chuyên đề bất đẳng thức toán 9, bất đẳng thức côsi, bất đẳng thức AMGM, bất đẳng thức côsi cho 3 số, bất đẳng thức AMGM 3 số, cách sử dụng bất đẳng thức AMGM 3 số, cách sử dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số
Trang 1Bài 5 *(B – 2007) Cho x, y, z > 0 Tìm GTNN của biểu thức:
Trang 2Bài 2 HD Cauchy 3 số abc và ba số (a + b), (b + c), (c + a) ta có Đpcm
Bài 3 Giải: Theo BĐT (I) ta có:
Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2
Bài 4 Nhân ra, rút gọn và sử dụng AM GM ba số ta có Đpcm
92
Trang 3Bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra a b c 1.
Bài 8 Lời giải
BĐT cần chứng minh tương đương với
Trang 4Đẳng thức xảy ra khi a b c , hoặc a2bvà c0, hoặc các bộ hoán vị
Bài 9 Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Trang 5Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c
Trang 601234-64-64-64 Thầy Hồng Trí Quang
hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học
Trang | 1
PHẦN 14 NÂNG CAO 2 Bài 1 Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý Chứng minh rằng :
4
a ab abc a b c
(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tin – Toán Tỉnh Tiền Giang năm 2014 – 2015)
Bài 2 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a 3b 2c abc Tìm giá trị lớn nhất của
(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2014 – 2015)
Bài 3 Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh rằng :
a b c abc ab bc ca
(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2014 – 2015)
Bài 4 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 1 1 1 3
(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Ninh Bình năm 2015 – 2016)
Bài 5 Cho a, b, c là đội dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện 2c b abc
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
S
(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bắc Ninh năm 2014 – 2015)
Bài 6 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x x( 1) y y( 1) z z 1 18
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Trang 7(Trích đề thi tuyển sinh chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2015 – 2016)
Bài 8 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 3 2 Chứng minh rằng :
(Trích đề thi tuyển sinh chuyên Toán Tỉnh Bình Thuận năm 2015 – 2016)
Bài 9 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 1; b 2;a b c 6 Chứng minh rằng :
(a 1)(b 1)(c 1) 4 abc
(Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Giang năm 2014 – 2015)
Bài 10 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 Chứng minh rằng :
(Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Giang năm 2013 – 2014)
Bài 11 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 Chứng minh rằng :
Trang 8Bài toán được chứng minh xong
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 4b 16c 0
Bài 2 Lời giải
Giả thiết của bài toán viết lại thành 6 3 2 1
bc ca ab
Đặt a 1; b 2;c 3,
x y z khi đó ta được x; y; z 0 thỏa mãn xy yz zx 1
Biểu thức B được viết lại thành
Trang 9Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 3;b 2 3;c 3 3
Vậy giá trị lớn nhất của B là 3
xy x y yz y z zx z x 2 x y y z z xNhư vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
Vì vai trò các biến bình đẳng nên có thể giả sử x y z 0
Trang 10Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 0
Bài 4 Lời giải
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
Bài 5 Lời giải
Trang 11Dấu bằng xảy ra khi a b c 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 3
Bài 6 Lời giải
Ta biến đổi giả thiết
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 3
Trang 12Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 3
Bài 8 Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
2 8x 3y 5z 8x 3y 5z
8x 3y 5z
x 3y 5z 2 8x 3y 5zHoàn toàn tương tự ta được
Trang 1301234-64-64-64 Thầy Hồng Trí Quang
hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học
Trang | 6
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 2
Bài 9 Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Trang 14216 108a b ab c a b abc abc 6
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và các giả thiết ta lại có
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1; b 2;c 3
Bài 10 Lời giải
Trang 15Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
Trang 1601234-64-64-64 Thầy Hồng Trí Quang
hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học
Trang | 9
Không mất tính tổng quát giả sử a b c 0
Như vậy (*) luôn đúng với điều kiện đó
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 11 Lời giải
Trang 1701234-64-64-64 Thầy Hồng Trí Quang
hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học
Trang | 10
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1
Cách 2 Gọi vế trái của bất đẳng thức là P Khi đó biến đổi P như sau :
2 2 2 3
P
12 (xy yz zx) 12(xy yz zx)3(xy yz zx) 9(xy yz zx)
12 (xy yz zx) 12 (xy yz zx)
36 x y z12(xy yz zx)
Bất đẳng thức được chứng minh xong
Cách 3 Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành
Trang 183xyz(4 yz)(4 zx)(4 xy)
Mặt khác ta lại có
43xyz 12 xz xy yz3xyz(4 yz)(4 zx)(4 xy)
Trang 194 yz 4(4 yz) 4(4 zx) 4(4 xy)Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy
3
x y z 3 xyz; xy yz zx 3 x y z
Suy ra 8 x y z 3 4 x y z xy yz zx 4xyz
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong
Bài 12 Lời giải
Trang 21Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Nhận xét Khi các số a, b, c thỏa mãn abc 1 ta thường đổi biến a x, b z,c y