Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài toán về đường tròn cho học sinh khá giỏi lớp 9 -Trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ KIỀU OANH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CÁC BÀI TỐN VỀ ĐƯỜNG TRỊN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP TRUNG HỌC CƠ CỞ LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60.14.01.11 HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ KIỀU OANH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP TRUNG HỌC CƠ CỞ LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: Lý luận Phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60.14.01.11 Cán hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Chí Thành HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Nguyễn Chí Thành người Thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Giáo Dục _Đại họcQuốc Gia Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu đề tài Xin cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THCS Đền Lừ, Hoàng Mai, Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập, cơng tác thực luận văn tốt nghiệp Tuy có nhiều cố gắng, song chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp chân tình thầy giáo, đồng nghiệp bạn bè quan tâm Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Kiều Oanh i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ GV Giáo viên HS Học sinh Nxb Nhà xuất PBT Phiếu tập THCS Trung học sở SGK Sách giáo khoa ii DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 3.1: Đánh giá kết kiểm tra kỹ khai thác toán 79 Bảng 3.2: Đánh giá kết kiểm tra kỹ vẽ thêm đường phụ 79 iii DANH MỤC BIỂU ĐỒ, ĐỒ THỊ Biểu đồ tần suất 3.1: Kết kiểm tra nội dung khai thác toán lớp 9A 80 Biểu đồ tần suất 3.2: Kết kiểm tra nội dung khai thác toán lớp 9C 81 Biểu đồ tần suất 3.3: Kết kiểm tra nội dung vẽ thêm hình phụ lớp 9A 81 Biểu đồ tần suất 3.4: Kết kiểm tra nội dung vẽ thêm hình phụ lớp 9C………………………………………………………………………… 82 iv MỤC LỤC Lời cảm ơn i Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt ii Danh mục bảng .iii Danh mục biểu đồ iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Khách thể nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nội dung nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu luận 10 Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Lý luận dạy học giải tập toán 1.1.1 Vai trò ý nghĩa việc giải tập tốn trường phổ thơng 1.1.2 Chức giải tập toán 1.2 Kỹ 1.2.1 Kỹ gì? 1.2.2 Đặc điểm kỹ 1.2.3 Sự hình thành phát triển kỹ 1.2.4 Phân biệt kỹ với lực 10 v 1.3 Giải toán kỹ giải toán 11 1.3.1 Kỹ giải toán 11 1.3.2 Sự hình thành kỹ giải toán 12 1.3.3 Dạy học phương pháp giải tập toán 13 1.4 Chứng minh toán học dạy học chứng minh 17 1.4.1 Chứng minh 17 1.4.2 Bác bỏ 18 1.4.3 Chứng minh phản chứng 18 1.4.4 Dạy học chứng minh 19 1.4.5 Phân loại chứng minh: 19 1.4.6 Phương pháp tìm tịi chứng minh 19 1.5 Một số kỹ giải tốn chứng minh hình học 20 1.5.1 Kỹ vẽ hình 20 1.5.2 Kỹ tìm hướng giải 20 1.5.3 Kỹ vẽ thêm hình phụ chứng minh 21 1.5.4 Kỹ nghiên cứu lời giải toán (phát lỗi sai, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa) 21 1.6 Dạy học rèn luyện kỹ giải toán chứng minh 22 1.6.1 Phân tích chương trình sách giáo khoa 22 1.6.2 Nội dung dạng tốn chứng minh đường trịn 22 1.6.3 Đối tượng học sinh giỏi 23 1.6.4 Một phần thực trạng dạy học giải tốn chứng minh đường trịn 23 1.7 Một số khó khăn học sinh giải tốn chứng minh hình học đường trịn 23 vi 1.8 Một số khó khăn giáo viên dạy học giải tốn chứng minh hình học đường tròn 24 Kết luận chương 24 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN CHỨNG MINH VỀ ĐƯỜNG TRỊN CHO HỌC SINH LỚP 26 2.1 Một số biện pháp rèn luyện kỹ giải toán chứng minh đường tròn 26 2.1.1 Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ đọc hiểu vẽ hình theo yêu cầu đề 26 2.1.