(SKKN 2022) Rèn luyện kĩ năng tìm điểm rơi và kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi cho học sinh lớp 9 ở trường THCS Hải Lộc Hậu Lộc Thanh Hóa

1 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hiện nay, tích cực đổi phương pháp dạy học tất nhà trường nhằm mục đích nâng cao chất lượng hiệu giáo dục Chúng ta áp dụng phương pháp dạy học tích cực, với kĩ thuật dạy học tích cực nhằm giúp học sinh phát huy huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kĩ vận dụng kiến thức vào tình khác học tập thực tiễn tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập Giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức từ phát triển tư sáng tạo, tránh việc học mang tính nhàm chán đơn điệu Qua thực tế giảng dạy, theo dõi học sinh làm thi tuyển sinh vào THPT thi học sinh giỏi khảo sát chất lượng, nhận thấy đa số học sinh lớp trường THCS Hải Lộc né tránh toán bất đẳng thức, toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ kể tốn khơng khó Có em nhận cần áp dụng BĐT Côsi áp dụng lại mắc phải số sai lầm điều kiện dấu bằng, Tất khó khăn chủ yếu em chưa nắm vững kiến thức, chưa có phương pháp, kĩ thuật tìm điểm rơi (điều kiện dấu “=” xảy ra) đặc biệt va vấp với tốn khó học lớp Từ lí trên, tơi tìm hiểu tích lũy kinh nghiệm thân “Rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi cho học sinh lớp trường THCS Hải Lộc – Hậu Lộc – Thanh Hóa” giúp q trình học tập em có thêm hứng thú niềm tin Đây tài liệu thân chia sẻ với đồng nghiệp sử dụng để ôn tập cho em dịp ôn thi, nâng cao điểm số, nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Mục đích nghiên cứu a Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chun mơn cụ thể thành thạo phát triển kĩ giải tốn BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ áp dụng tìm điểm rơi bất đẳng thức Cơsi - Tìm giải pháp, hình thức dạy học bồi dưỡng học sinh nhằm đạt hiệu cao Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b Đối với học sinh:- Giúp học sinh học tập tốt mơn tốn nói chung việc giải tốn BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học môn Toán - Gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự khai thác toán vận dụng thành thạo phương pháp để giải tập nâng cao Thơng qua việc tìm điểm rơi để định hướng cách làm từ giải vấn đề cách nhanh gọn Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng để rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi cho học sinh lớp trường THCS Hải Lộc – Hậu Lộc – Thanh Hóa 2 Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận:Thông qua tài liệu: Sách giáo khoa, sách số vấn đề phát triển toán 8, Các chuyên đề bồi dưỡng toán THCS, nâng cao phát triển Toán 9, báo toán học tuổi trẻ, tổng hợp chuyên đề trọng tâm thi vào 10 chuyên, internet 4.2 Phương pháp kiểm tra: Qua kiểm tra trắc nghiệm tự luận học sinh để nắm bắt kiến thức, kĩ việc giải toán BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đặc biệt lưu ý tới sai lầm thiếu sót mà học sinh thường mắc phải trình tìm điều kiện để dấu “=” xảy 4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thông qua việc giảng dạy hàng ngày thân, kết học tập học sinh việc ứng dụng tìm điểm rơi học sinh để làm tập 4.4 Phương pháp phân tích, tổng hợp: Từ thực tế giảng dạy, làm học sinh, khóa học để phân tích kĩ điểm thiếu sót, lập luận chưa chặt chẽ học sinh Thông qua trao đổi kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp để tổng hợp lại giảng chi tiết nhất, cụ thể để cung cấp cho học sinh cách hiệu Những điểm SKKN - Ngoài việc cung cấp đầy đủ kiến thức cho học sinh cần nắm trọng đến việc chia dạng từ đến nâng cao - Đưa ví dụ tốn lỗi mà học sinh giáo viên hay mắc phải để em rút kinh