Đang tải... (xem toàn văn)
1 Đặt vấn đề: Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này. Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau: 1. Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị. 2. Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức. 3. Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại. 4. Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội đi ngay vào giải toán. 5. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có. 6. Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng chưa. Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng toán khó nhưng rất thú vị. Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế, chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài “Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Như nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con người phải biết học ngay ở những sai lầm của mình” . Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thầy và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng các phương pháp mà học sinh được trang bị trong cấp học, nhưng đều không thành công bởi chính thầy cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm. Sau đợt tập huấn cho GV dạy đội tuyển Toán do Sở GD ĐT Quảng Ninh tổ chức, dưới sự chỉ đạo trực tiếp của thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảo thí và qua tạp chí Toán tuổi thơ, tôi đã học tập và tích lũy được cho mình những kinh nghiệm mà trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với những bài toán tìm cực trị đại số, khi hướng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo để hướng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán được bằng nhiều cách, tránh được những sai lầm cố hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này. Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu rộng hơn. Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích kinh nghiệm của người làm toán. Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh có rất nhiều nhưng nội dung thì trùng nhau. Các sách của Bộ giáo dục vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài toán tìm cực trị trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo. Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài “Sai lầm thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu và thực hiện. 4. NỘI DUNG CHÍNH I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần Phần 1: Lý thuyết Phần 2: Các bài tập minh họa Các sai lầm thường mắc được liệt kê ở cùng dạng. 1) Đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều được đưa ra lời giải sai. 2) Phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng. 3) Các bài tập áp dụng. II) Nội dung cụ thể. PHẦN I: LÍ THUYẾT a) Một số tính chất của bất đẳng thức Cho a, b, c là các số thực Tính chất 1 Tính chất 2 Tính chất 3 Tính chất bắc cầu Tính chất 4 Tính chất 5 Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều cho nhau. Tính chất 6 Tính chất 7 Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm Tổng quát: Chú ý: Không được chia hai bất đẳng thức cho nhau. Tính chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức Tính chất 10 Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số Tính chất 12 b) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nếu nếu . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . c) Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị. +) Bất đẳng thức Côsi Dạng cơ bản: Cho , khi đó ta có bất đẳng thức . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Dạng tổng quát: Cho các số không âm . Ta có bất đẳng thức với . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . +) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Dạng cơ bản: Với là các số thực tuỳ ý ta luôn có . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Dạng tổng quát: Cho hai bộ số , khi đó ta có Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa). PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ A. Dạng sai lầm thứ nhất: Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhưng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) Bài 1. Cho x, y là hai số dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải “có vấn đề”. Từ x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có . Từ x, y > 0 và ta có Do vậy . Dấu “=” xảy ra x = y . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt được khi x = y. Nhưng với x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu? Phân tích sai lầm: Lời giải sai ở chỗ với x, y > 0 thì . Dấu “=” xảy ra x = y, còn Dấu “=” xảy ra y = 4x. Mặt khác có thể thấy x = y thì mâu thuẫn với giả thiết Như vậy nguyên nhân của sai lầm trong lời giải trên là trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị nhưng các dấu “=” không đồng thời xảy ra . Lời giải đúng Từ giả thiết ta có Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có Dấu “=” xảy ra . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8036, giá trị này đạt được khi . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết Lời giải sai: Gọi ta có Xét Ta lại có nên (2) Cộng (1) với (2) ta được Min Nhưng với , vậy sai lầm ở đâu? Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ với , chỉ xảy ra dấu “=” ở (1), còn dấu “=” ở (2) không xảy ra. Thật vậy với thì . Do đó . Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có: . Do nên . Min Max Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức “Lời giải đẹp”: Ta thấy không đồng thời bằng 0 nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi và đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. Có đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 1. Khi đó nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của là 2 khi . Phải chăng lời giải trên là đúng? Phân tích sai lầm: Lời giải mắc sai lầm ở bước lập luận: đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi và đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. Lập luận này chỉ đúng khi các giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại cùng một giá trị của các biến. Rõ ràng ở đây a đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 1, còn b đạt giá trị nhỏ nhất khi x + y = x – y = 0, tức là khi x = y = 0. Lời giải đúng: Biến đổi Đẳng thức xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất của là , giá trị này đạt được khi Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Lời giải “băn khoăn”: Ta có Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất. Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục
Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 1/ Đặt vấn đề: Toán học môn học trừu tượng Tính trừu tượng logic tăng dần em học lên lớp Từ năm học lớp khó khăn học sinh bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt toán chứng minh bất đẳng thức, toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đây đề tài thú vị, thường quy tắc giải tổng quát Do học sinh hay mắc thiếu sót sai lầm giải toán loại Vậy học sinh thường mắc phải sai lầm giải toán cực trị? Theo nguyên nhân xuất phát từ lý sau: Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng giải toán tìm cực trị Chưa nắm tính chất bất đẳng thức Chưa hệ thống, phân dạng tập loại Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ toán vội vào giải toán Không biết đề cập toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ chi tiết kết hợp chi tiết toán, không sử dụng hết giả thiết toán, linh hoạt vận dụng kiến thức có Không tự tư lại toán làm sau giải xong xem chưa Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng toán khó thú vị Mỗi toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ với số liệu riêng đòi hỏi cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Chính thế, thấy kì thi học sinh giỏi toán thường có toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Từ khó khăn giáo viên học sinh thường hay mắc sai lầm việc giải toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chọn đề tài “Sai lầm thường gặp giải toán tìm cực trị đại số cách khắc phục” chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài góp phần vào việc giải khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên học sinh việc dạy học kiến thức chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Như nhà giáo dục toán học Polya nói: ” Con người phải biết học sai lầm mình” Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tự thấy kiến thức toán thân hạn chế, toán Bất đẳng thức, toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đây dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong thầy trò lại ngại đụng đến khó phải nhiều thời gian để dự đoán kết tìm cách giải, dễ mắc sai lầm Tôi tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải toán dạng phương pháp mà học sinh trang bị cấp học, không thành công thầy phải lần mò có lời giải, học sinh hay mắc sai lầm Sau đợt tập huấn cho GV dạy đội tuyển Toán Sở GD - ĐT Quảng Ninh tổ chức, đạo trực tiếp thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảo thí qua tạp chí Toán tuổi thơ, học tập tích lũy cho kinh nghiệm mà trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với toán tìm cực