SKKN rèn kỹ năng tìm điểm rơi và kinh nghiệm áp dụng bđt cosi cho học sinh khá, giỏi lớp 9d, e trường THCS đông thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM ĐIỂM RƠI VÀ KINH NGHIỆM ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 9D, 9E TRƯỜNG THCS ĐÔNG THỌ Người thực : Lê Hoàng Liên Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THCS Đông Thọ SKKN thuộc (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 Phần 1: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Trong chương trình toán trung học sở, khối lượng kiến thức phong phú đa dạng Trong đó, tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị việc khó khăn với nhiều em học sinh Theo chương trình sách giáo khoa, nội dung lại khơng đề cập tới đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào THPT hay khảo sát lựa chọn để đề Thêm nữa, tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị lại khơng giống dạng khác tốn thường có cách giải khác nhau, ngồi việc áp dụng bước bản, đặc trưng cần thêm đánh giá riêng, địi hỏi người làm tốn cần sáng tạo, tư toán tốt đặc biệt cần có kinh nghiệm Đặc biệt, tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị đề tài lí thú Đại số, khó hút tìm tịi học sinh, mãi đối tượng nghiên cứu Toán học Từ yếu tố khách quan chủ quan đó, tơi lựa chọn nghiên cứu viết sáng kiến với nội dung “Rèn luyện kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Cơsi” nhằm tìm biện pháp hữu hiệu để giúp học sinh tiếp cận với bất đẳng thức cực trị cách chủ động, hệ thống, tạo hứng thú q trình học tốn Đề tài giúp tơi củng cố nghiệp vụ giảng dạy, bổ sung thêm vốn kiến thức cho thân giúp em yêu thích mơn Tốn Qua tơi xin trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp phương pháp dạy học, mong đề tài mở rộng phát triển Mục đích nghiên cứu: Sáng kiến kinh nghiệm việc củng cố kiến thức sách giáo khoa cung cấp kiến thức nâng cao, mở rộng rèn luyện kỹ giải dạng phương trình cho học sinh Với phương trình học sinh phát dạng tìm cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất, biết tổng quát toán đặt đề toán tương tự Từ học sinh phát triển tư logic, hiểu sâu kiến thức, có hứng thú nghiên cứu khoa học nâng cao hiệu giáo dục Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu học sinh khá, giỏi lớp 9D, 9E trường THCS Đông Thọ Thành phố Thanh Hóa Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp khảo sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, so sánh, quan sát, kiểm tra, đánh giá Tính đề tài, tính khả thi sáng kiến: - Tính mới: Học sinh có kĩ thuật tìm điểm rơi suy luận máy tính Casio, từ tách biểu thức ban đầu thành hạng tử để áp dụng bất đẳng thức Côsi Thay việc em thụ động lĩnh hội lời giải giáo viên truyền thụ Học sinh tự trả lời câu hỏi: “Tại lại tách vậy; không áp dụng BĐT Cơsi”; “Tại lời giải sai, sai đâu”… - Tính khả thi sáng kiến: Khi áp dụng sáng kiến vào ôn tập, học sinh tự tin, hứng thú giải loại tập bất đẳng thức tìm cực trị phương pháp áp dụng bất đẳng thức Côsi Đặc biệt định hướng phát triển lực: Tư duy, suy luận, kiểm tra, đánh giá, tính tốn, biến đổi…cho học sinh hiệu Sáng kiến tài liệu thiết thực để giáo viên, học sinh sử dụng ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi,…để nâng cao điểm số kỳ thi Phần 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận: Trong học dạng bất đẳng thức bất đẳng thức Côsi bấtđẳng thức nhất, áp dụng thường xuyên dễ hiểu đơn giản Tuy nhiên giải tập, để dùng bất đẳng thức cách sáng tạo, tự nhiên khơng mang tính áp đặt ta phải dùng đến phương pháp