Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài tập hình học cho học sinh lớp 8 ở trường THCS nga mỹ

Trong việc dạy toán học thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giảibài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập, sử dụngđúng phương pháp dạy học, góp phần hì

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3.Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lý luận 3

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 3

2.2.1 Thực trạng : 3

2.2.2 Kết quả của thực trạng trên: 3

2.3 Giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Các giải pháp tổ chức thực hiện 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 16

3 KẾT LUẬN 18

3.1 Kết luận……… 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 21

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Người Ai Cập và Hy Lạp nhờ môn Toán học đã xây dựng được nhiềucông trình nổi tiếng như Kim Tự Tháp, hệ chữ cái,thiên văn học,vật lý…Dovậy Toán học là một môn khoa học cơ bản được nhiều người qua tâm vànghiên cứu

Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên , có hệ thống kiến thức rất cơbản và cần thiết cho cuộc sống Nó là một môn khoa học đòi hỏi tính sáng tạo

tư duy logic cao Nó luôn gắn bó và tác động lớn tới sự phát triển của nhiềungành khoa học khác Quá trình giải một bài toán giúp con người hình thànhnhững khả năng đặc biệt của trí tuệ Những khả năng đặc biệt này đem lạicho chúng ta những thành tựu lớn trong quá trình nghiên cứu khoa học, cũngnhư mọi lĩnh vực của đời sống con người

Môn Toán THCS cung cấp cho học sinh những kiến thức phương pháp phổthông cơ bản thiết thực, hình thành và rèn luyện kỳ năng khả năng suy luậnlogic khả năng quan sát dự đoán phát triển trí tưởng tượng,bồi dưỡng phẩmchất tư duy linh hoạt sáng tạo hình thành thói quen tự học tự nghiên cứu đểchính xác ý tưởng của mình Góp phần hình thành các phẩm chất lao độngcần thiết của con người

Trong việc dạy toán học thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giảibài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập, sử dụngđúng phương pháp dạy học, góp phần hình thành phát triển tư duy của họcsinh, rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo, linh hoạt trong việc giải bài tậpđặc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi

Dạy như thế nào để học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và được nâng cao

để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô giáoluôn đặt ra cho chính mình

Với đối tượng học sinh khá, giỏi, các em có tư duy nhạy bén, có nhu cầuhiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để các em phát huy hết khả năng củamình, đó là trách nhiệm của mỗi thầy, cô giáo

Trong nhà trường toán học giúp các em học sinh phát triển về mọi mặt: trí,đức, thể, mỹ Đáp ứng yêu cầu giáo dục của Việt Nam

Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đềthường xuyên, liên tục Để chất lượng học sinh ngày càng được nâng cao yêucầu người giáo viên phải lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp và hệthống bài tập đa dạng, phong phú đối với từng đối tượng học sinh

Hình học là môn khoa học suy diễn Nó giúp học sinh rèn luyện các phép

đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Đặc biệtđối với việc hướng dẫn cho các em chứng minh một bài toán hình học đồng thời

mở rộng, nâng cao bài toán là một yêu cầu rất cần thiết Sử dụng thành thạo cácphương pháp chứng minh vào từng bài toán cụ thể, cách vẽ hình chính xác, lậpluận để hiểu cặn kẽ nội dung của bài toán

Điều đó lý giải tại sao đa số học sinh ở cấp THCS đều lúng túng trong

từ đâu, tiến hành các thao tác tư duy nào, phải làm những gì, phải sử dụngcông cụ nào để giải đôi khi việc giải một bài toán hình học của các em chỉ là

“ Sự mày mò” không có cơ sở.

Là giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở lớp 8, tôi nghĩ rằng

việc giảng dạy của giáo viên không đơn thuần là việc “ Chỉ cho học sinh kết quả của bài toán” mà là quá trình “ Hướng dẫn cho các em hình thành thói quen suy luận, lập luận hợp lôgic ” để chứng minh một bài toán hình học.

