KHAI THÁC bài TOÁN cực TRỊ TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI bài tập HÌNH học GIẢI TÍCH CHO học SINH lớp 12 TRUNG tâm GDTX

PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài : - Tốn học mơn đòi hỏi phải tư logic, phải biết vận dụng kết hợp linh hoạt nhiều kiến thức lại với Do đó, việc hình thành phương pháp giải dạng tốn cho em học sinh cần cần thiết, đặc biệt việc thi trắc nghiệm cần nhanh lẹ xác - Phương pháp tọa độ khơng gian phần kiến thức tốn học quan trọng ln xuất kì thi THPT Quốc gia hàng năm Để lĩnh hội kiến thức phần dễ dàng đòi hỏi người học phải biết tư tốt biết kết hợp tính tốn đại số tính chất hình học túy không gian - Đối với tốn hình học khơng gian liên quan đến cực trị, dùng tính tốn đại số thường gây khó khăn cho học sinh, dễ sai xót q trình tính tốn Tuy nhiên, để ý đến tính chất hình học việc giải toán dễ dàng hơn, giảm việc tính tốn Vì vậy, đề tài tơi muốn trình bày “ Khai thác kết số tốn cực trị khơng gian” để giúp em học sinh nắm phương pháp giải số tốn cực trị hình học giải tích lớp 12 làm sở để em vận dụng giải tình gặp phải kỳ thi Từ đòi hỏi tơi chọn sáng kiến với đề tài: “ Khai thác toán cực trị hình học khơng gian nâng cao hiệu giải tập hình học giải tích cho học sinh lớp 12 Trung tâm GDTX ” Mục đích sáng kiến: - Qua khai thác kết toán cực trị hình hình học khơng gian giúp học sinh giải số dạng toán phương pháp tọa độ khơng gian góp phần hiệu học hình học giải tích cho học sinh khối 12 - Giúp em học sinh lớp 12 Trung tâm nâng cao tư kĩ tính tốn qua hy vọng cung cấp cho học sinh dạng toán để bổ sung vào hành trang kiến thức giúp em bước vào kì thi, đặc biệt kì thi THPT Quốc gia - Qua đề tài giúp cho thân đồng nghiệp dạy khối 12 có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh - Kết hợp định tính định lượng nhằm giúp em hệ thống tốt kiến thức học giúp em hứng thú học hình giải tích Đối tượng nghiên cứu: - Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu áp dụng thực nghiệm học sinh lớp 12 GDTX năm học 2016-2017 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu lý thuyết hình học khơng gian, phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hình học Nghiên cứu phương pháp giảng dạy toán, đặc biệt phương pháp giảng dạy giải hình học giải tích - Phương pháp quan sát sư phạm: thông qua thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp, dự đúc rút kinh nghiệm, tiếp thu phản hồi từ học sinh - Phương pháp thực nghiệm: thực kiểm tra đánh giá lớp 12A1, 12A2 sau trình học tập Những điểm sáng kiến: - Đề tài đề cập tới số tốn điển hình cực trị vận dụng hình học giải tích, chưa bao qt hết tất dạng tốn Tuy nhiên thơng qua toán nhằm giúp cho em nắm kết của toán cực trị khơng gian để từ vận dụng giải tốn hình học giải tích  - Đây vận dụng kết toán giải để giải tốn mở rộng, nâng cao nội dung chương trình SGK Vì giúp học sinh cố kiến thức học phù hợp với chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia cho em học sinh PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN Cơ sở lý