ≤ (12 + 92 )( x + ) ⇒ x + ≥ (x + ) y y y y 82 1 1 ≥ ( y + ); z + ≥ (z + ) z z x x 82 82 9 81 S≥ (x + y + z + + + ) ≥ (x + y + z + ) x y z x+ y+z 82 82 TT : y + = 82  80  ( x + y + z + x + y + z ) + x + y + z  ≥ 82   Bài 6: Cho a,b,c>0 a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ S = a+b+c+ + + a 2b c Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4 12 18 16 12   18   16   S = 4a + 4b + 4c + + + = a + 2b + 3c +  3a + ÷+  2b + ÷+  c + ÷ ≥ a b c a  b  c   20 + 3.2.2 + 2.2.3 + 2.4 = 52 ⇒ S ≥ 13 1 Bài 7: Cho x,y,z> + + = Tìm giá trị lớn x y z 1 P= + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Ta có 1 1 1 1 4 16 1 1 1 + ≥ ; + ≥ ⇒ + + + ≥ + ≥ ⇒ ≤  + + ÷ x y x+ y y z y+z x y y z x + y y + z x + 2y + z x + y + z 16  x y z  TT : 1 2 1 1 1 2 ≤  + + ÷; ≤  + + ÷ x + y + z 16  x y z  x + y + z 16  x y z  4 4  + + ÷= 16  x y z  Bài S≤ x x x  12   15   20  Chứng minh với x ∈ R , ta có  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ 3x + x + x  5  4   Giải: x x x x x x x x  12   15   12   15   15   12  x  20  x  20  x  ÷ +  ÷ ≥  ÷  ÷ = 2.3 ;  ÷ +  ÷ ≥ 2.5 ;  ÷ +  ÷ ≥ 2.4 5 4                 Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: Cho x,y,z>0 x+y+z =6 Chứng minh x + y + z ≥ x +1 + y +1 + z +1 Giải: Dự đoán x=y=z = 8x.8 x = 64 x = x nên : x + x + 82 ≥ 3 8x.8 x.82 = 12.4 x ; y + y + 82 ≥ 3 y.8 y.82 = 12.4 y ; z + z + 82 ≥ 3 z.8z.82 = 12.4 z x + y + z ≥ 3 8x.8 y.8 z = 3 82.82.82 = 192 Cộng kết => đpcm Bài 10: Cho x,y,z>0 xyz = Hãy chứng minh + x3 + y3 + y3 + z + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Giải: x + y ≥ xy ( x + y ) ⇒ + x3 + y ≥ xyz + xy ( x + y ) = xy ( x + y + z ) ≥ 3xy xyz = 3xy + x3 + y3 3xy = = xy xy yz + y3 + z3 ; = = xy yz yz  1  S = 3 + + ÷≥ 3  xy yz zx ÷   x y2 z2 =3 3 + z + x3 zx ; = = yz zx zx zx Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Bài 11 Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ( x − y ) ( − xy ) biểu thức P = 2 ( 1+ x) ( 1+ y) Giải:  x + y + + xy  ÷ ( x − y ) ( − xy ) ≤ ( x + y ) ( + xy ) ≤   = ⇒ −1 ≤ P ≤ P = 2 2 ( + x ) ( + y ) ( + x ) ( + y ) ( x + y + + xy ) 4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy Bài 12 a b3 c Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: + + ≥ ab + bc + ca b c a Giải: 3 4 2 2 ab + bc + ac ) ( a b c a b c ( a + b + c ) Cách 1: + + = + + ≥ ≥ = ab + bc + ac b c a ab bc ca ab + bc + ac ab + bc + ac a3 b3 c3 Cách 2: + ab ≥ 2a ; + bc ≥ 2b ; + ca ≥ 2a b c a a b3 c + + ≥ 2(a + b + c ) − ab − bc − ac ≥ ab + bc + ac b c a Bài 13 Cho x,y >0 x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ A = 3x + + y + 4x y2 Giải: Dự đoán x=y=2 3x + + y 3x 1 x  y y  x+ y A= + = + + + y =  + ÷+  + + ÷+  ÷≥ 4x y x y 4    x 4  y 1 + ≥ 4+ Bài 14: Cho x,y>0 x+y = Chứng minh P = 3 x +y xy Giải: Ta có ( x + y ) = x3 + y + 3xy(x+y) ⇒ x3 + y + 3xy=1 x + y + 3xy x + y + 3xy 3xy x3 + y P= + = 4+ + ≥ 4+2 x3 + y xy x + y3 xy 1 1 + + = Chứng minh xyz ≤ Bài 15: Cho x,y,z >0 1+ x 1+ y 1+ z Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 1 1 y z = 2− − = 1− +1− = + ≥2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z 1+ y 1+ z TT : ≥2 1+ y xz ; ≥2 ( 1+ x) ( 1+ z ) 1+ z yz ( 1+ y ) (1+ z ) xy ( 1+ x) ( 1+ y) Nhân vế BĐT => đpcm Bài 16: Cho x,y,z>0 x+y+z = Tìm giá trị lớn S = x y z + + x +1 y +1 z +1 Giải:  x y z 1  9 + + = 3− + + = 3− = ÷≤ − x +1 y +1 z +1 x+ y+ z+3 4  x +1 y +1 z +1 Bài 17: 4a 5b 3c Cho a,b,c >1 Chứng minh rằng: + + ≥ 48 a −1 b −1 c −1 Giải: 4a ( a − 1) + 4 = = ( a + 1) + = ( a − 1) + + ≥ + = 16 a −1 a −1 a −1 a −1 5b 3c = ( b − 1) + + 10 ≥ 20; = ( c − 1) + + ≥ 12⇒ dpcm b −1 b −1 c −1 c −1 Bài 18 Cho a,b,c >0, chứng ming : 1 1   + + ≥ 3 + + ÷ a b c  a + 2b b + 2c c + 2a  Giải: 1 1 1 + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥ cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a + 2b b c c b + 2c c a a c + 2a Bài 19 Với a,b,c >0 chứng minh rằng: 36 + + ≥ a b c a+b+c Giải: ( + + 3) 36 + + ≥ = a b c a+b+c a+b+c Bài 20: Cho a,b,c,d>0 chứng minh : 1 16 64 + + + ≥ a b c d a+b+c+d Giải: 1 16 16 16 64 + + ≥ ; + ≥ a b c a +b+c a +b+c d a+b+c+d S= Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cần nhớ: a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z Bài 21 Với a,b,c>0 chứng minh rằng:   + + ≥ 4 + + ÷ a b c  a+b b+c c+a  Giải 1 3 1 2 1 + ≥ ⇒ + ≥ ; + ≥ ⇒ + ≥ ; + ≥ a b a+b a b a +b b c b+c b c b+c c a c+a Bài 22 Với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ Chứng minh p −a p −b p −c a b c Giải: 1 2 + + = + + p − a p − b p − c −a + b + c a − b + c a + b − c 1 1 1 1 1 + + + + + ≥ 2 + + ÷ − a + b + c a − b + c a + b − c −a + b + c a − b + c a + b − c a b c Bài 23 x2 y2 z2 x + y + x ≥ + + Cho x,y,z>0 Tìm giá trị nhỏ P = y+z z+x x+ y = Giải: ( x + y + z ) = x + y + z = = x2 y2 z2 + + ≥ Cách1: P = y + z z + x x + y 2( x + y + z) 2 Cách 2: x2 y+z y2 z+x z2 x+ y + ≥ x; + ≥ y; + ≥z y+z z+x x+ y x+ y+z x+ y+z ⇒ P ≥ x+ y+x− = = = 2 2 Bài 24 Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y + 3z + z + x + x + y + 51 + + ≥ 1+ x 1+ y + 3z Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn y + 3z + z + x + x + y + + + 1+ x 1+ y + 3z y + 3z + 3z + x + x + 2y + = +1+ +1+ +1− 1+ x 1+ y + 3z  1  = ( x + y + 3z + )  + + −3 ÷− ≥ 24 x + y + 3z +  + x + y + 3z  51 = 24 − = 21 Bài 25 Chứng minh bất đẳng thức: a + b + ≥ ab + a + b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26 Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p − a + p − b + p − c ≤ 3p Giải: Bu- nhi -a ta có : p − a + p − b + p − c ≤ (12 + 12 + 12 )( p − a + p − b + p − c ) = 3(3 p − p ) = p Bài 27 1 Cho hai số a, b thỏa mãn : a ≥ 1; b ≥ Tìm giá trị nhỏ tổng A = a + + b + a b 1 15b  b  15.4 17 21 +  + ÷≥ + = ⇒ A ≥ Giải: a + ≥ 2; b + = a b 16  16 b  16 4 Bài 28 Chứng minh a + b ≥ a 3b + ab3 Giải: ( a ) + ( b )  (12 + 12 ) ≥ ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) ≥ 2ab ( a + b ) => a + b ≥ a 3b + ab3   Bài 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x + y + 1) xy + y + x A= + (Với x; y số thực dương) xy + y + x ( x + y + 1)2 Giải: ( x + y + 1) = a; a > ⇒ A = a + Có Đặt xy + y + x a A=a+ 8a a a 10 10 = + ( + ) ≥ + = + = ⇒ A ≥ a 9 a 9 a 3 3 Bài 30 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥2 (b − c) (c − a) ( a − b) Giải: a b b c c a + + = −1 (b − c ) (c − a) (c − a) ( a − b) ( a − b) (b − c)  a b c  VT =  + + ÷ ≥0 ( b − c ) ( c − a ) ( a − b )   (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =) Bài 31 Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng ming 2009 + ≥ 670 2 a +b +c ab + bc + ca Giải: 2009 + 2 a + b + c ab + bc + ca 1 2007 2007 = + + + ≥ + ≥ 670 2 2 a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca ( a + b + c ) ( a + b + c) Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a 2b + b 2c + c 2a Giải: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 ≥ 2a2b ;b3 + bc2 ≥ 2b2c;c3 + ca2 ≥ 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) ≥ 3(a2b + b2c + c2a) > ab + bc + ca − (a + b + c ) 2 ⇒P≥a +b +c + Suy P ≥ a + b + c + a + b2 + c 2(a + b + c ) 2 t = a2 + b2 + c2, với t ≥ Suy P ≥ t + 9−t t t = + + − ≥ 3+ − = ⇒ P ≥ 2t 2t 2 2 a=b=c=1 Bài 33 Ch x,y,z số thực dương thỏa mãn x+y+z = tìm giá trị nhỏ 1 + + P= 16 x y z Giải: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn  1 1 1  y x   z x   z y  21 + + = ( x + y + z)  + + ÷=  + + ÷+  + ÷+ ÷+  16x y z  16x y z   16 x y   16 x z   y z  16 y x z y z x + ≥ có =khi y=2x; + ≥ z=2y + ≥ z=4x; =>P ≥ 49/16 16 x y 4y z 16 x z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34 P= + ≥ 23 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = 8x + + 18y + x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: Giải:  2  2 4 5 + 18y + =  8x + ÷+ 18y + ÷+  + ÷≥ + 12 + 23 = 43 x y  x  y x y 1 1 1 1 Dấu xảy ( x; y ) =  ; ÷.Vậy Min B 43 ( x; y ) =  ; ÷  3  3 B = 8x + Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng không vượt Chứng minh x2 + y2 + z2 ≤ Gải: ≤ x ≤ ⇒ x − ≥ x − ≤ ⇒ ( x − 1)( x − 2) ≤ ⇒ x ≤ 3x − Tương tự y ≤ 3y − z ≤ 3z − ⇒ x2 + y2 + z2 ≤ 3( x + y +z) – ≤ – = Bài 36 Cho a,b,c số thuộc [ −1; 2] thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = Chứng minh a +b+c ≥ Giải: ( a + 1) ( a − ) ≤ ⇔ a − a − ≤ 0; b − b − ≤ 0; c − c − ≤ ⇒ a + b + c ≥ a + b2 + c − = Bài 37 Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: 1 97 a + + b2 + + c + ≥ b c a Giải:   81      a +  ÷ ≤  + ÷ a + ÷ ⇒ a + ≥  a + ÷; b  16  b  b 4b  97   cộng vế lại     2 b + ≥  b + ÷; c + ≥ c + ÷ c 4c  a 4a  97  97  Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Bài 