Việc làm này sẽ phát triển trí thông minh của các em và góp phần thúc đẩy sựphát triển trí tuệ của học sinh, gây hứng thú học tập bộ môn hình học

Các vấn đề trong đề tài đều được lựa chọn để mọi đối tượng học sinhđều có thể tiếp thu được Ngoài ra, trong đề tài một số vấn đề khó được diễnđạt một cách đơn giản, dễ hiểu; các lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tănglượng thông tin trong khuôn khổ có hạn của đề tài, vừa dành lại phần độc lậpnghiên cứu cho học sinh; đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải

Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên tôi đã chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài tập hình học cho học sinh lớp 8 ở trường THCS Nga Mỹ”

Hướng dẫn học sinh “tư duy, suy luận logic để giải một bài toán

chứng minh hình học” lớp 8 bao gồm nhiều quá trình kết hợp một cách chặt

chẽ, đó là yêu cầu mà học sinh cần đạt được để học cách “Phải suy nghĩ như

thế nào? tiến hành các thao tác tư duy nào ? ” Việc thành thạo các thao tác

tư duy này sẽ giúp học sinh giải bài toán chứng minh hình học lớp 8 một cáchđộc lập Nó được chia làm 5 quá trình sau:

a Quá trình phân tích, phán đoán:

Phân tích bài toán để phán đoán một cách khoa học, có cơ sở để tìm rakết quả của bài toán

b.Quá trình bổ sung và phân nhóm lại bài toán.

Dựa vào mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán và yêu cầu của bàitoán có thể kẻ thêm đường phụ

c Quá trình huy động kiến thức cũ :

Tìm phương pháp giải dựa trên cơ sở khoanh vùng kiến thức cần sửdụng trong bài toán, cách ly, liên hợp các yếu tố của bài toán

d Quá trình tổ chức giải bài toán.

Mỗi quá trình trên có liên quan chặt chẽ với nhau trong quá trình giảitoán, những suy luận có lý từ một quá trình sẽ đem lại kết quả cho bài toán

e Quá trình phát triển bài toán cũ thành bài toán mới.

Để giúp học sinh yêu thích môn Hình học 8 giáo viên cần có cácphương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh nắm vững được kiếnthức đó là cả một nghệ thuật của người thầy nhất là khi bài toán cũ mà ngườithầy làm cho nó mới các em luôn hứng thú để tìm cách giải

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 8A trường THCS Nga Mỹ

1.4 Phương pháp nghiên cứu

-Đề tài này được hoàn thành với các phương pháp phân tích, phánđoán,phân nhóm,huy động kiến cũ, phát triển bài toán trên nền kiến thức đãhọc

- Nghiên cứu tài liệu,học hỏi từ đồng nghiệp và bản thân tự học tựnghiên cứu

- Giúp học sinh yếu kém có hứng thú học môn hình học và học sinh khá giỏi phát triển được tố chất của mình Để “Rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài tập hình học lớp 8 ở trường THCS Nga Mỹ”

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận

Môn hình học là môn học mang tính tư duy cao nên giáo viên cần giúphọc sinh lĩnh hội được nhiều kiến thức từ đó các em có niềm say mê Tuynhiên trong thực tế việc dạy học để nâng cao chất lượng môn Hình họckhông thể dễ dàng Giáo viên kết hợp hài hòa với học sinh để các em xácđịnh được việc học là cần thiết

Phần lớn học sinh trong nhà trường là con em nông thôn điều kiện kinh

tế khó khăn nên việc dành thời gian học tập chưa cao Sự quan tâm kèm cặpcon cái của một số phụ huynh còn buông lỏng,một số em chưa có ý thức họctập dẫn đến các em chưa yêu thích môn Hình học Là giáo viên lâu năm trongquá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm các phương phápthích hợp để giúp các em yêu thích và học tốt môn Hình học

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

2.2.1 Thực trạng :

Lý do cơ bản mà giáo viên còn băn khoăn, đó chính là lựa chọn phươngpháp nào, sử dụng phương tiện, thiết bị dạy học nào để học sinh tiếp thu kiếnthức cơ bản tốt nhất từ đó giúp học sinh vận dụng vào giải các bài tập

Việc hướng dẫn học sinh chứng minh một số bài toán khó, mang tínhtổng quát đôi lúc còn mang tính chất gượng ép, nếu giáo viên không hướngdẫn cho học sinh cách chứng minh, suy luận logic, thì việc giải bài toán đốivới học sinh gặp rất nhiều khó khăn

Vì là kiến thức khó nên các em tiếp thu kiến thức một cách thụ động,chưa thực sự làm chủ được kiến thức Điều quan trọng là các em chưa nắmvững kiến thức cơ bản, còn hiểu lơ mơ về định nghĩa, định lý Đặc biệt là các

em còn bỡ ngỡ khi giải bài tập Đối với học sinh thì việc giải toán là hoạtđộng chủ yếu của việc học tập môn toán

