Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài tập hình học cho học sinh lớp 8 ở trường THCS nga mỹ

MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Người Ai Cập Hy Lạp nhờ môn Tốn học xây dựng nhiều cơng trình tiếng Kim Tự Tháp, hệ chữ cái,thiên văn học,vật lý…Do Tốn học mơn khoa học nhiều người qua tâm nghiên cứu Toán học mơn khoa học tự nhiên , có hệ thống kiến thức cần thiết cho sống Nó mơn khoa học đòi hỏi tính sáng tạo tư logic cao Nó ln gắn bó tác động lớn tới phát triển nhiều ngành khoa học khác Quá trình giải tốn giúp người hình thành khả đặc biệt trí tuệ Những khả đặc biệt đem lại cho thành tựu lớn trình nghiên cứu khoa học, lĩnh vực đời sống người Mơn Tốn THCS cung cấp cho học sinh kiến thức phương pháp phổ thơng thiết thực, hình thành rèn luyện kỳ khả suy luận logic khả quan sát dự đốn phát triển trí tưởng tượng,bồi dưỡng phẩm chất tư linh hoạt sáng tạo hình thành thói quen tự học tự nghiên cứu để xác ý tưởng Góp phần hình thành phẩm chất lao động cần thiết người Trong việc dạy tốn học việc tìm phương pháp dạy học giải tập Tốn đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống tập, sử dụng phương pháp dạy học, góp phần hình thành phát triển tư học sinh, rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo, linh hoạt việc giải tập đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi Dạy để học sinh nắm kiến thức nâng cao để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy cô giáo đặt cho Với đối tượng học sinh khá, giỏi, em có tư nhạy bén, có nhu cầu hiểu biết ngày cao, làm để em phát huy hết khả mình, trách nhiệm thầy, cô giáo Trong nhà trường toán học giúp em học sinh phát triển mặt: trí, đức, thể, mỹ Đáp ứng yêu cầu giáo dục Việt Nam Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy học vấn đề thường xuyên, liên tục Để chất lượng học sinh ngày nâng cao yêu cầu người giáo viên phải lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp hệ thống tập đa dạng, phong phú đối tượng học sinh Hình học mơn khoa học suy diễn Nó giúp học sinh rèn luyện phép đo đạc, tính tốn, suy luận logíc, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Đặc biệt việc hướng dẫn cho em chứng minh toán hình học đồng thời mở rộng, nâng cao tốn yêu cầu cần thiết Sử dụng thành thạo phương pháp chứng minh vào toán cụ thể, cách vẽ hình xác, lập luận để hiểu cặn kẽ nội dung tốn Điều lý giải đa số học sinh cấp THCS lúng túng trình giải tập hình học, hầu hết em khơng biết phải tiến hành từ đâu, tiến hành thao tác tư nào, phải làm gì, phải sử dụng công cụ để giải việc giải tốn hình học em “ Sự mày mò” khơng có sở Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn lớp 8, nghĩ việc giảng dạy giáo viên không đơn việc “ Chỉ cho học sinh kết tốn” mà q trình “ Hướng dẫn cho em hình thành thói quen suy luận, lập luận hợp lôgic ” để chứng minh tốn hình học Việc làm phát triển trí thơng minh em góp phần thúc đẩy phát triển trí tuệ học sinh, gây hứng thú học tập mơn hình học Các vấn đề đề tài lựa chọn để đối tượng học sinh tiếp thu Ngồi ra, đề tài số vấn đề khó diễn đạt cách đơn giản, dễ hiểu; lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lượng