luận: - Sau giải tốn ngồi việc chỉnh lý, kiểm tra, mở rộng tốn ln phải suy nghĩ phương pháp, kết tốn vừa giải có ích việc giải tốn khác - Giải tập tốn có tác dụng bổ sung, hoàn thiện, nâng cao kiến thức phần lý thuyết thiếu thời lượng phân phối chương trình quy định - Giải tập tốn giúp học sinh hiểu sâu lý thuyết, củng cố rèn luyện cho học sinh kỹ giải toán, kỹ vận dụng lý thuyết vào thực tiễn … - Giải tập tốn giúp cho học sinh phát triển tư tích cực, tạo tiền đề nâng cao lực tự học, cố khả sử dụng ngôn ngữ, cách trình bày lời giải, khả khám phá tự khám phá, hình thành phương pháp làm việc khoa học, hiệu - Thơng qua tập tốn giáo viên giảng dạy có kênh thơng tin thu thập, đánh giá xác lực học tập học sinh 2.Thực trạng trước áp dụng sáng kiến: -Phần lớn em học sinh hay lúng túng gặp khơng khó khăn giải tốn hình học tọa độ khơng gian Bởi lẻ, để giải tốn đòi hỏi em cần phải có kiến thức vững hình học khơng gian -Trong hệ thống tập chương trình giáo khoa có tốn cực trị, lý mà làm cho học sinh có hội tiếp cận với dạng toán -Do thời lượng hạn chế nên SGK đề cập đến tốn cực trị, nên em học sinh tiếp xúc luyện tập dạng Vì gặp em thường hay lung túng gây nhiều khó khăn cho em -Tuy nhiên, tốn cực trị lại tốn có phương pháp giải lý thú thường mang lại tâm lý hưng phấn cho học sinh, từ khích lệ khả tìm tòi học hỏi cho em Các giải pháp sử dụng để giải quyết: 3.1 Một số kiến thức có liên quan: Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: � x  D : f  x  M � x �D : f  x   M � - M giá trị lớn hàm số y=f(x) D � � x  D : f  x  m � [1] x �D : f  x   m � - m giá trị nhỏ hàm số y=f(x) D � “Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (P)” Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vng góc M lên đường thẳng (d).[2] Gọi H hình chiếu M lên mặt phẳng (P) Đoạn MH khoảng cách ngắn nối từ điểm M đến điểm mặt phẳng (P).[3] Với hai đường thẳng chéo độ dài đọan vng góc chung khoảng cách ngắn nối hai điểm thuộc hai đường thẳng này.[4] 3.2 Hệ thống số tập hình học khơng gian hình thành phương pháp giải tốn hình học giải tích lớp 12: Bài toán 1: Cho hai điểm A, B mặt phẳng    Tìm điểm M thuộc mp    cho MA  MB nhỏ nhất.[5] Phương pháp: TH: Nếu A, B khác phía mp    M giao điểm AB với mp    TH: Nếu A, B phía mp    : B + Lấy A’ đối xứng với A qua mp    A Ta có MA’=MA + Do đó, MA + MB nhỏ � MA’ + MB nhỏ � M, A’, B thẳng hàng  � M  A' B I    M A’ Ví dụ 1: Trong khơng gian (Oxyz), cho hai điểm A 1;1;1 , B  4;  10;12 mp( ): x  2y  z  Tìm điểm M thuộc mp( ) cho MA+MB nhỏ Bài giải: Ta nhận thấy A, B nằm phía mp( ) Gọi A’ điểm đối xứng A qua mp( ) � A' 1;5;3 + Ta có mp( ) mặt phẳng trung trực AA’ nên M �( ) � MA'  MA Nên, MA+MB nhỏ � MA’+MB nhỏ (Vì A’,B khác phía đ/v mp( ) ) � M  A' B I    �x  1 t � + Pt đường thẳng (A’B): �y  5 5t  t �R �z  3 3t � �x  1 t �x  2 �y  5 5t � � � �y  � M  2; 0; 6 + Tọa độ M thỏa hệ � �z  3 3t �z  � � �x  2y  z   Bài toán 2: Cho hai điểm A, B đường thẳng (d) Tìm điểm M thuộc (d) cho diện tích MAB có giá trị nhỏ nhất.