38 Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p + + ≥9 p −a p −b p −c Giải: p p p 1 9 + + ≥ hay + + ≥ = p −a p −b p −c p −a p −b p −c p −a + p −b + p −c p Bài 39 Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a + b2 + c ) + 2abc ≥ 52 Giải: abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (6 − 2a) ( − 2b ) ( − 2c ) ⇔ abc ≥ −24 + ( ab + bc + ac ) 2 16  36 − (a + b + c )  ⇔ 2abc ≥ −48 +  ⇔ (a + b + c ) + 2abc ≥ 48 (1)    a + b2 + c2 ≥ (2) (1)and(2) ⇒ dpcm Có chứng minh 3(a + b + c ) + 2abc < 18 hay không? Bài 40 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4(a + b3 + c3 ) + 15abc Giải: Có a ≥ a − (b − c) = (a − b + c)(a + b − c ) (1) , b ≥ b − (c − a) = (b − c + a)(b + c − a) (2) c ≥ c − (a − b) = (c − a + b)(c + a − b) (3) Dấu ‘=’ xảy ⇔ a = b = c Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có : abc ≥ (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) (*) Từ a + b + c = nên (*) ⇔ abc ≥ (2 − 2a )(2 − 2b)(2 − 2c) ⇔ − 8(a + b + c) + 8(ab + bc + ca ) − 9abc ≤ ⇔ + 9abc − 8(ab + bc + ca ) ≥ ⇔ 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ −8 (*) Ta có a + b3 + c = (a + b + c)3 − 3( a + b + c )(ab + bc + ca ) + 3abc = − 6(ab + bc + ca ) + 3abc 3 Từ 4(a + b + c ) + 15abc = 27 abc − 24( ab + bc + ca) + 32 = [ 9abc − 8(ab + bc + ca) ] + 32 (**) ( a − 2) + ( b − 2) + ( c − 2) ≥ ⇔ 2 Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a + b3 + c3 ) + 15abc ≥ 3.(−8) + 32 = Dấu “=” xảy a = b = c = Từ giá trị nhỏ P đạt a = b = c = Bài 41 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh ≤ a + b3 + c3 + 3abc < 10 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Giải: *P = a3 + b3 + c + 3abc Ta có a3 + b3 + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac ) ⇔ a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c − ab − bc − ac ) (1) có abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) = −2 −1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc ⇔ 6abc ≥ + ( ab + bc + ca ) (2) 3 (1)and(2) ⇒ a3 + b3 + c + 3abc ≥ a + b + c − + ( ab + bc + ca ) 3 mà ab + bc + ca = ( − a + b2 + c 2 ) ⇒P≥1 (a ) + b2 + c + 1  1  1 1 1  2  a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ ⇔ a + b + c ≥ ⇒ P ≥ + = 3  3  3 6  *P = a3 + b3 + c + 3abc abc ≥ (− a + b + c )(a − b + c)(a + b − c ) = (1 − 2a)(1 − 2b)(1 − 2c) = −1 + 4(ab + bc + ca ) − 8abc > ⇒ ab + bc + ca ) − 2abc > (3) P = a3 + b3 + c + 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac ) + 6abc = a + b + c − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) + 6abc 1 = − ( ab + bc + ca − 2abc ) < − = 4 Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x + y + z − xy − yz − zx + xyz ≥ Giải: 11 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Chứng minh xyz ≥ ( − x + y + z ) ( x − y + z ) ( x + y − z ) = (6 − x)(6 − y )(6 − z ) = 216 − 72( x + y + z ) + 24( xy + yz + zx) − 8xyz ⇔ xyz ≥ −24 + ( xy + yz + zx) (1) mà ( x + y + z ) = ⇔ x + y + z + 2xy + yz + 2xz = ⇔ x + y + z − xy − yz − xz = 36 − 3xy − yz − 3xz (2) Nên xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ −24 + ( xy + yz + zx)+ 36 − 3xy − yz − 3xz ⇔ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − ( xy + yz + zx) mà ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) ( x + y + z) 36 ⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − = 12 − =8 3 2 2 Bài 43 2 Cho a ≥ 1342; b ≥ 1342 Chứng minh a + b + ab ≥ 2013 ( a + b ) Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau: ( a − 1342 ) + ( b − 1342 ) ≥ 0; ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ 0; a − 1342 + b − 1342 ≥ Thật vậy: (1) ( a − 1342 ) + ( b − 1342 ) ≥ ⇔ a + b − 2.1342 ( a + b ) + 2.13422 ≥ (2) ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ ⇔ ab − 1342a − 1342b + 13422 ≥ ⇒ a + b − 2.1342 ( a + b ) + 2.13422 + ab − 1342a − 1342b + 13422 ≥ ⇔ a + b + ab ≥ 3.1342 ( a + b ) − 3.13422 = 2.2013 ( a + b ) − 3.13422 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b ) − 2.2013.1342 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b − 1342 − 1342 ) ≥ 2013 ( a + b ) 2 Bài 44 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) 4 ( x − 3) Giải: Cách 1: 12 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cách : A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) 4 ( x − 3) 2 2 2 A = ( x − 1) + ( x − 3)  + ( x − 1) ( x − 3)   A =  2x − 8x + 10  + ( x − 4x + ) A =  2( x − 2) +  + ( ( x − 2) − 1) 2 A = 4( x − 2) + 8( x − 2) + + 4( x − 2) − 8( x − 2) + A = 8( x − 2) + ≥ Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca + + ≤ c +1 a +1 b +1 Giải: Bài 46 Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 13 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 1+ x + y + 1 + ≤1 3 + y + z + z + x3 Giải: x + y ≥ 2xy ⇒ ( x + y ) ( x + y ) ≥ 2xy ( x + y ) ⇒ x + y ≥ xy ( x + y ) ⇒ + x + y ≥ xy ( x + y + z ) ⇒ ⇒ 1+ x + y 3 ≤ 1+ x + y 3 ≤ xy ( x + y + z ) z x y ; ≤ ; ≤ ⇒ dpcm 3 3 x + y + z 1+ y + z x + y + z 1+ z + x x+ y+z Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh : ( a + b) + a+b ≥ 2a b + 2b a 2 + a+b 1  1    = ( a + b )  a + b + ÷ = ( a + b )   a + ÷+  b + ÷÷ ≥ ab ( a + b ) = 2a b + 2b a 2 4     Giải: ( a + b) Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 + 8a + 1 + + 8b + 8c3 ≥1 Giải: 1 + 8a ; = ≥ ≥ ( 2a + 1) ( 4a − 2a + 1) 1 ≥ 1 + 8c3 2c + 1 1 ⇒ VT ≥ + + ≥ =1 2a + 2b + 2c + 2a + + 2b + + 2c + 1 + 8b3 2b + ; = = 2 2a + + 4a − 2a + 4a + 2a + 2 Bài 49 Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh : a b3 c + + ≥ a + b2 + c2 b c a Giải: Cách 1: 2 a + b2 + c ) ( a + b2 + c ) ( a b3 c a b c ( a + b + c ) + + = + + ≥ = ≥ a + b2 + c b c a ab bc ca ab + bc + ca ab + bc + ca Cách a3 b3 c3 + ab ≥ 2a ; + bc ≥ 2b ; + ca ≥ 2c ⇒ VT ≥ ( a + b + c ) − (ab + bc + ca ) ≥ a + b + c b c a Bài 50 14 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 + + ≥ y +1 z +1 x +1 Giải: x2 y +1 y2 z +1 z2 x +1 3 3 + ≥ x; + ≥ y; + ≥ z ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − ≥ − = y +1 z +1 x +1 4 4 15 [...]