thơng tin khn khổ có hạn đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh; đồng thời nêu bật khâu mấu chốt lời giải Xuất phát từ yêu cầu mong ước chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ chứng minh tập hình học cho học sinh lớp trường THCS Nga Mỹ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ đặc điểm việc tìm giải pháp dạy học tối ưu cho phần, dạng tập quan trọng Được giảng dạy môn toán lớp năm học vừa qua trường THCS Nga Mỹ với hoạt động dự đồng nghiệp, thông qua buổi sinh hoạt chuyên môn tháo gỡ vấn đề khó Xây dựng tiết giảng khó chương trình, tham gia lớp chuyên đề Phòng Giáo dục Đào tạo Nga Sơn tổ chức Tôi nhận thấy việc tiếp thu kiến thức hình học khối học sinh khó Nhưng giáo viên việc giảng dạy nhiều vấn đề phải nghiên cứu Hướng dẫn học sinh “tư duy, suy luận logic để giải tốn chứng minh hình học” lớp bao gồm nhiều trình kết hợp cách chặt chẽ, yêu cầu mà học sinh cần đạt để học cách “Phải suy nghĩ nào? tiến hành thao tác tư ? ” Việc thành thạo thao tác tư giúp học sinh giải tốn chứng minh hình học lớp cách độc lập Nó chia làm q trình sau: a Q trình phân tích, phán đốn: Phân tích tốn để phán đốn cách khoa học, có sở để tìm kết tốn b.Q trình bổ sung phân nhóm lại toán Dựa vào mối liên hệ yếu tố toán yêu cầu tốn kẻ thêm đường phụ c Q trình huy động kiến thức cũ : Tìm phương pháp giải dựa sở khoanh vùng kiến thức cần sử dụng toán, cách ly, liên hợp yếu tố tốn d Q trình tổ chức giải tốn Mỗi q trình có liên quan chặt chẽ với q trình giải tốn, suy luận có lý từ q trình đem lại kết cho tốn e Q trình phát triển toán cũ thành toán Để giúp học sinh u thích mơn Hình học giáo viên cần có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh nắm vững kiến thức nghệ thuật người thầy tốn cũ mà người thầy làm cho em ln hứng thú để tìm cách giải 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 8A trường THCS Nga Mỹ 1.4 Phương pháp nghiên cứu -Đề tài hoàn thành với phương pháp phân tích, phán đốn,phân nhóm,huy động kiến cũ, phát triển toán kiến thức học - Nghiên cứu tài liệu,học hỏi từ đồng nghiệp thân tự học tự nghiên cứu - Giúp học sinh yếu có hứng thú học mơn hình học học sinh giỏi phát triển tố chất Để “Rèn luyện kỹ chứng minh tập hình học lớp trường THCS Nga Mỹ” NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Mơn hình học mơn học mang tính tư cao nên giáo viên cần giúp học sinh lĩnh hội nhiều kiến thức từ em có niềm say mê Tuy nhiên thực tế việc dạy học để nâng cao chất lượng mơn Hình học khơng thể dễ dàng Giáo viên kết hợp hài hòa với học sinh để em xác định việc học cần thiết Phần lớn học sinh nhà trường em nơng thơn điều kiện kinh tế khó khăn nên việc dành thời gian học tập chưa cao Sự quan tâm kèm cặp số phụ huynh bng lỏng,một số em chưa có ý thức học tập dẫn đến em chưa u thích mơn Hình học Là giáo viên lâu năm trình giảng dạy tơi ln học hỏi đồng nghiệp tìm phương pháp thích hợp để giúp em yêu thích học tốt mơn Hình học 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.2.1 Thực trạng : Lý mà giáo viên băn khoăn, lựa chọn phương pháp nào, sử dụng phương tiện, thiết bị dạy học để học sinh tiếp