Việc “tư duy, suy luận logic để giải một bài toán chứng minh’’ biểu thị

các đại lượng chưa biết qua các đại lượng đã biết, các em nắm rất lơ mơ Dovậy khi đứng trước một bài toán khó, các em rất lúng túng, chưa định hướngđược việc giải bài toán như thế nào Coi việc học toán, giải toán là gánh nặng

2.2.2 Kết quả của thực trạng trên:

Trong thực tế cho chúng ta thấy hình học là một bộ môn khó đối vớinhiều học sinh, nhưng nếu như chúng ta biết cách hướng dẫn học sinh giảimột bài toán chứng minh hình học thì ắt hẳn tư tưởng trên sẽ không còn nữa.Thực tế cho thấy để thực hiện được điều này thì phải phân loại học sinh(Giỏi, khá, trung bình, yếu, kém) Tuỳ vào từng đối tượng học sinh mà chúng

ta áp dụng với phương pháp thích hợp

Ngay từ đầu năm, tôi được nhà trường phân công dạy bộ môn toán lớp

8 Qua tìm hiểu tôi biết, có nhiều học sinh còn mải chơi, chưa chú ý, tự giáchọc tập đây là một lớp có nhiều học sinh xếp loại trung bình, yếu kém về bộmôn toán Vào đầu năm học tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng môn hìnhhọc ở lớp 8 Kết quả như sau:

- Hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từngdạng bài toán là một vấn đề quan trọng, cần phải tích cực, thường xuyên,không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em cómột phương pháp học tập phù hợp, rèn luyện cho các em có khả năng tựhọc ,tự chứng minh bài toán Làm được điều đó chắc chắn kết quả học tậpcủa các em sẽ đạt được hiệu quả tốt hơn.

- Giải toán là một nghệ thuật và việc hướng dẫn cho học sinh giải toáncòn yêu cầu tính nghệ thuật cao hơn Việc hướng dẫn học sinh lập luận đểchứng minh bài toán hình học lớp 8 cũng vậy, đòi hỏi quá trình tìm tòi,

nghiên cứu, lâu dài

- Lựa chọn những bài toán có khả năng giải bằng nhiều phương pháp,thuộc chương trình hình học lớp 8 thông qua đó dạy cho học sinh các phươngpháp chứng minh hình học, kỹ năng vẽ hình chính xác, Có ý thức phát triểnbài toán từ bài dễ thành bài khó hơn, khai thác hết các kiến thức của bài toán

a Quá trình phân tích, phán đoán.

Khi gặp một bài toán, sau khi đã ghi giả thiết, kết luận, vẽ hình chínhxác, phần lớn học sinh thường lao vào giải bài toán ngay, điều này thực sựkhông có lợi cho việc giải toán, vì có thể các em chưa thực sự nắm được yêucầu của bài toán, hoặc có thể lệch hướng giải quyết vấn đề Do đó giáo viênnên hình thành cho học sinh thói quen phân tích bài toán một cách kỹ lưỡngtrước khi bắt tay vào tìm lời giải cho bài toán Dựa vào việc phân tích bàitoán để tìm mối liên hệ giữa các yếu tố có liên quan đến bài toán từ đó xácđịnh cụ thể yêu cầu của bài toán, phán đoán hướng giải quyết bài toán

Tuy nhiên cần hiểu rằng việc phán đoán không có nghĩa là dự đoánmột cách thông thường mà khi phán đoán một vấn đề cần thiết phải biết cáchlập luận để kiểm tra phán đoán đó một cách có cơ sở Muốn kiểm tra phán

đoán, có thể đặt ra một số câu hỏi như “ Nhận biết này có liên hệ tới vấn đề cần chứng minh không? Vấn đề phán đoán này có hợp lý không ? nếu có thì liên quan như thế nào?” “Giả thiết này cho nhằm mục đích gì ? có liên quan tới yêu cầu của bài toán không?” Những câu hỏi này khi đặt ra sẽ kèm theo

một loạt các thao tác tư duy, có thể chỉ cho người giải biết phải hành độngnhư thế nào ?