gọi phương pháp chọn điểm rơi bất đẳng thức Côsi Khi áp dụng bất đẳng thức Cơsi tốn tìm cực trị việc lựa chọn tham số để dấu = xảy quan trọng khó khăn Trong toán mà biến bị giới hạn điều kiện việc áp dụng trực tiếp dẫn đến nhiều sai lầm Vì sáng kiến tơi muốn trình bày phương pháp cụ thể áp dụng bất đẳng thức Côsi Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Thuận lợi - Nhà trường xây dựng hệ thống sở vật chất đầy đủ để phục vụ tốt trình học tập học sinh giảng dạy giáo viên Nhà trường đề cao, trọng đổi phương pháp, tạo điều kiện tốt để giáo viên nghiên cứu, tìm tịi thực nghiệm - Có nhiều học sinh nỗ lực, ham học hỏi, tự giác u thích mơn Tốn, thích khám phá kiến thức Khó khăn - Hệ thống sách tham khảo nâng cao cho mơn Tốn thư viện nhà trường cịn ít, chưa phong phú chủ đề - Một phận học sinh cịn ham chơi, học cầm chừng, chưa có thói quen tự đọc sách, tự nghiên cứu,… - Giáo viên có thời gian để nghiên cứu, tìm tịi Thực trạng Hiện nay, chương trình học mơn Tốn nói riêng chương trình mơn học học sinh THCS nói chung tương đối nhiều kiến thức Tuy nhiên, mơn Tốn, kiểm tra, đánh giá, thi học sinh giỏi hay thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, cấu trúc đề thi phân theo cấp độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng cấp thấp, vận dụng cấp cao Bởi đề thường xuất 5-10% trở lên câu hỏi khó bất đẳng thức thường lựa chọn nhiều Tuy nhiên thời lượng để rèn học sinh dạng ít, giáo viên thấy khó nên né tránh, học sinh thấy khó lườivà em va chạm, khơng có phương pháp, kinh nghiệm mà thi phải thi! Điểm thấp, em dễ bi quan, dẫn đến chán học, tự ti học thi Tốn Ngồi ra, việc học Tốn học mơn khác, giống cơng việc, cịn phụ thuộc vào khiếu, tố chất học sinh, người Vậy mà, đề kiểm tra lớp giống dẫn đến điểm số chênh lệch Đây lí ảnh hưởng đến tính tự ti, nhút nhát học sinh Nhiệm vụ người dạy học khơng phải dạy chữ mà cịn phải khơi lên cho em niềm tin toán, hoạt động sống Khảo sát thực tiễn đề tài: *) Số liệu thống kê Khi chưa áp dụng đề tài, tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ qua khảo sát 40 học sinh khá, giỏi mơm Tốn lớp 9D, 9E trường THCS Đông Thọ nhận kết sau: Số học sinh Tỷ lệ Kết 22,5% Giải 15 37,5% Chưa giải 16 40% Không biết cách giải Các giải pháp thực 4.1 Cơ sở lí thuyết: 4.1.1 Bất đẳng Cơsi: Nếu a; b ≥ ta có BĐT: a + b ≥ ab Dấu xảy a = b 4.1.2 Các dạng thường gặp BĐT Côsi: Dạng 1: a + b ≥ ab với a; b ≥ a+b ≥ ab với a; b ≥ Dạng 2: 2 ≥ Dạng 3: với a > ; b > a+ b ab 1 Dạng 4: + ≥ với a; b > (BĐT phụ) a b a+b 4.1.3 Công thức mở rộng BĐT Côsi: 4.1.3.1Cho a, b, c số không âm a+ b + c ≥ abc Dấu xảy a = b = c Khi đó: 4.1.3.2Cho a1; a2; a3; an ; số không âm a + a + + an n ≥ aa Khi đó: 2 an n Dấu xảy a1=a2 =a3 = = an ; 4.2 Phương pháp kĩ năng: 4.2.1 Điểm rơi: 4.2.1.1 Khái niệm điểm rơi: Là giá trị biến làm cho BĐT xảy dấu 4.2.1.2 Ví dụ điểm rơi: Ví dụ 1: Bất đẳng thức ( x − 1) ≥ ∀x Dấu xảy x -1 = hay x = Khi x =1 cịn gọi điểm rơi BĐT 1 Ví dụ 2: Cho a, b >0, a+b ≤ 1.Ta chứng minh BĐT: a + b + + ≥ a b 1 Điều kiện xảy dấu a = b = Khi a = b = cịn 2 gọi điểm rơi BĐT 4.2.2 Biểu thức có tính chất đối xứng: 4.2.2.1 Khái niệm tính đối xứng:Là biểu thức mà thay ẩn ẩn đẳng thức hay BĐT đẳng thức, BĐT khơng thay đổi giá trị 4.2.2.2 Ví dụ: x2 + y x2 y2 z2 a b a2 + b2 ab A = P = + + A= + ; ;A = ; + 2; xy y +z x+z y +x b a ab a +b Q = a b − + b a − ;… 4.2.2.3 Kinh nghiệm: -Khi gặp BĐT có tính đối xứng, giá trị điểm rơi giá trị biến - Thông thường giá trị điểm rơi đạt biên điều kiện đề cho 4.2.2.4 Các toán minh họa: a b Bài 1: Cho a> 0; b> ta có: + ≥ b a Nhận xét: Đây kết việc áp dụng BĐT Côsi trực tiếp cho hai số dương a b Nếu tổng quát nên ta có tốn 2: b a Bài 2: Cho x > Chứng minh rằng: x + ≥ x Bài ta áp dụngtrực tiếp BĐT Côsi cho hai số dương x Nếu x thay điều kiện x > điều kiện x ≥ 1; x ≥ 2; x ≥ 9; lời giải tốn nào??? Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + với x a) < x ≤ b) x ≥ 1 Sai lầm: A = x + ≥ x = x x Nguyên nhân: Theo có Min A = x = ⇔ x = Điều x mâu thuẫn với giả thiết < x ≤ Lời giải đúng: 1 17 a)Dự đoán điểm rơi x = Thử: A = x + = + = x 4 Tìm điểm rơi: Gọi k số thựctùy ý cho: x = k x 1 vào x = k ta có k = x 16 Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: 15 15 15 A=x+ + ≥ x + ≥ + 16x 16x 16x 16x 16x 1 15 15 15 17 ≥ Vậy A ≥ + = Do x ≤ ⇒ ≥ ⇒ nên A có giá trị nhỏ x 16x 4 17 x = 4 Nhận xét: - Trong này, điểm rơi chọn x = Đây giá trị biên điều kiện cho - Trong lời giải ta cố định x tách Vậy tương tự ta có x Thay x = thể cố định tìm k tương tự x 1 = 2+ = x 2 Tìm điểm rơi: Gọi k số thực tùy ý cho: x = k x 1 Thay x =2 vào = k x ta có k = x Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: x 3x x 3x x 3x 3x A= + + = + + ≥2 + ≥ 1+ 4 x x 4 x 4 3x 3 5 ≥ = Do x ≥ ⇒ Vậy A ≥ 1+ = nên A có giá trị nhỏ 4 2 2 x =2 Nhận xét: - Trong này, điểm rơi chọn x=2 Đây giá trị biên điều kiện cho -Trong lời giải ta cố định tách x Vậy tương tự ta x cố định x tìm k tương tự x+4 x +5 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x +2 Giải: b)Dự đoán điểm rơi x = Thử: A = x + Biến đổi A = x + x + = x +2 ( ) x + +1 x +2 Đặt t = x + 2, t ≥ suy A = t + t Theo 3b ta có A = t =2 suy x = Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + Giải: x +2 = x + 2+ x +2 1 = x + + −2 x2 + x2 + Đặt t = x + 2, t ≥ suy A = t + − t Theo 3b ta có A = - = t =2 suy x = 2 Nhận xét: Kinh nghiệm giải Bài Bài 5chính kinh nghiệm biến đổi để đưa tổng hai nghịch đảo hai số dương x2 + y A = Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: xy với x + = x;y >0 y x2 + y x y = + Giải:Biến đổi A = xy y x x Đặt t = , suy A = t + y t x 1 x 2 Mà ta có 1= x + ≥ x = Suy ≤ Hay < t ≤ y y y y Biến đổi A = x + 1 Thử: A = t + = + = t 2 Tìm điểm rơi: Gọi k số thực tùy ý cho: = k t t 1 Thay t = vào = k t ta có k = t Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: 1 A = 4t − 3t + = 4t + − 3t ≥ 4t − 3t ≥ − 3t t t t −3 ⇒ − 3t ≥ − = Do < t ≤ ⇒ −3t ≥ 2 2 Dự đoán điểm rơi t =  x t = ⇒ y =   x = ⇔ Vậy Min A =  2 x +  =1 y =  y2 Nhận xét: Bài toán cho ta kinh nghiệm kinh nghiệmtìm giá trị 1  biên điều kiện  < t ≤ ÷ 2  1 Bài 7: Cho a, b >0, a+b ≤ 1.Chứng minh rằng: a + b + + ≥ a b Giải: 1 1 Dự đoán điểm rơi a = b = Thử: VT = a + b + + = + + + = a b 2 Tìm điểm rơi: Gọi k số thực tùy ý cho: = k a a 1 Thay a = vào = k a ta có k = a Gọi m số thực tùy ý cho: = mb b 1 ta có m = Thay b = vào = mb b Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: 1  1 1  VT =  4a + ÷+  4b + ÷− 3( a + b ) ≥ 4a + 4b − 3( a + b ) a  b a b  = + − 3.1 =5 (Do a+b ≤ 1) 1 Vậy a + b + + ≥ Điều kiện xảy dấu a = b = a b Nhận xét: Nhìn lại lời giải tập khẳng định cho ta điều: Tiến trình để giải gồm có bước sau: -Dự đốn điểm rơi - Thử - Tìm điểm rơi - Tách, áp dụng BĐT Côsi - Kết luận, điều kiện xảy dấu Bài 8: Cho x, y > 0, x+y ≥ 6.Chứng minh rằng: P = x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ 12 Giải: Dự đoán điểm rơi x = y = Thử: VT = 3( − 1) + 3( − 1) = 12 (Đúng) 2 Biến đổi: P = x + y − ( x + y ) Tìm điểm rơi: -Với x = ta có: x = 32 = - Với y = ta có: y = 32 = Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: P = x + + y + − ( x + y ) − 18 ( ) ( ) ≥ 6x +6y − ( x + y ) − 18 = 5( x + y ) − 18 ≥ 30 − 18 = 12 Vậy P = x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ 12 Điều kiện xảy dấu x= y =3 Nhận xét: Như có cần phải biến đổi tìm điểm rơi áp dụng BĐT Cơsi Ngồi ln cần kết hợp với giả thiết để có hướng biến đổi Ví dụ tập có điều kiện x+y ≥ nên chọn cách thêm 9, áp dụng BĐT Côsi cho cặp số x vµ 9; y2 vµ Bài 9: Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c =1.Chứng minh rằng: S = a+b + b + c + c + a ≤ Giải: 1 1 1 Dự đoán điểm rơi a = b = c = Thử: S = + + + + + = 3 3 3 2 Tìm điểm rơi: Với a = b = c = ta có: a + b = ; b + c = ; c + a = 3 3 Biến đổi áp dụng BĐT Côsi ngược ta được: 3 S= ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) 3 2 2  a + b + b + c + c + a + 3 3+ 3+ ÷ = ( a + b + c + 1) ≤ 3.2 = ≤  ÷ 2 2 2 ÷   Vậy S = a + b + b + c + c + a ≤ Điều kiện xảy dấu a = b = c = Nhận xét: Trong toán vào chiều BĐT cần chứng minh ta a+b cần xác định chiều áp dụng BĐT Cơsi chiều ngược: ab ≤ Ngồi có giả thiết a+b+c = nên ta đưa tổng a+b+c mà không cần tách (thêm,bớt) Bài 10: Cho a, b >1.Chứng minh rằng: a b − + b a − ≤ ab Giải: Dự đoán điểm rơi a = b (Do biểu thức cho có tính đối xứng) Thử: a a − + a a − = a2 ⇔ 2a a − = a2 ⇔ a = h c a =2 Do a > Suy a = b =2 Tìm điểm rơi: Với a = ⇒ a − 1= 1; b = ⇒ b − 1= Áp dụng BĐT Cô si ngược ta được: b − 1+ ab a − 1+ ab = b ( a − 1) ≤ b = ; 2 2 Cộng theo vế hai BĐT ta được: a b − + b a − ≤ ab Điều kiện xảy dấu a = b = Nhận xét: Trong toán biểu thức có tính chất đối xứng, khơng có giá trị biên, nên ta dự đoán điểm rơi a = b, sau tìm giá giá trị biên điểm rơi áp dụng BĐT Côsi Bài 11: Cho x, y, z >0; x+y+z=2.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 y2 z2 P= + + y +z x+z y +x Giải: 4 Dự đoán điểm rơi x = y = z = Thử: P = + + = 2 2 2 + + + 3 3 3 Tìm điểm rơi: x2 = k ( y + z ) -Gọi k số thực tùy ý cho: y +z x2 = k ( y + z ) ta có k = - Thay x = y = z = vào y +z x Áp dụng BĐT Côsi cho hai số ( y + z ) ta được: y +z a (b − 1).1 ≤ a x2 y +z x2 y + z + ≥ =x y +z y +z z2 1 y2 Tương tự áp dụng cho cặp : ( x + z ) cặp ( x + y ) Ta x+y 4 x+z y y2 x + z được: + ( x + z) ≥ =y x+z x+z z2 + z2 x + y =z ( x + y ) ≥ x+y x+y Cộng theo vế ba BĐT ta được: x+y +z x2 y2 z2 x+y +z P+ ≥x+y +z ⇒P = + + ≥ =1 y +z x+z y +x 2 Điều kiện xảy dấu x = y = z = 10 Nhận xét: Nhờ có kĩ thuật tìm điểm rơi mà áp dụng BĐT Côsi cho ba x2 z2 1 y2 cặp số: và ( y + z) ; ( x + z ) cặp số x + y y +z 4 x+z ( x + y ) cách tự nhiên có lời giải dễ hiểu x2 y2 z2 S = + + ≥ Bài 12: Cho x, y, z >0; xyz= 1.Chứng minh 1+ y 1+ z 1+ x Giải: Dự đoán điểm rơi x = y = z = x2 y2 z2 1 + + = + + = (thỏa mãn) Thử: S = 1+ y 1+ z 1+ x 1+ 1+ 1+ Tìm điểm rơi: x2 = k ( 1+ y ) Thay x = y = vào -Gọi k số thực tùy ý cho: 1+ y x2 = k ( 1+ y ) ta có k = 1+ y y2 - Gọi m số thực tùy ý cho: = k ( 1+ z ) Thay z = y = vào 1+ z y = k ( 1+ z ) ta có m = 1+ z z2 - Gọi n số thực tùy ý cho: = k ( 1+ x ) Thay z = x = vào 1+ x z2 = k ( 1+ x ) ta có n = 1+ x x2 Áp dụng BĐT Cô si cho hai số ( 1+ y ) ta được: 1+ y x2 1+ y x 1+ y + ≥ =x 1+ y 1+ y 1 y2 z2 ( 1+ z ) cặp số ( 1+ x ) 4 1+ z 1+ x y 1+ z y 1+ z + ≥ =y 1+ z 1+ z Tương tự áp dụng cho cặp số: Ta được: z2 1+ x z 1+ x + ≥ =z 1+ x 1+ x Cộng theo vế ba BĐT ta được: x + y +z +3 x2 y2 z2 3 S+ ≥x + y +z ⇒S = + + ≥ ( x + y + z) − 1+ y 1+ z 1+ x 4 11 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số x, y, z >0 ta có: x + y + z ≥ 3.3 xyz = 3 3 Suy S ≥ 3− = Điều kiện xảy dấu x = y = z = 4 x2 y2 + ≥8 Bài 13: Cho x, y > 1.Chứng minh rằng: y −1 x −1 Giải: Dự đoán điểm rơi x = y x2 x2 Thử:VT = + = ⇔ x = 4x − ⇔ x = x −1 x −1 Vậy dự đoán điểm rơi x= y = x2 = k ( y − 1) Tìm điểm rơi: Gọi k số thực tùy ý cho: y −1 x2 x = y = = k ( y − 1) ta có k = Thay vào y −1 x2 vµ 4.