trị đại số, hướng dẫn học sinh hoàn toàn tự tin giữ vai trò chủ đạo để hướng dẫn học sinh, học sinh khai thác toán nhiều cách, tránh sai lầm cố hữu thường mắc phải giải toán cực trị có hứng thú thực với dạng toán Từ thực tế xin trao đổi kinh nghiệm đồng nghiệp mong đề tài mở rộng phát triển sâu rộng Đối với toán tìm cực trị cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm người làm toán Các tài liệu tham khảo môn toán THCS dành cho giáo viên học sinh có rất nhiều nội dung trùng Các sách Bộ giáo dục khuôn khổ chương trình học cấp học nên phần giải toán tìm cực trị chương trình THCS có tính chất giới thiệu thông qua vài tập mà không viết riêng thành tài liệu để giáo viên học sinh cấp học tham khảo Chính lý nêu trên, chọn đề tài “Sai lầm thường gặp toán tìm cực trị cách khắc phục” chương trình THCS để nghiên cứu thực Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục NỘI DUNG CHÍNH I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần Phần 1: Lý thuyết Phần 2: Các tập minh họa Các sai lầm thường mắc liệt kê dạng 1) Đưa tập cụ thể, tập đưa lời giải sai 2) Phân tích sai lầm cách khắc phục, đồng thời đưa lời giải 3) Các tập áp dụng II) Nội dung cụ thể PHẦN I: LÍ THUYẾT a) Một số tính chất bất đẳng thức Cho a, b, c số thực Tính chất a≤b⇔b≥a Tính chất a ≥ b ⇒a=b b ≥ a Tính chất Tính chất bắc cầu a ≥ b ⇒ a ≥ c b ≥ c Tính chất a ≤ b ⇒ a + c ≤ b+ c Tính chất a ≥ b ⇒ a + c ≥ b+ d c ≥ d Chú ý: Không trừ hai bất đẳng thức chiều cho Tính chất ac ≥ bc a≥b⇔ c > Tính chất ac ≤ bc a≥b⇔ c < Tính chất Nhân vế hai bất đẳng thức chiều hai vế không âm Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục a ≥ b ≥ ⇒ ac ≥ bd c ≥ d ≥ a1 ≥ b1 ≥ a ≥ b ≥ 2 ⇒ a1a a n ≥ b1b b n ≥ 0, n ∈ N* Tổng quát: a n ≥ b n ≥ Chú ý: Không chia hai bất đẳng thức cho Tính chất Nâng luỹ thừa hai vế bất đẳng thức * a ≥ b ≥ ⇒ a n ≥ b n , ∀ n ∈ N* * a ≥ b ⇒ a n ≥ b n (n ∈ N* , n M2) Tính chất 10 a ≥ b ≥ ⇒ n a ≥ n b, ∀ n ∈ N* , n ≥ Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa số m ≥ n > * ⇒ am ≤ an 0 < a < m ≥ n > * ⇒ am ≥ an a > b ≥ a 1 ⇒ ≥ a b ab > Tính chất 12 b) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a ≥ 0, ∀ a ∈ R a = a a ≥ a = - a a < -a ≤a≤ a a+ b ≤ a + b Dấu đẳng thức xảy ab ≥ c) Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị +) Bất đẳng thức Côsi Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Dạng bản: Cho a, b ≥ , ta có bất đẳng thức a+ b ≥ ab Dấu đẳng thức xảy a = b Dạng tổng quát: Cho số không âm a1 , a , a , , a n Ta có bất đẳng thức a1 + a + a + + a n ≥ n n a1a a a n với n ∈ N, n ≥ Dấu đẳng thức xảy a1 = a = a = = a n +) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Dạng bản: Với a, b, c, d số thực tuỳ ý ta có ( ac+ bd ) ≤ ( a + b2 ) ( c2 + d ) Dấu đẳng thức xảy a b = c d Dạng tổng quát: Cho hai số ( a1 , a , a , , a n ) , ( b1 , b , b , , b n ) , ta có ( a1b1 + a b + a 3b3 + + a n b n ) ≤ ( a 12 + a 22 + a 32 + + a n2 ) ( b12 + b 22 + b 32 + + b n2 ) Dấu đẳng thức xảy a1 a a a = = = = n b1 b b3 bn (Với điều kiện biểu thức có nghĩa) Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ A Dạng sai lầm thứ nhất: Trong làm có sử dụng nhiều BĐT, tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) dấu không đồng thời xảy kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) biểu thức không đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) Bài Cho x, y hai số dương thoả mãn x+ ≤1 Tìm giá trị nhỏ biểu y x y thức M = 32 + 2007 y x Lời giải “có vấn đề” Từ x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có x y + ≥ y x 1 y Từ x, y > x+ ≤1 ta có ≥ x+ ÷ ≥ x ⇒ ≥ y y y x x y x y y Do M = 32 + 2007 = 32 + ÷+1975 ≥ 32.2 +1975.4 = 7964 y x x y x Dấu “=” xảy ⇔ x = y Vậy giá trị nhỏ M 7964, giá trị đạt x = y Nhưng với x = y M = 2039 Vậy sai lầm đâu? Phân tích sai lầm: Lời giải sai chỗ với x, y > Dấu “=” xảy ⇔ x = y, x y + ≥ y x y ≥ 4, Dấu “=” xảy ⇔ y = 4x x Mặt khác thấy x = y mâu thuẫn với giả thiết x+ ≤1 y Như nguyên nhân sai lầm lời giải toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị dấu “=” không đồng thời xảy Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Lời giải 1 y ≥ x+ ÷ ≥ x ⇒ ≥ y y x Từ giả thiết ta có Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có x y x y y x y M = 32 + 2007 = 32 + ÷+ 2005 ≥ 32 .2 + 2005.4 = 8036 y x y x x y x Dấu “=” xảy ⇔ x = ; y=2 Vậy giá trị nhỏ M 8036, giá trị đạt x = ; y = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x+ y biết x + y ≤ Lời giải sai: Gọi B = x + y , ta có B ≤ ( ) ( 2 Xét A+ B = x+ y+ x + y = x + x + y + y 2 1 1 5 = x+ ÷ + y+ ÷ - ≥ − 2 2 4 Ta lại có B ≤5 nên - B ≥ −5 Cộng (1) với (2) ta A ≥ − Nhưng với ) (1) (2) 25 25 ⇒ Min A = − ⇔ x = y = − 4 x = y = − ⇒ A = − , sai lầm đâu? 2 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ với x = y = - , xảy dấu “=” (1), dấu “=” (2) không xảy Thật với x = y = - B = ≠ Do - B ≠ −5 Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có: A2 = ( 2 x+ A = 25 ⇔ 3 x ) ( ) ≤( +3 ) x + y ≤5.5 = 25 x y = ⇔ x = y Do A ≤ 25 nên −5 ≤ A ≤ Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục x = y ⇔ x = y = −1 Min A = −5 ⇔ x+ y = − x = y ⇔ x = y = Max A = ⇔ x+ y = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức F ( x, y ) = ( x+ y ) + ( x+1) + ( y- x ) 2 “Lời giải đẹp”: Ta thấy ( x+ y ) ; ( x+1) ; ( y- x ) 2 2 không đồng thời nên F ( x, y ) > ⇒ F ( x, y ) đạt giá trị nhỏ a = ( x+1) b = ( x+ y ) + ( y- x ) đồng thời đạt giá trị nhỏ 2 Có a = ( x+1) đạt giá trị nhỏ x = -1 Khi b = ( x+ y ) + ( y- x ) = y + 2, nên b đạt giá trị nhỏ y = 2 x = -1 Vậy giá trị nhỏ F ( x, y ) y = Phải lời giải đúng? Phân tích sai lầm: Lời giải mắc sai lầm bước lập luận: F ( x, y ) đạt giá trị nhỏ a = ( x+1) b = ( x+ y ) + ( y- x ) đồng thời đạt giá trị nhỏ Lập luận 2 giá trị nhỏ đạt giá trị biến Rõ ràng a đạt giá trị nhỏ x = -1, b đạt giá trị nhỏ x + y = x – y = 0, tức x = y = Lời giải đúng: 1 2 Biến đổi F ( x, y ) = x + x+1+ y = x+ ÷ + y + ≥ ∀ x, y 3 3 2 Đẳng thức xảy ⇔ x = - , y = Vậy giá trị nhỏ F ( x, y ) Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục , giá trị đạt x = - , y = 3 Bài Tìm giá trị lớn biểu thức D = -5 x - xy- y +14 x+10 y-1 Lời giải “băn khoăn”: Ta có D = -5 x - xy- y +14 x+10 y-1 = - ( x + xy+ y ) - ( x -14 x ) - ( y -10 y ) -1 = - ( x+ y ) 2 7 145 - 2 x- ÷ - ( y- ) + 2 x+ y = x = - y 7 145 Suy D ≤ Dấu “=” xảy 2 x- = ⇔ x = 4 y- = y = Hệ vô nghiệm nên D không tồn giá trị lớn Bạn có đồng ý với kết luận toán không? Lời giải thuyết phục chưa? Phân tích sai lầm: Từ biến đổi đến D = - ( x+ y ) D≤ 2 7 145 - x- ÷ - ( y- ) + suy 2 145 , việc kết luận giá trị lớn D không tồn chưa xác, xác đáng Lời giải đúng: 2 2 Cách 1: Ta có D = - ( x + y - x- y+ xy+ ) - ( x - x+ ) - ( y - y+ ) + 16 = - ( x+ y- 3) - ( x-1) - ( y- ) + 16 2 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục x+ y- = x = ⇔ Suy D ≤16 Dấu “=” xảy x-1 = y = y- = Vậy Max D = 16, giá trị đạt x = y = Lời giải song thiếu “tự nhiên”, cách sau mang tính thuyết phục Cách 2: Biểu thức tổng quát dạng P(x, y) = ax + bxy+ cy + dx+ ey+ h (a, b, c ≠ 0) Cách giải: Biến đổi P( x, y ) hai dạng sau: Dạng 1: P(x, y) = m.F2 (x, y) + n H (x) + g (1) Dạng 2: P(x, y) = m.F2 (x, y) + n K (y) + g (2) Trong H(x), K(y) biểu thức bậc biến chúng, F(x, y) biểu thức bậc hai biến x y Nếu m > 0, n > ta có P(x, y) = g F(x, y) = F(x, y) = Giá trị đạt H(x) = K(y) = Nếu m < 0, n < ta có max P(x, y) = g F(x, y) = F(x, y) = Giá trị đạt H(x) = K(y) = Để biến đổi vậy, ta coi biến biến tìm cách biến đổi để áp dụng đẳng thức a + ab+ b = ( a+ b ) ; a - ab+ b = ( a- b ) ta chọn biến y biến Cụ thể: Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 10 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Lời giải đúng: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: m ≥ ∆ ≥ ⇔ ( m+1) - ≥ ⇔ ( m+ 3) ( m-1) ≥ ⇔ (*) m ≤ −3 Khi tổng bình phương nghiệm 2 x12 + x 22 = ( x1 + x ) - x1x = ( m+1) - = ( m+1) - + ≥ m = Đẳng thức xảy ⇔ ( m+1) − = ⇔ (thoả mãn (*)) m = −3 2 Vậy x1 + x đạt giá trị nhỏ m = m = -3 D Dạng sai lầm thứ tư Lập luận sai khẳng định “A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” (hoặc ngược lại) mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Bài Tìm giá trị lớn biểu thức A = x - x+10 Lời giải sai: Phân thức có tử không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ x - x+10 2 Ta có: x - x+10 = ( x- 3) +1 ≥ ⇒ ( x - x+10 ) = ⇔ x = Vậy max A = ⇔ x = Lời giải “trơn”, thi mà làm “trượt” Tại vậy? Phân tích sai lầm Tuy đáp số không sai lập luận lại sai khẳng định “A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Ví dụ như: Xét biểu thức B = 1 Với lập luận “Phân thức có x -10 x -10 tử không đổi nên có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất”, mẫu nhỏ -10 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 19 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục x = 0, ta đến kết luận max B = −1 −1 ⇔ x = Điều không 10 10 giá trị lớn B, chẳng hạn với x = B = −1 > 15 10 Mắc sai lầm người làm không nắm vững tính chất bất đẳng thức, máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét x - x+10 = ( x- ) + > nên phân thức 1 