thu kiến thức tốt từ giúp học sinh vận dụng vào giải tập Việc hướng dẫn học sinh chứng minh số tốn khó, mang tính tổng qt đơi lúc mang tính chất gượng ép, giáo viên khơng hướng dẫn cho học sinh cách chứng minh, suy luận logic, việc giải tốn học sinh gặp nhiều khó khăn Vì kiến thức khó nên em tiếp thu kiến thức cách thụ động, chưa thực làm chủ kiến thức Điều quan trọng em chưa nắm vững kiến thức bản, hiểu lơ mơ định nghĩa, định lý Đặc biệt em bỡ ngỡ giải tập Đối với học sinh việc giải toán hoạt động chủ yếu việc học tập mơn tốn Việc “tư duy, suy luận logic để giải toán chứng minh’’ biểu thị đại lượng chưa biết qua đại lượng biết, em nắm lơ mơ Do đứng trước tốn khó, em lúng túng, chưa định hướng việc giải toán Coi việc học toán, giải toán gánh nặng 2.2.2 Kết thực trạng trên: Trong thực tế cho thấy hình học mơn khó nhiều học sinh, biết cách hướng dẫn học sinh giải toán chứng minh hình học hẳn tư tưởng khơng Thực tế cho thấy để thực điều phải phân loại học sinh (Giỏi, khá, trung bình, yếu, kém) Tuỳ vào đối tượng học sinh mà áp dụng với phương pháp thích hợp Ngay từ đầu năm, tơi nhà trường phân cơng dạy mơn tốn lớp Qua tìm hiểu tơi biết, có nhiều học sinh mải chơi, chưa ý, tự giác học tập lớp có nhiều học sinh xếp loại trung bình, yếu mơn tốn Vào đầu năm học tơi tiến hành khảo sát chất lượng mơn hình học lớp Kết sau: Số Giỏi Khá TB Yếu LỚP SL % SL % SL % SL % HS 37 2.7 16.2 18 48.6 12 32.5 2.3 Giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp tổ chức thực - Kiểm tra đánh giá chất lượng dạy học toán lớp - Hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải toán phù hợp với dạng toán vấn đề quan trọng, cần phải tích cực, thường xuyên, không giúp em nắm lý thuyết mà phải tạo cho em có phương pháp học tập phù hợp, rèn luyện cho em có khả tự học ,tự chứng minh tốn Làm điều chắn kết học tập em đạt hiệu tốt - Giải toán nghệ thuật việc hướng dẫn cho học sinh giải tốn u cầu tính nghệ thuật cao Việc hướng dẫn học sinh lập luận để chứng minh tốn hình học lớp vậy, đòi hỏi q trình tìm tòi, nghiên cứu, lâu dài - Lựa chọn tốn có khả giải nhiều phương pháp, thuộc chương trình hình học lớp thơng qua dạy cho học sinh phương pháp chứng minh hình học, kỹ vẽ hình xác, Có ý thức phát triển tốn từ dễ thành khó hơn, khai thác hết kiến thức tốn a Q trình phân tích, phán đốn Khi gặp tốn, sau ghi giả thiết, kết luận, vẽ hình xác, phần lớn học sinh thường lao vào giải toán ngay, điều thực khơng có lợi cho việc giải tốn, em chưa thực nắm u cầu tốn, lệch hướng giải vấn đề Do giáo viên nên hình thành cho học sinh thói quen phân tích tốn cách kỹ lưỡng trước bắt tay vào tìm lời giải cho tốn Dựa vào việc phân tích tốn để tìm mối liên hệ yếu tố có liên quan đến tốn từ xác định cụ thể yêu cầu toán, phán đoán hướng giải toán Tuy nhiên cần hiểu việc phán đốn khơng có nghĩa dự đốn cách thơng thường mà phán đốn vấn đề cần thiết phải biết cách lập luận để kiểm tra phán đốn cách có sở Muốn kiểm tra phán đốn, đặt số câu hỏi “ Nhận biết có liên hệ tới vấn đề cần chứng minh không? Vấn đề phán đốn có hợp lý khơng ? có liên quan nào?” “Giả thiết cho nhằm mục đích ? có liên quan tới u