[6] Phương pháp: + Gọi H hình chiếu M lên (d) SMAB  d MH AB B + Vì AB khơng đổi nên SMAB nhỏ � MH nhỏ M � MH đoạn vng góc chung AB (d) H A Ví dụ 2: Cho hai điểm A 2; 1; 2 , B  2; 1; 4 đường thẳng (d): x  y z   Tìm điểm M thuộc (d) cho SMAB nhỏ Bài giải: + Gọi H hình chiếu M lên (d) � SMAB  MH AB Do đó, SMAB nhỏ � MH nhỏ � MH đoạn vng góc chung AB (d) �x  1 t ur � + Pt tham số (d) : �y  2t  t �R Ta có vtcp d: u1   1; 2; 1 �z  2 t � �x  2 2t' uu r � y  t ' � R u   + Pt tham số (AB): � Ta có vtcp AB:   2; 0; 1 �z   t ' � Vì M �d nên M  1 t;2t;   t  H �( AB) nên H  2  2t ';1;2  t' uuuur ur � �  3 2t' t  2 1 2t   4 t' t  �t  �MH u1  � �� �� + Ta có : �uuuur uur Vậy M(2;2;-1) t'    t '  t  4  t '  t      MH u  � � � Bài toán : Cho mp( ) mặt cầu (S) khơng có điểm chung Tìm hai điểm M, N thuộc mặt cầu (S) mp( ) cho MN nhỏ nhất.[7] Phương pháp : + Gọi N0 hình chiếu vng góc I lên mp( ) M0 giao điểm IN0 với (S) (M0 thuộc đoạn IN) + Lấy điểm tùy ý M, N thuộc (S),( ) I Khi đó, ta có: IM  MN �IN �IN0  IM0  M0N0 M Do đó, MN nhỏ M �M0 , N �N0  N Ví dụ 3: Trong khơng gian (Oxyz), cho mp( ): x  2y  z 20  mặt cầu (S): x2  y2  z2  2x  2y  2z   Tìm hai điểm M, N thuộc mặt cầu (S) mp( ) cho MN nhỏ Bài giải : Mặt cầu (S) có tâm I(1 ; ; 1) bán kính R  Ta có: d  I ,    R � mp( ) mặt cầu (S) không giao �M �(S) � Vì �N �( ) nên N hình chiếu I lên ( ) M  IN �(S) ,(M thuộc đoạn �MN � IN) �x  1 t � + Pt đt(d) qua I vuông góc với ( ) : �y  1 2t  t �R �z  1 t � �x  1 t �y  1 2t � � t  3 � N  2;7;4 + Tọa độ N thỏa � �z  1 t � �x  2y  z 20  �x  1 t �y  1 2t t  1 � � �� + Tọa độ M thỏa �z  1 t t1 � � 2 � �x  y  z  2x  2y  2z    Với t  1 � M  0;3;2 (loại M nằm đoạn IN) Với t  1 � M  2;  1;0 Bài toán 4: Cho đường thẳng    điểm M nằm đường thẳng    Xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng    cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn nhất.[8] Phương pháp: Gọi I hình chiếu vng góc M lên đường thẳng    Suy I cố định Giả sử mp(P) chứa    H hình chiếu M lên mp(P) M Ta có: d  M ;  P    MH �MI (MI khơng đổi) Do đó, d  M ;  P   lớn H trùng với I uuu r Tức là, mặt phẳng (P) nhận MI làm vectơ pháp tuyến  H I Bài toán 4: Cho mặt phẳng    điểm A thuộc mặt phẳng    điểm B không thuộc mp    Xác định đường thẳng    qua A nằm mp    cho khoảng cách từ B đến đường thẳng    nhỏ Phương pháp: + Gọi H hình chiếu vng góc B lên mp    Suy H cố định + Giả sử    đường thẳng qua A, nằm mặt phẳng    gọi B K hình chiếu vng góc B lên đường thẳng    Ta có: d  B;    BK �BH (BH không đổi) A Suy d  B;   nhỏ K trùng với H  Tức là, đường thẳng    qua H H K + Vậy đường thẳng    đường thẳng qua A H 3.3 Mở rộng, vận dụng linh hoạt dạng toán gặp : Bài toán 1: Cho hai điểm A, B mp    Tìm M thuộc mp    cho a.MA2  b.MB  a  b   nhỏ (Mở rộng toán 1) [9] Phương pháp: uu r uur r + Tìm điểm I thỏa a.IA  bIB  (I điểm cố định) 2 2 Khi đó, a.MA  b.MB   a  b MI  a.IA  bIB + Vì a.IA2  bIB không đổi nên a.MA2  b.MB2 nhỏ � MI nhỏ � M hình chiếu I lên mp    Hệ quả: Cho hai điểm A, B mp    Tìm M thuộc m p    cho MA2  MB2 nhỏ [10] Phương pháp: A + Gọi I trung điểm AB I B MA2  MB2 AB2  Khi đó, MI  � MA2  MB2  2MI  AB2 + Vì AB khơng đổi nên MA  MB nhỏ 2  M � MI nhỏ � M hình chiếu I lên mp    Nhận xét: Bài tốn mở rộng: Cho n điểm A1, A2, , An cho mp( ) Tìm M thuộc mp( ) cho a1.MA12  a2 MA2   an MAn  a1  a2   an   nhỏ Ví dụ 1a: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho A 3; 1; 0 , B  1; 5;  2 mp Tìm M thuộc mp ( ) cho MA2  MB2 nhỏ Bài giải: + Gọi I trung điểm AB � I  2;3;  1 AB2 Ta có: MA  MB  2MI  2 2 Nên MA2  MB2 nhỏ � MI nhỏ � M hình chiếu I lên mp    + Gọi d đường thẳng qua I vng góc với mp ( ) �x   t � � Pt (d): �y  3 3t  t �R �z  1 3t � + Ta có: M  (d) �   � M  1;0;2 Ví dụ 1b: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho A 2;  4; 8 , B  3; 1;  2 mp    : x  3y z  Tìm M thuộc mp cho 2MA2  3MB2 nhỏ Bài giải: uu r uu r r + Gọi I điểm thỏa 2IA  3IB  � I  1;  1; 2  uuur uur   uuur uur  Ta có 2MA2  3MB2  MI  IA  MI  IB  5MI  2IA2  2IB2 Do đó, 2MA2  3MB2 nhỏ � MI nhỏ � M hình chiếu I lên mp  + Gọi d đường thẳng qua I vng góc với mp ( ) �x  1 t � � Pt (d): �y  1 3t  t �R �z   t � + Ta có: M  (d) �   � M  0;2;3 Ví dụ 2a: Cho đường thẳng  : x 5 y  z 5   điểm M(2; 2; 0) Viết 1 3 phương trình mặt phẳng (P) chứa    cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn ( Mở rộng toán 3) Giải: + Gọi I hình chiếu vng góc M lên đường thẳng    Suy I(3; 0; 1) uuu r + Áp dung toán 5, ta có mp(P) nhận MI vectơ pháp tuyến uuu r MI   1; 2;1 làm vectơ pháp tuyến Tóm lại, mp(P) qua I(3; 0; 1) nhận Vậy phương trình mp(P) là: x -2y + z – = Ví dụ 2b: Cho mặt phẳng    : x  y  mz  m   điểm M(6; -1; 2) Tìm m để khoảng cách từ M đến mặt phẳng    lớn Giải: �x  t � + Ta thấy mp    chứa đường thẳng cố định  : �y   2t �z  � + Gọi I hình chiếu vng góc M lên đường thẳng    Ta tìm I(2;3;1) + Áp dụng tốn 5, ta có mp    nhận uuur IM   4;2;1 làm vectơ pháp tuyến r Mặt khác, n   2;1;  m  vectơ pháp tuyến mp    uuur r Từ đó, IM   4;2;1 n   2;1;  m  phương Suy m  1 Ví dụ 3a: Cho mặt phẳng    : x  y  z   điểm A(-2; 5; 0) thuộc mp    Viết phương trình đường thẳng    qua A, nằm mp    cho khoảng cách từ B(1;0;-1) đến đường thẳng    nhỏ (Mở rộng toán 4) Giải: 10 + Gọi H hình chiếu vng góc B lên mp    Suy H(0; 1; 2) + Áp dung tốn 6, ta có đường thẳng    qua A H uuur Tức là, đường thẳng    qua A(-2;5;0) nhận AH   2; 4;2  làm vectơ phương Vậy phương trình    là: x  y 5 z   2 Ví dụ 3b: Cho mặt phẳng (P): x – y – 2z + = điểm A(3; 0; 2), B(1; 2; 3) Viết phương trình đường thẳng    qua A, song song với mp(P) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng    nhỏ Giải: + Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với (P) Phương trình mp(Q): x – y – 2z + = Vì    qua A song song với mp(P) nên    thuộc mặt phẳng (Q) B Gọi H hình chiếu vng góc B lên mp(Q) Suy H(2 ; ; 1) + Áp dụng toán 6, A suy    đường thẳng qua A H Vậy phương trình    là: x3 y z 2   1 Q K H P 3.4 Đưa toán rèn kỹ nặng vận dụng học sinh : Bài : Cho mặt phẳng    : x  y  z   điểm A(1 ;4 ; 0) B(5;4; -7) Tìm tọa độ điểm M thuộc mp    cho MA + MB nhỏ Kết : M(1 ; ; -1) 11 Bài : Cho mp    : x  y  z   điểm A(5;1;4), B(2;0 ;3), C(2 ; ;2) uuur uuur uuuu r Tìm tọa độ điểm M thuộc mp    cho MA  MB  MC nhỏ Kết quả: M(1; 1; 2) Bài 3: Cho mặt phẳng    : x  y  z   hai điểm A(1; -1 ; 0), B(0;-4 ;-2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mp    cho 2MA2  MB nhỏ Kết quả: M(1;1;1) �x   2t x y 1 z 1 � ; d2 :   Bài 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau: d1 : �y  t Với �z  � A, B điểm thuộc đường thẳng (d2) mà AB khơng đổi Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d1) cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Kết quả: M(1; -1; 2) �x  1  3t � Bài 5: Cho đường thẳng  : �y  t điểm A(1; 3; 0) Viết phương trình �z   t � mặt phẳng (P) chứa đường thẳng    cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn Kết quả: (P): x – 2y + z – = Bài 6: Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + = điểm B(1; 0; 4), A(2; 3;2) Viết phương trình đường thẳng    qua B, nằm mp(P) cho khoảng cách từ A đến    lớn Kết :    : x 1 y z    1 1 / Hiệu sáng kiến: Trong năm học 2016-2017 áp dụng hướng dẫn học sinh lớp 12A1, 12A2 học theo hệ thống tập so với lớp 12A3 không áp dụng kết có tiến rõ rệt mặt tỷ lệ học sinh hiểu bài, học sinh có kỹ 12 giải tốn, học tích cực xây dựng Sau kết khảo sát thân Lớp Sĩ số 12A1 Học sinh hiểu Học sinh có kĩ Học sinh tích cực SL TL (%) SL TL (%) SL TL (%) 42 37 88,1 23 54,8 13 30,9 12A2 39 32 82,1 25 64,1 12 30,7 12A3 41 19 46,3 12,2 9,7 - Sau áp dụng vào giảng dạy cho em học sinh, đa số em thích thú học tập, hiểu vận dụng tốt - Qua nhận thấy em tự tin việc học giải tập phương pháp tọa độ không gian KẾT LUẬN : - Giải tốn hình học giải tích phận quan trọng hình học nói chung, chương trình hình học lớp 12 nói riêng, dạng toán thường gặp đề thi THPT Quốc gia Vì trình giảng dạy phải yêu cầu học sinh nắm kiến thức bản, trọng tâm để vận dụng giải dạng toán - Trong dạy học giải tập toán việc phân dạng tập, hình thành bước giải vô cần thiết việc xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn tập phong phú, dạy sát đối tượng yếu tố đảm bảo thành công Để dạy học sinh học nắm vững kiến thức hình học giải tích ngồi yếu tố ta cần lựa tập bản, dể hiểu gắn liền khái niệm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, mặt phẳng vv…một cách nhẹ nhàng, yếu tố mà chúng phái nhắc nhở học sinh tính tốn thiết phải xác, ln xác định rõ khái niệm liên quan đến giả thiết, mối quan hệ giả thiêt, cách dự đoán, cách vận dụng linh hoạt - Kinh nghiệm sáng kiến tư liệu bổ ích cho giáo viên tham khảo dạy cho đối tượng đại trà, khá, giỏi - Qua trình giảng dạy tơi nhận thấy việc phân dạng hình thành bước giải toán giúp học sinh nắm vững bài, khơng lúng túng, lo sợ học phần này, bước đầu em có định hướng phương pháp để giải tốn hình học giải tích Với kết thực nghiệm hai lớp tơi dạy học sinh say mê, tích cực hiểu đạt tỷ lệ cao Đó động lực để cố gắng để tiếp tục bổ sung hồn thiện sáng kiến 13 - Thơng qua kinh nghiệm thân rút nhiều kinh nghiệm quý báu trình giảng dạy mạnh dạn trao