BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Môn: Giải toán bắng máy tính bỏ túi Vấn đề 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 Phương pháp lặp: Vấn đề 2: Dãy fibonacci: Vấn đề 3: Biễu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn thành 1 phân số tối giản: Vấn đề 6: Tìm số dư trong phép chia a cho b
Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES BI DNG HC SINH GII Mụn: Gii toỏn bng mỏy tớnh b tỳi Vn 1: Tỡm nghim gn ỳng ca phng trỡnh f(x) = Phng phỏp lp: Gi s phng trỡnh cú nht nghim (a;b).Gii phng trỡnh f(x)=0 bng phng phỏp lp bao gm cỏc bc sau: a/ a phng trỡnh f(x) = v phng trỡnh tng ng x = g(x) b/ Chn x0 thuc (a ; b) lm nghim gn ỳng ban u c/ Thay x = x0 vo v phi ca phng trỡnh x = g(x) ta c nghim gn ỳng th nht x = g(x0) Thay x1 = g(x0) vo v phi ca phng trỡnh x = g(x) ta c nghim gn ỳng th hai x = g(x1) Lp quỏ trỡnh trờn, ta nhn c dóy cỏc nghim gn ỳng x1 = g(x0) ; x2 = g(x1) ; xn = g(xn-1) Nu dóy cỏc nghim gn ỳng { xn } , n = 1, 2, hi t , ngha l $ x : x = g(x) ú x l nghim gn ỳng ca phng trỡnh Chỳ ý 1: Phi chn hm s g(x) cho dóy { xn } xõy dng theo phng phỏp lp l dóy hi t v hi t nhanh ti nghim Chỳ ý 2: Nu $ a;b ẻ D v f(a).f(b) < ị phng trỡnh f(x) = cú ớt nht mt nghim thuc (a ; b) g'(x) < ; " x ẻ [ a ; b ] Khi ú g(x) s hi t ti nghim Chỳ ý 3: Chn g(x) cho nht t mt im bt k khong (a ; b) VD1: Gii phng trỡnh: x3 - x2 = (1) Phng trỡnh ny cú nghim (1 ; 1,5 ) (1) x = x2 + ( + ) ALPHA X x Khai bỏo hm : g(x) = x + : Shift Bm CALC mỏy hin X? Khai bỏo giỏ tr ban u x0 = bm Sau ú thc hin dóy lp : CALC Ans ta i n: x = 1,465571232 l nghim gn ỳng Cỏch 2: ( Ans + ) bm tip x Khai bỏo: x0 = 1: bm bm , , i n nghim trờn ( Cú th gii bng phng trỡnh sn cú ca mỏy) PHNG PHP DNG CHC NNG SOLVE: Bc 1: Dựng phớm ALPHA , X , vit phng trỡnh vo mỏy Gi s phng trỡnh : f(x) = (du c vit bng phớm ALPHA ) SHIFT SOLVE Bc 2: Bm mn hỡnh hin: X? Nhp x = a ( a ẻ Ă bt k đ gn bng vi nghim, nhiờn ta thng ly cỏc giỏ tr x = 10; 10; 0) Bc 3: c nghim th nht Bc 4: Lp li bc v vi x = b a ta c nghim th Nu vi x = a ; b ; m mỏy hin: Cant SOLVE phng trỡnh khụng cú nghim thc gn vi cỏc s a ; b ; hóy th s khỏc, lu ý: Khụng nờn phng trỡnh dng phõn thc hay phc tp, ta nờn bin i a phng trỡnh v dng n gin nht cú th Cn tỡm khong cha nghim thỡ mỏy cho kt qu nhanh v chớnh xỏc hn = = = = SHIFT = = = = SOLVE - tỡm ht cỏc nghim ca phng trỡnh, c bit l cỏc phng trỡnh bc 2, 3, ta cn ỏp dng thờm nh lý Bdu: Nu ó tỡm c nghim x ca phng trỡnh f(x) = Ta Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES tip tc ỏp dng phng phỏp trờn tỡm nghim x2 t phng trỡnh f ( x) = v nghim x3 t x x1 f ( x) = ( x x1 )( x x2 ) phng trỡnh Vn 2: Dóy fibonacci: un+1 = m.un ; " n ẻ ; A Ă Vi u1 = a tớnh uk = ? (k ẻ Ơ ) A/ Dng 1: * Khai bỏo: bm : bm : m bm dóy lp ta c ln lt u3, u4, Bm k ln du bng c uk a = c u2 = = = Cỏch 2: Gỏn cỏc giỏ tr: a SHIFT STO A (A chớnh l u1) SHIFT STO M (bin m) Nhp vo mỏy nh sau: M = M + : A = mìA Bm =; =; =; tớnh cỏc giỏ tr un Lu ý: -Dựng phớm ALPHA nhp cỏc ch M, A v cỏc du = du : -Cỏch gii ny cú u im l cú th kim soỏt c cỏc bc lp Vi mi giỏ tr M hin th trờn mn hỡnh tng ng vi giỏ tr ca n dóy lp B/ Dng 2: (Dóy Lucas) u1=a ; u2= b ; un+1 = un + un-1 ( " n ) Tớnh uk? (Vi a = b = thỡ dóy lucas dóy Fibonacci) *Khai bỏo: Bm: b SHIFT STO A (gỏn b A tc u2 ; Lp li dóy phớm: SHIFT a + STO c u3 = a + b = B B a B tc u1) + ALPHA A SHIFT STO A + ALPHA B SHIFT STO B Ta ln lt thu c: u4 ; u5 / u6 ; u7/ ( lp li bng cỏch dựng phớm V v du = ) Gii thớch : Sau bm: , c B = u3 = a + b ( ang hin th trờn mn hỡnh) A ALPHA bm tip: tc u3 + u2 c u4 (ang hin trờn mn hỡnh ) SHIFT STO A lỳc ú gỏn tip : tc u4 A B ALPHA bm tip: tc u4 + u3 c u5 ; SHIFT STO B lỳc ú gỏn tip: tc u5 B ( ang hin trờn mn hỡnh ) tip tc thc hin dóy lp tng t C/ Dng 3: u1 = a; u2 = b; un+1 = m.un + p.un-1 ( " n ) b SHIFT STO A + SHIFT a STO B + + tỡm uk = ? * Bm: b SHIFT STO *Lp li dóy phớm sau: ALPHA m + + ALPHA m A SHIFT STO B m + p (lỳc ny: b A = u2 ; b ì A + B ì a B = u3) A B p p a SHIFT STO A SHIFT STO B u4 = A u5= B Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES (Thc hin dóy lp trờn ta ln lt thu c: u4 ; u5 / u6 ; u7/ dựng phớm cỏc dóy lp) V v du = thc hin Cỏch 2: Thc hin cỏc phộp gỏn: a SHIFT STO A (A chớnh l u1) b SHIFT STO B (B chớnh l u2) SHIFT STO M (bin m cỏc bc lp) Nhp vo mỏy dóy phộp tớnh sau: M=M+1:A=m B+p