Nội dung đề tài gồm hai phần : Phần I: Đưa về 1 biến bằng cách biến đổi đặt ẩn phụ t = k(x,y,z,...). Phần II: Đưa về 1 biến bằng cách dồn biến. PHẦN I. Đưa về một biến bằng cách đặt ẩn phụ t=k(x,y,z,...). Bài toán 1: Với x,y là các số thực dương chứng minh rằng: (1) Giải: Vì x là số dương nên: (1) . Đặt =t ( t >0). C1: Ta có: (1) trở thành : t t t+ 1 0 (t1) (t+1) 0 (đúng với mọi t>0). C2: Hướng dẫn hs xét hàm : f(t)= t t t+ 1 trên (0; ). f’(t)= 3t2 2t 1=0 t= 1 ; t= . t 0 1 f’(t) 0 + f(t) 0 Suy ra f(t) 0 với mọi t > 0 (đccm). Tổng quát Ta có bài toán 1’: Cho x,y là các số thực dương; Chứng minh rằng: Chứng minh hoàn hoàn tương tự Với x,y là các số thực khác không chứng minh rằng: Bài toán 2: Giải: Đặt t = thì (áp dụng bđt côsi). C1: Ta có: (2) trở thành: (t+2)(t 2t t+3) 0(2) +) Với t 2: ta có t 2t t+3=(t2)(t 1)+1>0 nên bất đẳng thức (2) đúng +) Với t 2: ta có t 2t t+3=(t+2)(t2) +3 11 > 0 và t+2 0 nên bất đẳng thức (2) đúng vậy bất đẳng thức (2) đúng dấu bằng xảy ra khi t=2 hay x=y đpcm. C2: Xét hàm số: f(t) = t3 – 2t2 – t + 3 trên ( ; 2 2; ). Bài toán 3: Cho x, y, z là các số thực thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Từ đẳng thức: ; và điều kiện ta có: Đặt: C1: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Vậy: Pmin= khi x= ,y=z=0 hoặc hoán vị. Pmax= khi x= ,y=z=0 hoặc hoán vị. C2: Đặt f(t) = . f’(t)= t 0 f’(t) 0 f(t)
Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến A Lí DO CHN TI Trang b nhng tri thc, phng phỏp v phỏt trin t duy, trớ tu cho hc sinh l cỏc mc tiờu c t lờn hng u cỏc mc tiờu dy hc mụn toỏn Bt ng thc l mt c giỏo viờn v hc sinh thõm nhp vi mt lng thi gian khỏ nhiu vỡ õy l cú th phỏt trin kh nng t toỏn hc cho hc sinh Trong quỏ trỡnh dy hc tụi luụn tỡm tũi cỏc vớ d in hỡnh tng hp thnh cỏc phng phỏp gii c th cho hc sinh ng thi hng dn hc sinh bit nhn dng bi toỏn v phỏt trin cỏc bi toỏn mi Di õy tụi xin c trao i vi quý ng nghip mt phng phỏp gii cho nhng bi toỏn bt ng thc: Gii bt ng thc bng phng phỏp a v mt bin ( Thng l nhng bi bt ng thc khú, xy cỏc k thi hc sinh gii, thi i hc) V mt s bi toỏn tụi khai thỏc sõu thờm bng nhng hot ng trớ tu nh tng quỏt, phõn tớch, so sỏnh, c bit húa Ni dung ti gm hai phn : Phn I: a v bin bng cỏch bin i t n ph t = k(x,y,z, ) Phn II: a v bin bng cỏch dn bin B NI DUNG TI I PHNG PHP Bi toỏn: Xột bi toỏn:Vi iu kin R (nu cú) Chng minh rng P = f(x,y,z, ) A (hoc A) hoc tỡm GTLN; NN ca P Phng phỏp 1: Chng minh: P g (t ) t = k (x,y,z, ) D Chng minh: g (t ) A t D Chng minh: P g(t) t = k(x,y,z, ) D Chng minh: g(t) A t D Vn t l ỏnh giỏ biu thc p a v biu thc mt bin g(t) v chng minh g (t ) A - Vic