nghiệm - SKKN trước đưa kỹ thuật chọn điểm rơi với BĐT Cơ-si SKKN tơi thêm kỹ thuật chọn điểm rơi với BĐT Bunhia - Các dạng tập phong phú đa dạng đặc biệt dạng có tập để em tự luyện II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Tốn học mơn học khó, học sinh học vận dụng vào giải tập cần có linh hoạt bài, trường hợp Trong học dạng bất đẳng thức bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức nhất, áp dụng thường xuyên dễ hiểu, đơn giản Tuy nhiên giải tập, để dùng bất đẳng thức cách sáng tạo, tự nhiên khơng mang tính áp đặt ta phải dùng đến phương pháp gọi phương pháp chọn điểm rơi bất đẳng thức Côsi Khi áp dụng bất đẳng thức Cơsi tốn tìm cực trị việc lựa chọn tham số để dấu “=” xảy điều quan trọng khó khăn Đơi lúc tốn biến bị giới hạn điều kiện áp dụng trực tiếp dẫn đến nhiều sai lầm Vì vậy, để học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức, nâng cao chất lượng dạy học chọn đề tài Sáng kiến tơi muốn trình bày phương pháp cụ thể để ta tìm tham số phù hợp đồng thời chia sẻ vài kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Thực trạng chung: Hiện nay, chương trình học mơn Tốn nói riêng chương trình mơn học học sinh THCS nói chung tương đối nhiều kiến thức Tuy nhiên, mơn Tốn, kiểm tra, đánh giá, thi học sinh giỏi hay thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, cấu trúc đề thi phân theo cấp độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng cấp thấp, vận dụng cấp cao Bởi đề thường xuất 5-10% trở lên câu hỏi khó bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ thường lựa chọn nhiều Tuy nhiên thời lượng để rèn học sinh dạng ít, giáo viên thấy khó nên né tránh, học sinh thấy khó lười em va chạm, khơng có phương pháp, kinh nghiệm mà thi phải thi! Điểm thấp, câu hỏi khó làm em dễ bi quan, dẫn đến chán học, tự ti học thi Toán Các toán bất đẳng thức tốn khó, phạm vi kiến thức rộng đặc biệt với học sinh lớp 9, dạng toán lại thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT 2.2 Đối với giáo viên * Thuận lợi: - Nhà trường xây dựng hệ thống sở vật chất đầy đủ để phục vụ tốt trình học tập học sinh giảng dạy giáo viên, đề cao, trọng đổi phương pháp, tạo điều kiện tốt để giáo viên nghiên cứu, tìm tịi thực nghiệm - Các đồng nghiệp tận tâm, tận tình trao đổi bảo giáo viên cần - Hệ thống internet sách tham khảo tương đối đầy đủ * Khó khăn - Các dạng tốn bất đẳng thức dạng tốn khó phạm vi kiến thức rộng nên dạy nhiều lúng túng - Giáo viên dạy bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ chữa tập xong, khai thác, phân tích, mở rộng toán, đến học sinh gặp toán khác chút khơng có phương pháp giải nên không giải - Không đưa sửa chữa sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tốn Giáo viên có thời gian để nghiên cứu, tìm tịi 2.3 Đối với học sinh * Thuận lợi: - Có nhiều học sinh nỗ lực, ham học hỏi, tự giác u thích mơn Tốn, thích khám phá kiến thức - Phụ huynh học sinh quan tâm nên thời gian sách tham khảo học sinh tương đối đầy đủ * Khó khăn: - Học sinh gặp hay làm toán bất đẳng thức hay giá trị lớn nhất, nhỏ lớp thời lượng giảng có hạn - Một phận học sinh cịn ham chơi, học cầm chừng, chưa có thói quen tự đọc sách, tự nghiên cứu,… Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Cơ sở lí thuyết: 3.1.1 Bất đẳng Cơsi: Nếu a; b ≥ ta có BĐT: a + b ≥ ab Dấu xảy “a = b” 4 3.1.2 Các dạng thường gặp BĐT Côsi: Dạng 1: a + b ≥ ab với a; b ≥ Dạng 2: ≥ với a > ; b > a+ b ab 1 + ≥ với a; b >0 (BĐT phụ) a b a+b 3.1.3 Công thức mở rộng BĐT Côsi: Cho a1; a2; a3; an ≥ 0; Khi đó: a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an (n∈ Z; n ≥ 2) Dạng 3: Dấu “=” xảy a1=a2 =a3 = = an 3.2 Phương pháp kĩ năng: 3.2.1 Điểm rơi: 3.2.1.1 