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ phân tích tìm phương pháp chứng minh toán 27 2.1.3 Biện pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi gợi ý giúp học sinh tìm hướng giải tốn 29 2.1.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ tìm nhiều cách giải khác cho toán 30 2.1.5 Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ trình bày lời giải 30 2.1.6 Biện pháp 6: Rèn luyện kỹ vẽ thêm hình phụ cho học sinh 32 2.1.7 Biện pháp 7: Rèn luyện kỹ khai thác toán 36 2.2 Xây dựng hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ giải tốn đường trịn cho học sinh giỏi lớp 48 2.2.1 Một số ý xây dựng hệ thống tập 49 2.2.2 Các toán chứng minh 50 2.2.3 Các toán chứng minh quan hệ song song, vng góc hai đường thẳng 52 2.2.4 Các tốn chứng minh tính chất phần tử xác định hình dạng đa giác đặc biệt 54 2.2.5 Các toán chứng minh hệ thức 57 vii 2.2.6 Các tốn chứng minh có kẻ thêm hình phụ 60 2.2.7 Các toán tổng hợp 71 Kết luận chương 72 CHƯƠNG 3:THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 74 3.1 Mục đích 74 3.2 Tổ chức thực nghiệm 74 3.2.1 Chọn lớp thực nghiệm 74 3.2.2 Phương pháp thực nghiệm 75 3.2.3 Thời gian thực nghiệm 75 3.3 Nội dung thực nghiệm 75 3.4 Đánh giá kết thực nghiệm 78 3.4.1 Thống kê kết kiểm tra 78 3.4.2 Đánh giá kết thực nghiệm sư phạm 79 Kết luận chương 82 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 PHỤ LỤC 85 viii Mà A = A (hai góc đối đỉnh), suy B = C Vậy Bx // Cy ( hai góc vị trí so le nhau) Bài 2: Cho hai đường thẳng a b song song với nhau, cách khoảng h Một đường tròn (O) tiếp xúc với a b Hỏi tâm O di động đường nào? Giải: Qua O vẽ OA ^ a, đường thẳng OA Hình 2.53 cắt b B, ta có OB ^ b Gọi h khoảng cách hai đường thẳng song song AB = h Vì đường tròn (O) tiếp xúc với a b nên OA = R; OB = R, suy OA = OB = Vậy tâm O nằm đường thẳng m//a//b cách hai đường thẳng khoảng Bài 3: Cho đường tròn (O) dây AB Gọi M trung điểm AB Vẽ bán kính OI qua M Từ I vẽ đường thẳng xy // AB Chứng minh xy tiếp tuyến đường tròn (O) Hướng dẫn giải: Trước hết chứng minh Hình 2.54 OI ^ AB, sau chứng minh OI ^ xy 88 Bài 4: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với A Qua A vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) B cắt đường tròn (O’) C.Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) Từ (C) vẽ đường thẳng uv//xy Chứng minh uv tiếp tuyến đường Hình 2.55 trịn (O’) Hướng dẫn giải Nối OO’ OO’ qua A Bạn chứng minh B = C , suy OB // OC Vì OB ^ xy nên OC ^ uv  uv tiếp tuyến đường trịn (O’) Có thể chứng minh cách khác: Qua A vẽ tiếp tuyến chung Bài 5: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB dây cung CD vng góc với AB điểm H Gọi I điểm đối xứng với H qua D, K trung điểm đoạn HD Vẽ dây cung EF qua K Chứng minh điểm E, H, F, I nằm đường tròn Hướng dẫn giải: Hình 2.56 89 Đặt HK = KD = x, DI = 2x, KC = 3x Ta thấy điểm E, D, F, C nằm đường tròn (O) nên KE.KF = KD.KC (1) Mặt khác KD.KC = x.3x = 3x2 KH.KI = x.3x= 3x2 Suy KD.KC = KH.KI (2) Từ (1) (2) suy KE.KF = KH.KI Do bốn điểm E, H, F, I nằm đường tròn (đpcm) Bài6( 20, tr.76 SGK):Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ đường kính AC AD hai đường trịn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng Hình 2.57 Hướng dẫn giải: Vẽ dây chung BA dây BC, BD Ta có ABC = 900; ABD = 900( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy BC ^ BA BD ^ BA Qua B vẽ đường thẳng vng góc với AB mà thơi, suy ba điểm C, B, D thẳng hàng Bài 7:Cho nửa đường trịn đường kính AB dây AC quay quanh A Trên nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa B ta vẽ hình vng ACDE Hỏi: a) Điểm D di động đường nào? Hình 2.58 90 b) Điểm E di động đường nào? Hướng dẫn giải: a) ACD vuông cân C ADC = 45 Điểm D nhìn đoạn AB cho trước góc 450 nên điểm D di động cung chứa góc 450 dựng đoạn AB ( cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C) b) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C ta vẽ tia Ax ^ AB Đường thẳng DE cắt tia Ax điểm F EAF = CAB (g.c.g)  AF = AB Do AF đoạn thẳng cố định Điểm E nhìn thấy đoạn AF góc vng nên điểm E nằm đường trịn đường kính AF Bài 8: Cho tam giác ABC vng góc A Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác Qua A vẽ cát tuyến MAN ( M thuộc nửa đường trịn đường kính AB, N thuộc nửa đường Hình 2.59 trịn đường kính AC) a) Tứ giác BMNC hình gì? b) Tìm quỹ tích điểm I MN cát tuyến MAN quay quanh A Hướng dẫn giải: a) Ta có AMB = 900; ANC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy BM//CN tứ giác MNCB hình thang vng b) Tìm quỹ tích điểm I 91  Phần thuận Gọi K trung điểm BC IK đường trung bình hình thang vng MNCB, suy AIK = 900 Vậy điểm I nằm đường trịn đường kính AK Tuy nhiên, điểm M di động tới điểm B điểm N di động tới điểm A, trung điểm I MN di động tới trung điểm D AB Nếu điểm M di động tới điểm A điểm N di động tới điểm C, trung điểm I MN di động tới trung điểm E AC Vậy điểm I thuộc cung DAE đường trịn đường kính AK  Phần đảo Lấy điểm I cung DAE Vẽ đường thẳng AI cắt nửa đường trịn đường kính AB AC M N Ta phải chứng minh IM = IN Thật vây, AIK = 900; AMB = 900; ANC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có BM//KI//CN ( vng góc với MN) Do KB = KC mà IM = IN  Kết luận: Quỹ tích điểm I cung DAE đường trịn đường kính AK Bài 9:Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn ( ngoại tiếp đường tròn ( = , r) , r) Gọi d Chứng minh bất đẳng thức  Đẳng thức xảy nào? Hình 2.60 92 Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta suy O , O nằm trục đối xứng MN hình thang cân ABCD ( M trung điểm AB, N trung điểm CD) Vì BAO + CDO = (BAD + ADC) = 900 Mà ∆AMO đồng dạng ∆O ND  = Suy AM.DN = O M.O N = r2 Sử dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vng AMO DNO ta có 2R2 = AO + O D2 = AM2 + MO + DN2 + NO = AM2 + DN2 + (r + d)2 + (r – d)2  2AM.DN + 2(r2 + d2) = 4r2 + 2d2 Do R2 – d2 2r2, suy  (đpcm) Dấu đẳng thức xảy AM = DN, hay AB = CD tức ABCD hình vng ( lúc d = O O = 0) Bài 10: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B vẽ dây BC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) Vẽ dây BD đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) AB2 = AC.AD b) = Hình 2.61 Hướng dẫn giải: a) Ta có =B ;B = ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung) 93 Suy ∆ABC dồng dạng ∆ADB = Dẫn tới Do AB2 = AC.AD = b) Ta có Suy = = = Hay = Do Bài 11: Cho đường trịn đường kính BC = 2R Trên đường trịn lấy điểm A cho AB = R√3 Gọi , , chu vi hình trịn có đường kính CA, AB BC Chứng minh rằng: = = Hướng dẫn giải: Ta cóBAC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) AC2 = BC2 – AB2 = (2R)2 – (R√3)2 = R2 Do AC = R Chu vi hình trịn có đường kính AC, AB BC là: Hình 2.62 P = p.R ; P = p.R√3 ; P = p.2R Ta có = p2R2 ; = p = p2R2; 94 = p =p2R2 = Do = Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A Gọi r, R theo thứ tự bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác Chứng minh AB + AC = 2(r + R) Hình 2.63 Hướng dẫn giải: Cho đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh AB, AC D E Dễ dàng chứng minh BC đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên BC = 2R Tứ giác ADOE hình chữ nhật có A = D = E = 900 Hình chữ nhật ADOE lại có OD = OE nên hình vng, AD = AE = r Do đó: 2R + 2r = BC + (AE + AD) = (BF + FC) + (AE + AD) = (BD + AD) + (AE + EC) = AB + AC Bài 13:Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác, S diện tích tam giác Chứng minh S = Hình 2.64 95 ( ) Hướng dẫn giải: Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, AB, AC, ta có: OD = OE = r S =S +S +S = OD.BC + = r(BC + CA + AB) = OF.AC + OE.AB ( ) Bài 14: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD ( Định lí ptơ-lê-mê) Hướng dẫn giải: Khơng tính tổng qt, giả sử ACD>ACB Qua C kẻ tia Cx cho xCD = ACB Gọi E giao điểm Cx với BD Ta thấy ∆ABC đồng dạng ∆DEC (g.g) suy Hình 2.65 = Hay AB.CD = AC.ED (1) 96 Mặt khác ∆ACD đồng dạng ∆BCE ( BCE = ACD, CAD = CBE, suy = hay BC.AD = AC.EB (2) Từ (1) (2) suy AB.CD + BC.AD = AC (EB + ED) = AC.BD (đpcm) Bài 15 ( Đề thi vào 10 thành phố Hà Nội năm 2009- 2010) Cho đường tròn (O, R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) 1) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp 2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA = R2 3) Trên cung nhỏ BC đường tròn (O, R) lấy điểm K ( K khác B, C) Tiếp tuyến K đường tròn (O, R) cắt AB, AC theo thứ tự P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC 4) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M N Chứng minh PM + QN ≥ MN Giải: 1) Xét tứ giác ABOC có ABO = 900 ( tính chất tiếp tuyến) ACO = 900 ( tính chất tiếp tuyến) ABO = ACO = 900 + 900 = 1800 Là hai góc đối diện  tứ giác ABOC nội tiếp 2) AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm) ABC cân Mà AO phân giác BAC ( tính chất tiếp tuyến xuất phát từ điểm)  AO đường cao ABC hay AO ^ BC Xét ABO vuông B có BE đường cao, theo hệ thức lượng tam giác vuông  OB2 = OE.OA mà OB = R OE.OA = R2 3) PK = PB (tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm) 97 KQ = QC (tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm) Xét APQ = AP + AQ + QP = AP +AQ + PK + KQ = AP + PK + AQ + KQ = AP + PB + AQ + QC = AB + AC = 2AB - (O) cố định AB không đổi - A cố định 4) OMP đồng dạng QNO  =  MP.QN = OM.ON = =  MN2 = 4MP.QN MN = MP QN MP + NQ ( theo BĐT Cauchy) Hay MP + NQ ≥ MN (đpcm) Bài 16( Đề thi vào 10 thành phố Hà Nội năm 2010- 2011) Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn ( C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F 1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC 3) Chứng minh CFD = OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB = Giải: 1) Tứ giác FCDE có góc đối FED = 900 = FCD nên chúng nội tiếp 98 2) Hai tam giác vng đồng dạng ACD DEB hai góc CAD = CBE chắn cung CE, nên ta có tỉ số =  DC.DB = DA.DE 3) Gọi I tâm vịng trịn ngoại tiếp tứ giác FCDE, ta có CFD = CEA ( chắn cung CD) Mặt khác CEA = CBA ( chắn cung AC) tam giác OCB cân O, nên CFD = OCB Ta có: ICD = IDC = HDB OCD = OBD HDB + OBD = 900 OCD + DCI =900 nên IC tiếp tuyến với đường tròn tâm O Tương tự IE tiếp tuyến với đường tròn tâm O 4) Ta có tam giác vng đồng dạng ICO FEA có góc nhọn CAE = COE = COI ( tính chất góc nội tiếp) Mà tg COI = = =  tg AFB = tg CIO = Bài 17( Đề thi vào 10 thành phố Hà Nội năm 2012- 2013) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC ( M khác A C) BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB 1) Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ACM = ACK 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C 4) Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB = R Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK 99 Giải: 1) Tứ giác CBHK có hai góc đối HCB = HKB = 900 nên tứ giác CBHK nội tiếp vòng trịn đường kính HB 2) Góc ACM = ABM chắn cung AM ACK = HCK = HBK chắn cung HK Vậy ACM = ACK 3) Xét tam giác MAC EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB góc MAC = MBC chắn cung MC nên hai tam giác Vậy ta có CM = CE CMB = 450 chắn cung CB = 900 Vậy tam giác MCE vuông cân C 4) Xét hai tam giác PAM OBM Théo giả thuyết ta có = R tương đương = Mặt khác ta có PAM = ABM chắn cung AM tam giác đồng dạng Vì tam giác OBM cân O nên tam giác APM cân P Vậy PA = PM Kéo dài BM cắt d Q Xét tam giác vng AMQ có PA = PM nên PA = PQ P trung điểm AQ nên BP qua trung điểm HK, đính lí Ta – lét( HK//AQ) Bài 18( Đề thi vào 10 thành phố Hà Nội năm 2013- 2014) Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với (O) (M, N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt (O) B C ( AB < AC, d không qua O) 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp 2) Chứng minh AN2 = AB.AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = 4cm, AN = cm 3) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt (O) điểm thứ hai T Chứng minh MT // AC 100 4) Hai tiếp tuyến (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề Giải: 1) Xét tứ giác AMON có hai góc đối ANO = AMO = 900 nên tứ giác nội tiếp 2) Hi tam giác ABM AMC đồng dạng nên ta có AB.AC= AM2 =AN2 = 62 = 36  AC = = = 9(cm)  BC = AC – AB = – = (cm) 3) MTN = MON = AON ( chắn cung MN (O)), AIN = AON ( điểm N, I, M nằm đường trịn đường kính AO chắn cung 900) Vậy AIN = MTI = TIC nên MT//AC có hai góc so le 4) Xét AKO có AI vng góc KO Hạ OQ vng góc AK Gọi H giao điểm OQ AI H trực tâm tam giác AKO, nên KMH vng góc với AO Vì MHN vng góc AO nên đường thẳng KMHN vng góc AO, nên KM vng góc với AO Vậy K nằm đường thẳng cố định MN BC di chuyển Cách giải khác: Có KB2 = KC2 = KI.KO Nên K nằm trục đẳng phương đường trịn tâm O đường trịn đường kính AO Vậy K nằm đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường tròn Bài 19( Đề thi vào 10 thành phố Hà Nội năm 2013- 2014) Cho đường trịn (O ; R) có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường (O) ( M khác A B) Tiếp tuyến đường tròn (O) B cắt đường thẳng AM, AN Q, P 1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật 101 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Giải : 1) Tứ giác AMBN có góc vng, góc chắn nửa đường trịn 2) Ta có ANM = AQB ( chắn cung AM) Và ABM = AQB ( góc có cạnh thẳng góc) Vậy ANM = AQB nên MNPQ nội tiếp 3) OE đường trung bình tam giác ABQ OF // AP nên Ị đường trung bình tam giác ABP Suy F trung điểm BP Mà AP vng góc AQ nên OE vng góc OF Xét tam giác vng NPB có F trung điểm cạnh huyền BP Xét tam giác NOF = OFB (c.c.c) nên ONF = 900 Tương tự ta có OME = 900 nên ME//NF vng góc MN 4) 2S = 2S − 2S = R PQ − AM AN = 2R (PB + BQ) − AM AN Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy =  AB2 = BP.QB Nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy có PB + QB ≥ PB (2R ) = 4R Ta có: AM.AN  Do 2S = = 2R2 ≥ 2R.4R – 2R2 = 6R2 Suy S ≥ 3R2 Dấu « = » xảy AM= AN PQ = BP hay MN vuông góc AB 102 =