( y − 1) ta được: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số y −1 x2 + 4.( y − 1) ≥ 4x (1) y −1 y2 Tương tự, áp dụng BĐT Cơ si cho hai số vµ 4.( x − 1) ta được: x −1 y2 + 4.( x − 1) ≥ 4y (2) x −1 Cộng theo vế (1) (2) ta được: x2 y2 + 4.( y − 1) + + 4.( x − 1) ≥ 4x + 4y y −1 x −1 ⇔ x y2 ≥ 4( x + y ) − 4( x − 1+ y − 1) = y −1 x −1 Dấu xảy x=y = Bài 14: Cho a, b> 0; a+b ≤ Tìm GTNN biểu thức: 1 P= + 2 1+ a + b 2ab + Giải: Dự đoán điểm rơi a = b = Sai lầm: Ta thấy biểu thức có dạng Thử: P= +  1  1 1+  ÷ +  ÷  2  2 = 11 22 1 + ≥ nên áp dụng ta a b a+b 12 P= 1 4 + ≥ = ≥2 2 2 1+ a + b 2ab 1+ a + b + 2ab 1+ ( a + b ) Nguyên nhân: Nếu điều kiện xảy dấu 1+ a2 + b2 = 2ab ⇔ ( a − b ) + 1= (Điều vơ lí) -Tìm điểm rơi:Gọi k số thực tùy ý cho 1 = 2 1+ a + b k ab 1 = Thay a = b = vào đẳng thức suy k =6 2 1+ a + b k ab 1 + + Tách P = 1+ a2 + b2 6ab 3ab 1 1 ; Áp dụng BĐT + ≥ cho hai số Ta được: 2 a b a+b 1+ a + b 6ab 1 4 P= + + ≥ + ≥ + 2 1+ a + b 6ab 3ab ( a + b ) + 1+ 4ab 3ab + 4ab 3ab Áp dụng BĐT Côsi P≥ a + b) cho hai số a, b ta có: ab ≤ ( + ≥ + 4ab 3ab suy ra: 4 ( a + b) + 4 xảy khi: a = b = + ( a + b) ≥ + Bài 15: Cho a, b> 0; a+b ≤ Tìm GTNN biểu thức: A = + Dấu = 3 + a +b 4ab 2 4.2.3 Biểu thức khơng có tính chất đối xứng: 4.2.3.1 Khái niệm: Là biểu thức mà thay ẩn ẩn đẳng thức hay BĐT đẳng thức, BĐT thay đổi giá trị 10 1 4.2.3.2 Ví dụ: A= x + ; P = 5x + 3y + + ; Q = 4x − 3x + x y x 4x 4.2.3.3 Kinh nghiệm: Đối với số BĐT khơng đối xứng dấu BĐT BĐT thường xảy giá trị biến tương ứng khơng Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải toán BĐT dạng không đối xứng cần thiết Một kỹ thuật xây dựng thuật toán thứ tự gần (kỹ thuật điểm rơi) Kỹ thuật chủ yếu thườn giá trị trung gian xác định theo cách chọn đặc biệt , máy tính để tất dấu đẳng thức đồng thời xảy Đáp số: MinA = a = b = 13 4.2.3.4 Các toán minh họa: Bài 1: Cho x ≥ Tìm A = x + x Sai lầm: x 7x x 7x 7x 7.2 A=x+ = + + ≥ + = + ≥ + = x x 8 x 8 8x 8.2 Nguyên nhân: Theo có Min A = đáp số Nhưng sai việc đánh 2 ≥ giá mẫu số: “Với x ≥ suy 8x 8.2 Giải: 1 -Dự đoán điểm rơi x = Thử: A = x + = + = x 4 1 ; = n.x - Tìm điểm rơi: Gọi m, n số thực tùy ý cho: = mx x x 1 1 ; = n.x; ta có m = ;n = - Thay x = vào = mx x x 8 Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: x x 3x x x 3x 3.2 A= + + 2+ ≥ 3.3 + ≥ + = 8 x 8 x 4 4 Vậy minA = x =2 Bài 2: Cho x, y > thỏa mãn điều kiện x +y ≥ 6.Tìm GTNN biểu thức: 10 P = 5x + 3y + + x y Giải: -Dự đoán điểm rơi x + y = ⇒ x = − y Thay vào P ta có: 10 + Thử: P = 5( − y ) + 3y + 6− y y -Dùng máy tính dự đoán điểm rơi x = 2; y =4 10 = kx - Tìm điểm rơi: Gọi k số thực tùy ý cho: x 10 = kx ⇒ k = Thay x = vào đẳng thức x Gọi m số thực tùy ý cho: = my y Thay y = vào đẳng thức = my ⇒ m = y 10 5x y + + + ( x + y) Tách P = + x y 2 14 Áp dụng BĐT Cơsi cho cặp số: 10 5x y vµ ; vµ ta có: x y 10 5x y 5 +2 + ( x + y ) ≥ 2.5+2.2 + = 29 x y 2 Dấu xảy x = 2; y= + 2017 Bài 3: Cho x > 0.Tìm GTNN biểu thức: P = 4x − 3x + 4x Nhận xét: Đây biểu thức không đối xứng, lại giá trị biên Ta dùng máy tính để dự đốn tìm điểm rơi sau: - Dùng Table: Ấn mode/7/nhập f(x)/=/start (do có đk x>0 nên ta ấn 0)/=/end (không nên chọn giá trị lớn, ta nhập 5)/=/step (ở ta nhập 0,5)/=/xuất bảng có cột x f(x) (Ta dóng phán đoán x = điểm rơi) d - Ta