Đang tải... (xem toàn văn)
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski vµo gi¶i to¸n cùc trÞ ®¹i sè A Lý do chän ®Ò tµi: §èi víi häc sinh THCS Khi nãi ®Õn to¸n BÊt ®¼ng thøc, BÊt ph¬ng tr×nh th× ®ã lµ mét lo¹i to¸n khã. Lµ mét gi¸o viªn t«i nghÜ nªn lµm thÕ nµo ®Ó HS høng thó häc tËp, ham mª gi¶i to¸n, kh«ng ch¸n n¶n khi gÆp bµi to¸n khã, lµm thÕ nµo ®Ó HS biÕt ph©n tÝch, tæng hîp, suy luËn,...vv ®Ó t×m ra ®îc ph¬ng ph¸p gi¶i phï hîp. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y gi¸o viªn cÇn ph¶i biÕt vËn dông ®óng quy luËt: “ Tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p; mäi bµi to¸n khã ®Òu b¾t nguån tõ bµi to¸n ®¬n gi¶n h¬n”. V× vËy khi ®a vµo mét d¹ng to¸n th× ph¶i dùa vµo c¬ së néi dung lý thuyÕt phï hîp víi tr×nh ®é tiÕp thu cña HS. Th«ng qua mét hÖ thèng bµi tËp rÌn luyÖn cho HS nÒ nÕp lµm viÖc khoa häc, häc tËp tÝch cùc, chñ ®éng s¸ng t¹o vµ c¸c thao t¸c t duy cÇn thiÕt. Trong bµi viÕt nµy t«i chØ muèn ®Ò cËp ®Õn mét khÝa c¹nh nhá lµ vËn dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ®Ó t×m cùc trÞ dµnh båi dìng HS kh¸ giái cho HS líp 8, 9 cña bËc THCS. B Néi dung: I Lý thuyÕt vËn dông: 1.BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ¸p dông cho hai bé sè (a, b) vµ (x, y) : (a2+ b2).(x2+ y2) ( ax + by)2 (1) B»ng kiÕn thøc HS ®• häc ë líp 8 c¸c em chøng minh ®îc BÊt ®¼ng thøc nµy: (1) a2 x2+ b2x2 + a2y2 + b2y2 a2 x2+ b2y2+ 2abxy a2y2 2abxy + b2x2 0 (ay – bx)2 0 (2) (2) lu«n lu«n ®óng (1) ®óng DÊu “ =’’ xÈy ra ay = bx (x, y 0) BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cã ®Æc ®iÓm kh¸c víi bÊt ®¼ng thøc C«si ë chç hai bé sè kh«ng ®ßi hái ph¶i d¬ng, ¸p dông réng h¬n, tuy nhiªn ®èi víi tõng bµi to¸n cô thÓ mµ ¸p dông cho thÝch hîp. 2.BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ¸p dông cho hai bé ba sè (a, b, c)vµ(x, y, z) : (a2+ b2 +c2).(x2+ y2 + z2) ( ax + by +cz )2 DÊu “ =’’ xÈy ra (x, y, z 0) Cã khi ngêi ta viÕt bÊt ®¼ng thøc ë d¹ng : tuú theo tõng lóc vËn dông Më réng ¸p dông cho hai bé n sè (a1,a2, a3, ...., an) vµ ( b1, b2, b3,...., bn): (a1,2a22, a32, ...., an2) . ( b1,2 b22, b32..., bn2) 2 (a1b1+a2b2+…+anbn)2 DÊu “ =’’ xÈy ra II Bµi tËp vËn dông: §Ó häc sinh vËn dông ®îc lý thuyÕt thµnh th¹o vµ dÇn dÇn t¹o nªn kü n¨ng kü x¶o cho häc sinh th× gi¸o viªn cÇn ®a ra mét hÖ thèng bµi tËp hîp lý. Bµi tËp 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x + y Biết x2 + y2 = 4 Mấu chốt của việc vận dụng Bunhiacốpski là ở chỗ nào ? Là việc tim ra hai bộ số thich hợp Áp dụng Bunhiacôpski cho hai bộ số (1;1) và (x; y) ta cã : P2 = (1.x + 1.y)2 (12+ 12).(x2+ y2) Nh vËy ta cã thÓ biÕt ®îc P2 nhá h¬n hoÆc b»ng mét h»ng sè vµ ta cã thÓ dÔ dµng t×m ®îc GTNN vµ GTLN cña P DÊu “ =’’ xÈy ra VËy P max = P main= §Ó ®a häc sinh ®i ®Õn d¹ng tæng qu¸t ta ®i vµo bµi tËp sau: Bµi tËp 2: TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña biÓu thøc: S = x +2y biÕt: x2 + 4y2 = 2 ë ®©y bµi tËp nµy: nÕu ®Æt 2y = Y th× hoµn toµn gièng ë bµi tËp 1. Tõ ®ã häc sinh biÕt chän hai bé sè nh thÕ nµo th× thÝch hîp cho nh÷ng d¹ng bµi tËp nh thÕ nµy. Nh vËy khi gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski th× mÊu chèt lµ chän ra ®îc hai bé sè {ai} vµ {bj} cho thÝch hîp víi bµi to¸n cô thÓ. Th«ng qua mét sè bµi tËp cô thÓ tõ ®ã gi¸o viªn cã thÓ híng dÉn häc sinh t×m ra nh÷ng d¹ng chung ®Ó ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t«i tæng hîp ®îc mét sè d¹ng chung nh sau: I D¹ng 1: T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc cã d¹ng: M = a.f(x) + b.g(y) biÕt f2(x) + g2(y) k2 (Nh ë bµi tËp 1 vµ bµi tËp 2) Ph¬ng ph¸p gi¶i: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (a; b) vµ (f(x); g(y)) ta cã: M2 = a.f(x) + b.g(y)2 (a2 + b2). f2(x) + g2(y) M2 (a2 + b2). k2 k. DÊu “ = “ xÈy ra Mét sè vÝ dô ¸p dông : Bµi tËp 1.1: T×m GTNN cña biÓu thøc : A = 4x2 + 3y2 7 c¸ch x¸c ®Þnh a, b ®Ó ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski vµo d¹ng 1 nh thÕ nµo? C¸c c¸ch x¸c ®Þnh a, b: 4x + 3y = a.f(x) + b.g(y) trong ®ã f2(x) + g2(y) = 4x2 + 3y2 4x + 3y = 2.2x + Khi ®ã ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè A (2 ; ) vµ (2x ; ta cã : A 2= (4x + 3y) 2 22 +( )2. (2x)2 + 3y2 A 2 7.7 |A| 7 DÊu “ = “ xÈy ra A min = 7 Amax = 7 x = y = 1 Bµi tËp 1.2: T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc: B = 3x – 2y biÕt: 2x2 + 3y2 = 6 Nh ®Çu bµi viÕt t«i ®• tr×nh bµy, viÖc vËn dung BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ph¶i biÕt c¸ch chän lùa cÆp sè (a;b) vµ (f(x); g(y)) mét c¸ch khÐo lÐo; häc sinh ph¶i biÕt huy ®éng vèn kiÕn thøc ®• häc mét c¸ch linh ho¹t. ë ®©y ph¶i biÕn ®æi B = 3x – 2y vÒ d¹ng a.f(x)+ b.g(y) 2x2 + 3y2 = B = Chän: (a;b) = ; (f(x); g(y)) = B2 = (3x – 2y) 2 B2 DÊu “ =xÈy ra Bmax= 35 vµ Bmin= 35 vµ Tõ nh÷ng vÝ dô nh bµi tËp 1.1, bµi tËp 1.2 ta t×m ra ch¸ch gi¶i tæng qu¸t cña d¹ng : T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc d¹ng : P = ax = by biÕt : c2x2 + d2y2 = k2 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ Ta cã : P2 mk2 trong ®ã : m= (C¸c bµi tËp t¬ng tù ta cã thÓ thay a, b, c, d, k bëi c¸c sè thùc bÊt k× kh¸c 0) Bµi tËp 1.3 : Cho x, y tho¶ m•n 2x2 + 3y2 = 12. TÝnh GTNN, GTLN cña biÓu thøc B = 5x + 4y Bµi tËp 1.4 : Cho x, y tho¶ m•n 3x2 + y2 = 4 TÝnh GTNN, GTLN cña biÓu thøc N = x + y Bµi tËp 1.5 : T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc: M = 2x – 5y – 6 biÕt x2 + y2 = 2 HD: øng dông nh d¹ng 1: t×m GTLN, GTNN cña 2x – 3y sau ®ã t×m GTLN, GTNN cña M Bµi tËp 1.6 : Cho x, y tho¶ m•n (x1)2 + (2y1)2 = 8 T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc : P = x+ 2y ë bµi tËp nµy ta ¸p dông d¹ng 1 nh thÕ nµo? HD : Tõ (x1)2 + (2y1)2 = 8 ta nghÜ ®Õn ¸p dông d¹ng 1 Cho f(x) = x1 ; g(y) = 2y 1 Muèn t×m a, b ph¶i biÕn ®æi nh thÕ nµo ? P = x + 2y = a.(x1) + b.(2y – 1) P = 1.(x1) + 1.(2y – 1) + 2 P – 2 = 1.(x1) + 1.(2y – 1) Nh vËy ®Ó t×m ®îc GTNN, GTLN cña P ta ph¶i t×m GTNN, GTLN cña P – 2 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (1 ; 1) vµ (x – 1 ; 2y – 1) ta cã : (P – 2)2 = (x – 1 + 2y – 1)2 (12 + 12). (x – 1)2 + (2y – 1)2 (P – 2)2 2.8 = 16 (P – 2)2 = 16 hoÆc Bµi tËp t¬ng tù : a) T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc: M = 3x + 2y BiÕt : (3x – 1)2 + (2y – 2)2 = 14 b) Cho x, y lµ nh÷ng sè d¬ng tho¶ m•n : x2 + y2 2(x + y) T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc: N = 2x + y HD : x2 + y2 2(x + y) x2 – 2x + y2 – 2y 0 x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 2 (x – 1) 2 + (y – 1) 2 2 Chó ý ta cã thÓ më réng d¹ng 1 nh sau : T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc cã d¹ng: M = a.f(x) + b.g(y) + c.h(z) +... BiÕt r»ng :f2(x) + g2(y) + h2(z) k (k lµ h»ng sè d¬ng) VÝ dô: Cho x, y, z tho¶ m•n: x2 + y2 + z2 = 2 T×m GTNN, GTLN cña biÓu thøc M = 3x + 2y + z HD : Hoµn toµn t¬ng tù ta ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé : (3 ; 2 ; 1) vµ (x, y, z) C©u hái ®Æt ra ngîc l¹i liÖu cho biÕt a.f(x) + b.g(y) cÇn t×m GTNN cña biÓu thøc d¹ng f2(x) + g2(y) th× ta t×m nh thÕ nµo? II D¹ng 2 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc cã d¹ng A = f2(x) + g2(y) biÕt r»ng : a.f(x) + b.g(y) = k (k, a, b lµ h»ng sè) Qua vÝ dô BT1.2; tõ ®ã ta rót ra ph¬ng ph¸p gi¶i chung. Ph¬ng ph¸p gi¶i: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (a; b) vµ (f(x); g(y)) ta cã : a.f(x) + b.g(y)2 (a2 + b2). f2(x) + g2(y) Hay k2 (a2 + b2) A DÊu “ =”xÈy ra Mét sè vÝ dô ¸p dông : Bµi tËp 2.1 Cho x, y tho¶ m•n 3x4y=5 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M=x2+y2 §©y lµ mét bµi tËp cã thÓ ¸p dông trùc tiÕp ngay ë d¹ng 2. ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (3;4) vµ (x;y) ta cã: (3x4y)2 32+(4)2 (x2+y2) 52 25 . M M 1. DÊu “ = “ xÈy ra x = vµ y = VËy Mmin = 1 x = vµ y = Bµi tËp 2.2 Cho 2 sè x ;y tho¶ m•n 3x+8y=11. T×m GTNN cña biÓu thøc: N =4x2 + 5y2. §Ó vËn dông d¹ng 2 ta biÕn ®æi: N = X¸c ®Þnh a, b sao cho: 3x+ 8y = a. 2x + b.y = ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ ta cã : DÊu “ = “ xÈy ra Tõ bµi tËp 2.1; 2.2 ta cã thÓ ra cho häc sinh nhiÒu bµi tËp ®Ó tù luyÖn ë d¹ng 2 ta chØ cÇn thay ®æi c¸c bé sè Bµi tËp 2.3: T×m GTNN cña biÓu thøc: P = 3x2 + 5y2 biÕt x + y = 2 Bµi tËp 2.4: Cho x, y lµ nh÷ng sè tho¶ m•n 5x 3y = 4 T×m GTNN, cña biÓu thøc : P = 2009+4x2 + 5y2 HD: ®Ó t×m GTNN cña P th× ®Çu tiªn t×m GTNN cña 4x2 + 5y2 ®Ó sö dông d¹ng 2, nhiÒu khi ph¶i tù ph¸t hiÖn lîng a.f(x) + b.g(y) = k VÝ dô : T×m GT bÐ nhÊt cña biÓu thøc : A = ( 3x – 2y + 1)2+ ( 6x + 4y + 3) 2 Trong bµi nµy ta nhËn thÊy : 2(3x – 2y + 1) + ( 6 + 4y + 3) =1 lµ mét h»ng sè ®Ó vËn dông d¹ng 2 ta chän f(x, y) = 3x 2y 1 ; g(x, y) = 6x + 4y + 3 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (2 ; 1) vµ (3x2y1 ;6x+4y+3) ta cã : 2(3x2y1)+(6x=4y+3)2 (22+12).A 1 5.A A Amin= 15x2= 10y + 4 x= y + Bµi tËp tù gi¶i: Bµi tËp 2.5: T×m GTNN cña biÓu thøc: A = ( 3x – 4y + 1)2 + ( x y + 3)2 HD: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (2; 5) vµ (3x – 4y +1); ( x y + 3) Nh vËy viÖc t×m bé sè vµ lîng k lµ vÊn ®Ò mÊu chèt, vµ kh«ng ph¶i lóc nµo ; k còng lµ nh÷ng h»ng sè VÝ dô: Bµi tËp 2.6: T×m GTNN cña biÓu thøc: A = víi 0 < x < 3 HD: §Ó ý ta thÊy: víi 0 < x < 3 th× : A = Lóc nµy ta cã thÓ vËn dông víi f = g = Cßn chän k, , b»ng bao nhiªu? , ph¶i tho¶ m•n ®iÒu kiÖn g×? kh«ng ®æi Chó ý: vµ Tõ ®ã chän: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ ta cã : A ………… Hoµn toµn t¬ng tù ta cã thÓ gi¶i nh÷ng bµi d¹ng : T×m GTNN cña A = m, n, a, b, c lµ nh÷ng h»ng sè d¬ng vµ Tõ ®©y ta cã thÓ më réng d¹ng 2 cho trêng hîp c¸c biÓu thøc nhiÒu biÕn víi hai bé sè t¬ng øng Bµi tËp 2.7: T×m GTNN cña A + 3x2 + 2y2 + z BiÕt x + y + z =2 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ a cã : (x + y + z )2 A A DÊu “ =’’ xÈy ra Bµi tËp 2.8: Cho x, y, z, t cã tæng b»ng 3. T×m GTNN cña x2 + y2 + z2 + t2 HD:¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè (1; 1; 1; 1)vµ (x; y; z; t) Bµi tËp 2.9 : Cho x, y, z lµ nh÷ng sè d¬ng tho¶ m•n : 2x + 4y + 5z =11. T×m GTNN cña A = HD : Ta chän bé ba sè lµ T¹i sao ta l¹i chän ®îc nh vËy ? Ta nhËn thÊy : x, y, z > 0 th× A = 2x + 4y + 5z =k = 11 th× ; ; tho¶ m•n 2x + 4y + 5z = ®Ó ý ®Õn mèi liªn hÖ gi÷a 2x + 4y + 5z vµ biÓu thøc A ®ã lµ : Tõ ®ã ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè ta cã : vµ ta cã : A.11 112 A 11 DÊu “ =’’ xÈy ra x= y = z = 1 III. D¹ng III: T×m GTLN cña biÓu thøc cã d¹ng: A = + Víi ; ; k lµ c¸c h»ng sè; f(x) 0; g(x) 0; f(x) + g(x) = k2 Nªu ph¬ng ph¸p gi¶i chung nh thÕ nµo? Chän bé hai sè nh thÕ nµo cho thÝch hîp? Ph¬ng ph¸p gi¶i: ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè ( ) vµ ( ) ta cã: A 2 A2 |A| k. DÊu “ = “ xÈy ra Mét sè vÝ dô ¸p dông : Bµi tËp 3.1: T×m GTLN cña biÓu thøc A = víi 4 x 8 So s¸nh trong d¹ng 1: bé ( ) ë ®©y lµ (1; 1) f(x) = x – 4; g(x) = 8 x f(x) + g(x) = 4 ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ ( )ta cã : A 2 =( )2 (12 = + 12).(x 4 + 8 x) A2 = 2.4 =8 A = DÊu “ = “ xÈy ra x=6 VËy Amax = x = 6 Tõ d¹ng 1 vµ bµi tËp 1.1. Häc sinh cã thÓ t×m ra vµ tù ®Æt ra c¸c bµi tËp t¬ng tù ®Ó gi¶i. TÊt nhiªn kh«ng ph¶i bao giê c¸c bµi tËp ®Òu ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski trùc tiÕp, vµ chän hai bé sè thÝch hîp mét c¸ch dÔ dµng ta ®i vµo vÝ dô phøc t¹p h¬n mét chót, còng hoµn toµn nh vÝ dô 1 ®Æt bµi to¸n lµ T×m GTLN cña biÓu thøc: A = §èi víi häc sinh c¸c em cã thÓ chän ngay ®îc hai bé sè (3; 8) vµ ( ; §Ó phøc t¹p h¬n mét chót cã thÓ ®a 3 vµ 8 vµo trong c¨n A = Nhng ®èi víi lo¹i bµi tËp nµy th× lîng k 2 hoµn toµn x¸c ®Þnh ®îc dÔ dµng, cã nh÷ng khi lîng k2 = f(x) +g(x) cha râ; mµ f(x) + g(x) = h(x) th× c¸ch chän hai bé sè ®ã sÏ nh thÕ nµo ®Ó ®a vÒ d¹ng 3 Bµi tËp 3.2: T×m GTLN cña biÓu thøc: P = Víi 2 x 3 Trong biÓu thøc nµy nÕu chän hai bé sè (1; 1) vµ ( ) th× f(x) + g(x) = 6x 12 +15 5x = 3 + x Cha xuÊt hiÖn d¹ng k2 , vËy ta ph¶i lµm thÕ nµo? H•y ®Ó ý ; Nh vËy ta ®• hoµn toµn ®a vÒ d¹ng 1 cho hai bé sè: vµ ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ta cã : P2 = P 2 11 P DÊu “ =’’ xÈy ra Hoµn toµn t¬ng