có tử mẫu số dương, A lớn nhỏ x - x+10 A ⇔ x - x+10 nhỏ Làm tiếp kết đạt giá trị lớn x + x- Trong lần kiểm tra có học sinh giải toán sau: Bài Tìm x để biểu thức P = Điều kiện x ≠ ; x ≠ −3 Ta có P = 1 = x + x- ( x+1) - Để biểu thức P đạt giá trị lớn ( x+1) − đạt giá trị nhỏ Điều xảy ( x+1) = hay x = −1 Khi giá trị lớn P = − Nhưng thấy x = P = 1 , − giá trị lớn P Vậy sai lầm lời giải đâu? Khắc phục sai lầm nào? Phân tích sai lầm Sai lầm lời giải mà bạn học sinh đưa bước lập luận “để biểu thức P đạt giá trị lớn ( x+1) − đạt giá trị nhỏ nhất” Điều tử mẫu P dương mà tử phải số mẫu chưa biết dương hay âm nên lập luận Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 20 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Lời giải đúng: Điều kiện x ≠1 ; x ≠ −3 Với x < −3 x >1 P > , với −3 < x < P < Ta thấy x = 1+ a với a > P = nên a nhỏ P lớn lớn a + 4a được, biểu thức P = giá trị lớn x + x- E Dạng sai lầm thứ năm Nhầm tưởng vai trò biến nên thứ tự ẩn x y z + + với x, y, z > y z x Lời giải sai: Khi hoán vị vòng quanh x → y → z → x biểu thức A không đổi nên không tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z > , suy Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x − z ≥ ⇒ y ( x- z ) ≥ z ( x- z ) ⇒ xy- yz+ z ≥ xz Chia hai vế (1) cho số dương xz ta Mặt khác ta có x y + ≥2 y x (1) y y z - + ≥ z x x (2) (3) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức chiều (2) (3) ta x y z + + ≥ Từ suy A = ⇔ x = y = z y z x Tuy kết đúng, xem lời giải bất ổn Tại vậy? Phân tích sai lầm: Khi hoán vị vòng quanh x → y → z → x biểu thức A trở thành y z x + + , tức biểu thức không đổi Điều cho phép ta giả sử z x y ba số x; y; z số lớn (hoặc số nhỏ nhất), không cho phép giả sử x ≥ y ≥ z sử dụng làm giả thiết toán chứng minh mà không xét trường hợp lại Thật sau chọn x số lớn ( x ≥ y, x ≥ z) vai trò y z lại không bình đẳng: giữ nguyên x, thay y z ngược lại ta x z y + + , biểu thức không biểu thức A z y x Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 21 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Khắc phục sai lầm Với lời giải đưa ra, thay cho việc thứ tự x ≥ y ≥ z , ta cần giả sử z số nhỏ ba số x, y, z kết hợp với phần lại lời giải trình bày ta lời giải Ngoài ta giải toán theo cách sau: Cách giải đúng: Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có A= x y z x y z + + ≥ 3 = (Phải chứng minh BĐT Côsi cho ba số không âm) y z y y z y x y z x y z Do + + ÷ = = = , tức x = y = z y z x y z x Cách 2: Giả sử z số nhỏ số x, y, z Có: A= x y x y z x y y z y + + = + ÷+ + - ÷ Ta có + ≥ (do x, y > 0) nên để chứng y x y z x y x z x x minh x y z y z y + + ≥ cần chứng minh + - ≥ y z x z x x (1) Thật (1) ⇔ xy+ z - yz ≥ x z (do x, z ≥ 0) ⇔ ( x- z ) ( y- z ) ≥ (2) Do z số nhỏ số x, y, z nên (2) Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x = y = z Bài Cho x, y, z số thực lớn - Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1+ x 1+ y 1+ z P= + + 1+ y+ z 1+ z+ x 1+ x+ y Có lời giải sau: Nếu x < , ta thay x (-x) hai hạng tử đầu P không đổi hạng tử thứ ba giảm Từ không tính tổng quát giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 2 2 Từ ( x-1) ≥ ⇒ x +1 ≥ x ⇒ ( x +1) ≥ ( x + x+1) 1+ x 1+ x 2 ≥ ≥ Đẳng thức xảy x = Do 1+ y+ z 1+ x+ x Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 22 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 1+ y 2 1+ z 2 ≥ ; ≥ Tương tự ta có 2 1+ z+ x 1+ x+ y Từ suy P ≥ Dấu “=’ xảy x = y = z = Theo bạn lời giải chuẩn chưa? Lời giải bạn nào? Phân tích sai lầm: Các biến x, y, z biểu thức P có dạng hoán vị vòng quanh mà vai trò nên xem biến lớn nhỏ mà Do đoạn lập luận: Không tính tổng quát giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 2 Từ ( x-1) ≥ , suy ( x +1) ≥ ( x + x+1) 1+ x 1+ x 2 ≥ ≥ Đẳng thức xảy x = 1.Do 1+ y+ z 1+ x+ x 1+ y 2 Tương tự ta có ≥ ; 1+ z+ x (2) 1+ z 2 ≥ 1+ x+ y (1) (3) không Không thể từ (1) suy (2) (3) phép tương vai trò biến x; y; z P không Lời giải đúng: 1+ x 2(1+ x ) 2(1+ x ) = ≥ Có + y ≥ 2y với mọi y nên 1+ y+ z 2 + y+ z 2(1+ z ) + (1 + y ) Tương tự 1+ y (1+ y ) 1+ z 2(1+ z ) ≥ ; ≥ 1+ z+ x 2(1+ x ) + (1 + z ) 1+ x+ y 2(1+ y ) + (1 + x ) 1+ x 1+ y 1+ z ⇒P= + + 1+ y+ z 1+ z+ x 1+ x+ y ≥ ( 1+ x ) ( 1+ z ) + ( 1+ y ) + ( 1+ y ) ( 1+ x ) + ( 1+ z ) + ( 1+ z ) ( 1+ y ) + ( 1+ x ) =M Đặt 1+ x = a; 1+ y = b; 1+ z = c (a, b, c > 0) 2a 2b 2c c a b + + + + Đặt N = Lúc M = c+ b a+ c b+ a c+ b a+ c b+ a b c a H= + + Khi N+ H = c+ b a+ c b+ a a+ c b+ a c+ b + + ≥3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có M+ N = c+ b a+ c b+ a (4) suy