A:M=M+1:B=m A+p B (Tc l: M = M + : A = m.b + p.A : M = M + : B = m.A + p.B) Bm =; =; =; tớnh cỏc giỏ tr un Lu ý: -Dựng phớm ALPHA nhp cỏc ch M, A v cỏc du = du : -Cỏch gii ny cú u im l cú th kim soỏt c cỏc bc lp Vi mi giỏ tr M hin th trờn mn hỡnh tng ng vi giỏ tr ca n dóy lp Gii thớch: -u tiờn mỏy thc hin tớnh M = M + ú M = (tng ng vi u3) -Tip theo mỏy thc hin tớnh A = m B+p A lỳc ny u3 = A -Tip theo mỏy thc hin tớnh M = M + khớ ú M = (tng ng vi u4) -Tip theo mỏy thc hin tớnh B = m A+p B lỳc ny u4 = B sau ú mỏy li quay li cỏc bc lp trờn tỡm cỏc giỏ tr un tip theo ì Cỏch 3: a SHIFT STO A (A chớnh l u1) b SHIFT STO B (B chớnh l u2) SHIFT STO M (bin m cỏc bc lp) Nhp vo mỏy dóy phộp tớnh sau: M=M+1:A=m B+p A:C=A:A=B:B=C Bm dóy lp: =; =; =; Gii thớch: Sau tớnh A = m B + p A lỳc ny A = u3 Gỏn C = A = u3 Gỏn A = B = u2 Gỏn B = C = u3 Mỏy tớnh tip A = m B + p A lỳc ny A = m.u3 + p.u2 = u4 C tip tc nh vy tớnh c cỏc giỏ tr tip theo Cỏch 4: Nhp vo mỏy: M = M + : A = m.b + p.A: B = m.A + p.B Bm: CALC Mỏy hi M? Nhp = (Mn hỡnh hin th: M=M+1 bng 3) Bm tip = Mỏy tip tc hi: A? Nhp a = Lỳc ny mn hỡnh hin th A = m.b + p.A (Gúc di mn hỡnh l kt qu phộp tớnh: m.b + p.a chớnh l U3) Tip tc bm = Mỏy tip tc hi B? Nhp tip b= Lỳc ny mn hỡnh hin th: B = m.A + p.B (Gúc di mn hỡnh l kt qu ca phộp tớnh m.A + p.b chớnh l U4) Thc hin dóy lp bng cỏch bm cỏc phớm =, =, = Li bỡnh: Cú th dựng cỏch ny tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc cú dng dóy s cú quy lut VD nh: Tớnh A=32+52+72+ +192 (HS t suy lun tỡm thut gii) Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES Dng 4: (Fibonacci suy rng bc dng:) u1 = a ; u2 = b ; un + = un2 + un2 - ; (" n 2) Tớnh uk ? b *Bm phớm: *Lp li dóy phớm: x2 x2 SHIFT + STO ALPHA + x2 A STO SHIFT x2 B SHIFT x2 a SHIFT x2 A ALPHA + STO u4 = A u5 = B A STO u3 = B B B Ln lt thu c: u4 ; u5 / u6 ; u7/ Dng 5: FIBONACCI BC u1 = a; u2 = b; u3 = c ; un+1 = m.un + p.un-1 + q.un - (" n 3) Tớnh uk ? a u2 vo A: b a u3 vo B: Tớnh u4: SHIFT STO c A SHIFT ALPHA STO B ALPHA A m + p + a q (c u4 C ang hin th trờn mn hỡnh) B Lp li dóy phớm sau: ALPHA B ALPHA m + p + C ALPHA ALPHA m + p + ALPHA A ALPHA m + p + Ln tt thu c: u5, u6, u7 / u8, u9, u10 / A B C q q q SHIFT STO SHIFT STO SHIFT STO A B C SHIFT STO C u5 = A u6 = B u7 = C Vn 3: Biu din s thp phõn vụ hn tun hon thnh phõn s ti gin: VD1: Gi s cú s 0, (a) ú a ẻ Ơ , a=1 ; Ta cú: 0,(a) 10 = a + 0, (a) 0, (a) = a => 0, (a) = a VD: 0, (1) = ; 0, (3) = 9 VD2: Gi s cú: 0, (ab) ú a, b ẻ Ơ , a;b = 1;9 0, (ab) 100 = ab + 0,(ab) => 0, (ab) 99 = ab ab => 0, (ab) = 99 01 13 VD: 0, (01) = ; 0, (13) = 99 99 23 1+ + 0, (23) 99 + 23 122 61 VD: 0,1(23) = = 99 = = = 10 10 990 990 495 Cú Vn 4: Bi toỏn ngõn hng: *Lói ngõn hng: cú cỏch tớnh lói 1/Lói n: Khi gi a (ng) vo ngõn hng vi lói sut x%/nm thỡ sau nm ta nhn c s tin lói l: a.x% (ng) S tin lói ny nhn c hng nm nh 2/ Lói kộp: Sau n v thi gian ( thỏng, nm ), lói c gp vo v c tớnh lói Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES Bi toỏn tớnh bng lói kộp: Hng thỏng ngi gi vỏo ngõn hng a (ng) vi lói xut x%/ thỏng Tớnh xem n thỏng th k ngi ú nhn c bao nhiờu tin c gc ln lói? GII: Cui thỏng th nht s tin s tit kim ca ngi ú l: a ( + x%) (ng) Vỡ hng thỏng ngi y tip tc gi vo ngõn hng a ng nờn s tin gc u thỏng th hai l: a ( + x% ) + a = a.[ (1 + x%) + 1] = ựộ a ộ ( 1+x% ) - 1ự ờ( 1+ x% ) + 1ỷở ỳờ ỳ ỷ ( 1+x% ) - = a ộ ( + x%) - 1ự ỳ ỷ ( + x%) - = a ộ ( + x%) - 1ự ỳ ỷ x% S tin cui thỏng th hai l: a ộ a 2 + ộ x% ( + x%) - 1ự ( + x%) - 1ự ỳ ỳ ỷ x ỷ x% a ộ a ộ ự ự = + x%) - 1ỳ ( 1+x%) = + x%) - ( 1+x%) ỳ ( ( ỳ ỳ x% x% ỷ ỷ = Tng t, s tin gc u thỏng l: 3 a ộ a ộ ự ự + x%) - ( 1+x%) ỳ+ a = + x%) - ( 1+x%) + x% ỳ ( ( ỳ ỳ x% x% ỷ ỷ a ộ = ( + x%) - 1ự ỳ ỷ x% = S tin cui thỏng cui thỏng th l: = a ộ ( + x%) - x% ự ỳ ỷ ( + x% ) = a ộ ( + x%) - ( 1+x%) ự ỳ ỷ x% Tng t: s tin s tit kim cui thỏng th k l: = a ộ k ( + x%) - ự ỳ ỷ x% ( + x% ) Chỳ ý: Mt s bi toỏn khỏc yờu cu tớnh k hoc x% hoc a Cỏch gii khỏc: trng hp k khụng ln, ta ỏp dng dóy lp tớnh nh sau: Phõn tớch: Cui thỏng th nht s tin s tit kim ca ngi ú l: A( + x%) gỏn kt qu ny vo A -Cui thỏng th ta cng cú: A( + x%) li gỏn tip vo A Ta thy õy chớnh l dóy lp tớnh tin v lói cui thỏng; thc hin trờn mỏy ta thờm bin m M qun lý thỏng tớnh lói nh sau: Nhp vo mỏy dóy lp: M=M + : A=A( + x%) Bm CALC mỏy hi M? v A? ta nhp: M = 0; A = s tin gi hng thỏng Thc hin dóy lp bng cỏch bm liờn tip du = n thy trờn mn hỡnh m=k; ta thu c tng s tin v lói s thỏng th k Bi toỏn v Tin lng: Mt ngi hin cú mc lng l A, bit rng sau nm tng lng mt ln, mi ln tng x% lng Tớnh tng s lng ngi ú nhn c t bõy gi cho n sau N nm na ? *Trong nm th t 1: -S tin lng hng thỏng: A Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES -Tng lng nm (36 thỏng): 36A *Trong nm th t 2: -S tin lng hng thỏng: A + A.x% = A(1 + x%) -Tng lng nm: 36A(1 + x%) Trong nm qua, tng tin lng nhn c l: 36A + 36A(1 + x%) = 36A [ + (1 + x%)] *Trong nm th t 3: -S tin lng hng thỏng: A(1 + x%) + A(1 + x%).x% = A(1 + x%)2 -Tng lng nm: 36 A(1 + x%)2 Trong nm qua, tng tin lng nhn c l: 36A [ + (1 + x%)] + 36 A(1 + x%)2 = 36A [ + (1 + x%) + (1 + x%)2] Tng t, tớnh tng tin lng n ht t th n l: 36A [ + (1 + x%)] + 36 A(1 + x%)2 = 36A [ + (1 + x%) + (1 + x%)2 + + (1 + x%)n ] - (1 + x%) n (1 + x%) n - = 36A = 36A - (1 + x%) x% Vn 5: Cỏc bi toỏn v phng trỡnh, a thc: a/ Dng 1: Tỡm d ca phộp chia a thc f(x) cho x a? * $ a thc q(x) cho: f(x) = (x a) q (x) + r (r l d; r ẻ Ă ) Vỡ vy r = f(a) * Cỏch khỏc: dựng s Hoocner Chia f(x) cho (x a) tỡm c r b/ Dng 2: Tớnh f(a)? Ngi cỏch tớnh thụng thng ta cú th dựng Hoocner tỡm d ca phộp chia f(x) cho (xa) Khi ú: f(a) = r c/ Dng 3: Tỡm phn d chia a thc f(x) cho x2 a2 *Vỡ a thc chia cú bc nờn d ca phộp chia trờn l a thc bc nht cú dng: Ax + B Ta phi tỡm A v B Ta cú: f(x) = ( x2 a2) q(x) + Ax + B Vy: f(a) = A.a + B; f( a ) = A.( a ) + B T ú tỡm c A v B d/ Dng 4: Cho a thc f(x) cú bc n; cú n nghim: x1, x2, x3, xn kớ hiu P(x) = x2 a2 hóy tỡm tớch P = P(x1).P(x2).P(x3) P(xn) Ta cú: f(x) = k (x x1).(x x2).(x x3) (x xn) (k l h s ca xn) 2 P(x1) = x1 a = (x1 a).(x1 + a) Vy: P = (x1 a).(x1 + a).(x2 a).(x2 + a).(x3 a).(x3 + a) (xn a).(xn + a) (- 1)n f(a) k n (- 1) f(- a) (x1 + a).(x2 + a).(x3 + a) (xn + a) = k n n f(a) f(- a) ị P = (- 1) f(a) (- 1) f(- a) = (tớnh c) k k k Ta thy: (x1 a).(x2 a).(x3 a) (xn a) = e/ Dng 5: Cho a thc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e v P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tớnh: P(6), P(7), P(8), ? t: Q(x) = 2x + (P(1), P(2), P(5) cú dng: Q(x) = 2x2 + (vi x = ; )) Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES Ta thy: x = 1, 2, 3, 4, l nghim ca a thc P(x) Q(x) ( P(x) Q(x) = x = 1, 2, 3, 4, ) t R(x) = P(x) Q(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) (vỡ R(x) cú bc v h s ca x5 l 1) ị P(x) = R(x) + Q(x) = (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) + 2x2 + T ú tớnh c P(6), P(7), P(8), Chỳ ý: T gi thit P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51, tỡm P(x), ta cú th gii h phng trỡnh bc nht n: a, b, c, d, e Vi cỏch u, ta phi tỡm c a thc Q(x) Cỏch tỡm phn bi Vn 6: Tỡm s d phộp chia a cho b: Cỏch 1: Bm A - = B = = = A B B.q B A = B.q + r r = A B.q = Cỏch 2: Cú: Bm: A A = B.q + r Cỏch 3: Cú: B = (n ta thu c r < B thỡ dng li) B - q B = A r A =q + r = q ữ.B B B B Bm: A D Cỏch 4: Gi s = C ( õy C l thng v D chớnh l d phộp chia A cho B) B B A Ta cú: B q - = = B = A D A =C r = D = C ữ.B B B B Trờn mỏy tớnh ta bm a bc A trờn mn hỡnh xut hin CDB ú C l hn B s Nh vy tỡm d phộp chia A cho B ta thc hin: A a bc B = - C = B = Li bỡnh: Cỏch d thc hin, ngn gn nhiờn ch ỏp dng phn nguyờn ca thng l s tng i nh Trong cỏch trờn thỡ cỏch l tt nht, kt qu thu c s chớnh xỏc tuyt i *Tỡm d ca phộp chia a cho b trng hp a l s rt ln: (ly tha vi s m ln): p dng ng d thc hin: 1.Mt s tớnh cht ng d thng ỏp dng nh sau: a b ( mod m ) an bn ( mod m ) a c b d ( mod m ) a b ( mod m ) a.c b.d ( mod m ) c d ( mod m ) a k m k (mod m) a + c b ( mod m ) a.c b.c ( mod m ) , ( c,m ) = a.c b.c ( mod m.c ) a b ( mod m) a b ( mod m) a.c -nh lớ Fecma: a b c ( mod m ) a b ( mod m ) a b ( mod m ), ( c ) a.c b.c ( mod m.c ) b.c ( mod m ) ; ( c,m ) = a  , p P, (a, p) =1a p 1 (mod p ) -Gi s n phõn tớch thnh tớch cỏc tha s nguyờn t nh sau: n = p11 p2 pk k Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES k Khi ú ta cú: (n) = n(1 p ) i =1 -nh lý le: i a  , n Ơ * , (a, n) = a ( n ) (mod n ) p dng: tỡm s d ca phộp chia 22009 cho 35 Ta cú: 35=71.51 (35) = 35 ữ1 ữ= 24 Li cú (2,35) = Theo nh lý le Ta suy ra: (35) 1(mod 35) 224 1(mod 35) Ta cú: 2009 = 83.24+17 224 1(mod 35) 224.83 1(mod 35) 224.83.217 217 (mod 35) 22009 217 (mod 35) Ta li cú: 25 3(mod 35) ( 25 ) ( 3) = 27 (mod 35) 3 215.22 27.22 = 108 32 (mod 35) 217 32(mod 35) Vy d phộp chia trờn l 32 2.Vi tớnh cht cn thit khỏc: a.b -CLN, BCNN: [ a, b ] = ( a, b ) , Nu (a, b) = [ a, b ] = a.b (a, b  ) Vn 7: Tỡm chu k ca s thp phõn vụ hn tun hon c biu din bi phõn s: VD: Tỡm chu k ca s thp phõn vụ hn tun hon cú c t phộp chia 10 cho 23 ? * Ly 10 : 23 = (0,434782608) mn hỡnh ch hin th 10 ch s Vy 10 s d u tiờn l: 0,434782608 * Ly 0,434782608 23 = 9,999999984 10 0,000000016 Vy 10 = 0,434782608 23 + 0,000000016 ị 10 : 23 = 0,434782608 + 0,000000016 : 23 = 0,434782608 + 0,000000001 (16 : 23) * Ly 16 : 23 = (0,695652173) Mn hỡnh hin th cha ht kt qu ca phộp chia ị Chớn s d tip theo l: 695652173 *Ly 0,695652173 23 = 15,99999998 16 0,000000021 Vy 16 = 0,695652173 23 + 0,000000021 Tng t cỏch lm trờn ta c: ị Chớn s d tip theo l: 913043478 21 : 23 = (0,913043478) Vy: 10 : 23 = 0,434782608695652173913043478 = 0,(4347826086956521739130) ị Chu k ca s thp phõn vụ hn tun hon trờn l: (4347826086956521739130) - Ans - Ans = = Vn 8:Biu din phõn s thnh liờn phõn s: a (a, b ẻ  ) b Ta thc hin phộp chia clit trờn cỏc s a, b nh sau: a = b q + r1 b = r1 q1 + r2 r1 = r2 q2 + r3 Gi s x = Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES rn = rn qn + rn rn = rn qn ị a 1 =q + =q + = =q + 0 b 1 b q + q + 1 r r q + r q + q (q > 1) n n + (Trong ú q0 ẻ  , q1, q2 , q3 , qn ẻ  , qn > ) Biu thc trờn gi l mt liờn phõn s hu hn cp n Ký hiu: d = ộq , q , q , q ự, n gi l nỳ ở0 ỷ cp, q0, q1, q2, q3, qn gi l cỏc s hng ca liờn phõn s Tớnh liờn phõn s: tớnh liờn phõn s chỳng ta cú cỏch v tớnh t di tớnh lờn: -Cỏch 1: Bm qn + = x-1 + qn-2 = x-1 + qn-3 = = x-1 + q0 = qn -Cỏch 2: Bm: qn + = qn-2 + 1/Ans = qn-3 + 1/Ans = = q0 + 1/Ans = qn Vn 9: Tỡm CLN ca s A, B, C a A l phõn s ti gin ca phõn s , ú gi s m l thng ca phộp chia A b B cho a vy thỡ (A, B) = m p m Tip tc tỡm phõn s ti gin ca phõn s , gi s l , gi n l thng ca phộp chia q C m cho p ú (m , C) = n Vy thỡ: (A, B, C) = ((A, B), C) = (m, C) = n a A tỡm phõn s ti gin ca phõn s ta nhp vo mỏy nh sau: b B Bm: A ab/c B = Gi Vn 10: Mt s bi toỏn gii bng phộp lp: Dng 1: Tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau: 20 A = + 0, 2012 X X =1 Lp cụng thc truy hi Nhp M=M+1:A=A+(0,2012)M Bm: CALC nhp = = (Nhp cỏc giỏ tr ban u cho M v A; Vỡ lỳc ny trờn mn hỡnh hi: M? v A?) Nhn n M + = 20 , ta c kt qu: A= VD 2: Tỡm tng cỏc c l ca s 804257792 Ghi vo mn hỡnh: n SHIFT STO A A = A +1 :804257792 ữ 2^A n bng n A = 20 mỏy hin thng l 767 thỡ dng (cỏch ny cho ta m v kim tra c s A) Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES Suy s 804257792 phõn tớch c 2^20x767 Do vy 767 l mt c l ca 804257792 Tip tc tỡm c l ca 767 bng cỏch dựng PP lp Ghi vo mn hỡnh: n SHIFT STO A A = A +1 : 767 ữ (2A+1) n = ln lt , ta tỡm thờm c c l l 59 ; 13 (Vỡ 59 x 13 = 767 nờn khụng cũn c l no khỏc ln hn ) Suy s 804257792 cú c s l l : 767; 59; 13; Tng cỏc c l l : 767 + 59 + 13 +1 = 840 Vn 11: Dóy s I.Cp s: Tng n s hng u tiờn ca cp s cng: S n = u1 + u2 + u3 + + u n = Trong ú: uk = uk-1 + d (u1 + un )n (d gi l cụng sai) CM: 2Sn = (u1 + u2 + u3 + + un) + ( u1 + u2 + u3 + + un) = (u1+ un) + (u2 + un-1) + + (un-1+u2) + (un+ u1) (n ngoc) Xột mi s hng (mi ngoc) tng trờn ta thy chỳng luụn bng (u1+ un) C th s hng: (u2 + un-1) = (u1 + d) + (un d) = u1 + un Nh vy: 2Sn = n(u1+ un) Hay: S n = (u1 + un )n Tng n s hng u tiờn ca cp s nhõn: u1 (1 q n ) S n = u1 + u2 + u3 + + u n = q Trong ú: uk = uk-1.q (Q gi l cụng bi) V ta luụn cú: un = u1.qn-1 CM: q.Sn = q.u1 + q.u2 + q.u3 + + q.un = u2 + u3 + + un + un+1 Do ú: Sn - q.Sn = u1 un+1 = u1 u1.qn = u1(1 - qn) T ú suy ra: S n = u1 (1 q n ) q 1)Tng: S1 = + + + + n = n( n + 1) õy l cp s cng cụng sai d = 2)Tng: S2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + (n 1).n = Tht vy, ta cú: 3S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + (n ( n 1).n.( n + 1) 1) n 3S = 1.2.(3 0) + 2.3.(4 1) + 3.4.(5 2) + + ( n 1) n.{ ( n + 1) (n 2)} 3S = ( 1.2.3 + 2.3.4 1.2.3 + 3.4.5 2.3.4 + + ( n 1).n.