tù nh vËy häc sinh cã thÓ gi¶i nhanh, gän vµ tù ra ®îc nh÷ng bµi tËp nh vËy ®Ó gi¶i VÝ dô: Bµi tËp 3.3: T×m GTLN cña P = víi 3 x 5 HD: P = ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ Ta cã d¹ng tæng qu¸t : Bµi tËp 3.4 : T×m GTLN cña biÓu thøc ( xÐt trong ®iÒu kiÖn biÓu thøc cã nghÜa) B = vµ Ph¬ng ph¸p : B = ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ ta cã : B2 DÊu “ =’’ xÈy ra Chó ý: cã thÓ vËn dông s¸ng t¹o d¹ng nµy trong trêng hîp kh«ng ph¶i lµ h»ng sè kh«ng? VÝ dô: T×m GTLN cña biÓu thøc: P = víi 0 x 4 NÕu ¸p dông d¹ng 1 th× f(x) + g(x) ®ang thay ®æi theo x. §Ó ý chóng ta thÊy r»ng: víi 0 x 4 th× : Tõ ®ã ta ¸p dông BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski cho hai bé sè vµ ta cã : P2 = P2 24 P DÊu “ =’’xÈy ra Pmax= Chó ý: NÕu chän bé sè vµ th× ph¬ng tr×nh víi 0 < x < 4 v« nghiÖm Bµi tËp tù gi¶i: Bµi tËp 3.5: T×m GTLN cña biÓu thøc a) M = b) N = Bµi tËp 3.6: T×m GTLN cña biÓu thøc: a) A = b) B = C KÕt qu¶: ViÖc giíi thiÖu øng dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski ®Ó gi¶i to¸n cùc trÞ ®¹i sè, thªm cho häc sinh mét ph¬ng ph¸p gi¶i cho häc sinh; kÝch thÝch vµ g©y høng thó cho häc sinh. Ngoµi ra häc sinh cßn linh ho¹t vËn dông gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh; chøng minh bÊt ®¼ng thøc. Häc sinh tù m×nh ®a ra c¸c bµi tËp ®Ó gi¶i, t¨ng tÝnh s¸ng t¹o, tù häc. ViÖc ®a ra hÖ thèng c¸c bµi tËp tõ dÔ ®Õn khã, n©ng cao dÇn, gióp cho c¸c em n¾m bµi mét c¸ch dÔ dµng. 100% häc sinh kh¸ giái ®Òu cã thÓ gi¶i ®îc c¸c d¹ng ®• nªu vµ nh÷ng d¹ng phøc t¹p h¬n. D Bµi häc kinh nghiÖm: §Ó bµi d¹y cã hiÖu qu¶ cao gi¸o viªn cÇn nghiªn cøu kü c¸c tµi liÖu, t×m ra c¸c bµi tËp cã ®Æc ®iÓm chung ®Ó ph©n d¹ng chung, ph¬ng ph¸p gi¶i chung cho mçi d¹ng, gióp häc sinh hiÓu s©u, hiÓu réng vÊn ®Ò h¬n. Gi¸o viªn cÇn ph¶i t×m híng khai th¸c mçi bµi to¸n nh»m gióp häc sinh høng thó häc tËp, kh¬i dËy tÝnh s¸ng t¹o, ®éc lËp trong tõng bµi to¸n cô thÓ. DiÔn Ch©u, th¸ng 42209 Ngêi viÕt: NguyÔn ThÞ Hoan Mai
SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số Sáng kiến kinh nghiệm: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số A- Lý chọn đề tài: Đối với học sinh THCS Khi nói đến toán Bất đẳng thức, Bất phơng trình loại toán khó Là giáo viên nghĩ nên làm để HS hứng thú học tập, ham mê giải toán, không chán nản gặp toán khó, làm để HS biết phân tích, tổng hợp, suy luận, vv để tìm đợc phơng pháp giải phù hợp Trong trình giảng dạy giáo viên cần phải biết vận dụng quy luật: Từ đơn giản đến phức tạp; toán khó bắt nguồn từ toán đơn giản Vì đa vào dạng toán phải dựa vào sở nội dung lý thuyết phù hợp với trình độ tiếp thu HS Thông qua hệ thống tập rèn luyện cho HS nề nếp làm việc khoa học, học tập tích cực, chủ động sáng tạo thao tác t cần thiết Trong viết muốn đề cập đến khía cạnh nhỏ vận dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski để tìm cực trị dành bồi dỡng HS giỏi cho HS lớp 8, bậc THCS B-Nội dung: I/ Lý thuyết vận dụng: 1.Bất đẳng thức Bunhiacôpski áp dụng cho hai số (a, b) (x, y) : (a2+ b2).(x2+ y2) ( ax + by)2 (1) Bằng kiến thức HS học lớp em chứng minh đợc Bất đẳng thức này: (1) a2 x2+ b2x2 + a2y2 + b2y2 a2 x2+ b2y2+ 2abxy a2y2 - 2abxy + b2x2 (ay bx)2 (2) (2) luôn (1) Dấu = xẩy ay = bx a b = (x, y 0) x y Bất đẳng thức Bunhiacôpski có đặc điểm khác với bất đẳng thức Côsi chỗ hai số không đòi hỏi phải dơng, áp dụng rộng hơn, nhiên toán cụ thể mà áp dụng cho thích hợp Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số 2.Bất đẳng thức Bunhiacôpski áp dụng cho hai ba số (a, b, c)và(x, y, z) : (a2+ b2 +c2).(x2+ y2 + z2) ( ax + by +cz )2 Dấu = xẩy a b c = = x y x (x, y, z 0) Có ngời ta viết bất đẳng thức dạng : ax + by + cz ( a + b + c )( x + y + z ) tuỳ theo lúc vận dụng * Mở rộng áp dụng cho hai n số (a1,a2, a3, , an) ( b1, b2, b3, , bn): 2 (a1, a2 , a3 , , an2) ( b1,2 b22, b32 , bn2) (a1b1+a2b2++anbn)2 Dấu = xẩy a1 a2 a = = = n b1 b2 bn II/ Bài tập vận dụng: Để học sinh vận dụng đợc lý thuyết thành thạo tạo nên kỹ kỹ xảo cho học sinh giáo viên cần đa hệ thống tập hợp lý Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = x + y Bit x2 + y2 = Mu cht ca vic dng Bunhiacpski l ch no ? L vic tim hai b s thich hp p dng Bunhiacụpski cho hai b s (1;1) v (x; y) ta có : P2 = (1.x + 1.y)2 (12+ 12).