cầu tốn khơng?” Những câu hỏi đặt kèm theo loạt thao tác tư duy, cho người giải biết phải hành động ? Để tìm cách giải tốn giáo viên giúp học sinh vận dụng phương pháp phân tích lên để giải toán Đây phương pháp yêu cầu học sinh phải biết tự kiểm tra dự đoán “ Nếu có điều ?” Khi sử dụng phương pháp thấy lợi ích việc phân tích tốn tìm mối liên hệ yếu tố toán Bài toán 1: Cho Tam giác ABC điểm E thuộc cạnh AC qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC D đường thẳng song song với BC cắt AB F cho AE = FB Chứng minh tam giác AED cân Giáo viên: Yêu cầu học sinh vẽ hình ghi giả thiết, kết luận A GT ∆ABC,E º AC, ED // AB, EF //BC, EA = BF F E KL ∆ AED cân B D C Hướng dẫn: Để giải toán yêu câù học sinh tìm tòi theo bước say đây: - Bài tốn cho biết ? cần chứng minh điều ? (u cầu phân tích) - Dự đốn ∆AED cân đỉnh ? (yêu cầu phán đoán) - Muốn chứng minh ∆AED cân ta phải chứng minh điều ? -Xuất phát từ yêu cầu: AE = BF nhằm mục đích gì? chứng minh BF = ED khơng? Nếu ta suy điều ? Với cách phân tích phán đốn trên, học sinh dễ dàng trình bày tốn sau: Chứng minh: Vì: ED // AB ( gt ) ED // FB FE // BC ( gt )  EF // BD Tứ giác BFED hình bình hành Nên: FB = ED mà FB = AE (gt)  AE = ED Vậy ∆AED cân E (đpcm) Sau giải song toán, học sinh lưu ý đến kết vừa tìm mà thường khơng ý cơng việc, thao tác vừa làm vấn đề giải quyêt Song mục tiêu thành thạo thao tác phân tích độc lập em tốn tương tự khác Chính giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh “ hình thành thói quen tìm cách giải tốn” Bài tốn 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm cạnh AB, BC, DC, DA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Giáo viên: yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận GT Tứ giác ABCD MA = MB, NB = NC, PC = PD, QA = QD KL MNPQ hình bình hành Sau hình thành thói quen phân tích cách độc lập học sinh tự đặt A M B câu hỏi trả lời câu hỏi ( phân tích, phán đốn kiểm tra phán đoán) Q D N P C Hỏi: MNPQ hình bình hành ta suy điều ? ( u cầu phân tích) HS Trả lời: a- MN // PQ QM //NP b- MN // PQ MN = PQ c- MN = PQ MQ = NP góc đối d- NQ MP cắt trung điểm đường Hỏi: Theo đề giả thiết cho phù hợp với cách cách trên? (cách b) Giả thiết cho M,N,P,Q trung điểm cạnh nhằm mục đích gì? Chứng minh: – Vì M, N trung điểm AB BC (gt) nên: MN //AC MN = 1/ AC Tương tự: PQ //AC PQ = 1/2 AC  NM // PQ MN = PQ Vậy: Tứ giác MNPQ hình bình hành Tóm lại: Khi giải tốn chứng minh hình học, giáo viên cần hướng dẫn hình thành cho học thói quen cách phân tích tốn Tuy nhiên khơng phải tốn phân tích mà thấy hướng giải vấn đề, toán bao gồm tổ hợp nhiều thao tác tư khác không riêng phân tích, mà thao tác tư lại nằm q trình có liên quan chặt chẽ với b Q trình bổ sung phân nhóm lại tốn Rất nhiều tốn chứng minh hình học phức tạp mà khai thác yếu tố giả thiết toán cho để chứng minh tốn Chính mà bắt gặp toán giáo viên phải giúp học sinh bổ sung làm thay đổi cấu trúc toán Những bổ sung cung cấp thêm yếu tố để giải yêu cầu tốn Thơng thường bổ sung cấu tạo lại tốn chứng minh hình học chương trình lớp việc khai thác toán để kể thêm đường kẻ phụ, đường kẻ phụ chìa khố giúp cho giải yêu