( n + 1) ( n 2)(n 1).n ) Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 10 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES 8cos3 x 2sin x + cos x cos x sin x + sin x cos x 5s in 2x + 3tg x Bi 63: Cho tgx = 2,324 Tớnh A = Tớnh A = Bi 64: Cho sinx = Bi 65: Tớnh A = 5tg 2x + c otgx 1,815.2, 7323 4, 621 cos3 x sin x + Bi 66: Cho cosx = 0,7651 (0 < x < 90 ) Tớnh A = cos x sin x cos x 5s in 2x + 3tg x Bi 67: Cho sinx = Tớnh A = 5tg 2x + c otgx Bi 68: Tớnh B = 816,137 712,3517 6g 47 ph 29gi 2g58ph 38gi Bi 69: Tớnh C = 1g 31ph 42gi.3 Bi 70: (Thi khu vc, 2001) Tớnh: a A = ( 649 +13.180 ) 13 ( 2.649.180 ) ( 1986 b B = c C = 1992 ) ( 1986 + 3972 ) 1987 1983.1985.1988.1989 ( 6,35) : 6,5 + 9,8999 12,8 : 0,125 1,2 : 36 + : 0,25 1,8333 ữ1 : ( 0,2 0,1) ( 34,06 33,81) + : + d D = 26 : 2,5 ( 0,8 + 1,2 ) 6,84 : ( 28,57 25,15 ) 21 0,3 ữ1 x 4 ữ: 0,003 20 : 62 + 17,81: 0,0137 = 1301 e.Tỡm x bit: 20 2,65 : 1,88 + ữ ữ 20 25 1 13 : ữ1 15,2.0,25 48,51:14,7 44 11 66 = f Tỡm y bit: y 3,2 + 0,8 3,25 ữ Bi 71: (Thi khu vc, 2002) Tớnh giỏ tr ca x t cỏc phng trỡnh sau: 0,5 ữ.x 1,25.1,8 : + ữ = 5,2 : 2,5 ữ a 15,2.3,15 : + 1,5.0,8 ữ ( 0,152 + 0,352 ) : ( 3x + 4,2 ) + ữ = : ( 1,2 + 3,15) b 12 12,5 : ( 0,5 0,3.7,75 ) : 17 Bi 72: (Thi khu vc, 2001, d b) Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 33 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES b a + bit: : 0,09 : 0,15 : ữ a= 0,32.6 + 0,03 ( 5,3 3,88 ) + 0,67 a Tỡm 12% ca b= ( 2,1 1,965) : ( 1,2.0,045 ) 1: 0,25 1,6.0,625 0,00325 : 0,013 85 83 ữ: b Tớnh 2,5% ca 30 18 0,004 17 ữ.1 110 217 55 c Tớnh 7,5% ca ữ:1 20 ( 2,3 + : 6,25 ) d Tỡm x, nu: : x :1,3 + 8,4 = 8.0,0125 + 6,9 14 Bi 73: Thc hin cỏc phộp tớnh: e A = + ữ: ữ: 1,5 + + 3, ữ 4 3 f B = 12 :1 + : ữ 11 121 1 12 10 10 24 15 ữ 1,75 ữ 7 11 g C = 60 0,25 ữ + 194 99 11 1 1+ 1,5 0,25 D = : 0,8 : + + 50 46 h 0,4 + 2,2.10 1: 0,8 : 1.25 ữ 1,08 ữ: 25 + + ( 1,2.0,5 ) : i E = 1 0,64 ữ.2 25 17 1 + k F = 0,3(4) + 1,(62) :14 : 90 11 0,8(5) 11 Bi 74: (Thi khu vc 2003, d b) Tớnh: a A = 3 20 + 25 b B = 200 + 126 + 54 18 +3 63 3 1+ 1+ Bi 75: (Thi khu vc 2001) 17 a Hóy sp xp cỏc s sau õy theo th t tng dn: a = 26 45 245 , b = 16 ,c = 10 ữ ,d = 125 46 247 Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 34 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES 33 b Tớnh giỏ tr ca biu thc sau: [ 0,(5).0,(2)] : : ữ ữ: 25 c Tớnh giỏ tr ca biu thc sau: + + 4 + + 8 + 9 Bi 76: Kt hp c mỏy v giy Tớnh kt qu ỳng ca cỏc tớch sau: a.M = 2222255555 2222266666 b.N = 20032003 20042004 Gii: a) t A = 22222, B = 55555, C = 666666 Ta cú M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC Tớnh trn my: A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630 Tớnh trn giy: A 1010 8 0 0 0 0 AB.105 0 0 AC.10 8 0 BC M 4 4 9 b) t X = 2003, Y = 2004 Ta c: N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY Tớnh XY, 2XY trờn mỏy, ri tớnh N trờn giy nh cõu a) Kt qu: M = 4938444443209829630 N = 401481484254012 0 3 0 0 Hỡnh hc: MT S CễNG THC 1)H thc lng tam giỏc vuụng: BC2 = AB2 + AC2 a2 = b2 + c2 AB2 =BC BH c2 = a.c AC =BC CH b2 = a.b AH2 = BH.CH h2 = b.c AB.AC = BC.AH b.c = a.h 1 = 2+ AH2 = 1/AB2 + 1/AC2 h b c 2)Cỏc h thc c bn v h qu: 1/ sin a + cos2 a = sin a cos a cos a 3/ cot ga = sin a 4/ + t g2a = cos2 a 5/ + cot g2a = sin a 6/ t ga cot ga = 2/ t ga = Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 35 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES 3)Bng giỏ tr ca hm s lng giỏc ca cỏc gúc cung c bit: Gúc p/ p/ Hm s 0 30 1/ 45 2/ p/ p/ 600 3/ 1/ 900 sin cos 3/ tg 3/ 3 || cotg || 3/ 2/ 4)nh lý hm s cosin: 1/ a = b + c2 - 2bc cos A 2/ b = c2 + a - 2ca cos B 3/ c2 = a + b - 2bc cos C 5)nh lý hm s sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C 6)Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc: Gi h a l ng cao xut phỏt t nh A VABC a+ b+ c l na chu vi VABC S l din tớch VABC R l bỏn kinh ng trũn ngoi tip VABC r l bỏn kớnh ng trũn ni tip VABC 1 1/ S = a.h a = b.h b = c.h c 2 1 2/ S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 abc 3/ S = 4R 4/ S = p.r p= 5/ S = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c) 6/Chu vi hỡnh trũn : 7/Din tớch hỡnh trũn : 8/ di cung trũn : 9/Din tớch hỡnh qut trũn : C = 2R S = R2 Rn l= 180 R n S= 180 (Cụng thc Hộron) (n l s o ca cung trũn) a 10/Bỏn kớnh ng trũn ni tip a giỏc u n cnh: r = 180 2Sin n Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 36 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES a 11/Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip a giỏc u n cnh: R = 180 tg n S 12/Bỏn kớnh ng trũn bng tip g úc A tam giỏc (ra): = pa 7.Tớnh cht ng phõn giỏc ng trung tuyn: Gi: AF l phõn giỏc gúc v AE l phõn giỏc gúc ngoi ti nh A AD l trung tuyn Khi ú ta cú: AB FB EB = = AC FC EC AB + AC = AD + BC 2 PHN BI TP Bi 1: Cho ABC vuụng ti A, cú AB = c, AC = b a Tớnh khong cỏch d t chõn ng phõn giỏc ca gúc vuụng n mi cnh gúc vuụng? b Vi b = 5,78914 cm; c = 8,911456 cm Tớnh khong cỏch ú? Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú ng cao l AH Cho bit AB = 0,5 , BC = 1,3 Tớnh AC , AH , BH , CH gn ỳng vi ch s thp phõn? Bi 3: Cho tam giỏc ABC cú AB = 1,05 ; BC = 2,08 ; AC = 2,33 a)Tớnh di ng cao AH b)Tớnh di trung tuyn AM c)Tớnh s o gúc C d) Tớnh din tớch tam giỏc ABC Bi : 1.Cho tam giỏc ABC vuụng A vi AB=4,6892 cm ; BC=5,8516 cm Tớnh gúc ABC (bng n v o ), tớnh di ng cao AH v phõn giỏc CI 2.Cho ngụi cỏnh nh hỡnh bờn Cỏc khong cỏch gia hai nh khụng liờn tip ca ngụi AC=BD=CE= = 7,516 cm Tỡm bỏn kớnh R ca ng trũn i qua nh ca ngụi Bi 5:Cho tam giỏc ABC vuụng cõn A Trờn ng cao AH, ly cỏc im D, E cho AE=HD= AH Cỏc ng thng BE v BD ln lt ct cnh AC F v G Bit BC=7,8931 cm a)Tớnh din tớch tam giỏc ABE b)Tớnh din tớch t giỏc EFGD Bi 6: Cho tam giỏc ABC vi cnh BC = 5,1123; AB = 3,2573; AC = 4,7428 Tớnh ng phõn giỏc AD? Bi 7: Tia phõn giỏc chia cnh huyn thnh hai on 135 222 v Tớnh hai cnh gúc vuụng? 7 Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 37 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES Bi 8: Cho tam giỏc ABC vi cnh BC = 14; AB = 13; AC = 15 Gi D, E, F l trung im ca BC, AC, AB v { Q} = BE FD;{ R} = DF FC;{ P} = AD EF Tớnh: AQ + AR + BP + BR + CP + CQ m= AB2 + BC2 + AC2 Bi 9: Cho hỡnh thang vuụng ABCD, ng cao AB Cho gúc BDC = 900;Tỡm AB, CD, AC vi AD=3,9672; BC=5,2896 ã ã Bi 10: Cho AD v BC cựng vuụng gúc vi AB, AED , AD = 10cm, AE = 15cm, BE = 12cm = BCE Tớnh: 5.1 Tớnh din tớch t giỏc ABCD (SABCD) v din tớch tam giỏc DEC (SDEC) 5.2 Tớnh t s phn trm SDEC v SABCD ã Bi 11: Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú ng chộo BD hp vi BC mt gúc bng DAB Bit AB = a = 12,5cm; DC = b = 28,5cm Tớnh: 6.1 di ng chộo BD 6.2 T s phn trm gia din tớch tam giỏc ABD v din tớch tam giỏc BDC Bi 12: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A vi AB = a = 14,25cm; AC = b = 23,5cm; AM, AD th t l cỏc ng trung tuyn v ng phõn giỏc ca tam giỏc ABC Tớnh: 7.1 di cỏc on thng BD v CD 7.2 Din tớch tam giỏc ADM Bi 13: Cho tam giỏc ABC (AB < AC) cú ng cao AH, trung tuyn AM chia gúc BAC thnh ba gúc bng a Xỏc nh cỏc gúc ca tam giỏc ABC b Bit di BC 54,45 cm, AD l phõn giỏc ca tam giỏc ABC Kớ hiu S v S l din tớch hai tam giỏc ADM v ABC Tớnh S0 v t s phn trm gia S0 v S? Bi 14: Cho tam giỏc ABC cú ng cao BD = 6cm, di trung tuyn CE = 5cm Khong cỏch t giao im BD vi CE n AC bng 1cm Tỡm di cnh AB? 29015'; D 60045' Tớnh: Bi 15: Hỡnh thang ABCD (AB//CD) cú AB 2,511cm; CD 5,112cm; C a Cnh bờn AD, BC b ng cao h ca hỡnh thang c ng chộo AC, BD Bi 16: Hai hỡnh ch nht ct nhau: S1 a Kớ hiu S1 = k2 l din tớch t giỏc ANCQ; S2 l din tớch t giỏc BPDM Tớnh t s S2 b Bit AB = 5cm; BC = 7cm; MQ = 3cm; MN = 9cm Tớnh k? A B N M P Q C D CD = ; AM = MD = DN = NB BD Vit cụng thc v tớnh di st lm vỡ kốo bit hao phớ sn xut l 5% (lm trũn n một) Bi 17: Ngi ta phi lm mt vỡ kốo bng st Bit AB 4,5cm; C Q P A B M D N Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 38 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES Bi 18: Mt tam giỏc cú ba cnh vi di l 30,735cm; 40,980cm; 51,225cm Tớnh din tớch tam giỏc ú Bi 19: Cho hỡnh ch nht ABCD Qua B k ng vuụng gúc vi ng chộo CA ti H Bit BH = ã 1,2547cm; BAC = 370 28'50'' Tớnh din tớch ABCD = 1200 , BC = 12cm, AB = 6cm Phõn giỏc ca B ct cnh AC Bi 20: Cho tam giỏc ABC cú B ti D Tớnh din tớch tam giỏc ABD Bi 21: Cho mt tam giỏc ni tip ng trũn Cỏc nh ca tam giỏc chia ng trũn ba cung cú di 3, 4, Tỡm din tớch tam giỏc? Bi 22: Cho tam giỏc ABC cú AB = 3,14; BC = 4,25; CA = 4,67 Tớnh din tớch tam giỏc cú nh l chõn ba ng cao ca tam giỏc ABC Bi 23: Cho tam giỏc ABC cú AB = 3,14; BC = 4,25; CA = 4,67 Tớnh din tớch tam giỏc cú nh l chõn ba ng cao ca tam giỏc ABC Bi 24: Tớnh gn ỳng (, phỳt, giõy) gúc A ca tam giỏc ABC bit rng AB = 15cm, AC = 20cm v BC = 24cm = 1B = 1C v AB = 18cm Bi 25: Tớnh gn ỳng din tớch tam giỏc ABC bit rng A Bi 26: Cho bn im A, B, C, D, E trờn ng trũn tõm O bỏn kớnh bng 1dm cho AB l ng kớnh, OC AB v CE i qua trung im ca OB Gi D l trung im ca OA Tớnh din tớch ca tam ã giỏc CDE v tớnh gn ỳng gúc CDE (, phỳt, giõy) Bi 27: T