chng minh g (t ) A õy tụi cú th s dng cỏch bin i, dựng cỏc bt ng thc c bn hoc vi hoc sinh lp 12 cú th lm bng cỏch s dng o hm lp bng bin thiờn gii - Cũn ỏnh giỏ P núi chung l phong phỳ tựy thuc tng bi toỏn la chn cỏch ỏnh giỏ thớch hp (dựng cỏch bin i , s dng bt ng thc c in bunhiacopki,cụsi, ) Phng phỏp 2: a Nu vai trũ cỏc bin x,y,z bỡnh ng, khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s : x = max(x,y,z, ) hoc x = min(x,y,z, ) hoc gi thit x y z ;v dựng iu kin bi toỏn kt hp cỏc bdt c bn kh dn cỏc bin a v bin x b ỏnh giỏ cỏc bin, gi thit thờm cỏc iu kin ca bin a: P= f(x, y, z, ) f(x, t, ) f1(x) Trong ú t, = k(x, y,z,) Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến Sau ú chng minh f1(x) A PHN I a v mt bin bng cỏch t n ph t=k(x,y,z, ) Bi toỏn 1: Vi x,y l cỏc s thc dng chng minh rng: x + y xy + yx (1) Gii: Vỡ x l s dng nờn: y y y (1) + + x x x t y =t x ( t >0) C1: Ta cú: (1) tr thnh : t -t - t+ (t-1) (t+1) (ỳng vi mi t>0) C2: Hng dn hs xột hm : f(t)= t -t - t+ trờn (0; + ) f(t)= 3t - 2t -1=0 t= ; t= - t f(t) - + + + f(t) Suy f(t) vi mi t > (ccm) Tng quỏt Ta cú bi toỏn 1: Cho x,y l cỏc s thc dng; Chng minh rng: x n + y n xy n + x n y (n 2, n N ) Chng minh hon hon tng t! Bi toỏn 2: Vi x,y l cỏc s thc khỏc khụng chng minh rng: x4 y4 + y4 x4 x2 y2 x y + + + y2 x2 y x (2) Gii: x y x y x y t t = y + x thỡ t = + = + (ỏp dng bt cụsi) y x y x C1: Ta cú: (2) tr thnh: (t 2) (t 2) + t + (t+2)(t -2t -t+3) 0(2') +) Vi t 2: ta cú t -2t -t+3=(t-2)(t -1)+1>0 nờn bt ng thc (2') ỳng +) Vi t -2: ta cú t -2t -t+3=(t+2)[(t-2) +3] - 11 > v t+2 nờn bt ng thc (2') ỳng Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến vy bt ng thc (2) ỳng du bng xy t=-2 hay x=-y pcm C2: Xột hm s: f(t) = t3 2t2 t + trờn ( ; -2] [2; + ) Bi toỏn 3: Cho x, y, z l cỏc s thc thay i Tỡm GTNN ca biu thc: A = ( x 1) + y + ( x + 1)2 + y + y Gii: x + y + z + 2( xy + yz + zx) = ( x + y + z ) ; x + y + z xyz = ( x + y + z )( x + y + z xy yz zx) v iu kin ta cú: T ng thc: P = ( x + y + z )( x + y + z xy yz zx ) = ( x + y + z )(2 t: t = x + y + z ( x + y + z )2 ) 0 14 a + b + c ab + bc + ca ý rng: 1= ( a + b + c ) = a + b + c 2(ab + bc + ca ) ; 1= ( a + b + c ) 3(a + b + c ) Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến Suy ra: Nu t t= a + b + c ta cú: VT= f ( t ) = + vi t ( pcm) 14 Bi toỏn thi i hc cao ng A nm 2006 2 Cho x, y l hai s thc khỏc khụng thoó món: ( x + y ) xy = x + y xy ; 1 Tỡm GTLN ca biu thc: A= x3 + y Gii t: S= x+y; P= x.y (s2 4p ) x + y = ( x + y ) ( x + y xy ) = ( x+y ) xy = S P T gt ta cú: S2 SP= S2 - 3P P = S +3 ( Lu ý S = -3 khụng thoó món) S2 S S2 S < 3.v.S ỏnh