cầu toán Tuy nhiên việc kẻ thêm đường kẻ phụ việc làm khó mà học sinh đại trà lại khó Chính mà đa số học sinh khơng thực thao tác này, việc làm em mày mò, kẻ thêm đường thẳng hay kẻ thêm đường thẳng với hy vọng xuất vấn đề có liên quan chưa thực xuất phát từ mối liên hệ chặt chẽ yếu tố tốn Đối với số học sinh chưa xuất ý tưởng để chứng minh toán Đối với tốn chứng minh hình học khác việc kẻ thêm đường kẻ phụ khác nhau, khơng có phương pháp cụ thể Tuy nhiên, muốn đề xuất ý tưởng mang tính thủ thuật giúp học sinh thành công việc bổ sung câú tạo lại tốn cách kẻ thêm đường kẻ phụ Đó sau phân tích tốn, xét thấy cần thiết kẻ thêm đường kẻ phụ giáo viên cần giúp học sinh tìm hướng xuất phát, mà cụ thể nên xuất phát từ yếu tố mà ta “ tạm gọi” “yếu tố đặc biệt” tốn Lúc đâù học sinh chưa biết yếu tố đặc biệt, giáo viên cho em thấy yếu tố chi tiết có liên quan nhiều đến yêu cầu toán Khi nghiên cứu toán cách kỹ lưỡng thấy chi tiết tốn có giống thứ bậc, chi tiết thường chi tiết bậc cao gần với giả thiết, kết luận toán Tuy nhiên nghiên cứu toán giáo viên cần lưu ý học sinh mối quan hệ giả thiết kết luận toán Bài toán 3: Cho Tứ giác lồi ABCD : Gọi M N trung điểm hai cạnh AD BC Chứng minh : MN ≤ AB + CD Dấu đẳng thức xảy ? B Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi giả thiết kết luận GT Tứ giác ABCD MA = MD, NB E = NC I AB + CD KL A Hướng dẫn C/m : MN ≤ Làm N để chứng minh MN ≤ AB + CD ( yêu cầu phân tích dự đoán) F C D Giả thiết toán cho sử dụng để chứng minh trực tiếp yêu cầu toán chưa ? (yêu cầu khai thác toán.) PM Với toán giáo viên nên lưu ý học sinh phải bổ sung lại toán cách kẻ thêm đường kẻ phụ Lưu ý điểm đặc biệt toán : Trong tốn có yếu tố đặc biệt ? ( Yêu cầu cần xác định yếu tố đặc biệt) Dễ dàng nhận điểm M N yếu tố đặc biệt, chúng có liên quan nhiều đến yêu cầu toán Xuất phát từ yêu cầu toán MN ≤ AB + CD Khi M trung điểm cạnh AD BC Thì ta thấy bất đẳng thức có liên quan tới tồn tam giác có độ dài cạnh MN ; AB CD ; Ta đặt chúng vào mối liên 2 quan với yếu tố khác toán MA = MD NB = NC Nếu học sinh chưa kẻ đường phụ giáo viên tiếp tục hướng dẫn cách tư duy, suy luận mối liên hệ yếu tố Nếu MN ≤ AB + CD Như có điểm P CD AB , NP= 2 cho MN≤PN + PM, MP = Vậy điểm P nằm đâu? Học sinh dễ nhận MP = CD , MP phải đường trung bình ∆ABC Nếu NP = AB , NP phải đường trung bình ∆ ABC Do điểm P trung điểm AC Vậy việc kẻ thêm đường phụ xuất phát từ yếu tố đặc biệt xét yếu tố đặc biệt mối liên hệ với yêu cầu toán, học sinh bổ sung lại toán dựa tư chặt chẽ Do sau kẻ xong đường kẻ phụ ,việc giải tốn việc xếp lại suy luận cách vận dụng kiến học Chứng minh: Gọi P trung điểm AC Theo tính chất đường trung bình ∆ ta có : MP = Do : MP + NP = ( AB + CD ) Mặt khác ∆ NMP ta ln có Vì MN ≤ CD AB NP = 2 MN < NP + MP ( AB + CD ) Dấu đẳng thức xảy điểm M,N,P thẳng hàng Nhưng MP // CD; PN // AB nên AB // CD Vì tứ giác ABCD hình thang Với cách giải giáo viên cho học sinh khai thác chứng minh nhanh trường hợp E trung điểm AB, F trung điểm CD Rõ ràng theo cách kẻ đường phụ học sinh chứng minh dễ dàng: EF ≤ (AD + BC ) Bài tốn 4: Cho hình thang ABCD ( AD // BC, AD > BC ) có đường