giỏc ABCD ni tip c mt ng trũn v cú cỏc cnh AB = 5dm, BC = 6dm, CD = 8dm, DA = 7dm Tớnh gn ỳng bỏn kớnh ng trũn ni tip, bỏn kớnh ng trũn ngoi tip v gúc ln nht (, phỳt, giõy) ca t giỏc ú Bi 28: im E nm trờn cnh BC ca hỡnh vuụng ABCD Tia phõn giỏc ca cỏc gúc EBD, EAD ct MN cỏc cnh BC, CD tng ng ti M, N Tớnh gn ỳng giỏ tr nh nht ca t s Tớnh gn ỳng (, AB MN = phỳt, giõy) gúc EAB nu AB Bi 29: Hai ng trũn bỏn kớnh 3dm v 4dm tip xỳc ngoi vi ti im A Gi B v C l cỏc tip im ca hai ng trũn ú vi mt tip tuyn chung ngoi Tớnh gn ỳng din tớch ca hỡnh gii hn bi on thng BC v hai cung nh AB, AC Bi 30: a Tỡm gúc C ( bng v phỳt ) ca tam giỏc ABC bit a = 9,357m; b = 6,712m; c = 4,671m b Tỡm di trung tuyn AM ca tam giỏc ABC c Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ) ) Bi 31: Cho tam giỏc ABC cú B = 490 72' ; C = 73052' Cnh BC = 18,53 cm Tớnh din tớch Bi 32 : Tớnh khong cỏch gia hai nh khụng liờn tip ca mt ngụi cỏnh ni tip ng trũn bỏn kớnh R = 5,712 Bi 33: Cho cosA = 0,8516; tgB = 3,1725; sinC = 0,4351 (A, B, C nhn) Tớnh sin (A + B C) Bi 34: a.Cho tam giỏc ABC cú a = 8,751m; b = 6,318m; c = 7,624m Tớnh ng cao AH b bỏn kớnh r ca ng trũn ni tip b.Tớnh ng phõn giỏc AD ca tam giỏc ABC ) ) ' '; C Bi 35: Cho tam giỏc ABC cú chu vi l 58cm, B=5718 =82'35' Tớnh di cỏc cnh AB, BC, AC Bi 36: Tớnh bng ( v phỳt) gúc hp bi hai ng cheo ca t giỏc li ni tip c ng trũn v cú cỏc cnh l : a = 5,32 ; b = 3,45 ; c = 3,69 ; d = 4,68 Bi 37: a.Cho tam giỏc ABC vuụng ti A vi AB = 3,74, AC = 4,51 Tớnh ng cao AH b.Tớnh gúc B ca tam giỏc ABC bng v phỳt c.K ng phõn giỏc ca gúc A ca tam giỏc ABC ct BC ti I Tớnh AI Bi 38: a.Cho tam giỏc ABC ( 900 < x < 1800) v sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6 Tớnh BC b.Tớnh di trung tuyn AM ca tam giỏc ABC Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 39 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES c.Tớnh gúc B ca tam giỏc ABC bng v phỳt Bi 39: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A vi AB = 15, BC = 26(cm) K ng phõn giỏc BI ( I nm trờn AC) Tnh IC Bi 40: Cho hỡnh thang cõn cú hai ng cheo vuụng gúc vi ỏy nh di 15,34, cnh bờn di 20,35cm Tỡm di ỏy ln Bi 41: Mt ngụi nm cỏnh cú khong cỏch gia hai nh khụng liờn tip l 9,651 Tỡm bỏn kớnh ng trũn ngoi tip qua nh ) Bi 42: Cho tam giỏc ABC cú ba cnh a = 8,32 ; b = 7,61; c = 6,95 (cm) Tớnh gúc A bng , phỳt, giõy: Bi 43: Cho tam giỏc ABC cú ba cnh a = 15,637 ; b = 13,154; c = 12,981 (cm) Ba ng phõn giỏc ct ba cnh ti A1, A2, A3 Tớnh din tớch ca tam giỏc A1A2A3 Bi 44: a.Cho tam giỏc ABC cú cnh a = 12,758; b = 11,932; c = 9,657(cm) Tớnh di ng phõn giỏc AD b.V cỏc ng phõn giỏc CE, CF Tớnh din tớch S1 ca tam giỏc DEF Bi 45: Cho t giỏc ABCD ni tip mt ng trũn bỏn kớnh R vi cnh a = 3,657; b= 4,155; c = 5,651; d = 2,765(cm) Tớnh R Bi 46: Cho tam giỏc ABC cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip R = 7,268 (cm) cỏc gúc B = 48030; C = 63042 Tớnh din tớch tam gỏc ABC ) ) Bi 47: Cho t giỏc li ABCD cú cỏc cnh l 18, 34, 56, 27 (cm) v B + D = 2100 Tớnh din tớch t giỏc Bi 48: Cho cosA = 0,8516; tgB = 3,1725; sinC = 0,4351 ( ba gúc u nhn) Tớnh sin(A+ B-C) Bi 49: a.Cho tam giỏc ABC cú a = 8,751m; b = 6,318m; c = 7,624m Tớnh ng cao AH b bỏn kớnh r ca ng trũn ni tip b.Tớnh ng phõn giỏc AD ca tam giỏc ABC ) ) Bi 50: Cho tam giỏc ABC cú B = 490 72' ; C = 73052' Cnh BC = 18,53 cm Tớnh din tớch ) ) Bi 51: Cho tam giỏc ABC cú chu vi l 58cm, B = 57 018' ; C = 82035' Tớnh di cỏc cnh AB, BC, AC Bi 52: Mt hỡnh vuụng c chia thnh 16 ụ (mi cnh ụ) ễ th nht c t mt ht thúc, ụ th hai c t ht , ụ th ba c t ht, v t liờn tip nh vy n ụ cui cựng(ễ tip theo gp ụi ụ trc) Tớnh tng ht thúc c t vo 16 ụ hỡnh vuụng Bi 53: Tớnh bng ( v phỳt) gúc hp bi hai ng cheo ca t giỏc li ni tip c ng trũn v cú cỏc cnh l : a = 5,32 ; b = 3,45 ; c = 3,69 ; d = 4,68 Bi 54: a.Cho tam giỏc ABC vuụng ti A vi AB = 3,74, AC = 4,51 Tớnh ng cao AH b.Tớnh gúc B ca tam giỏc ABC bng v phỳt c.K ng phõn giỏc ca gúc A ca tam giỏc ABC ct BC ti I Tớnh AI Bi 55: Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC, bit: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 Bi 56: Tớnh cnh BC, gúc B , gúc C ca tam giỏc ABC, bit: = 54o3512 AB = 11,52 ; AC = 19,67 v gúc A Bi 57: Tớnh cnh AB, AC, gúc C ca tam giỏc ABC, bit: = 54o3512 ; B = 101o157 BC = 4,38 ; A Bi 58: Tam giỏc ABC cú ba cnh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 im M nm trờn cnh BC cho: BM = 2,142 1) Tớnh di AM? 2) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABM 3) Tớnh bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ACM Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 40 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES = 49o27 Bi 59: Tam giỏc ABC cú: B Tớnh din tớch S ca tam giỏc ? = 73o52 v cnh BC = 18,53 ; C = 82o35 = 57o18 v C Bi 60: Tam giỏc ABC cú chu vi 58 (cm) ; B Tớnh di cỏc cnh AB, BC, CA ? < 180o v sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6 Bi 61: Tam giỏc ABC cú 90o < A Tớnh: 1) di cnh BC ? Trung tuyn AM ? =? 