Khái niệm điểm rơi: Điểm rơi bất đẳng thức giá trị đạt biến dấu “=” bất đẳng thức xảy Trong bất đẳng thức, dấu “=” thường xảy trường hợp sau: - Khi biến có giá trị Khi ta gọi tốn có cực trị đạt âm - Khi biến có giá trị biên Khi ta gọi tốn có cực trị đạt biên 3.2.1.2 Ví dụ điểm rơi: a,b > 1 , tìm GTNN A = 2 + 2ab a +b a + b ≤ 1 4 ≥ = ≥ (vì a,b > 0; a + b ≤ 1) Giải: Ta có: 2 + 2ab a + 2ab + b (a + b)2 a +b  a=  a = b  ⇒ Min A = a = b = ⇔ Dấu “=” xảy ⇔  a + b = b =  a,b > 1 + Ví dụ Cho  , tìm GTNN B = 1+ a + b2 2ab a + b ≤ Ví dụ Cho  4 ≥ = ≥ =2 2 2ab a + 2ab + b + (a + b) + 1+ a + b 1 + a + b = 2ab (a − b) + = ⇔ Dấu “=” xảy ⇔  Vô nghiệm a + b = a + b = Vậy không tồn Min B? Lời giải Ta có: B = 2 + Lời giải Ta có: 1 4 + ≥ + = + 6ab 3ab a + 6ab + b + 3ab (a + b )2 + 1+ 4ab 3ab 1+ a + b B≥ + ≥  a+b 2 Mặt khác ab ≤   a+b  a+b ÷ = ⇒ 2+  ÷ 6 ÷       B= + 1+ a + b = 3ab  ⇔ a = b = Vậy Min B = a = b = Dấu “=” xảy ⇔ a = b a + b =  Lời bình: ví dụ ví dụ gần tương tự nhau, áp dụng bất đẳng thức 1 1 + ≥ = + Lời giải lại sai? Lời giải ta tách a b a+b 2ab 6ab 3ab ? Làm nhận biết điều đó? Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua sáng kiến hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải toán cực trị chứng minh bất đẳng thức Có nhiều cách chia dạng tốn thành nhóm để đưa phương pháp giải chung lôgic nhất, sau xin chia thành dạng là: biểu thức có tính chất đối xứng biểu thức khơng đối xứng 3.2.2 Biểu thức có tính chất đối xứng: 3.2.2.1 Khái niệm tính đối xứng: Là biểu thức mà thay ẩn ẩn đẳng thức hay BĐT đẳng thức, BĐT không thay đổi giá trị x y x2 + y2 x2 y2 z2 A = + B = M = + + 3.2.2.2 Ví dụ: ; ; y x xy y+ z x + z y+ x a2 + b2 ab P= + 2 ; Q = a b − + b a − ;… ab a +b 3.2.2.3 Kinh nghiệm: - Khi gặp BĐT có tính đối xứng, giá trị điểm rơi giá trị biến - Thông thường giá trị điểm rơi đạt biên điều kiện đề cho 3.2.2.4 Các tốn minh họa: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: H = x + với x a) < x ≤ b) x ≥ 1 Sai lầm thường gặp: H = x + ≥ x = Vậy GTNN H x x Nguyên nhân sai lầm: Theo có GTNN H = 1 x = ⇔ x = Điều mâu thuẫn với giả thiết < x ≤ x Lời giải đúng: 1 17 a) Dự đoán điểm rơi: x = Thử: H = x + = + = x 4 Tìm điểm rơi: Gọi M số thực tùy ý cho: x = m x 1 vào x = m ta có m = Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: x 16 1 15 15 15 15 15 ≥ Do x ≤ ⇒ ≥ ⇒ H = x+ + ≥ x + = + x 16x 16x 16x 16x 16x 16x Vậy H ≥ + 15 = 17 nên H có giá trị nhỏ 17 x = 4 4 Nhận xét: - Trong điểm rơi chọn x = Đây giá trị biên điều kiện cho - Trong lời giải ta cố định x tách Vậy tương tự ta x Thay x = cố định tìm m tương tự x 1 = 2+ = x 2 Tìm điểm rơi: Gọi m số thực tùy ý cho: x = m x 1 ta có m = Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: Thay x = vào = mx x 3x x 3x x 3x x 3x 3x ≥ = H= + + = + + ≥2 + = 1+ Do x ≥ ⇒ 4 4 x x 4 x 4 5 Vậy H ≥ 1+ = nên H có giá trị nhỏ x =2 2 Vì lại biết phân tích lời giải Đây kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Quay lại toán trên, dễ thấy x tăng H tăng Ta dự đốn H đạt GTNN x = Khi ta nói H đạt GTNN “Điểm rơi x = ” Ta áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số x khơng thỏa mãn quy tắc dấu x “=” Vì ta phải tách x để áp dụng bất đẳng thức Cơsi thỏa x quy tắc dấu “=”  x 1 Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cơsi cho cặp số  , ÷sao cho “Điểm rơi x α x x = 2” = , ta có sơ đồ sau: α x b) Dự đoán điểm rơi: x = Thử: H = x + x  α = α x =2⇒ ⇒ = ⇒α=4 α 1 =  x a 3a = + + ta có lời giải Khi đó: A = a + a 4 a  x 1 Lưu ý: Để giải tốn trên, ngồi cách chọn cặp số  , ÷ ta chọn α x 1   α   các cặp số sau:  αx, ÷  x, ÷  x, ÷ x   x  αx  Bài 2: Cho số thực dương a, b thỏa a + b ≤ Tìm GTNN A = ab + ab Dự đoán điểm rơi: a = b = Phân tích: a+b  Ta có: ab ≤  ÷ ≤    ab =  α 4α 1 ⇒ =4⇒α = Sơ đồ điểm rơi: ab = ⇒  1 4α 16 =4  ab a+b Giải: Ta có: ab ≤  ÷ ≤ ⇒ − ab ≥ −   1 17 − 15ab ≥ 16ab − 15ab ≥ − 15 = ab ab 4 1 17 Dấu “=” xảy ⇔ ab = ⇔ a = b = Vậy GTNN A a = b = 4 2 Bài 3: Cho a, b ≥ thỏa mãn a + b ≤ 1 Tìm GTNN của: A = a + b + + a b A = 16ab + a b 1 a b Sai lầm thường gặp là: A = a + b + + ≥ 44 a.b = Vậy GTNN A Nguyên nhân sai lầm: GTNN A ⇔ a = b = Khi a + b = ≥ trái giả thuyết Phân tích: Dự đốn điểm rơi: a = b = 1 = ⇔ a = b = a b Sơ đồ điểm rơi: a b = =  1 a = b = ⇒  α α 2α ⇒ = 2⇒α = 1 2α = =2  a b Lời giải đúng: 1 1  A =  4a + 4b + + ÷− 3a − 3b ≥ 44 4a 4b − ( a + b ) ≥ − = a b a b  1 Dấu “=” xảy ⇔ a = b = Vậy GTNN A a = b = 2  x, y , z > 1  + + Bài 4: Cho  + + = Tìm GTLN P = 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z x y z  Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1:  1   1   1   1  10 P ≤  + + ÷+  + + ÷+  + + ÷ =  + + ÷ =  2x y z   x 2y z   x y 2z  18 x y z  10 ⇒ MaxP = 1 + + Sai lầm 2: P ≤ 3 2xyz 33 x.2yz 33 xy 2z ≤ 11 1  11 1  11 1  10 + ÷+  + + ÷+  +  + + ÷≤ 33 2x y z  33 x 2y z  33 x y 2z  Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi 2x = y = z  2y = x = z 10  MaxP = ⇔ 2z = x = y (vô nghiệm), 1 1  + + =4  x y z 10 Tức không tồn (x, y, z ) để P = Lời giải đúng: 1  1 1 = ≤  + + + ÷, tương tự ta có: Cách 1: Ta có 2x + y + z x + x + y + z 16  x x y z   1     1   P ≤  + + ÷+  + + ÷+  + + ÷ = 16  x y z   x y z   x y z   Dự đoán điểm rơi: x = y = z = Vậy MaxP = x = y = z = 1 Cách 2: Ta có 2x + y + z = x + x + y + z ≥ x.x.y.z ⇒ 2x + y + z ≤ , x yz mặt khác: 1 1 ≤ x x y z tương tự ta có: 1 1 1 1  1 ≤  + + ÷,  + + + ÷⇒  x x y z  2x + y + z 16  x y z   1 1 4 + + ÷ = Dấu “=” xảy x = y = z = , suy ra: 16  x y z  MaxP = x = y = z = 1 Nhận xét: Ta mở rộng 3: Cho x, y, z > Và + + = x y z 1 + + Tìm GTLN P = αx + β y +γ z β x +γ y +αz γ x +α y + β z x +44x + L4 +43x , Với α , β ,γ ∈ N ∗ : Cách làm tương tự 3, ta tách α x = Nếu P≤ + α soá α , β ,γ ∈ R , tốn có cịn giải không? Câu trả lời dành cho độc giả phần sau “Kỹ thuật chọn điểm rơi Bunhia” 1 Bài 5: Cho a, b, c ≥ ; a + b + c ≤ Tìm GTNN A = a + b + c + + + a b c Phân tích: Dự đốn điểm rơi: a = b = c = a b c = = =   α α α 2α 1 ⇒ =2⇒α = Sơ đồ điểm rơi: a = b = c = ⇒  1 1 2α = = =2  a b c 1 1  Giải: A =  4a + 4b + 4c + + + ÷− 3a − 3b − 3c a b c  1 13 ≥ 6 4a.4b.4c − ( a + b + c ) ≥ 12 − = Dấu “=” xảy a b c 2 ⇔ a=b=c= 13 Vậy GTNN A a = b = c = 2 x2 + y 2 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = với x + = y xy x;y>0 10 Giải: Biến đổi A = Mà ta có 1= x + x x2 + y x y = + Đặt t = , suy A = t + y xy y x t x 1 x ≤ Hay < t ≤ ≥ x = Suy 2 y y y y 1 Thử: A = t + = + = t 2 Tìm điểm rơi: Gọi a số thực tùy ý cho: = at t 1 ta có a = Thay t = vào = at t Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: 1 A = 4t − 3t + = 4t + − 3t ≥ 4t − 3t = − 3t t t t −3 ⇒ − 3t ≥ − = Do < t ≤ ⇒ −3t ≥ 2 2 x 1 2 Vậy Min A = t = ⇒ = x + = ⇒ x = ;y = 2 y y 2 Nhận xét: Bài toán cho ta kinh nghiệm kinh nghiệm tìm giá trị 1  biên điều kiện  < t ≤ ÷ 2  Bài 7: Cho x, y > 0, x + y ≥ 6.Chứng minh rằng: P = x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ 12 Dự đoán điểm rơi t = Giải: Dự đoán điểm rơi x = y = Thử: VT = 3( 3− 1) + 3( 3− 1) = 12 (Đúng) 2 Biến đổi: P = x + y − ( x + y ) Tìm điểm rơi: - Với x = ta có: x = 32 = - Với y = ta có: y = 32 = Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: P = x2 + + y2 + − ( x + y) − 18 ≥ 6x +6y − ( x + y) − 18 = 5( x + y) − 18 ( ) ( ) ⇔ P ≥ 30 − 18 = 12 Vậy P = x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ 12 x = y = Nhận xét: Như có cần phải biến đổi tìm điểm rơi áp dụng BĐT Cơsi Ngồi ln cần