chéo AC BD vng góc Trên đáy AD lấy điểm M cho AM độ dài đường trung bình EF hình thang Chứng minh ∆ ACM cân GT ABCD có AD // BC, AC ⊥ BD; EF = 1/2 (AD+BC); M∈ AD; AM = EF KL ∆ ACM cân C B E A F M D N Đối với toán này, giáo viên cần làm rõ cho học sinh hiểu muốn dựng đường kẻ phụ cần xuất phát từ yếu tố đặc biệt, chi tiết đặc biệt toán Sau phải đặt chúng vào mối liên hệ giả thiết kết luận toán Giáo viên giúp học sinh dựa vào mối liên hệ để suy luận tìm cách dựng tốn Hướng dẫn : + Tam giác AMC cân điểm nào? ( yêu cầu phán đoán) + Muốn chứng minh tam giác tam giác cân ta chứng minh nào? ( phương pháp chứng minh ) Để chứng minh tam giác tam giác cân học sinh dễ dàng nghĩ tới việc chứng minh hai cạnh bên hai góc kề cạnh + Muốn chứng minh tam giác AMC cân ta chứng minh theo cách nào? Hãy suy nghĩ chứng minh ( yêu cầu kiểm tra phán đoán ) + Vơí tốn ta nên dựng thêm đường kẻ phụ để chứng minh cạnh MA = MC ? 10 + Bài tốn cho có yếu tố chi tiết đặc biệt liên quan đến yêu cầu toán? (chỉ chi tiết đặc biệt) Giả thiết cho EF = ( AD + BC ), AM = EF Như mục đích chứng minh cho CM= (AD+BC) Học sinh dễ dàng xác định tia đối DA lấy điểm N cho DN = BC, ta có hình bình hành BCND AM = 1 ( AD + BC ) = AN 2 + Bây phải chứng minh điều toán giải ? ( yêu cầu chứng minh điều vừa suy luận) Học sinh dễ dàng nhận CM trung tuyến phải chứng minh cho CM = /2 AN Suy phải chứng minh cho tam giác CAN vuông C + Vì giả thiết cho BD vng góc với AC ? Chứng minh: *Trên tia đối DA lấy điểm N cho DN = BC suy tứ giác BCND hình bình hành ( AD // BC nên BC // DN ) Ta có BD // CN ⇒AC ⊥ CN hay ∆ACN tam (1) BD ⊥ AC (gt) giác vuông C * Mặt khác ta lại có: EF đường trung bình hình thang ABCD nên EF = 1 AN (AD + BC) mà AM = EF (gt) ⇒AM = (AD+BC) = 2 ⇒ M trung điểm AN nên CM trung tuyến ∆ACN Từ (1) (2) ta có CM trung tuyến tam giác vuông ACM: nên CM = (2) AN hay CM = AM Vậy ∆ ACM cân M Như học sinh hình thành phương pháp suy luận cách có lý để kẻ thêm đường kẻ phụ cần thiết, bổ sung thêm yếu tố có ích cho việc giải toán chí em khơng phải mày mò cách vơ định Việc suy luận giúp em hiểu sâu chất tốn Để từ tìm hướng giải khác c Quá trình huy động tri thức cũ: Tìm cách giải dựa sở “khoanh vùng kiến thức” cần sử dụng, “cách ly, liên hợp” yếu tố toán “hồi tưởng lại kiến thức” tích luỹ vận dụng vào giải tốn Việc hướng dẫn học sinh “huy động tri thức cũ” để tìm hiểu, vận dụng, khám phá tri thức việc làm quan trọng Tuy nhiên, việc huy động phải thực trình hồi tưởng có chọn lọc mối liên hệ 11 yếu tố biết với yếu tố cần tìm Muốn thực thành cơng q trình này, giáo viên phải hướng dẫn học sinh biết “ khoanh vùng kiến thức” sau “cách ly, liên hợp” vùng kiến thức với yếu tố tốn để tìm hướng giải vấn đề cách hợp lý, khoa học Tại phải khoanh vùng tri thức? Có thể hiểu cách đơn giản, giống việc tìm bút vừa bị mất.Nếu em suy nghĩ tìm xem chúng chổ thồi gian mà chưa chắn có kết quả.Ngược lại em chịu bình tĩnh ngồi lại bắt đầu khoanh vùng kiến thức có liên quan nhiều đến nơi thường sử dụng bút: bàn làm việc , ngăn kéo, họp, tìm thật kĩ phạp vi xác định tìm thấy nhanh dễ dàng Việc khoanh vùng kiến thức giúp có định hướng