giỏ S: S 4P => S S +3 S +3 2 Vy: 2 2 1 x + y ( x + y ) ( x + y x y ) ( x + y ) xy S ( S + 3) + = = 2= A= x3 y = 3 = 3 x y P S2 ( x y ) ( x y ) ( vi S2: f(y) 1+ y2 > + 1+ y2 > + Vy GTNN ca A = + x=0; y = Bi toỏn 7: ( thi i hc B nm 2008) Cho x, y l cỏc s thc thay i thừa món: x2 + y2 =1 Tỡm gTLN, NN ca biu thc: P= ( x + xy ) + xy + y Gii Ta cú: P = ( x + xy ) x + xy + y -) Nu y = ta cú P = Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến -) Nu y t x= ty Suy ra: P = ( t + 6t ) t + 2t + ( t + 6t ) 8t = 2+ t R Xột hm f (t ) = t + 2t + t + 2t + t= f(t)= t = 3 f (t ) = 2; Lim f (t ) = 2; f (3) = 3; f ( ) = Lim t t + x= ;y= x = 3y 10 10 Vy GTLN ca P l : x + y = x = 10 ; y = 10 x= ;y= y 13 13 x = GTNN ca P l -6 : x + y = x = ; y = 13 13 Cú th s dng iu kin cú nghim ca phng trỡnh bc hai Bi toỏn 8: ( thi cao ng khiA, B,D nm 2008) Cho x, y l cỏc s thc thay i thừa : : x2 + y2 =2 Tỡm GTLN, NN ca biu thc: P= 2( x3 + y3) 3xy HD: t: t= x + y vi : t [ 2; 2] Bi toỏn 9: x, y , z > 1 15 Cho x + y + z Cmr: P= x + y + z + x + y + z Gii: ỏp dng bt ng thc cụsi ta cú: x 1 + x + y + z + 33 x+ y+z+ y z xyz x+ y+z t t = x + y + z < t C1: Ta cú: f(t)= t + vi: < t t f(t)= < t 0; f(t) nghch bin trờn t 15 Suy ra: P f (t ) f ( ) = 2 P= x + y + z + + 0; Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến Du bng xy ra: x = y = z v t = hay x = y = z = 2 C2: ỏp dng BT cụsy ta cú: 1 9 27 27 15 + + t + =t + + t + = P= x y z t 4t 4t 4t 2 pcm Du bng xy v ch x = y = z = x+ y+z+ Chng minh bi toỏn Tng quỏt : Cho x1 , x2 , , xn (n 2) l s dng ; x1 + x2 + + xn k (k R+* ) b 0; ak bn Chng minh rng: 1 bn + ak a( x1 + x2 + + xn ) + b( + + + ) x1 x2 xn k (*) Hng dn gii: 1 C1: S dng BDT cụ sy : x + x + + x n n n n2 x1 xn x1 + xn 1 bn Suy ra: VT = a ( x1 + x2 + + xn ) + b( + + + ) a ( x1 + x2 + + xn ) + x1 x2 xn x1 + x2 + + xn t: t = x1 + x2 + + xn k bn Ta cú: VT = f(t) = at + vi t t k bn at bn f(t)= a = < t k (vỡ gt: ak2 bn2) t t Suy ra: f(t) nghch bin trờn: 0< t k ak bn Vy: P f (t ) f (k ) = k Du bng xy ra: x = y = z v t = k hay x = y = z = k n C2: p dng BT cụsy ta cú: VT = a ( x1 + x2 + + xn ) + b( 1 bn + + + ) a ( x1 + x2 + + xn ) + x1 x2 xn x1 + x2 + + xn bn t bn bn bn + ak = bn ( + ) + t (a ) bn 2 + k (a ) = t t k k k k k k Du bng xy ra: x = y = z = n = at + Nhn xột: Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến c bit húa bi toỏn TQ1 ta cú: Bi toỏn 9,1: x, y , z > 1 51 Cho x + y + z Cmr: x + y + z + 4( x + y + z ) D dng gii bi toỏn nu ta cho bi toỏn TQ1 vi a=1; b=4 ; n=3 ; k= Bi toỏn 9.2 (Olimpic-toỏn s cp i Hc Vinh) x, y , z > Cho x + y + z C mr: x2 + 1 17 + y + + z + y z x Gii