kết hợp với giả thiết để có hướng biến đổi Ví dụ tập có điều kiện x+y ≥ nên chọn cách thêm 9, áp dụng BĐT Côsi cho cặp số x2 vµ 9; y2 vµ Bài 8: Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: S = a+b + b +c + c +a ≤ 11 Giải: Dự đoán điểm rơi a = b = c = 1 1 1 + + + + + = 3 3 3 2 Tìm điểm rơi: Với a = b = c = ta có: a + b = ; b + c = ; c + a = 3 3 Biến đổi áp dụng BĐT Côsi ngược ta được: 3 S= ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) 3 2 2  a + b + b + c + c + a +  3+ 3+ ÷ = ( a + b + c + 1) ≤ 3.2 = ≤  ÷ 2 2 2 ÷   Vậy S = a + b + b + c + c + a ≤ Khi a = b = c = Nhận xét: Trong toán vào chiều BĐT cần chứng minh ta a+ b cần xác định chiều áp dụng BĐT Côsi chiều ngược: ab ≤ Ngồi có giả thiết a+b+c = nên ta đưa tổng a+b+c mà không cần tách (thêm, bớt) Bài 9: Cho a, b >1.Chứng minh rằng: a b − + b a − ≤ ab Giải: Dự đoán điểm rơi a = b (Do biểu thức cho có tính đối xứng) Thử: a a − + a a − = a2 ⇔ 2a a − = a2 ⇔ a = h c a =2 Do a > Suy a = b =2 Tìm điểm rơi: Với a = ⇒ a − 1= 1; Thử: S = b = ⇒ b − 1= Áp dụng BĐT Cô si ngược ta được: b − 1+ ab a − 1+ ab a (b − 1).1 ≤ a = b ( a − 1) ≤ b = ; 2 2 Cộng theo vế hai BĐT ta được: a b − + b a − ≤ ab Điều kiện xảy dấu a = b = Bài 10: Cho x, y, z > 0; x + y + z = 2.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 y2 z2 P= + + y +z x+z y +x 4 Giải: Dự đoán điểm rơi x = y = z = Thử: P = + + = 2 2 2 + + + 3 3 3 x2 = m.( y + z) Tìm điểm rơi: - Gọi m số thực tùy ý cho: y+ z 12 x2 = m.( y + z) ta có m = - Thay x = y = z = vào y+ z x2 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số ( y + z ) ta được: y +z x2 y +z x2 y + z + ≥ =x y +z y +z z2 1 y2 Tương tự áp dụng cho cặp : ( x + z ) cặp ( x + y ) x+y 4 x+z 2 y y x+z Ta được: + ( x + z) ≥ =y x+z x+z z2 z2 x + y =z x + y + ( x + y ) ≥ x+y Cộng theo vế ba BĐT ta được: x+y +z x2 y2 z2 x+y+z P+ ≥x+y +z⇒P = + + ≥ =1 y +z x+z y +x 2 Điều kiện xảy dấu x = y = z = Nhận xét: Nhờ có kĩ thuật tìm điểm rơi mà áp dụng BĐT Côsi cho x2 z2 1 y2 y + z x + z cặp số: và ( ); ( ) cặp số x + y y +z 4 x+z ( x + y ) cách tự nhiên có lời giải dễ hiểu a,b,c > Chứng minh rằng: a + 2b + b + 2c + c + 2a ≤ 33 a + b + c =  Bài 11: Cho  1+ 1+ (a + 2b) + a + 2b = , 3 + a + 2b + b + 2c + c + 2a + + =5 Tương tự ta có: a + 2b + b + 2c + c + 2a ≤ 3 Sai lầm thương gặp: Ta có: 1.1(a + 2b) ≤ , mà > 33 ⇒ đềra sai ? ? a + 2b = b + 2c =  (vn) , P < Nguyên nhân sai lầm: P = VT ≤ MaxP =5 ⇔  c + a = a + b + c = Lời giải đúng: Dự đoán điểm rơi: a = b = c = Vậy ta áp dụng Côsi cho ba số a + 2b,3,3 ta có: 13 a + 2b = 33.3(a + 2b) ≤ 3+ 3+ (a + 2b) = + a + 2b , tương tự ta có: 39 39 33 + a + 2b 6+ b + 2c 6+ c + 2a P≤ + + = 333 , dấu “=” xảy a = b = c = 33 33 33 Bài tập áp dụng: x2 y2 z2 + + ≥ Bài 1: Cho x, y, z > 0; xyz = Chứng minh S = 1+ y 1+ z 1+ x 2 x y + ≥8 Bài 2: Cho x, y > 1.Chứng minh rằng: y −1 x −1 1 + Bài 3: Cho a, b > 0; a + b ≤ Tìm GTNN biểu thức: P = 2 1+ a + b 2ab + Bài 4: Cho a, b > 0; a + b ≤ Tìm GTNN biểu thức: A = 2 a + b 4ab Bài 5: Cho số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2 Tìm GTLN của: A = ab bc ca + + 2c + ab 2a + bc 2b + ac Bài 6: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1, tìm GTNN biểu thức: bc ca ab Q= + + a2(b + c) b2(c + a) c2(a + b)  x, y , z > x y + 1− x 1− y x + y = Bài 8: (Đề tuyển sinh lớp 10 Thanh Hóa 2018-2019) Cho a, b, c số thực 1 + ≥ 30 dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: 2 a +b +c abc 3.2.3 Biểu thức khơng có tính chất đối xứng: 3.2.3.1 Khái niệm: Là biểu thức mà thay ẩn ẩn đẳng thức hay BĐT đẳng thức, BĐT thay đổi giá trị 10 2.3.2 Ví dụ: A = x + 12 ; P = 5x + 3y + + ; Q = 4x − 3x + x y 4x x 3.2.3.3 Kinh nghiệm: Đối với số BĐT không đối