đổi với đồng nghiệp để góp ý, xây dựng cho sáng kiến hoàn chỉnh – Kiến nghị đề xuất: - Qua thực tế giảng dạy đối tượng học sinh đại trà Trung tâm giáo dục thường xuyên, nhận thấy để học sinh hiểu, nắm vững kiến thức bản, vận dụng kiến thức để giải toán cần lưu ý số nội dung sau: * Phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để hiểu rõ kiến thức bản, kiến thức trọng tâm, cốt lõi chương, lựa chọn phương pháp thích hợp với đối tượng * Biết phân loại, dạng tập phù hợp đối tượng lớp, kiên trì uốn nắn động viên, phát huy kiến thức học sinh có, bổ sung hoàn thiện kiến thức học sinh thiếu, hổng tiết dạy * Thường xuyên nắm bắt ý kiến phản hồi từ phía học sinh thơng qua tiết tập, kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng … điều chỉnh kịp thời nội dung giúy học sinh dể hiểu học * Trước giảng dạy phần nói riêng nội dung khác nói chung giáo viên cần bổ sung nội dung kiến thức có liên quan để học tốt nội dung * Đối với nhà trường cần tăng cường phương tiện, máy móc giúy cho mơn hình học có nhiều sơ trợ giúy tạo cho học sinh mơ hình, hình vẽ động để học sinh dể hiểu mơn hình học giải tích Trên số kinh nghiệm nhỏ thân phần giúy học sinh tiếp thu phần kiến thức hình học giải tích dể ràng hơn, hướng thú học tập Đây sáng kiến thực tế, thiết thực cho môi trường học sinh khối giáo dục thường xuyên lực học tập hạn chế, đồng thời sáng kiến gợi mở cho em khá, giỏi đường, cách thức để giải tốn khó Tơi nhận thấy với hiểu biết có hạn, thời gian, khơng gian nhỏ nên sáng kiến khơng trách khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp đồng nghiệp, chuyên viên Sở Giáo dục Đào tạo.Tôi xin trân thành cám ơn Tôi xin cam đoan sáng kiến thân viết, không chép người khác Thọ Xuân, ngày 25 tháng năm 2017 Người viết Mai Phương Thảo 14 Tài liệu tham khảo Hình học lớp 11, 12 (SGK) Giải tích lớp 12 (SGK) Bài tập Hình học lớp 11, 12 (SGK) MỤC LỤC Trang 15 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài …………………………………….1 Mục đích đề tài ………………………………………………… Đối tượng nghiên cứu đề tài: Phương pháp nghiên cứu ……………………………… Những điểm sáng kiến …………………………… PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lý luận đề tài ……………………………………… 2 Thực trạng vấn đề ………………………………………… 3 Các giải pháp sáng kiến ……………………………………… Hiệu sáng kiến PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận …………………………………… 13 Kiến nghị …………………………………14 Tài liệu tham khảo ……………………………………………….15 16 ... tiến rõ rệt mặt tỷ lệ học sinh hiểu bài, học sinh có kỹ 12 giải tốn, học tích cực xây dựng Sau kết khảo sát thân Lớp Sĩ số 12A1 Học sinh hiểu Học sinh có kĩ Học sinh tích cực SL TL (%) SL TL (%)... giúp cho em nắm kết của toán cực trị khơng gian để từ vận dụng giải tốn hình học giải tích  - Đây vận dụng kết toán giải để giải toán mở rộng, nâng cao nội dung chương trình SGK Vì giúp học sinh. .. này.[4] 3.2 Hệ thống số tập hình học khơng gian hình thành phương pháp giải tốn hình học giải tích lớp 12: Bài tốn 1: Cho hai điểm A, B mặt phẳng    Tìm điểm M thuộc mp    cho MA  MB nhỏ nhất.[5]