Tht vy : ỏp dng bt ng thc bunhacopxki ta cú: (x2 + 1 )(1 + ) x + x + (x + ) y y y y 17 Tng t sau ú cng v theo v: 1 1 1 + y2 + + z2 + (x + y + z) + ( + + ) y z x 17 17 x y z ;b = ;k = ;n = p dng bi toỏn TQ1 vi a= a = 17 17 x2 + Suy iu phi chng minh Bi toỏn 9.3 ( thi i hc cao ng A nm 2004) x, y , z > x + y + z Cho x2 + CMR : 1 + y + + z + 82 x y z Chng minh tng t Bi toỏn TQ1 : Vi a= -1; b=1 ; n=2 ; k= ta cú: Bi toỏn 9* : x, y > x + y Cho 1 Cmr: x + y ( x + y ) Xem x= a ; y= b ta cú: Bi toỏn 9*.1: Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến a, b Cmr: a + b = a b + a b Cho T ú cú th d dng chng minh bi toỏnTng quỏt 2: Cho x1 , x , , xn (n 2) l cỏc s thc dng v x1 + x2 + + xn = m , m>0: x1 Chng minh rng: m x1 x2 + m x2 + + xn m xn mn n Nu i chiu ca bt ng thc iu kin bi toỏn TQ1 ta cú bi toỏn mi : Bi toỏn TQ3 Cho x1 , x2 , , xn (n 2) l cỏc s thc dng tho món: x1 + x2 + + xn k (k R* ) ; b 0; ak bn 1 bn + ak Chng minh rng: a( x1 + x2 + + xn ) + b( + + + ) (**) x1 x2 xn k T bi toỏn TQ2 v bi toỏn TQ3 ta cú th ỏp dng chng minh cỏc bi toỏn khỏc tng t , hoc cú th khai thỏc ta c nhng bi toỏn mi khỏ thỳ v Bi toỏn 10:(THTT/ T4/352/2007) Vi x,y,z l cỏc s thc dng v xyz 1: x Chng minh rng: P = x+ yz + y y + xz + z z + xy Gii: t a= x , b= y , c= z Bi toỏn tr thnh : Cho: a,b,c l cỏc s thc dng v abc Chng minh rng P= a2 a + bc + b2 b + ac + c2 c + ab ỏp dng bt ng thc svac-x ta cú: (a + b + c) = 2 a + bc + b + ac + c + ab [ a + bc + b + ac + c + ab ] (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) 3(a + b + c + ab + bc + ca) 3[(a + b + c) 3(ab + bc + ca)] 3[(a + b + c) 3] P (a + b + c) {vỡ ab+bc+ca 33 (abc) 3} t: t=(a+b+c) thỡ t { vỡ a+b+c 33 abc 3} Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến t2 C1: P = f(t) = = t + + 3(t 3) vi t 3(t 3) 27 f(t)= 3t = t = 0; t = ( ) BBT: t f(t) - + + + + f(t) 9 Suy ra: P Du bng xy x=y=z=1 (pcm) 2 t2 3t + 15 t 3 3.9 + 15 t 3 + + +2 C2: Ta cú : P = = = 3(t 3) 12 12 t 12 12 t 3 P2 P Du bng xy x= y= z= (pcm) 2 Vy P2 = f(t) Hon ton tng t ta chng minh c bi toỏn Tng quỏt Cho: x1 , x2 , , xn (n 2) l cỏc s thc dng v x1 x2 xn xn x1 x2 n + + + CMR: x + x x x n x + x x x n x x n + x x x n Bi toỏn 11: x, y , z Cho x + y + z = Cmr: P = + x + + y + + z 10 x y z Nhn xột: Ta i chiu bt ng thc ỏp dng bt svac-x Gii : Ta cú : x2 y2 z2 x3 y3 z3 P = x(1 ) + y (1 ) + z (1 ) =1 ( + + ) + x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + z ( ) x4 y4 z4 x2 + y2 + z =1 ( + + ) x + x3 y + y3 z + z x + y + z + x3 + y + z Ta cú: 10 Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến x + y + z = ( x + y + z )( x + y + z xy yz zx ) + 3xyz 