M+ N ≥ M b+ a 2c+ b a+ c M (5) + + ≥ , suy H+ ≥ Lại có H+ = 2 c+ b a+ c b+ a Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4) (5) ta có 9M 15 + ( N+ H ) ≥ Mà N+ H = nên M ≥ Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 23 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Từ suy P ≥ Dấu “=” xảy x = y = z = F/ Một số dạng sai lầm khác thường mắc phải Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a +b +c < ( a b +b 2c +c 2a ) Lời giải sai Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên b - c < a ⇒ b -2bc + c < a ⇒ b +c - a < 2bc ⇒ ( b + c - a ) < ( 2bc ) ⇒ b + c + a + 2b 2c - 2b 2a - 2c 2a < 4b 2c 2 ⇒ a + b + c < ( a b + b 2c + c 2a ) Lời giải chưa? Nếu chưa, giải đúng? Phân tích sai lầm: Nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế BĐT mà điều kiện hai vế không âm Lời giải chưa từ b + c - a < bc ⇒ ( b + c - a ) < ( bc ) sai, chẳng hạn 2 −2 < ⇒ ( −2 ) < 12 (sai) Lưu ý bình phương hai vế BĐT hai vế không âm Lời giải Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên b- c < a < b+ c ⇒ ( b- c ) < a < ( b+ c ) 2 ⇒ b - bc+ c < a < b + bc+ c ⇒ −2 bc < a - b - c < bc ⇒ a - b - c2 < bc ⇒ ( a - b - c ) < ( bc ) 2 ⇒ a + b + c - a b - c a + b 2c < b 2c ⇒ a + b + c4 < ( a b + c2a + b 2c ) Bài Cho hai số x; y thoả mãn x > y xy = Tìm giá trị nhỏ biểu x + y2 thức A= x-y Lời giải sai Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 24 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục x + y x - xy+ y + xy ( x- y ) + xy Ta có A = = = x- y x- y x- y Do x > y xy = nên Biết a > a+ Do A = ( x- y ) A= 2 xy = x- y+ x- y x- y + x- y ≥ (BĐT Côsi) a x- y x- y x- y + + ≥ 2+ x- y 2 Vậy A có giá trị nhỏ x- y + =2 x- y ⇔ ( x- y ) + = ( x- y ) ⇔ ( x- y ) - ( x- y ) + = 2 Giải phương trình nghiệm x – y = x- y = Do ta có hệ phương trình sau , nghiệm hệ phương trình xy = ( x; y ) = ( 1+ ) 2;-1+ ; ( x; y ) = ( 1- Vậy giá trị nhỏ A A = Nhưng với x = 6+ ; y= ) 2;-1- (Thoả mãn điều kiện ra) x- y + = + = 2 6-2 6- = A = 2 < có x > y; xy = Tại lại thế? Phân tích sai lầm: Chứng minh f ≥ m (hay f ≤ m ), khẳng định giá trị nhỏ (hay lớn nhất) f m mà không m số Rõ ràng lời giải sai: Vì A ≥ + x- y x- y mà chưa số Sai lầm sai 2 lầm bước 1, đánh giá f ≥ m m không số Lời giải x + y x - xy+ y + xy ( x- y ) + xy 2 A= = = = (x- y) + ≥ (x- y) =2 x- y x- y x- y x- y x- y Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 25 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục ) x- y (Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x – y x - y = x-y Dấu “=” xảy ⇔ xy =1 6+ 6− thoả mãn đề ; y= 2 Giải hệ tìm x = 2 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x - x+ + x - x- Một học sinh lên bảng làm sau: 2 11 1 Ta có A = x - x+ + x - x- = x - x+ ÷ + + x - x+ ÷ 2 2 2 2 11 11 11 = x- ÷ + + x- ÷ - ⇒ A ≥ + − = + = 2 4 4 2 1 1 Đẳng thức xảy ⇔ x - ÷ = ⇔ x - = ⇔ x = 2 2 Vậy giá trị nhỏ A x = Bình luận: Trong lớp có hai nhóm đưa nhận xét khác nhau, nhóm thứ cho lời giải bạn học sinh “có vấn đề”, nhóm thứ hai hoàn toàn trí với lời giải Còn bạn, bạn đứng nhóm nào? Tại sao? Phân tích sai lầm: Hiểu sai nhiều loại BĐT A + m ≥ m Bạn học sinh có bước giải sai lầm 2 11 11 + − = x - ÷ + + x - ÷ - ≥ 2 2 4 2 1 9 1 Ta thấy x- ÷ - ≥ − với x, suy x- ÷ - ≥ − 4 2 2 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 26 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 2 9 1 1 Chẳng hạn x = x- ÷ - = - ÷ - = - = -2 < − 4 2 2 Lưu ý từ a ≥ b suy a ≥ b a ≥ b ≥ Lời giải đúng: 2 2 11 11 A = x- ÷ + + x- ÷ - = x- ÷ + + - x- ÷ 2 2 4 2 2 2 11 11 ≥ x- ÷ + + - x- ÷ = + =5 4 2 4 2 Do A đạt giá trị nhỏ 2 2 11 1 11 ⇔ x- ÷ + - x- ÷ ≥ ⇔ − x- ÷ ≥ (vì x- ÷ + ≥ ∀x 2 2 ⇔ −1 ≤ x ≤ ( )( ) 2 Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x -1 x +1 “Lời giải hay” Ta có x ≥ với x, suy x -1 ≥ −1 x +1 ≥ 2 Suy P = ( x -1) ( x +1) ≥ ( −1) = −1 ⇒ P ≥ −1 x -1 = -1 ⇔ x = Dấu “=” xảy x +1 = Vậy P đạt giá trị nhỏ -1 x = Sai lầm đâu? Phân tích sai lầm: Vận dụng sai tính chất BĐT nhân hai BĐT chiều mà điều kiện hai vế không âm Chỗ sai lời giải nhân hai vế bất đẳng thức chiều có vế nhận giá trị âm, chẳng hạn > -2 > -3 5.(-2) < 3.