xứng dấu BĐT BĐT thường xảy giá trị biến tương ứng không Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải toán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng cần thiết Một kỹ thuật xây dựng thuật toán thứ tự gần (kỹ thuật điểm rơi) Kỹ thuật chủ yếu thường giá trị trung gian xác định theo cách chọn đặc biệt, máy tính để tất dấu đẳng thức đồng thời xảy Tham số phụ đưa vào cách hợp lý để phương trình xác định chúng có nghiệm 3.2.3.4 Các tốn minh họa: Bài 1: Cho x ≥ Tìm A = x + x Bài 7: Cho  , tìm GTNN P = 14 Sai lầm: x 7x x 7x 7x 7.2 = + + ≥ + = + ≥ + = x2 x2 8 x2 8 8x 8.2 Nguyên nhân: Theo có Min A = đáp số Nhưng sai việc đánh 2 ≥ giá mẫu số: “Với x ≥ suy ” 8x 8.2 1 Giải: - Dự đoán điểm rơi x = Thử: A = x + = + = x 4 1 ; = n.x - Tìm điểm rơi: Gọi m, n số thực tùy ý cho: = mx x x 1 1 ; = n.x; ta có m = ; n = - Thay x = vào = mx x x 8 Tách áp dụng BĐT Côsi ta được: x x 6x x x 6x 3.2 A= + + + ≥ 3.3 + ≥ + = Vậy A = x = 8 x 8 x 4 10 Bài 2: Cho x, y > 0; x + y ≥ Tìm GTNN của: P = 5x + 3y + + x y Giải: - Dự đoán điểm rơi x + y = ⇒ x = − y Thay vào P ta có: 10 + Thử: P = 5( − y ) + 3y + 6− y y - Dùng máy tính dự đốn điểm rơi x = 2; y = 10 = kx - Tìm điểm rơi: Gọi k số thực tùy ý cho: x 10 = kx ⇒ k = Thay x = vào đẳng thức x Gọi m số thực tùy ý cho: = my y Thay y = vào đẳng thức = my ⇒ m = y 10 5x y + + + + ( x + y) Tách P = x y 2 10 5x y vµ ; vµ Áp dụng BĐT Cơsi cho cặp số: ta có: x y A =x+ 10 5x y 5 + + ( x + y ) ≥ 2.5+2.2 + = 29 x y 2 Dấu xảy x = 2; y = P ≥2 15 + 2020 4x Nhận xét: Đây biểu thức khơng đối xứng, lại khơng có giá trị biên Ta dùng máy tính để dự đốn tìm điểm rơi sau: - Sử dụng máy tính cầm tay dùng Table phán đoán vá kiểm tra điểm rơi Giải: - Tìm tham số: Gọi k số thực cho: kx = 4x 1 - Thay x = vào kx = ta có k = Tách áp dụng bất đẳng thức Côsi: 4x 2 1  P = 4x2 − 4x + 1+ x + + 2019 = ( 2x − 1) +  x + + 2019 4x 4x ÷   1 P ≥ + x + 2019 = 2020.Vậy GTNN P = 2020 x = 4x Bài 4: Cho a, b, c ≥ ; thỏa mãn: a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm GTNN A=a+b+c+ + + a 2b c Phân tích: Dự đốn điểm rơi: a = 2, b = 3, c = Bài 3: Cho x > 0.Tìm GTNN biểu thức: P = 4x2 − 3x + a α = α a=2⇒ ⇒ = ⇒α = Sơ đồ điểm rơi: α 3 =  a b c  β = β  γ = γ 3 b =3⇒  ⇒ = ⇒ β =2; c=4⇒ ⇒ =1⇒ γ = β γ 9 =3 4 =  2b  c  3a   b   c  a b 3c A =  + ÷ +  + ÷+  + ÷+ + +  a   2b   c  4 3a b c a + 2b + 3c A≥ +2 +2 + ≥ + + + = 13 a 2b c Dấu “=” xảy a = 2, b = 3, c = Vậy GTNN A 13 khi: a = 2, b = 3, c = ab ≥ 12 Bài 5: Cho số thực dương a, b ,c thỏa mãn  Chứng minh rằng: bc ≥  Giải: ( a + b + c ) +  1  121 + + ≥ ÷+  ab bc ca  abc 12 ab = 12 Phân tích: Dự đốn GTNN A đạt  , điểm rơi bc = a = 3, b = 4, c = 16 a b a b + + ≥ 33 = ; 18 24 ab 18 24 ab a c a c b c b c + + ≥ 33 = ; + + ≥ 33 = ; ca ca 16 bc 16 bc a c b a c b + + + ≥ 44 = ; 12 abc 12 abc 13a 13b 13a 13b 13 13 13 + ≥2 ≥2 12 = 18 24 18 24 18 24 13b 13c 13b 13c 13 13 13 + ≥2 ≥2 = 48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 1 121 ≥ ( a + b + c ) +  + + ÷+ (đpcm)  ab bc ca  abc 12 Bài 6: Cho số x; y; z dương cho x + y + z = Tìm GTNN biểu b)B = x + y + 3z c) C = x + 2y + 3z thức: a)A = x + y + z Giải: a) Nhận xét: Biểu thức A biểu thức đối xứng Tuy nhiên từ biểu thức ta dẫn tới lời giải cho biểu thức B C khơng có tính đối xứng Vì trước tiên tìm lời giải cho biểu thức A sau: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 2 - Dự đốn điểm rơi x = y = z = Thử: A =   +  1 +   =  3÷  3÷  3÷ 3       - Tìm điểm rơi: Gọi m số thực dương cho: x = m2 1 Thay x = vào x = m2 ta có m = Tương tự ta có: 3 1 1 Thay y = vào y = n2 ta có n = ; Thay z = vào z = k ta có k = 3 3 1 2x - Áp dụng BĐT Côsi lần ta được: x + ≥ x = Tương tự: 9 1 2y 1 2z y + ≥ y = ; z + ≥ z = 9 9 Cộng theo vế BĐT có: 1 2x 2y 2z 2 x2 + + y2 + + z2 + ≥ + + = ( x + y + z) = ⇒ x2 + y2 + z2 ≥ 9 3 3 3 1 Vậy minA = x = y = z = 3 x = y b) Dự đoán điểm rơi - Tìm điểm rơi: Gọi m, n, k số thực dương cho: x = m; y = n ; 3z = k 17 Cần lưu ý sau áp dụng Côsi ta cần cộng theo vế để tạo tổng x + y + z nên ta có m = n = 3k Kết hợp với điều kiện: x + y + z = 1 1 ⇒ m+ n + 3k = 1⇒ m = 1⇒ m= ⇒ n = k = 9 27 1 2x - Áp dụng BĐT Côsi lần ta được: x + ≥ x = Tương tự ta có: 9 1 2y 1 2z y + ≥ y = ; 3z + ≥ 3z = 9 27 27 Cộng theo vế BĐT có: 1 2x 2y 2z 2 x2 + + y2 + + 3z2 + ≥ + + = ( x + y + z) = 9 27 3 3 11 ⇒ x2 + y2 + 3z2 ≥ 27 1 11 Vậy B = x = y = ;z = 27 Nhận xét: Tổng quát từ hai phần tập ta thấy, việc tìm số phụ m, n, ax = by = cz = α k sau Giải hệ điều kiện:  x + y + z = Từ ta tìm giá trị α 3.2.4 Nhận xét chung: * Khi biểu thức có tính đối xứng, ta cần ghi nhớ kinh nghiệm: - Nếu ta dự đốn áp dụng BĐT Cơsi cần kiểm tra điều kiện xảy dấu “=”có thỏa mãn không Nhiều trường hợp áp dụng BĐT Côsi lại không xảy dấu bằng, sai lầm em thường xuyên mắc phải - Giá trị điểm rơi giá trị biến Thông thường giá trị điểm rơi đạt biên điều kiện đề cho * Khi biểu thức khơng có tính đối xứng, ta cần ghi nhớ kinh nghiệm: - Nhiều biểu thức khơng đối xứng, lại khơng có giá trị biên Ta dùng máy tính cầm tay Casio để dự đốn tìm điểm rơi chức Table - Đối với số BĐT không đối xứng dấu BĐT BĐT thường xảy giá trị biến tương ứng không Ta cần ghi nhớ bước bản: - Dự đoán điểm rơi (Có thể cần dùng máy tính Casio), thử, tìm điểm rơi - Tách, áp dụng BĐT Cơ-Si - Kết luận, điều kiện xảy dấu Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho x > 0; y >0 x + y ≥ Tìm GTNN biểu thức: 12 16 P = 5x + 3y + x + y (Đ/Á:Vậy P = 32 x = 2; y = ) 18 Bài 2: (Đề tuyển sinh lớp 10 Bắc Giang 2017-2018) Cho hai số thực dương a, b≥ ; 2a + 3b ≤ Tìm GTNN biểu thức: 2002 2017 Q= + + 2996a − 5501b a b Bài 3: (Đề tuyển sinh lớp 10 Lạng Sơn 2017-2018) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = xyz Chứng minh rằng: xy yz zx + + ≥ z ( + x ) ( + y ) x ( + y ) ( + z ) y ( + z ) ( + x ) 16 Bài 4: Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c ≥ 12 20 + + a b c Bài 5: (Đề tuyển sinh lớp 10 Thanh Hóa 2017-2018) Cho a, b, c số 1 + + = 2017 Tìm giá trị lớn dương thay đổi thỏa mãn: a+b b+c c+a 1 + + biểu thức: P = 2a + 3b + 3c 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c Bài 6: Cho x, y, z số thỏa x + y + z = , chứng minh rằng: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2a + 4b + 6c + 3+ 4x + 3+ 4y + 3+ 4z ≥ Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, với động nghiệp nhà trường Thông qua trình viết áp dụng sáng kiến “Rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi” nhận thấy nội dung sáng kiến phần đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học, phát huy tính tích cực chủ động học tập học sinh giúp em yêu thích môn học học tập tiến Đồng thời giúp cho em hứng thú say mê, yêu thích mơn học, khơng ngừng phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học tập, tạo sở vững cho em tiếp tục học nghiên cứu mơn Tốn lớp Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm “Rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi” vào giảng dạy, ôn thi cho em học sinh giỏi ôn thi vào THPT, nhận thấy điểm số em đạt nâng cao rõ rệt Các em khơng cịn né tránh câu hỏi dạng mà ngược lại em trở nên yêu thích dạng Có em vào thi, đọc xong đề thường chọn câu hỏi để giải trước Điều khẳng định giá trị sáng kiến Qua theo dõi dạy, trao đổi, đánh giá, tổ chuyên môn rút số nhận xét cụ thể: * Về ưu điểm: - Giáo viên: + Đảm bảo u cầu tích hợp mơn học + Sử dụng đa dạng phương pháp dạy học Tốn