3 2 x2 + y + z x + y + z [1 ( x + y + z )] + ( ) t t = x + y + z t k t C1) Ta cú: P = f(t) = 2t t + 3t + 2t f '(t ) = 16t + t t 6t 3t t t Cho 2 Cmr: x + y + z + 27 xyz 30 x + y + z x, y , z Cho Cmr: x + y + z xyz x + y + z + - T bt ng thc bunhiacụsxki, svac -x v ng thc x + y + z + 2( xy + yz + zx ) = ( x + y + z ) Chng minh rng: 27 x+ y 27 vi mi x,y thuc R 4 2 1+ x + y 2 HD: t = x + y x+ y+ z x, y, z (0;2) 27 Cho Cmr: ( x + 2)( y + 2)( z + 2) 4x + 4y + z 12 Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến HD: t = ( x + y + z ) : x + y + z + xyz = 10 Cho x, y , z xy + yz + zx x + y + z 11 Cho x, y, z (0;1] Cmr: Cmr: x+ y + z x2 ( y + z x) + y2 ( z + x y) + z2 ( x + y z) ***************************************** II Mt bin l x(y hoc z): vớ d trờn thỡ chỳng ta phi lm xut hin n ph.sau õy ta xột mt lp bi toỏn m n ph chớnh l x hoc y hoc z Bi toỏn 13: x + y + z = Cho x, y, z Cmr: P = xy + yz + zx xyz 27 Gii: T k bi toỏn ta thy z z ỏp dng bt cụsi ta cú: x+ y P = xy+yz+zx-xyz = z(x+y)+xy(1-z) z(x+y)+ (1-z) z3 z2 + z + P = xy+yz+zx-xyz z(1-z)+ z (1-z)= = 1 8 (z ) (z + ) + vi mi z, z 3 27 27 du bng xy x= y= z= pcm 3 z z + z +1 Cú th xột hm: f(z) = vi z Bi toỏn s 14: x + y + z = Cho x, y, z Cmr: + xyz 2( xy + yz + zx) Gii: Khụng mt tớnh tng quỏt gi s z = min(x,y,z) T iu kin d thy: z (9) x+ y ) ( z 2) z ( x + y ) ( z 1) ( z + 2) z z 3z + 5+( ) ( z 2) z (3 z ) 0 4 ỳng vi z [0;1] Du bng xy x=y=z=1 pcm (9) + xy ( z 2) z ( x + y ) + ( 13 Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến z 3z + vi z Nu ly iu kin z thỡ bt ng thc ỏnh giỏ biu thc trờn l Cú th xột hm: f(z) = Nhn xột: khụng ỳng õy chỳng ta s dng tớnh cht lm hn ch iu kin ca bin cú th ỏnh giỏ c biu thc Bi toỏn tng quỏt (Tng quỏt ca bi 14) x + y + z = x, y , z Cho a < 0; b > Cmr: a( xy + yz + zx) + bxyz (3a + b) a b HD: Khụng mt tớnh tng quỏt gi s: z = min(x,y,z) T iu kin d thy z a + bz < 0; z 3a ta cú: b a ( xy + yz + zx ) + bxyz (3a + b) = xy (a + bz ) + az ( x + y ) (3a + b) + az (3 z ) (3a + b) = (3 z ) (a + bz ) + 3a b( z 1) ( z 4) b Chỳ ý: Thay i hỡnh thc bi toỏn: S dng ng thc x + y + z + 2( xy + yz + zx) = ( x + y + z ) ta cú th a bi toỏn trờn v bi toỏn tng ng nhng hỡnh thc khỏc : chng hn bi 14 cú th phỏt biu di dng tng ng : x + y + z = CMR: x, y , z Cho x + y + z + xyz (THTT-2006) Tng t bi toỏn 14* ta cú th chng minh bi toỏn tng quỏt Cho x + y + z = x, y , z a > 0; b < CMR: a ( xy + yz + zx ) + bxyz (3a + b) a b Chỳ ý : chng minh : ta gi thit z=max(x,y,z) c bit húa ta cú bi toỏn: x + y + z = Cmr: x, y , z Vi a=1; b=-2 : Cho xy + yz + zx xyz + 14 Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến Sau õy ta xột tip bi toỏn s dng gi thit: x = max(x,y,z, ) hoc x = min(x,y,z, ) lm hn ch phm vi ca bin: Bi toỏn 15: x, y , z [0;2] 3 Cho x + y + z = Cmr: x + y + z Gii: Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s: z = max(x,y,z) T iu kin z Ta cú: x + y + z x +y +3xy(x+y) +z =(x+y) +z =(3-z) +z = =9z -27z+27=9(z-1)(z-2)+9 vi mi z t/m : z du bng xy (x,y,z)=(0,1,2) v hoỏn v ca nú (pcm) Bi toỏn 16 Cho x, y [0; ] Cmr: x y 2 + 2 1+ y 1+ x x y 2x + x y ta i chng minh: 2 1+ y 1+ x 1+ x2 Xột hm f(x) trờn : 0; Bi toỏn 17: HD: Gi s : Cho x,y,z nm on [1;2] ; Chng minh rng : x + y + z xyz Gii: t f ( x, y, z ) = x + y + z xyz Khụng mt tớnh tng quỏt gi s : x y z f ( x, y, z ) f ( x, y,1) = z xyz (1 xy ) = ( z 1)(1 + z + z xy ) Vỡ : z 0;1 + z + z xy + z + z z = + z z = 4( z 1) 3z + < Mt khỏc : f ( x, y,1) f ( x,1,1) = y xy (1 x) = ( y 1)(1 + y + y x) Vỡ y 0;1 + y + y x + y + y y = y y + = ( y 1)( y 2) y < Vy f ( x, y, z ) f ( x,1,1) = x x + = ( x 2)[( x + 1) 2) x,1 x du bng bt ng thc xy v ch (x,y,z)=(2,1,1) v hoỏn v ca (2,1,1) pcm Bi toỏn18: x + y + z = x, y , z (õy l bi toỏn s) Cho 15 Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến Chng minh rng: + xyz 2( xy + yz + zx) Gii t f ( x, y, z ) = 2( xy + yz + zx) xyz Ta cn chng minh f ( x, y, z ) Do vai trũ ca x,y,z f nh nờn theo tớnh cht ta gi s x y z kt hp iu kin ta d dng suy x Xột y+z y+z y + z ( y + z) y+z ( y + z) , ) = 2( xy + yz + zx) xyz 2( x + +x )+x 2 4 y+z y+z x x x + 3x = ( x 2)( y z ) f ( x, y , z ) f ( x, , ) = f ( x, , )= 2 2 x + 3x ( x 1) ( x + 2) f ( x, y , z ) 5+5 = 5 x;0 x 4 ( x 2)( y z ) = x = y = z = (pcm) du bng xy v ch x =1 f ( x , y , z ) f ( x, Bi toỏn 19: (Bt ng thc cụsi): Cho x, y, z l cỏc s thc dng; Chng minh rng: x + y + z 3xyz Gii: Khụng mt tớnh tng quỏt gi s z y x > t f ( x, y, z ) = x + y + z 3xyz Tacú: f ( x, y, z ) f ( x, y, xy ) = z ( xy ) + xy( xy z ) = ( z xy )( z + z xy xy ) vỡ z xy Mt khỏc: t g ( x, y ) = f ( x, y, xy ) = x + y ( xy ) g ( x, y ) g ( x, x) = y x 2( ( xy ) x ) = ( y3 x3 ) Vy f ( x, y, z ) f ( x, y, xy ) = g ( x, y ) g ( x, x) = z = xy x = y = z pcm x= y du bng xy v ch Mt s bi toỏn tng t x, y , z x( y z ) + y ( z x) + z ( x y ) Cmr : 12 x + y + z = HD: Gi s x y z t t = x( y + z ) ta chng minh c x( y z ) + y ( z x ) + z ( x y ) t (1 3t ) x + y + z = Cho Cmr: x, y , z a y + z 16 xyz b xy + yz + zx xyz c xyz + 4( xy + yz + zx) Cho 16 Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến x, y , z Cho xy + yz + zx = x + y + z = Cho Cmr: x, y , z x2 + a + y +1 xn + b + yn +1 y2 +1 + z +1 yn +1 zn +1 + z2 +1 x +1 zn +1 xn + Cmr: 3( x + y + z ) + xyz 10 (bi T5 - THTT - 10/2004) HD:Gi s x=max(x,y,z) x +1 + y +1 + z +1 1+ y +1 + z +1 x +1 x +1 1 + ( y + z) + = x 2x + + x +1 x +1 y +1 z +1 = 3+ y + z + x +1 Cõu b tng t! x, y, z [0;2] x + y + z = Cho Cmr : x n + y n + z n 2n + (Tng quỏt bi 8: chng minh tng t!) - Thng ta phi s dng tớnh cht mi cú ỏnh giỏ c x y z Cho x, y, z [ ;3] chng minh rng: x + y + y + z + z + x (THTT-s 357) Cho x,y,z l s dng chng minh rng: xyz + 2( x + y + z ) + 5( x + y + z ) (THTT-s 356) x, y , z xy + yz + zx = x, y , z Cho 2 x + y + z = Cho Cmr: 3( x + y + z ) + xyz 10 Cmr: 7( xy + yz + zx) 12 + xyz Chng minh rng : zx (OLIMPIC 30-4) + + z x y HD: Khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s: z y x t : z=ax ; y=bx a b sau ú ỏnh giỏ tip ta a v 1bin l b xy yz III Kt qu ti ny ó c bn thõn tụi v cỏc ng nghip cựng n v thớ im trờn cỏc em cú hc lc t khỏ tr lờn Kt qu thu c rt kh quan, cỏc em hc mt cỏch say mờ hng thỳ Mt s em ó t c nhng thnh tớch tt qua nhng t thi hc sinh gii va qua 17 Giải toán bất đẳng thức phơng pháp đa biến Tuy nhiờn vi phng phỏp ny ngi thy phi bit dng sỏng to phng phỏp, luụn khụng ngng tỡm tũi, tham kho cỏc ti liu, tham kho ng nghip, xõu chui chỳng li v cho hc sinh cỏc bi nh hng cỏc em hc tp, tỡm hiu i tng hc sinh l hc sinh khỏ gii, luụn tin tng thy, cú iu kin hc tp, nghiờn cu C Kt lun Trong quỏ trỡnh ging dy, nghiờn cu bn thõn tụi cựng vi s giỳp ca cỏc ng nghip ó ỳc rỳt c mt s kinh nghim ; Thụng qua ti ny mong hi ng khoa hc v cỏc ng nghip kim nh v gúp ý ti ngy hon thin hn, cú ng dng rng rói quỏ trỡnh ging dy v bi dng hc sinh Xin chõn thnh cm n! H Tnh, ngy 15 thỏng nm 2011 Ti liu tham kho 1.Tp toỏn hc v tui tr Sỏng to bt ng thc _Phm Kim Hựng Cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc _Trn Tun Anh Cỏc bi toỏn chn lc v bt ng thc ca Phan HuyKkhi_Nguyn o Phng 5.Olimpic 30_4 18 [...]...Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến x + y + z = ( x + y + z )( x + y + z xy yz zx ) + 3xyz 3 3 3 2 2 2 1 x2 + y 2 + z 2 3 x 2 + y 2 + z 2 [1 ( x 2 + y 2 + z 2 )] + 3 ( ) 2 3 1 t t = x 2 + y 2 +... 4 3 1 du bng xy ra khi t= hay x=y=z= (pcm) 2 2 x 2 +y 2 +z 2 *) T ý tng trờn ta cú th khai thỏc v sỏng to cỏc bt ng thc : Chng hn : Chng minh v khai thỏc bi toỏn Tng quỏt4: 11 Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến Cho x1 , x2 , , xn ( n 2 ) l s dng khụng ln hn Chng minh rng: a n+1 an + ( a x1 ) ( a x2 ) ( a xn ) x1 + x2 + + xn n Lu ý: Nu chng minh g(t) 0 bng cỏch bin... rng: 1 4 27 x+ y 1 27 4 vi mi x,y thuc R 4 4 2 2 1+ x + y 2 2 HD: t = x + y x+ y+ z 3 x, y, z (0;2) 27 9 Cho Cmr: ( x 2 + 2)( y 2 + 2)( z 2 + 2) 1 4x 2 + 1 4y 2 + 1 4 z 2 12 Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến HD: t = ( x + y + z ) 2 : x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 4 10 Cho x, y , z 0 xy + yz + zx x + y + z 11 Cho x, y, z (0;1] Cmr: Cmr: x+ y + z 3 x2 ( y + z x) 2 +... 