(-3) Lời giải đúng: 2 Lời giải đơn giản: P = ( x -1) ( x +1) = x − ≥ −1 ⇒ P ≥ −1 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 27 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Dấu “=” xảy x = ⇔ x = Vậy giá trị nhỏ P -1, giá trị đạt x = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x- xy + y- x +1 “Lời giải dễ hiểu” Điều kiện x ≥ 0; y ≥ Ta có P=x-2 xy +3y-2 x +1 = ( x- y = ( ) +1- ( ) x - y -2 y +2y ) 1 x - y -1 + y- y + - = 2 Từ đánh giá P = - ( ) x - y -1 + ( ) 1 y -1 2 1 ⇔y= ;x= 4 Lời giải ‘logic”, liệu bạn có chấp nhận không? Phân tích sai lầm: Xác định sai điều kiện biến nên tập xác định bị mở rộng dẫn đến kết sai Bài toán sai từ điều kiện, điều kiện x ≥ 0; xy ≥ Thật vậy, x = y tùy ý, P = 3y + không đạt giá trị nhỏ y nhỏ tùy ý nên P nhỏ tùy ý Do sai từ điều kiện nên lời giải toán thiếu trường hợp Lời giải đúng: Điều kiện x ≥ 0; xy ≥ Xét hai trường hợp: *Trường hợp 1: x > 0; y ≥ Điều kiện x > 0; y ≥ Ta có P = x- xy + y- x +1 = = ( ) ( x- y 1 x - y -1 + y- y + − = 2 ( ) +1- ( ) x - y -2 y +2y ) x - y -1 + ( ) 1 y -1 − 2 1 Từ đánh giá P = − ⇔ y = ; x = 4 *Trường hợp 2: x = 0, y tùy ý P = 3y + không đạt giá trị nhỏ y nhỏ tùy ý nên P nhỏ tùy ý KL chung: Biểu thức P không đạt giá trị nhỏ Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 28 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục x+ y = m (I) Bài Cho ( x, y ) nghiệm hệ phương trình 2 x + y = m + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F = xy+ ( x+ y ) x+ y = m x+ y = m ⇔ “Lời giải hay”: Từ hệ (I) ta có 2 xy = m - ( x+ y ) - xy = - m + Khi F = m - + m = ( m+1) - 2 Ta thấy ( m+1) - ≥ −4 , dấu “=” xảy ⇔ m = -1 nên minF = - ⇔ m = -1 Mặt khác dễ thấy m lớn F = ( m+1) - lớn, biểu thức F không đạt giá trị lớn Bài toán có lỗ hổng không? Nếu có nằm đâu? Phân tích sai lầm: x + y = S Người làm toán không để ý điều kiện để hệ phương trình có nghiệm xy = P S2 ≥ P , không xác định điều kiện m để hệ có nghiệm Tình F = −4 ⇔ m = -1 may mắn không chấp nhận, kết luận biểu thức F không đạt giá trị lớn sai lầm Lời giải đúng: x+ y = m Trước hết ta tìm điều kiện m để hệ (I) có nghiệm (I) ⇔ xy = m - ( ) 2 Điều kiện để hệ (I) có nghiệm m ≥ m - ⇔ -3m +12 ≥ ⇔ −2 ≤ m ≤ Khi F = m - + m = ( m+1) - Ta thấy ( m + 1) − ≥ −4 , dấu “=” xảy 2 m = - (Thoả mãn −2 ≤ m ≤ ) nên F = −4 m = - Mặt khác, đặt f ( m ) = m + 2m - + Chỉ m ∈ [ −2; − 1] hàm số f ( m ) nghịch biến nên max F = f(-2) = −3 (1) + Chỉ m ∈ [ −1; 2] hàm số f ( m ) đồng biến nên max F = f(2) = Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 29 (2) Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Từ (1) (2) suy max F = f(2) = Kết luận: Vậy minF = - ⇔ m = -1; max F = ⇔ m = Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x - x+1 + x - x+1 với x ∈ R Cách giải hay? 2 2 1 3 3 1 Đưa hàm số dạng f ( x ) = x- ÷ + ÷ + x÷ ÷ + ÷ ÷ 1 3 1 , ÷ Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét điểm A , ÷ ÷, B ÷ C ( x, ) 2 2 Khi f ( x ) = CA+ CB Vì CA+ CB ≥ AB Trong 2 ( ) −1 1 1 3 Suy f ( x ) = AB = - ÷ + = ÷ ÷ 2 ÷ 2 ( ) -1 Bài toán giải phương pháp đại số khó khăn giải phương pháp hình học “khá đơn giản” phải không bạn? Còn bạn giải toán nào? Phân tích sai lầm: Sử dụng mặt phẳng toạ độ việc chọn điểm chưa phù hợp Trước hết ta nhớ lại kết sau: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B đường thẳng (d) qua điểm C Khi đó: a) Nếu A, B phía so với (d) CA + CB đạt giá trị nhỏ (GTNN) C giao điểm AB’ với (d) (trong B’ điểm đối xứng B qua (d)), lúc CA + CB = AB’ b) Nếu Nếu A, B khác phía so với (d) CA + CB đạt GTNN C giao điểm AB với (d), lúc CA + CB = AB Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 30 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 1 3 1 Trong lời giải chọn A , ÷ ÷, B , ÷ ÷ hai điểm phía so với 2 trục hoành Đoạn AB không cắt trục Ox, dấu “=” bất đẳng thức CA+ CB ≥ AB không xảy (không tồn điểm C’ Ox cho C’A + C’B = AB, nghĩa CA+ CB > AB nên việc kết luận f ( x ) = ( ) −1 sai lầm Khắc phục sai lầm: 1 1 3 , B' ÷ ÷ , − ÷ ÷ C ( x, ) 2 Xét hệ trục tọa Oxy, chọn A , 2 1 3 Ta có f ( x ) = CA+ CB' ≥ AB' (trong AB' = ) − ÷ + − − ÷ 2 ÷ ÷ = 2 nên f ( x ) ≥ ( ∀ x ∈ R ) Đẳng thức xảy x = − Do GTNN hàm số cho , giá trị đạt x = − Bài Cho a số cố định, x, y số biến thiên Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x- y+1) + ( x+ ay+ ) 2 Lời giải sai: Do ( x- y+1) ≥ 0, ( x+ ay+ ) ≥ nên P ≥ Do P = Giá trị x- y+1 = đạt hệ 2 x+ ay+ = (I) có nghiệm x = y-1 x = y-1 x- y+1 = ⇔ ⇔ Ta có ( a+ ) y = -3 (*) 2 x+ ay+ = 2 ( y-1) + ay+ = Hệ (I) có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Điều xảy a + ≠ hay a ≠ - Vậy Min P = a ≠ −4 Nhưng đầu có cho a ≠ −4 không? Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 31 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Phân tích sai lầm: Không xét hết trường hợp toán mà kết luận Bài toán cần xét hai trường hợp, lời giải trường hợp a ≠ − , ta cần xét thêm trường hợp a = - Lời giải đúng: Do ( x - 2y + 1) ≥ 0, ( 2x + ay + ) 2 ≥ nên P ≥ x- y+1 = a) MinP = hệ 2 x+ ay+ = (I) có nghiệm x- y+1 = x = y-1 x = y-1 ⇔ ⇔ Ta có 2 x+ ay+ = 2 ( y-1) + ay+ = ( a+ ) y = -3 (*) Hệ (I) có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Điều xảy a+ ≠ hay a ≠ - b) Với a = - , P = ( x- y+1) + ( x- y+ ) 2 Đặt t = x- y+1 Ta có P = t + ( t+ ) Suy P = 2 6 9 = t +12 t+ = t+ ÷ + ≥ 5 5 11 t = - hay x- y = − 5 Vậy: + Nếu a ≠ −4 MinP = + Nếu a = - MinP = Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 32 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 33 [...]... +y 2 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z Suy ra M ≥ 2 2 a + b2 ( ) 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2 a 2 + b 2 , giá trị này đạt được khi và chỉ khi ( ) x = y = z Cách giải trên phải chăng là … đúng! Bạn giải bài toán này như thế nào? Phân tích sai lầm: Lời giải đã sử dụng khá nhiều bất đẳng thức nhưng bạn học sinh này chỉ xét dấu x2 y2 z2 3 đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥... Chỗ sai của lời giải trên là đã nhân hai vế của bất đẳng thức cùng chiều trong khi có những vế nhận giá trị âm, chẳng hạn 5 > 3 và -2 > -3 nhưng 5.(-2) < 3.(-3) Lời giải đúng: 2 2 4 Lời giải đúng khá đơn giản: P = ( x -1) ( x +1) = x − 1 ≥ −1 ⇒ P ≥ −1 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 27 Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. .. tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất là -2 2 khi và chỉ khi m+1 = 0 ⇔ m = −1 Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m để tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất Phân tích sai lầm: Mấu chốt của sai lầm trong lời giải này ở chỗ em học sinh chưa nắm vững khái niệm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Chúng ta cần lưu ý rằng: Nếu bất đẳng thức f ( x ) ≥... bài toán khi đi chứng minh mà không xét các trường hợp còn lại Thật vậy sau khi chọn x là số lớn nhất ( x ≥ y, x ≥ z) thì vai trò của y và z lại không bình đẳng: giữ nguyên x, thay y bởi z và ngược lại ta được x z y + + , biểu thức này không bằng biểu thức A z y x Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 21 Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Khắc phục sai lầm. .. 2 1+ x 2 2 ≥ ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1 Do đó 1+ y+ z 2 1+ x+ x 2 3 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 22 Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 1+ y 2 2 1+ z 2 2 ≥ ; ≥ Tương tự ta cũng có 2 2 1+ z+ x 3 1+ x+ y 3 Từ đó suy ra P ≥ 2 Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Theo các bạn lời giải trên đã chuẩn chưa? Lời giải của bạn như... (1) và (2) suy ra P ≤ 42 Vậy giá trị lớn nhất của P là 42 Bài làm khá “đẹp”, nhưng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc phục như thế nào? Phân tích sai lầm Lời giải này đã quên một bước vô cùng quan trọng của một bài toán cực trị khi sử dụng BĐT, đó là xác định điều kiện xảy ra đẳng thức Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 11 Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị. .. phương trình (*) có nghiệm Điều này xảy ra khi và chỉ khi a + 4 ≠ 0 hay a ≠ - 4 Vậy Min P = 0 khi a ≠ −4 Nhưng đầu bài có cho a ≠ −4 không? Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 31 Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Phân tích sai lầm: Không xét hết các trường hợp trong mỗi bài toán mà đã kết luận Bài toán cần xét hai trường hợp, lời giải trên chỉ đúng... cùng chiều và các vế đều dương ta được a b c 8 5 8 5 Do đó P nhỏ nhất bằng = 5b 5c 5a 25 25 P ≥8 Các bạn có đồng tình với cách giải này không? Phân tích sai lầm: Để ý không tồn tại a, b, c để P = 8 5 Đây là sai lầm 25 thường mắc khi dùng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Một nguyên nhân sâu xa hơn nhiều là bạn đọc không hiểu đúng nghĩa của dấu “≥” và dấu “≤”... gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ( x+ a ) ( x+ b ) x , với x > 0 , a và b là các hằng số dương cho trước Lời giải sai: Ta có x+ a ≥2 ax Do đó A = ( x+ a ) ( x+ b ) x (1) và ≥ x+ b ≥ 2 bx (2) 2 ax 2 bx = 4 ab x Min A = 4 ab ⇔ x = a = b Lời giải “thuyết phục” đấy chứ, có cần phải giải lại không? Phân tích sai lầm: Chỉ xảy ra A = 4 ab khi. .. giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c P = 1+ ÷1 + ÷1+ ÷ 5 b 5 c 5a Một bạn học sinh đã giải như sau: Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1+ a a ≥2 5b 5b (1); 1+ b b ≥2 5c 5c (2); 1+ c c ≥2 5a 5a Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 13 (3) Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Nhân từng vế của ba bất đẳng thức