Để tìm được cách giải bài toán giáo viên có thể giúp học sinh vận dụngphương pháp phân tích đi lên để giải quyết bài toán Đây là phương pháp yêu

cầu học sinh phải biết tự kiểm tra những dự đoán “ Nếu có điều này thì sẽ như thế nào ?” Khi sử dụng phương pháp này chúng ta sẽ thấy lợi ích của

việc phân tích bài toán tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán

Bài toán 1: Cho Tam giác ABC và một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AC

qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC ở D và đường thẳng songsong với BC cắt AB ở F sao cho AE = FB Chứng minh rằng tam giác AEDcân

Giáo viên: Yêu c u h c sinh v hình ghi gi thi t, k t lu n.ầu học sinh vẽ hình ghi giả thiết, kết luận ọc sinh vẽ hình ghi giả thiết, kết luận ẽ hình ghi giả thiết, kết luận ả thiết, kết luận ết, kết luận ết, kết luận ận

GT ∆ABC,E º AC, ED // AB,

EF //BC, EA = BF

KL ∆ AED cân

Hướng dẫn :

Để giải được bài toán 1 yêu câù học sinh tìm tòi theo các bước say đây:

- Bài toán cho biết gì ? cần chứng minh điều gì ? (yêu cầu phân tích).

- Dự đoán ∆AED cân ở đỉnh nào ? (yêu cầu phán đoán)

- Muốn chứng minh ∆AED cân ta phải chứng minh điều gì ?

-Xuất phát từ yêu cầu: AE = BF nhằm mục đích gì? có thể chứng minhđược BF = ED không? Nếu được ta suy ra điều gì ?

Với cách phân tích và phán đoán như trên, học sinh có thể dễ dàng trìnhbày bài toán như sau:

Chứng minh:

Vì: ED // AB ( gt ) ED // FB

FE // BC ( gt )  EF // BD Tứ giác BFED là hình bình hành

Nên: FB = ED mà FB = AE (gt)  AE = ED

Vậy ∆AED cân tại E (đpcm)

Sau khi giải quyết song bài toán, học sinh đang lưu ý đến kết quả vừatìm được mà thường không chú ý những công việc, những thao tác mình vừalàm bởi vấn đề đã được giải quyêt

Song mục tiêu ở đây là sự thành thạo các thao tác phân tích độc lập củacác em đối với các bài toán tương tự khác Chính vì vậy giáo viên cần nhấn

mạnh cho học sinh “ hình thành thói quen tìm cách giải bài toán”.

Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB, BC, DC, DA Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bìnhhành

Giáo viên: yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận

D

câu hỏi và trả lời câu hỏi ( phân tích, phán đoán

và kiểm tra phán đoán)

Hỏi: nếu MNPQ là hình bình hành thì ta suy ra điều gì ? ( yêu cầu phân tích).

Vậy: Tứ giác MNPQ là hình bình hành

Tóm lại: Khi giải một bài toán chứng minh hình học, giáo viên cần

hướng dẫn và hình thành cho học thói quen cách phân tích bài toán Tuynhiên không phải bất cứ đối với một bài toán nào cũng có thể phân tích màthấy ngay được hướng giải quyết vấn đề, bởi một bài toán bao gồm tổ hợpnhiều các thao tác tư duy khác chứ không riêng phân tích, mà mỗi thao tác tưduy đó lại nằm trong quá trình có liên quan chặt chẽ với nhau

b Quá trình bổ sung và phân nhóm lại bài toán.

Rất nhiều những bài toán chứng minh hình học phức tạp mà đôi khikhông thể khai thác ngay các yếu tố giả thiết của bài toán cho để chứng minhbài toán Chính vì thế mà khi bắt gặp những bài toán như vậy giáo viên phảigiúp học sinh bổ sung hoặc làm thay đổi cấu trúc của bài toán Những bổsung hoặc sẽ cung cấp thêm những yếu tố để giải quyết yêu cầu của bài toán.Thông thường những bổ sung hoặc cấu tạo lại bài toán chứng minh hình học

ở chương trình lớp 8 là việc khai thác bài toán để kể thêm đường kẻ phụ, cácđường kẻ phụ có thể là chiếc chìa khoá giúp cho chúng ta giải quyết nhữngyêu cầu của bài toán