(x2+ y2) Nh ta biết đợc P2 nhỏ số ta dễ dàng tìm đợc GTNN GTLN P P 2.4 P x = y x= y= 2 x + y = Vậy P max = x = y = P main= x = y = Dấu = xẩy Để đa học sinh đến dạng tổng quát ta vào tập sau: Bài tập 2: Tính giá trị nhỏ lớn biểu thức: S = x +2y biết: x2 + 4y2 = tập này: đặt 2y = Y hoàn toàn giống tập Từ học sinh biết chọn hai số nh thích hợp cho dạng tập nh Nh giải toán cách áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski mấu chốt chọn đợc hai số {ai} {bj} cho thích hợp với toán cụ Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số thể Thông qua số tập cụ thể từ giáo viên hớng dẫn học sinh tìm dạng chung để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski Trong trình giảng dạy tổng hợp đợc số dạng chung nh sau: I/ Dạng 1: Tìm GTLN GTNN biểu thức có dạng: M = a.f(x) + b.g(y) biết f2(x) + g2(y) k2 (Nh tập tập 2) *Phơng pháp giải: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số (a; b) (f(x); g(y)) ta có: M2 = [a.f(x) + b.g(y)]2 (a2 + b2) [ f2(x) + g2(y)] M2 (a2 + b2) k2 M k a + b2 f ( x) g ( y) = a b 2 f ( x) + g ( y ) = k Dấu = xẩy Một số ví dụ áp dụng : Bài tập 1.1: Tìm GTNN biểu thức : A = 4x2 + 3y2 cách xác định a, b để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào dạng nh nào? Các cách xác định a, b: 4x + 3y = a.f(x) + b.g(y) f2(x) + g2(y) = 4x2 + 3y2 4x + 3y = 2.2x + 3 y Khi áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số A (2 ; ) (2x ; 3y ) ta có : A 2= (4x + 3y) [22 +( )2] [(2x)2 + 3y2] A2 7.7 Dấu = xẩy |A| x + y = 2x 3y = Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số x = y x = y = x + y = A = - Amax = x = y = Bài tập 1.2: Tìm GTNN, GTLN biểu thức: B = 3x 2y biết: 2x2 + 3y2 = Nh đầu viết trình bày, việc vận dung Bất đẳng thức Bunhiacôpski phải biết cách chọn lựa cặp số (a;b) (f(x); g(y)) cách khéo léo; học sinh phải biết huy động vốn kiến thức học cách linh hoạt phải biến đổi B = 3x 2y dạng a.f(x)+ b.g(y) 2 2x2 + 3y2 = ( x ) + ( y ) B = 3x y = x + y 3 Chọn: ; (a;b) = ; (f(x); g(y)) = ( x ; y ) 2 B = (3x 2y) + x + y 9 + x + y + .6 3 ( ( 35 B = 35 x y = Dấu ="xẩy 2 2 x + y = Bmax= 35 x = y = 35 35 Bmin= -35 x = y = 35 35 B2 ) ( ) ) 35 Từ ví dụ nh tập 1.1, tập 1.2 ta tìm chách giải tổng quát dạng : Tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng : P = ax = by biết : c2x2 + d2y2 = k2 áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số c ; d (cx; dy ) a b a b Ta có : P mk : m= + c d 2 P k m Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số (Các tập tơng tự ta thay a, b, c, d, k số thực khác 0) Bài tập 1.3 : Cho x, y thoả mãn 2x2 + 3y2 = 12 Tính GTNN, GTLN biểu thức B = 5x + 4y Bài tập 1.4 : Cho x, y thoả mãn 3x2 + y2 = Tính GTNN, GTLN biểu thức N = -x + y Bài tập 1.5 : Tìm GTNN, GTLN biểu thức: M = 2x 5y biết x2 + y2 = HD: ứng dụng nh dạng 1: tìm GTLN, GTNN 2x 3y sau tìm GTLN, GTNN M Bài tập 1.6 : Cho x, y thoả mãn (x-1)2 + (2y-1)2 = Tìm GTNN, GTLN biểu thức : P = x+ 2y tập ta áp dụng dạng nh nào? HD : Từ (x-1)2 + (2y-1)2 = ta nghĩ đến áp dụng dạng Cho f(x) = x-1 ; g(y) = 2y -1 Muốn tìm a, b phải biến đổi nh ? P = x + 2y = a.(x-1) + b.(2y 1) P = 1.(x-1) + 1.(2y 1) + P = 1.(x-1) + 1.