0 2 ( z 1) 2 ( z + 2) 3 z 2 z 3 3z + 2 5+( ) ( z 2) 2 z (3 z ) 0 0 0 2 4 4 ỳng vi z [0;1] Du bng xy ra khi x=y=z=1 pcm (9) 5 + xy ( z 2) 2 z ( x + y ) 0 5 + ( 13 Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến z 3z + 2 vi 0 z 1 4 Nu ly iu kin 0 z 3 thỡ bt ng thc ỏnh giỏ biu thc trờn l Cú th xột hm: f(z) = Nhn xột: 3 khụng ỳng õy chỳng ta s dng tớnh cht 1 lm hn ch... bxyz (3a + b) 0 a 2 3 b Chỳ ý : chng minh : ta gi thit z=max(x,y,z) c bit húa ta cú bi toỏn: x + y + z = 3 Cmr: x, y , z 0 Vi a=1; b=-2 : Cho xy + yz + zx 2 xyz + 1 14 Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến Sau õy ta xột tip bi toỏn s dng gi thit: x = max(x,y,z, ) hoc x = min(x,y,z, ) lm hn ch phm vi ca bin: Bi toỏn 15: x, y , z [0;2] 3 3 3 Cho x + y + z = 3 Cmr:... ( x 2)[( x + 1) 2 2) 0 x,1 x 2 du bng bt ng thc xy ra khi v ch khi (x,y,z)=(2,1,1) v hoỏn v ca (2,1,1) pcm Bi toỏn18: x + y + z = 3 x, y , z 0 (õy l bi toỏn s) Cho 15 Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến Chng minh rng: 5 + xyz 2( xy + yz + zx) Gii t f ( x, y, z ) = 2( xy + yz + zx) xyz Ta cn chng minh f ( x, y, z ) 5 Do vai trũ ca x,y,z trong f nh nhau nờn theo tớnh... minh c x( y z ) 4 + y ( z x ) 4 + z ( x y ) 4 t (1 3t ) x + y + z = 1 2 Cho Cmr: x, y , z 0 a y + z 16 xyz b xy + yz + zx 9 xyz c 9 xyz + 1 4( xy + yz + zx) 1 Cho 16 Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến x, y , z 0 3 Cho xy + yz + zx = 3 x + y + z = 1 4 Cho Cmr: x, y , z 0 x2 + 1 a + y +1 2 xn + 1 b + yn +1 y2 +1 + z +1 2 yn +1 zn +1 + z2 +1 x +1 2 zn +1 xn +... cựng n v thớ im trờn cỏc em cú hc lc t khỏ tr lờn Kt qu thu c rt kh quan, cỏc em hc tp mt cỏch say mờ hng thỳ Mt s em ó t c nhng thnh tớch tt qua nhng t thi hc sinh gii va qua 17 Giải bài toán bất đẳng thức bằng phơng pháp đa về một biến Tuy nhiờn vi phng phỏp ny ngi thy phi bit vn dng sỏng to phng phỏp, luụn khụng ngng tỡm tũi, tham kho cỏc ti liu, tham kho ng nghip, xõu chui chỳng li v cho hc sinh... hc tp, tỡm hiu i tng hc sinh l hc sinh khỏ gii, luụn tin tng thy, cú iu kin hc tp, nghiờn cu C Kt lun Trong quỏ trỡnh ging dy, nghiờn cu bn thõn tụi cựng vi s giỳp ca cỏc ng nghip ó ỳc rỳt ra c mt s kinh nghim ; Thụng qua ti ny mong hi ng khoa hc v cỏc ng nghip kim nh v gúp ý ti ngy hon thin hn, cú ng dng rng rói trong quỏ trỡnh ging dy v bi dng hc sinh Xin chõn thnh cm n! H Tnh, ngy 15 thỏng 5