B

NQ

Tuy nhiên việc kẻ thêm đường kẻ phụ là một việc làm khó mà đối với

học sinh đại trà lại càng khó hơn Chính vì vậy mà đa số học sinh không thực

hiện được thao tác này, đôi khi việc làm của các em chỉ là mày mò, kẻ thêm

đường thẳng này hay kẻ thêm đường thẳng kia với hy vọng xuất hiện một vấn

đề nào đó có liên quan chứ chưa thực sự xuất phát từ những mối liên hệ chặt

chẽ giữa các yếu tố của bài toán Đối với một số học sinh còn chưa xuất hiện

một ý tưởng nào để chứng minh bài toán

Đối với những bài toán chứng minh hình học khác nhau thì việc kẻ

thêm đường kẻ phụ cũng khác nhau, không có một phương pháp cụ thể nào

Tuy nhiên, ở đây chúng ta muốn đề xuất một ý tưởng mang tính thủ thuật có

thể giúp học sinh thành công trong việc bổ sung câú tạo lại bài toán bằng

cách kẻ thêm đường kẻ phụ Đó là ngay sau khi phân tích bài toán, nếu xét

thấy cần thiết kẻ thêm đường kẻ phụ giáo viên cần giúp học sinh tìm hướng

xuất phát, mà cụ thể là nên xuất phát từ những yếu tố mà ta “ tạm gọi” là

“yếu tố đặc biệt” của bài toán.

Lúc đâù có thể học sinh chưa biết là yếu tố đặc biệt, do đó giáo viên có

thể chỉ cho các em thấy rằng những yếu tố hoặc chi tiết có liên quan nhiều

đến yêu cầu của bài toán

Khi nghiên cứu bài toán một cách kỹ lưỡng chúng ta sẽ thấy ở các chi

tiết của bài toán có gì đó giống như là thứ bậc, những chi tiết chính thường là

những chi tiết bậc cao hơn gần hơn với các giả thiết, kết luận của bài toán

hơn Tuy nhiên khi nghiên cứu bài toán giáo viên cũng cần lưu ý học sinh

mối quan hệ giữa giả thiết kết luận của bài toán

Bài toán 3: Cho Tứ giác lồi ABCD : Gọi M và N lần lượt là trung điểm

MN ≤

2

CD

AB 

( yêu cầu phân tích dự đoán)

Giả thiết bài toán cho đã sử dụng để chứng minh trực tiếp yêu cầu của

bài toán chưa ?

(yêu cầu khai thác bài toán.)

F

PI

Với bài toán này giáo viên nên lưu ý học sinh phải bổ sung lại bài toán bằng cách kẻ thêm đường kẻ phụ

Lưu ý các điểm đặc biệt của bài toán : Trong bài toán này có những yếu

tố nào đặc biệt ? ( Yêu cầu cần xác định yếu tố đặc biệt).

Dễ dàng nhận ra rằng 2 điểm M và N là các yếu tố đặc biệt, bởi chúng

có liên quan nhiều đến yêu cầu của bài toán

Xuất phát từ yêu cầu bài toán MN ≤

Nếu NP = AB2 , thì NP phải là đường trung bình của ∆ ABC

Do đó điểm P là trung điểm của AC

Vậy là việc kẻ thêm đường phụ xuất phát từ các yếu tố đặc biệt và xétyếu tố đặc biệt đó trong mối liên hệ với yêu cầu của bài toán, học sinh đã bổsung lại bài toán dựa trên những tư duy chặt chẽ Do đó sau khi kẻ xongđường kẻ phụ ,việc giải bài toán chỉ còn là việc sắp xếp lại các suy luận trênbằng cách vận dụng các kiến đã học

Chứng minh:

Gọi P là trung điểm của AC

Theo tính chất đường trung bình của ∆ ta có : MP = CD2 và NP =

Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 điểm M,N,P thẳng hàng Nhưng do MP //CD; PN // AB nên AB // CD Vì vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Với cách giải như trên giáo viên có thể cho học sinh khai thác chứngminh nhanh đối với trường hợp E là trung điểm AB, F là trung điểm CD

Rõ ràng theo cách kẻ đường phụ như trên học sinh chứng minh mộtcác dễ dàng: EF ≤

2

1

(AD + BC )

Bài toán 4:

Cho hình thang ABCD ( AD // BC, AD > BC ) có các đường chéo AC

và BD vuông góc Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đườngtrung bình EF của hình thang Chứng minh rằng ∆ ACM cân

Hướng dẫn :

+ Tam giác AMC cân tại điểm nào? ( yêu cầu phán đoán)

+ Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân ta chứng minh như

thế nào? ( phương pháp chứng minh ).

Để chứng minh một tam giác là tam giác cân thì học sinh dễ dàng nghĩngay tới việc chứng minh hai cạnh bên bằng nhau hoặc hai góc kề một cạnhbằng nhau

+ Muốn chứng minh tam giác AMC cân ta chứng minh theo cách nào?

Hãy suy nghĩ chứng minh ( yêu cầu kiểm tra phán đoán ).

+ Vơí bài toán này ta nên dựng thêm đường kẻ phụ nào để có thểchứng minh 2 cạnh MA = MC ?

A

E

ND

M

F