(2y 1) Nh để tìm đợc GTNN, GTLN P ta phải tìm GTNN, GTLN P áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số (1 ; 1) (x ; 2y 1) ta có : (P 2)2 = (x + 2y 1)2 (12 + 12) [(x 1)2 + (2y 1)2] (P 2)2 2.8 = 16 x = x = x = y (P 2) = 16 2 ( x 1) + (2 y 1) = y = y = 2 Bài tập tơng tự : a) Tìm GTNN, GTLN biểu thức: M = 3x + 2y Biết : (3x 1)2 + (2y 2)2 = 14 b) Cho x, y số dơng thoả mãn : x2 + y2 2(x + y) Tìm GTNN, GTLN biểu thức: N = 2x + y HD : x2 + y2 2(x + y) Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số x2 2x + y2 2y x2 2x + + y2 2y + (x 1) + (y 1) * Chú ý ta mở rộng dạng nh sau : Tìm GTNN, GTLN biểu thức có dạng: M = a.f(x) + b.g(y) + c.h(z) + Biết :f2(x) + g2(y) + h2(z) k (k số dơng) Ví dụ: Cho x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN, GTLN biểu thức M = 3x + 2y + z HD : Hoàn toàn tơng tự ta áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai : (3 ; ; 1) (x, y, z) Câu hỏi đặt ngợc lại liệu cho biết a.f(x) + b.g(y) cần tìm GTNN biểu thức dạng f2(x) + g2(y) ta tìm nh nào? II/ Dạng : Tìm giá trị nhỏ biểu thức có dạng A = f2(x) + g2(y) biết : a.f(x) + b.g(y) = k (k, a, b số) Qua ví dụ BT1.2; từ ta rút phơng pháp giải chung *Phơng pháp giải: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số (a; b) (f(x); g(y)) ta có : [a.f(x) + b.g(y)]2 (a2 + b2) [ f2(x) + g2(y)] Hay k (a2 + b2) A Dấu =xẩy k2 a2 + b2 a k f ( x) = a f ( x) + b.g ( y ) = k k a f ( x) b.g ( y ) a + b2 = = f ( x) g ( y ) b2 a2 + b2 a a = b g ( y) = b k a2 + b2 Một số ví dụ áp dụng : Bài tập 2.1 Cho x, y thoả mãn 3x-4y=5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M=x2+y2 Đây tập áp dụng trực tiếp dạng áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số (3;-4) (x;y) ta có: Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số (3x-4y)2 [ 32+(-4)2] (x2+y2) 52 25 M M x y = Dấu = xẩy x y = 3x x= = 5 Vậy Mmin = x= 3x y = 16 25 y = y = Bài tập 2.2 Cho số x ;y thoả mãn 3x+8y=11 Tìm GTNN biểu thức: N =4x2 + 5y2 Để vận dụng dạng ta biến đổi: N = (2 x) + ( y ) Xác định a, b cho: 3x+ 8y = a 2x + b.y = x + y áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số ta có : ( 3x y ) ( 3x y ) 112 ; (2 x; y ) 2 + ( x ) + y 64 + .N ( ) 301 112.20 N N 20 301 2x y = Dấu = xẩy x y = 11 Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số Từ tập 2.1; 2.2 ta cho học sinh nhiều tập để tự luyện dạng ta cần thay đổi số Bài tập 2.3: Tìm GTNN biểu thức: P = 3x2 + 5y2 biết x + y = Bài tập 2.4: Cho x, y số thoả mãn 5x - 3y = Tìm GTNN, biểu thức : P = 2009+4x2 + 5y2 HD: để tìm GTNN P tìm GTNN 4x2 + 5y2 để sử dụng dạng 2, nhiều phải tự phát lợng a.f(x) + b.g(y) = k Ví dụ : Tìm GT bé biểu thức : A = ( 3x 2y + 1)2+ ( -6x + 4y + 3) Trong ta nhận thấy : 2(3x 2y + 1) + ( -6 + 4y + 3) =1 số để vận dụng dạng ta chọn = 2; = 1; f(x, y) = 3x -2y -1 ; g(x, y) = -6x + 4y + áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số (2 ; 1) (3x-2y-1 ;-6x+4y+3) ta có : [2(3x-2y-1)+(-6x=4y+3)]2 (22+12).A 3x y = x + y + Amin= 2 15x2= 10y + x= y + 15 5.A A Bài tập tự giải: Bài tập 2.5: Tìm GTNN biểu thức: A = ( 3x 4y + 1)2 + ( x - y + 3)2 HD: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số 5 Nh việc tìm số ( ; ) lợng k vấn đề mấu chốt, lúc ( ; ) ; k số (2; -5) [(3x 4y +1); ( x - y + 3)] Ví dụ: Bài tập 2.6: Tìm GTNN biểu thức: Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số A= + x x với < x < + HD: Để ý ta thấy: với < x < : A = x x ; g= x x Còn chọn k, , bao nhiêu? , phải thoả mãn điều kiện gì? Lúc ta vận dụng với f = + = k không đổi x x x + x = + ( x ) + ( x ) = Chú ý: x x Từ chọn: = x; = x; k = + áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số ta có : ; ( x ; x ) x x 3 x + x + ( x + x ) x x x x ( ) ( + 1) + A.3 A Hoàn toàn tơng tự ta giải dạng : Tìm GTNN A = m n + a bx cx d m, n, a, b, c số dơng d a A = + = x y x 2x + 4y + 5z =k = 11 ; ; thoả mãn 2 + + x y 2x + 4y + 5z = để ý đến mối liên hệ 2x + 4y + 5z biểu thức A : x + y + z = 2+4+5 x y z Từ áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số ta có : x ; y ; z ( ) x; y; z ta có : 5 + + .( x + y + z ) x + y + z 112 x y z x y z A.11 11 A 11 Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy 10 SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số : 2x = : 4y = y x Dấu = xẩy x + y + z = 11 x, y , z > x= y = z = : 5z z III Dạng III: Tìm GTLN biểu thức có dạng: A = f (x) + g (x) Với ; ; k số; f(x) 0; g(x) 0; f(x) + g(x) = k2 Nêu phơng pháp giải chung nh nào? Chọn hai số nh cho thích hợp? *Phơng pháp giải: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số ( ; ) ( ) ta có: A ( + )[ f ( x) + g ( x)] f ( x ) ; ( gx ) A2 ( + ).k |A| k + f ( x) g ( x) = f ( x ) g ( x) k2 = = Dấu = xẩy f ( x ) + g ( x) = k a2 b2 +2 f ( x ) 0; g ( x ) Một số ví dụ áp dụng : Bài tập 3.1: Tìm GTLN biểu thức A = x + x với x So sánh dạng 1: ( ; ) (1; 1) f(x) = x 4; g(x) = - x f(x) + g(x) = áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số (1;1) ) ( f ( x) ; ( gx) )ta có : A =( x + x )2 (12 = + 12).