kiểm tra lại: Trở lại chế độ ban đầu: ấn mode/shift/ / ta nhập d( x) d / x = nhập ô vuông thứ f(x); nhập x = vào công thức: d( x) Nếu kết x = điểm rơi Giải -Tìm tham số: - Gọi k số thực cho: kx = 4x 1 - Thay x = vào kx = ta có k = 4x - Tách áp dụng bất đẳng thức Côsi: 1   P = 4x − 4x + 1+ x + + 2016 = ( 2x − 1) +  x + ÷+ 2016 4x x   P ≥2 ( ) ≥ + x + 2016 = 2017 4x Bài 4: Cho số x; y; z dương cho x + y + z =1 Tìm GTNN biểu thức: a)A = x + y + z b)B = x + y + 3z c) C = x + 2y + 3z Giải: a)Nhận xét: Biểu thức A biểu thức đối xứng Tuy nhiên từ biểu thức ta dẫn tới lời giải cho biểu thức B C khơng có tính đối xứng Vì trước tiên tìm lời giải cho biểu thức A sau: Vậy GTNN P = 2017 x = 15 2 - Dự đoán điểm rơi x = y = z = Thử: A =   +   +   =  ÷  ÷  ÷    3  3 - Tìm điểm rơi: Gọi m số thực dương cho: x = m2 1 Thay x = vào x = m2 ta có m = Tương tự ta có: 3 1 1 Thay y = vào y = n2 ta có n = ; Thay z = vào z = k ta có k = 3 3 1 2x -Áp dụng BĐT Côsi lần ta được: x + ≥ x = Tương tự: 9 1 2y 1 2z y + ≥ y = ; z + ≥ z = 9 9 Cộng theo vế BĐT có: 1 2x 2y 2z 2 x2 + + y + + z + ≥ + + = ( x + y + z) = 9 3 3 ⇒ x2 + y + z ≥ 1 Vậy minA = x = y = z = 3 x = y b) Dự đoán điểm rơi - Tìm điểm rơi: Gọi m, n, k số thực dương cho: x = m ; y = n ; 3z = k (Điều kiện để xảy dấu bằng) Cần lưu ý sau áp dụng Côsi ta cần cộng theo vế để tạo tổng x +y +z nênta có m = n = 3k Kết hợp với điều kiện: x + y + z =1  n=   ⇒ m + n + 3k = 1⇒ m = 1⇒ m = ⇒   k=  27 1 2x -Áp dụng BĐT Côsi lần ta được: x + ≥ x = Tương tự ta 9 1 2y 1 2z có: y + ≥ y = ; 3z + ≥ 3z = 9 27 27 Cộng theo vế BĐT có: 1 2x 2y 2z 2 x + + y + + 3z + ≥ + + = ( x + y + z) = 9 27 3 3 11 ⇒ x + y + 3z ≥ 27 1 11 Vậy B = x = y = ;z = 27 16 Nhận xét: Tổng quát từ hai phần tập ta thấy, việc tìm số phụ m, n, ax = by = cz = α k sau: Giải hệ điều kiện:  Từ ta tìm giá trị x + y + z = α Ví dụ: - Trong phần a ta có a=b=c=1 suy α = - Trong phần b ta có a = b =1; c=3 suy α = - Tương tự phần c ta có a=1; b=2; c=3 4.2.4 Nhận xét chung: * Khi biểu thức có tính đối xứng, ta cần ghi nhớ kinh nghiệm: - Nếu ta dự đoán áp dụng BĐT Cơsi cần kiểm tra điều kiện xảy dấu có thỏa mãn khơng Nhiều trường hợp áp dụng BĐT Côsi lại không xảy dấu bằng, sai lầm em thường xuyên mắc phải -Giá trị điểm rơi giá trị biến - Thông thường giá trị điểm rơi đạt biên điều kiện đề cho * Khi biểu thức khơng có tính đối xứng, ta cần ghi nhớ kinh nghiệm: - Nhiều biểu thức không đối xứng, lại khơng có giá trị biên Ta dùng máy tính cầm tay Casio để dự đốn tìm điểm rơi chức Table - Đối với số BĐT khơng đối xứng dấu BĐT BĐT thường xảy giá trị biến tương ứng không Ta cần ghi nhớ bước bản: -Dự đốn điểm rơi (Có thể cần dùng máy tính Casio) -Thử -Tìm điểm rơi -Tách, áp dụng BĐT Cô-Si -Kết luận, điều kiện xảy dấu 4.2.5 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + x ≥ x a2 + b2 ab Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = + 2 ab a +b Bài 3: Cho ba số dương x, y, z xy + yz + zx = x2 y2 z2 A = + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y+ z x+ z x+ y x2 y+z x2 y + z + =≥ = x (1) Hướng dẫn: Ta có y+z y+z 17 y2 x+z z2 x+y + ≥ y (2) ; + ≥ z (3) Tương tự ta có: x+z x+y x2 y2 z2 x+ y+ x + + ≥ Cộng (1) ,(2) , (3) theo vế ta được: y+ z x+ z x+ y x+ y y+ z z+ x ≥ xy ; ≥ yz ; ≥ zx nên Theo bất đẳng thức Côsi: 2 xy + yz + zx x+ y+ x ≥ = 2 1 Suy giá trị nhỏ A = x= y=z = Bài 4:Cho x, y, z > thoả mãn: x + y + z = Tìm GTNN biểu thức x2 y2 z2 + + P= y+z z+x x+y Hướng dẫn: x2 y+z Vì x, y, z > Áp dụng BĐT Côsi số dương ta được: y+z x2 y +z + ≥2 y +z x2 y +z x =2 = x (1) y +z y2 x+z + ≥ y (2) Tương tự ta có: x+z z2 x+y + ≥ z (3) x+y Cộng (1) , (2) , (3) theo vế ta được:  x2 y2 z2  x + y + x + + ≥x + y +z  ÷+  y +z z +x x + y  x + y +z ⇒P ≥ ( x + y + z ) − =1 2 Vậy P = ⇔x = y = z = 3 Bài 5: Cho a; b; c >0 a + b + c =3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 c2 A= + + a + 2b b + 2c c + 2a Hướng dẫn: m n p (m + n + p ) + + ≥ Cách 1:Chứng minh BĐT : với x;y;z >0 x y z x+ y+z (a + b + c) a2 b2 c2 ≥ Ta có : A = + + 2 a + 2b b + 2c c + 2a a + b + c + 2(a + b + c ) = AMin = Khi a = b = c = + 2( a + b + c ) Cách 2: Tìm điểm rơi ta tìm Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = 18 a2 b2 c2 A= + + ≥ − ( a + b + c ) Sau ta chứng minh tiếp 2 a + 2b b + 2c c + 2a ≥ Bài 6: Cho x> 0; y>0 x+y Tìm GTNN biểu thức: 12 16 P = 5x + 3y + x + y  Hướng dẫn: P = 2( x + y ) +  3x +  12   16  12 16  +  y +  ≥ 12 + x + y x  y x y = 12 + 12 + = 32 Dấu xảy ⇔ 3x = 16 12 ⇔ x = y = y = y x Vậy P= 32 x = 2; y = Bài 7: (Đề tuyển sinh lớp 10 Bắc Giang 2017-2018)Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2a + 3b ≤ Tìm GTNN biểu thức: 2002 2017 Q= + + 2996a − 5501b a b Bài 8: (Đề tuyển sinh lớp 10 Lạng Sơn 2017-2018) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx =xyz Chứng minh rằng: xy yz zx + + ≥ z ( + x ) ( + y ) x ( + y ) ( + z ) y ( + z ) ( + x ) 16 Bài 9: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2a + 4b + 6c + 12 20 + + a b c Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết quả, đánh giá Thơng qua q trình viết áp dụng sáng kiến“Rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi” nhận thấy nội dung sáng kiến phần đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học, phát huy tính tích cực chủ động học tập học sinh giúp em u thích mơn học học tập tiến Đồng thời giúp cho em hứng thú say mê, u thích mơn học, khơng ngừng phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học tập, tạo sở vững cho em tiếp tục học nghiên cứu mơn Tốn lớp Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm“Rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi” vào giảng dạy, ôn thi cho em học sinh giỏi ôn thi vào THPT, nhận thấy điểm số em đạt nâng cao rõ rệt Các em không né tránh câu hỏi dạng mà ngược lại em trở nên yêu thích dạng Qua khảo sát kết có nhiều khả quan sau: - HS khá, giỏi mơm Tốn: Số học sinh u thích mơn đại số Số học sinh giải tốt toán cực trị Trước vận Sau vận Trước vận Sau vận dụng đề tài dụng đề tài dụng đề tài dụng đề tài 25/40 36/40 9/40 22/40 học sinh học sinh học sinh học sinh 19 - HS tham gis thi HSG cấp TP mơn Tốn trường THCS Đơng Thọ: STT Họ tên Lớp Giải Trương Hữu Khanh 9D Nhì Nguyễn Viết Lâm 9D Nhì Nguyễn Đồn Ngun An 9E Ba Đặng Trí Đức 9D Ba Chu Tuệ Lan 9E Ba Tính ứng dụng đề tài Phương pháp nghiên cứu đề tài vận dụng với đại số nói chung, luyện tập tốn nói riêng áp dụng vào mơn học khác Giáo viên dùng làm tài liệu giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vòa lớp 10 PTTH Nếu cho phép, thực chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán cho học sinh Phần 3: KẾT LUẬN Kết luận: Trên vài kinh nghiệm mà tơi rút q trình dạy học “Rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Cơsi” Có thểcịn đơi chỗ chưa rõ, chưa hay chưa đầy đủ, hy vọng tài liệu tham khảo hiệu đồng nghiệp cho học sinh Bước đầu em cần hiểu khái niệm: “Điểm rơi”, “BĐT đối xứng”, “BĐT không đối xứng” Đặc biệt em cần tích lũy cho số kinh nghiệm tìm điểm rơi, tìm tham số, kinh nghiệm chọn chiều BĐT Cơsi,…Các em ghi nhớ rèn cho bước giải như: Dự đoán điểm rơi kinh