... yz − xz + ≥ 12 − ( xy + yz + zx) mà ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) 3 1 ( x + y + z) 36 ⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz + ≥ 12 − = 12 − =8 3 3 9 2 2 2 2 Bài 43 2 2 Cho a ≥ 1342; b ≥ 1342 Chứng minh rằng a + b + ab ≥ 2013 ( a + b ) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải: Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau: ( a − 1342 ) 2 + ( b − 1342 ) ≥ 0; ( a − 1342 ) ( b − 1342 ) ≥ 0; a − 1342 + b − 1342 ≥ 0 2 Thật vậy:... 2 2 Bài 49 Với a,b,c là ba số thực dương Chứng minh rằng : a 3 b3 c 3 + + ≥ a 2 + b2 + c2 b c a Giải: Cách 1: 2 2 2 a 2 + b2 + c 2 ) ( a 2 + b2 + c 2 ) ( a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 ( a + b + c ) + + = + + ≥ = ≥ a 2 + b2 + c 2 b c a ab bc ca ab + bc + ca ab + bc + ca 2 Cách 2 a3 b3 c3 + ab ≥ 2a 2 ; + bc ≥ 2b 2 ; + ca ≥ 2c 2 ⇒ VT ≥ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − (ab + bc + ca ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 b c a Bài 50 14... A =  2( x − 2) 2 + 2  + 4 ( ( x − 2) 2 − 1) 2 2 2 A = 4( x − 2) 4 + 8( x − 2) 2 + 4 + 4( x − 2) 4 − 8( x − 2) 2 + 4 A = 8( x − 2) 4 + 8 ≥ 8 Bài 45: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca 1 + + ≤ c +1 a +1 b +1 4 Giải: Bài 46 Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 13 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn 1 1+... + z ) z 1 x 1 y ; ≤ ; ≤ ⇒ dpcm 3 3 3 3 x + y + z 1+ y + z x + y + z 1+ z + x x+ y+z Bài 47 Cho a,b là các số thực dương Chứng minh rằng : ( a + b) 2 + a+b ≥ 2a b + 2b a 2 2 + a+b 1  1  1   = ( a + b )  a + b + ÷ = ( a + b )   a + ÷+  b + ÷÷ ≥ 2 ab ( a + b ) = 2a b + 2b a 2 2 4  4    Giải: ( a + b) Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 1 + 8a 3 + 1 1 + 1 + 8b 3 1 + 8c3... 2 + ab ≥ 3.1342 ( a + b ) − 3.13422 = 2.2013 ( a + b ) − 3.13422 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b ) − 2.2013.1342 = 2013 ( a + b ) + 2013 ( a + b − 1342 − 1342 ) ≥ 2013 ( a + b ) 2 2 Bài 44 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6 ( x − 1) 4 4 2 ( x − 3) 2 Giải: Cách 1: 12 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn Cách 2 : A = ( x − 1) + ( x − 3) + 6 ( x − 1) 4... c 3 + 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) + 6abc = a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − 3 ( ab + bc + ca ) + 6abc 2 1 1 = 1 − 3 ( ab + bc + ca − 2abc ) < 1 − 3 = 4 4 Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx + xyz ≥ 8 Giải: 11 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn Chứng minh được xyz ≥ ( − x +