(x - + - x) Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy 11 SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số A2 = 2.4 =8 A = x4 + x x4 = x x = x x=6 x x Dấu = xẩy Vậy Amax = x = Từ dạng tập 1.1 Học sinh tìm tự đặt tập tơng tự để giải Tất nhiên tập áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski trực tiếp, chọn hai số thích hợp cách dễ dàng ta vào ví dụ phức tạp chút, hoàn toàn nh ví dụ đặt toán Tìm GTLN biểu thức: A = x + 8 x Đối với học sinh em chọn đợc hai số (3; 8) ( x ; x ; Để phức tạp chút đa vào A = x 36 + 512 64 x Nhng loại tập lợng k hoàn toàn xác định đợc dễ dàng, có lợng k2 = f(x) +g(x) cha rõ; mà f(x) + g(x) = h(x) cách chọn hai số nh để đa dạng Bài tập 3.2: Tìm GTLN biểu thức: P = x 12 + 15 x Với x Trong biểu thức chọn hai số (1; 1) ( f ( x) ; g ( x) ) f(x) + g(x) = 6x -12 +15 -5x = + x Cha xuất dạng k2 , ta phải làm nào? - Hãy để ý x 12 = x ; 15 x = x Nh ta hoàn toàn đa dạng cho hai số: ( ; ) ( x ; x ) áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có : P2 = ( x 12 + 15 x ) (6 + 5).( x + x) P 11 P 11 x2 x = x x 28 = x= Dấu = xẩy x Hoàn toàn tơng tự nh học sinh giải nhanh, gọn tự đợc tập nh để giải Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy 12 SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số Ví dụ: Bài tập 3.3: Tìm GTLN P = x 21 + 15 x với x P = x + x HD: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số (3 ;4 ) ( x 3; x ) Ta có dạng tổng quát : Bài tập 3.4 : Tìm GTLN biểu thức ( xét điều kiện biểu thức có nghĩa) B = a1 x b1 + b2 a x b1 b a1 a Phơng pháp : B = a1 x b1 b2 + a2 x a1 a2 áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số ( a1 ; a b b x ; x a1 a ) ( ) 2 ta có : B2 a1 + a x b1 b2 + x a1 a b1 b2 x x a1 a2 = a2 Dấu = xẩy a1 b1 x b a1 a2 Chú ý: vận dụng sáng tạo dạng trờng hợp ; số không? Ví dụ: Tìm GTLN biểu thức: P = x ( x ) + x (6 x ) với x Nếu áp dụng dạng f(x) + g(x) thay đổi theo x Để ý thấy rằng: với x : ( x) + ( ( x) + ( 2 ) x) x = x+4 x = = x+6x = Từ ta áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai số ( x; x P2 = ( x P2 24 P 24 ) ( x; x ) ta có : x + x x ) ( x + x)( x + x ) Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy 13 SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số x = Dấu =xẩy x < x x x = x x = 2,4 x x < x x Pmax= 24 x = 2,4 Chú ý: Nếu chọn số phơng trình x x = ( x; x x x ) ( x; x ) với < x < vô nghiệm Bài tập tự giải: Bài tập 3.5: Tìm GTLN biểu thức a) M = x 10 + 100 20 x b) N = x + 30 x Bài tập 3.6: Tìm GTLN biểu thức: a) A = x(5 x) + x(7 x) b) B = x(2 x) + x(5 x) Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy 14 SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số C- Kết quả: Việc giới thiệu ứng dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski để giải toán cực trị đại số, thêm cho học sinh phơng pháp giải cho học sinh; kích thích gây hứng thú cho học sinh Ngoài học sinh linh hoạt vận dụng giải phơng trình hệ phơng trình; chứng minh bất đẳng thức Học sinh tự đa tập để giải, tăng tính sáng tạo, tự học Việc đa hệ thống tập từ dễ đến khó, nâng cao dần, giúp cho em nắm cách dễ dàng 100% học sinh giỏi giải đợc dạng nêu dạng phức tạp D - Bài học kinh nghiệm: Để dạy có hiệu cao giáo viên cần nghiên cứu kỹ tài liệu, tìm tập có đặc điểm chung để phân dạng chung, phơng pháp giải chung cho dạng, giúp học sinh hiểu sâu, hiểu rộng vấn đề Giáo viên cần phải tìm hớng khai thác toán nhằm giúp học sinh hứng thú học tập, khơi dậy tính sáng tạo, độc lập toán cụ thể Diễn Châu, tháng 4/2209 Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy 15 [...]