nghiệm, máy tính, gọi tham số, tìm tham số, tách biểu thức áp dụng BĐT Côsi, tìm điều kiện xảy dấu Sáng kiến mang lại tự tin cho học sinh giải tốn BĐT, tìm GTLN, GTNN Các em biết nguyên nhân sai lầm thường mắc biết cách khắc phục giải toán dạng Đặc biệt, sáng kiến rèn luyện cho em khả năng, kinh nghiệm tư duy, suy luận, sáng tạo tình yêu với mơn Tốn Tuy nhiên, hạn chế thời gian kinh nghiệm, nên sáng kiến sốkiến thức phương pháp chưa thể đầy đủ nên mong quý bạn đọc đồng nghiệp có ý kiến đóng góp nhằm phát triển cho sáng kiến hoàn thiện Kiến nghị Những sáng kiến kinh nghiệm hay thành phố, Phòng Giáo dục nên tổ chức hội thảo cho giáo viên thành phố học tập áp dụng sáng kiến để nâng cao chất lượng dạy học Trong q trình làm đề tài tơi cố gắng để phân dạng phương trình vơ tỷ nhằm áp dụng có hiệu Tuy nhiên q trình thực cịn có thiếu sót, vướng mắc mong đồng chí đồng nghiệp góp ý để hồn thiện đề tài tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! 20 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2020 CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết Lê Hoàng Liên 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách tập Toán tập Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Tôn Thân chủ biên Sách nâng cao phát triển Toán 9tập Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, tác giả Vũ Hữu Bình Sách nâng cao phát triển Toán 8tập Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, tác giả Vũ Hữu Bình 500 toán nâng cao lớp Nhà xuất Thanh Hóa, tác giả Lê mậu Thống, Lê mậu Thảo Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán Nhà xuất Giáo dục, tác giả Bùi Văn Tuyên Trang mạng https://violet.vn/ Trang mạng https://www.youtube.com/watch Một số trang mạngkhác Một số đề thi HSG, đề tuyển sinh lớp 10 huyện, tỉnh số tỉnh khác 22 STT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 MỤC LỤC Nội dung Phần 1: Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Tính đề tài, tính khả thi sáng kiến Phần 1: Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lý luận Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Khảo sát thực tiễn đề tài Các giải pháp thực tiễn 4.1 Cơ sở lý thuyết 4.1.1 Bất đẳng Côsi 4.1.2 Các dạng thường gặp BĐT Côsi 4.1.3 Công thức mở rộng BĐT Côsi 4.2 Phương pháp kĩ 4.2.1 Điểm rơi 4.2.1.1 Khái niệm điểm rơi 4.2.1.2 Ví dụ điểm rơi 4.2.2 Biểu thức có tính chất đối xứng 4.2.2.1 Khái niệm tính đối xứng 4.2.2.2 Ví dụ 4.2.2.3 Kinh nghiệm 4.2.2.4 Các tốn minh họa 4.2.3 Biểu thức khơng có tính chất đối xứng 4.2.3.1 Khái niệm: 4.2.3.2 Ví dụ 4.2.3.3 Kinh nghiệm 4.2.3.4 Các toán minh họa 4.2.4 Nhận xét chung 4.2.5 Bài tập áp dụng Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 5.1 Kết đánh giá 5.2 Tính ứng dụng đề tài Phần 3: Kết luận Kết luận Một số khuyến nghị, đề xuất Tài liệu tham khảo Mục lục Trang 1 1 1 2 3 3 3 3 3 4 4 12 12 12 12 13 16 16 18 18 19 19 19 19 21 22 23 24 ... Tốn lớp Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm? ? ?Rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi” vào giảng dạy, ôn thi cho em học sinh giỏi ôn thi vào THPT, nhận thấy điểm số em đạt nâng... học sinh giỏi, ơn thi vịa lớp 10 PTTH Nếu cho phép, thực chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán cho học sinh Phần 3: KẾT LUẬN Kết luận: Trên vài kinh nghiệm mà rút trình dạy học ? ?Rèn kĩ tìm điểm. .. “BĐT đối xứng”, “BĐT không đối xứng” Đặc biệt em cần tích lũy cho số kinh nghiệm tìm điểm rơi, tìm tham số, kinh nghiệm chọn chiều BĐT Côsi,…Các em ghi nhớ rèn cho bước giải như: Dự đốn điểm rơi