ban đầu cách rõ ràng cho việc tìm phương án giải khơng phải tìm cách chung chung, ý đồ giải tốn khác nằm vùng kiến thức Vậy làm để xác định phương pháp giải toán? Cách thứ thử tất phương pháp vạch tốn đó(cách thời gian ) Cách thứ hai sau phân tích, phán đốn khoanh vùng kiến thức cách ly, liên hợp yếu tố toán ( giả thiét, kết luận) lựa chọn phương pháp gần với yếu tố Bởi tốn có tính hợp lý, tính hợp lý thể ăn khớp phương pháp chứng minh với yếu tố tốn Do có ăn khớp yếu tố toán với phương pháp mà ta lựa chọn việc chứng minh dễ thành công Việc lựa chọn phương pháp thích hợp cho tốn giúp em gợi nhớ kiến thức cũ, từ đề giáo viên dẫn dắt kiến thức hợp lý để học sinh thấy đường chọn đúng, luồng kiến thức có mối liên hệ yếu tố toán với phương pháp cần lựa chọn Tuy nhiên tốn chứng minh hình học muốn việc làm trở nên 12 dễ dàng học sinh phải nắm thật vững kiến thức giáo viên giúp em hướng chứng minh Bài toán 5: Cho tam giác ABC ( AB< AC ) Kẻ đường phân giác AD Qua trung điểm E cạnh BC, ta kẻ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG G GT ∆ ABC ( AB < AC), AD phân giác góc BAC, EB = EC, EG// AD KL C/m: CF = BG A F B D E C Hướng dẫn : Hỏi: +Có cách chứng minh đoạn thẳng mà em biết ? ( yêu cầu khoanh vùng tri thức ) Yêu cầu học sinh nhớ kiến thức học : - Chứng minh đoạn thẳng đoạn thẳng thứ - Gắn vào hai tam giác sau chứng minh tam giác - Gắn vào tam giác cân, - Tỷ số chúng + Đối với toán nên sử dụng cách ? ( yêu cầu liên hợp yếu tố tốn để lựa chọn phương pháp thích hợp) Ta nên lựa chọn phương pháp chứng minh tỉ số chúng lý sau : - Bài tốn có chứa đựng nội dung : Đoạn thẳng song song, nên áp dụng định lí Talet để rút tỉ số, cặp đoạn thẳng tỉ lệ - Bài tốn có chi tiết E trung điểm nên có đoạn thẳng - Bài tốn có AD phân giác, áp dụng tính chất đường phân giác tam giác cho ta cặp đoạn thẳng tỉ lệ + Làm để chứng minh CF =1 ?(yêu cầu nhớ lại kiến thức cũ ) BG Học sinh dựa vào nội dung giả thiết cho mà giáo viên phân tích để rút tỉ số Nếu học sinh chưa rút giáo viên tiếp tục hướng dẫn: + EG// AD cho ta điều ? ( yêu cầu cách ly yếu tố toán hồi tưởng lại kiến thức cũ ) Vì EG// AD suy CF CE = CA CD (1) BG BE = BA BD (2) + Từ hai đẳng thức làm để xuất tỉ số CF / BG ? 13 Học sinh: Chia (1) cho (2) có CF AB BG AC = CE BE + E trung điểm BC cho ta điều ? AD phân giác cho ta điều ? Học sinh : CE AB BD CF AB CE BD = 1, = Vậy = = 1, hay CF = BG BE CD CD BG AC BE CD Chứng minh: + Vì EG// AD ( gt) suy CF CE = (1) CA CD G A F BG BE = (2) BA BD + Chia (1) cho (2) ta có : CF AB BG AC = CE BD BE CD C D E B + Mặt khác E trung điểm BC (gt) nên CE = BE AD phân giác góc BAC nên theo tính chất đường phân giác tam AB BD = AC CD CF Vậy = hay CF BG giác ta có : = BG ( đpcm) Bài tốn 6: Cho tam giác ABC cân điểm A, điểm E,F,D trung điểm cạnh AB,AC,BC M,N,P,Q trung điểm đoạn thẳng AF, AF, FD, DE Chứng minh tứ giác MNPQ hình chữ nhật ∆ ABC , AB = AC , EA = EB , GT FA = FC, DB = DCMA = ME, NA = NF, PD = PF, QD = QE K Tứ giác MNPQ hình chữ nhật L Giải Theo phương pháp giải suy luận sau: A N M E F P Q B D C 14 + Tứ giác có góc vng + Hình thang cân có góc vng + Hình bình hành có góc vng + Hình bình hành có đường chéo * Cách ly liên hợp yếu tố tốn, hồi tưởng lại kiến thức để tìm mối liên hệ với phương pháp, lựa chọn phương pháp thích hợp Tìm phương pháp chứng minh : Hình bình hành có mơt góc vng * Huy động kiến thức cũ để chứng minh điều kiện + MNPQ hình bình hành + MNPQ có góc vng * Tiếp tục khoanh vùng kiến thức, tìm phương pháp chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Có cách chứng minh :+ Hai cặp cạnh song song + Các cạnh đối ( hay góc đối) + Một cặp cạnh đối song song + Đường chéo cắt trung điểm đường * Thiết lập mối liên hệ với yếu tố toán để chọn phương pháp chứng minh : Tứ giác có cặp cạnh đối song song hình bình hành * Liên hợp yếu tố toán chứng minh hình bình hành MNPQ có góc vng Chứng minh: Ta có: MN đường trung bình ∆AEF nên : MN // EF MN = 1 EF PQ đường trung bình ∆DEF nên: PQ //EF PQ = EF 2 Suy ra: MN // PQ MN = PQ suy MNPQ hình bình hành (1) Mặt khác : ED //AC, ED = AC = AF (vì : ED đường trung bình ∆ ABC) FD//AB , FD = AB = AE ( Vì : FD đường trung bình ∆ ABC) AB = AC ( gt) suy ED = FD = AE = AF Suy AEDF hình thoi Suy AD ⊥ EF Mà MN //EF , NP //AD Suy MN ⊥ NP (2) Từ (1) (2) suy MNPQ hình chữ nhật ( đpcm) d Q trình tổ chức giải tốn Sắp xếp lại thao tác suy luận để trình bày lại tốn cách trọn vẹn, hồn chỉnh 15 Sau học sinh biết cách suy luận tìm hướng giải toán chứng minh, giáo viên tổ chức cho học sinh trình bày lời giải tốn Bởi trình suy luận em thực tổ hợp thao tác phức tạp Do việc tổ chức cho em trình bày lại tốn khơng giúp em điểm lại q trình suy luận vừa thực mà kiểm tra tính xác cách chứng minh, đồng thời toán trở nên sáng tỏ hơn, dễ hiểu Để tổ chức giải tốn cách nhanh chóng, giáo viên giúp em thành thạo q trình nói để em tự suy nghĩ cách độc lập hướng dẫn giáo viên Bài tốn 7: Cho tứ giác ABCD có AB < CD Gọi M,N,P,Q trung điểm AB,AC,CD,BD Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Giải toán dễ dàng cách MQ,PN đường trung bình tam giác ABD ACD , Giải M B A Xét tam giác ABC có MA = MB (gt) NA = NC (gt) N Suy MN đường trung bình tam giác ABC Suy MN = BC MN / / BC (1) Xét tam giác DBC có QD = QB (gt ) P D = PC (g t) Suy QP = Q C j D P BC QP // BC (2 ) Từ (1) (2 ) suy MQ // NP,MQ = NP Do MQPN hình bình hành Ta thấy hình bình hành MQPN đặc biệt tứ giác ABCD thỏa mãn thêm điều kiện Dễ thấy hình bình hành MNPQ trở thành hình thoi tứ giác ABCD có hai cạnh đối nhau.Ta có toán sau: Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có AD = BC ,AB< CD Gọi M,N,P,Q trung điểm AB,AC,CD,BD Chứng minh rằng: tứ giác MNPQ hình thoi Lưu ý QM, MN, NP, PQ đường trung bình tam giác ABD,ACB,ACD,DBC ta có điều phải chứng minh (xem hình) Đường chéo NQ hình thoi MNPQ đáy tam giác cân NPQ nên đường thẳng QN cắt AD,BC I,K BKN = PQN 16 AIQ = PNQ (các cặp góc so le trong) Do AIQ = BKN Ta có tốn sau: M e Q trình phát triển tốn cũ thành B A toán Bài toán 9: Cho tứ giác ABCD có AD=BC,AB< N I K CD.Gọi N,Q Q trung điểm hai đường chéo AC,BD.Chứng j minh đường thẳng NQ tạo với AD, BC góc C D P Tương tự ,MP đáy tam giác cân NMP nên đường thẳng MP tạo với đường thẳng AD,BC góc nhau.Từ ta có tốn Bài tốn 10: Cho tam giác EDC có ED