... toán cực trị đại số, thêm cho học sinh một phơng pháp giải cho học sinh; kích thích và gây hứng thú cho học sinh Ngoài ra học sinh còn linh hoạt vận dụng giải phơng trình và hệ phơng trình; chứng minh bất đẳng thức Học sinh tự mình đa ra các bài tập để giải, tăng tính sáng tạo, tự học Việc đa ra hệ thống các bài tập từ dễ đến khó, nâng cao dần, giúp cho các em nắm bài một cách dễ dàng 100% học sinh. .. có thể giải đợc các dạng đã nêu và những dạng phức tạp hơn D - Bài học kinh nghiệm: Để bài dạy có hiệu quả cao giáo viên cần nghiên cứu kỹ các tài liệu, tìm ra các bài tập có đặc điểm chung để phân dạng chung, phơng pháp giải chung cho mỗi dạng, giúp học sinh hiểu sâu, hiểu rộng vấn đề hơn Giáo viên cần phải tìm hớng khai thác mỗi bài toán nhằm giúp học sinh hứng thú học tập, khơi dậy tính sáng tạo,... tập 1.1 Học sinh có thể tìm ra và tự đặt ra các bài tập tơng tự để giải Tất nhiên không phải bao giờ các bài tập đều áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski trực tiếp, và chọn hai bộ số thích hợp một cách dễ dàng ta đi vào ví dụ phức tạp hơn một chút, cũng hoàn toàn nh ví dụ 1 đặt bài toán là Tìm GTLN của biểu thức: A = 3 x 4 + 8 8 x Đối với học sinh các em có thể chọn ngay đợc hai bộ số (3; 8) và ( x... về dạng 1 cho hai bộ số: ( 6 ; 5 ) và ( x 2 ; 3 x ) áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có : P2 = ( 6 x 12 + 15 5 x ) (6 + 5).( x 2 + 3 x) P 2 11 P 11 2 x2 3 x = x 2 3 x 28 = x= Dấu = xẩy ra 6 5 6 5 1 2 x 3 Hoàn toàn tơng tự nh vậy học sinh có thể giải nhanh, gọn và tự ra đợc những bài tập nh vậy để giải Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy 12 SKKN: áp dụng Bất... Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số Ví dụ: Bài tập 3.3: Tìm GTLN của P = 3 7 x 21 + 4 15 3 x với 3 x 5 P = 3 7 x 3 + 4 3 5 x HD: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (3 7 ;4 3 ) và ( x 3; 5 x ) Ta có dạng tổng quát : Bài tập 3.4 : Tìm GTLN của biểu thức ( xét trong điều kiện biểu thức có nghĩa) B = a1 x b1 + b2 a 2 x và b1 b 2 a1 a 2 Phơng pháp : B = a1 x b1 b2 + a2 x a1 a2 áp. .. đang thay đổi theo x Để ý chúng ta thấy rằng: với 0 x 4 thì : ( x) + ( ( x) + ( 2 2 ) 6 x) 4 x 2 = x+4 x = 4 2 = x+6x = 6 Từ đó ta áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số ( x; 6 x P2 = ( x P2 24 P 24 ) và ( 4 x; x ) ta có : 4 x + 6 x x ) 2 ( x + 6 x)( x + 4 x ) Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy 13 SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị... và ( 6 x; 4 x ) với 0 < x < 4 vô nghiệm Bài tập tự giải: Bài tập 3.5: Tìm GTLN của biểu thức a) M = 5 x 10 + 100 20 x b) N = 4 2 x 6 + 3 30 5 x Bài tập 3.6: Tìm GTLN của biểu thức: a) A = x(5 x) + 3 x(7 x) b) B = x(2 x) + x(5 x) Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy 14 SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số C- Kết quả: Việc giới thiệu ứng dụng. .. g(x) = 4 áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (1;1) ) và ( f ( x) ; ( gx) )ta có : A 2 =( x 4 + 8 x )2 (12 = + 12).(x - 4 + 8 - x) Ngời viết: Nguyễn Thị Hoan Mai Trờng THCS Cao Xuân Huy 11 SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số A2 = 2.4 =8 A = x4 + 8 x 8 x4 = 8 x x 4 = 8 x x=6 4 x 8 4 x 8 Dấu = xẩy ra Vậy Amax = 8 x = 6 Từ dạng 1 và bài...SKKN: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số 2 4 : 2x = : 4y = y x Dấu = xẩy ra 2 x + 4 y + 5 z = 11 x, y , z > 0 x= y = z = 1 5 : 5z z III Dạng III: Tìm GTLN của biểu thức có dạng: A = f (x) + g (x) Với ; ; k là các hằng số; f(x) 0; g(x) 0; f(x) + g(x) = k2 Nêu phơng pháp giải chung nh thế nào? Chọn bộ hai số nh thế nào cho thích hợp? *Phơng pháp giải: áp dụng. .. a1 a2 áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số ( a1 ; a 2 b b và x 1 ; 2 x a1 a 2 ) ( ) 2 2 ta có : B2 a1 + a 2 x b1 b2 + x a1 a 2 b1 b2 x x a1 a2 = a2 Dấu = xẩy ra a1 b1 x b 2 a1 a2 Chú ý: có thể vận dụng sáng tạo dạng này trong trờng hợp ; không phải là hằng số không? Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức: P = x ( 4 x ) + x (6 x ) với 0 x 4 Nếu áp dụng dạng