nay, phát huy tính tích cực chủ động học sinh + Có kết hợp linh hoạt phương pháp 19 - Học sinh: + HS nắm vững kiến thức vận dụng kĩ tìm điểm rơi cách thành thạo + HS vận dụng kiến thức vào giải tốn BĐT, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ + HS biết cách khai thác toán để làm tập nâng cao khó * Nhược điểm: - Do dụng cụ học tập hạn chế nên ứng dụng thực tế chưa đạt kết tốt - Một số học sinh chưa thực cố gắng học tập Thực tế khảo sát chất lượng học tập học sinh lớp năm học 2020-2021 2021-2022 trường THCS Hải Lộc so sánh trước sau thực đề tài có nhiều tiến rõ rệt: Kết khảo sát trước thực đề tài: Giỏi Khá Trung bình Yếu Năm học Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 2020-2021 9C 37 5.4 12 32.4 18 48.6 10.9 2021-2022 9A 38 10.5 11 28.9 16 42.1 18.5 Kết khảo sát sau thực đề tài : Giỏi Khá Trung bình Yếu Năm học Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 2020-2021 9C 37 10 27 16 43.2 10 27 2.8 2021-2022 9A 38 11 28.9 16 42.2 11 28.9 0 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Trên vài kinh nghiệm mà rút trình dạy học “Rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi cho học sinh lớp trường THCS Hải Lộc – Hậu Lộc – Thanh Hóa” Có thể cịn đơi chỗ chưa rõ, chưa hay chưa đầy đủ, hy vọng tài liệu tham khảo hiệu đồng nghiệp cho học sinh Bước đầu em cần hiểu khái niệm: “Điểm rơi”, “biểu thức đối xứng, không đối xứng” Đặc biệt em cần tích lũy cho số kinh nghiệm tìm điểm rơi, tìm tham số, kinh nghiệm chọn chiều BĐT Côsi,…Các em ghi nhớ rèn cho bước giải như: Dự đoán điểm rơi kinh nghiệm, máy tính, gọi tham số, tìm tham số, tách biểu thức áp dụng BĐT Cơsi, tìm điều kiện xảy dấu Sáng kiến mang lại tự tin cho học sinh giải tốn BĐT, tìm GTLN, GTNN Các em biết nguyên nhân sai lầm thường mắc biết cách khắc phục giải toán dạng Đặc biệt, sáng kiến rèn luyện cho em khả năng, kinh nghiệm tư duy, suy luận, sáng tạo tình u với mơn Tốn 20 Tuy nhiên, hạn chế thời gian kinh nghiệm, nên sáng kiến số kiến thức phương pháp chưa thể đầy đủ nên mong quý bạn đọc đồng nghiệp có ý kiến đóng góp nhằm phát triển cho sáng kiến hoàn thiện Một số kiến nghi, đề xuất: Qua trình viết, áp dụng sáng kiến thân, nhận thấy để nâng cao chất lượng, hiệu việc đổi phương pháp dạy học nói chung dạy học mơn Tốn nói riêng, nhà trường cần ý tới số điểm sau: - Huy động đầu tư kinh phí xây dựng thư viện nhà trường khang trang, có đầy đủ sách tham khảo, thuận tiện mượn trả sách để học sinh giáo viên có điều kiện nghiên cứu, học tập Tạo động lực cho giáo viên để họ tích cực đầu tư học hỏi nghiên cứu dạy.Tuyên truyền, giáo dục học sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu Khen tuyên dương học sinh kịp thời tinh thần tự học - Phòng Giáo dục Đào tạo thường xuyên mở lớp tập huấn, mời chuyên gia bồi dưỡng phương pháp, nhằm tạo điều kiện cho giáo viên trao đổi kinh nghiệm, tăng cường đổi phương pháp kiến thức Xin chân thành cảm ơn! TRƯỞNG PHÒNG GD&ĐT XÁC NHẬN Hải lộc, ngày 15 tháng 05 năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Đào Xuân Thành ... 28 .9 0 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Trên vài kinh nghiệm mà tơi rút q trình dạy học ? ?Rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi cho học sinh lớp trường THCS Hải Lộc – Hậu. .. tạo học tập, tạo sở vững cho em tiếp tục học nghiên cứu mơn Tốn lớp Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ? ?Rèn kĩ tìm điểm rơi kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi? ?? vào giảng dạy, ôn thi cho em học. .. tự luyện II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Tốn học mơn học khó, học sinh học vận dụng vào giải tập cần có linh hoạt bài, trường hợp Trong học dạng bất đẳng thức