2) Gúc B 3) Din tớch tam giỏc S = ? = 90o ; AB = (cm) ; AC = (cm) Bi 62: Tam giỏc ABC cú A Tớnh di ng phõn giỏc AD v phõn giỏc ngoi AE ? Bi 63: a giỏc, hỡnh trũn: * Mt s cụng thc: 1) a giỏc u n cnh, di cnh l a: 360 + Gúc tõm: = (rad), hoc: a o = () a A O n n = n (rad), hoc A = n 180 () + Gúc nh: A n n na + Din tớch: S = cot g 2)Hỡnh trũn v cỏc phn hỡnh trũn: + Hỡnh trũn bỏn kớnh R: - Chu vi: C = 2R - Din tớch: S = R2 + Hỡnh vnh khn: - Din tớch: S = (R2 - r2) = (2r + d)d + Hỡnh qut: - di cung: l = R ; (: rad) - Din tớch: R R 2a = 360 S= (: rad) (a: ) Bi 9: Ba ng trũn cú cựng bỏn kớnh cm ụi mt tiờp xỳc ngoi (Hỡnh v) Tớnh din tớch phn xen gia ba ng trũn ú ? H.Dn: Sgch xc = SO1O2O3 - Squt Tam giỏc O1O2O3 u, cnh bng nờn: S O1O2O3 = 6.6 =9 2 R a 9.60 = = Squt = 360 360 Sgch xc = SO1O2O3 - Squt = 18 = 1, 451290327 2 Bi 10: Cho hỡnh vuụng ABCD, cnh a = 5,35 Dng cỏc ng trũn tõm A, B, C, D cú bỏn kớnh R = a Tớnh din tớch xen gia ng trũn ú Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 A B Website: http://toantin.net Trang 41 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES H.Dn: Sgch = SABCD - 4Squt 1 SH.trũn = R2 4 1 Sgch = a2 - R2 = a2 - a2 4 = a2(1 - ) 6,142441068 Squt = Bi 11: Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R = 3,15 cm T mt im A ngoi ng trũn v hai tip tuyn AB v AC (B, C l hai tip im thuc (O) ) Tớnh din tớch phn gii hn bi hai tip tuyn v cung trũn nh BC Bit OA = a = 7,85 cm H.Dn: OB R 3,15 = = OA a 7,85 3,15 = cos 7,85 - Tớnh : cos = SOBAC = 2SOBA = aRsin R 2 R = Squt = 360 180 R 11,16 (cm2) 180 Bi 12: Tớnh din tớch phn c tụ m hỡnh trũn n v (R = 1) (Xem hỡnh 1) Bi 13: Tớnh t l din tớch ca phn c tụ m v din tớch phn cũn li hỡnh trũn n v (Xem hỡnh 2) Sgch = SOBAC - Squt = aRsin - Bi 14 Tớnh din tớch phn hỡnh phng (phn gch xc) gii hn bi cỏc cung trũn v cỏc cnh A ca tam giỏc u ABC (xem hỡnh v), bit: AB = BC = CA = a = 5, 75 cm Gii: R = OA = OI = IA = Suy ra: R = a 3 2 a AH = 3 I ãAOI = 600 v B H C Din tớch hỡnh gch xc bng din tớch tam giỏc ABC tr din tớch hỡnh hoa lỏ (gm hỡnh viờn phõn cú bỏn kớnh R v gúc tõm bng 600) S ABC Din tớch mt viờn phõn: a2 = ; S O1 AI R2 a a2 = = = 4 12 R2 R2 R2 R (2 3) = = 12 Tớnh theo a, din tớch mt viờn phõn bng: S = gch xc a (2 3) 36 a2 a (2 3) a (9 ) = 36 12 Bm tip: 5,75 SHIFT x 9ì3 Kt qu: S gch xc 8,33 cm ì [( 4ì ; = S gch xc SHIFT )] ữ ; 5, 752 (9 ) 12 12 = Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 42 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES Bi 15: Viờn gch cnh a = 30 cm cú hoa nh hỡnh v a) Tớnh din tớch phn gch xc ca hỡnh A ó cho, chớnh xỏc n 0,01 cm b) Tớnh t s phn trm gia din tớch phn gch xc v din tớch viờn gch M Gii: a) Gi R l bỏn kớnh hỡnh trũn Din tớch S mt hỡnh viờn phõn bng: R2 R2 R2 a2 = ( 2) = ( 2) 4 16 D a2 Vy din tớch hỡnh gm viờn phõn bng ( ) 2 a 2) a2 ( ) ( a2 = Din tớch phn gch xc bng: 2 Tớnh trờn mỏy: 30 SHIFT x Min ì [( SHIFT )] ữ N P S= MODE (386.28) Vy S gch xc B Q C = 386,28 cm n phớm tip: ữ MR SHIFT % (42.92) T s ca din tớch phn gch xc v din tớch viờn gch l 42,92% ỏp s: 386,28 cm2; 42,92 % Bi 16: Nhõn dp k nim 990 nm Thng Long, ngi ta cho lỏt li ng ven h Hon Kim bng cỏc viờn gch hỡnh lc giỏc u Di õy l viờn gch lc giỏc u cú mu (cỏc hỡnh trũn cựng mt mu, phn cũn li l mu khỏc) Hóy tớnh din tớch phn gch cựng mu v t s din tớch gia hai phn ú, bit rng AB = a = 15 cm Gii: Bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc u l: R= a a = Din tớch mi hỡnh trũn l: R = Din tớch hỡnh trũn l: Tớnh trờn mỏy: 15 SHIFT a 2 A B x2 ì ữ Din tớch ton b viờn gch l: a Din tớch phn gch xc l: a2 12 2 = Min = 3a a 2 3a (353.4291) F O ữ = MR = (231.13797) Bm tip phớm: ì 15 SHIFT x ì n tip phớm: ữ MR SHIFT % Kt qu: 65.40 ỏp s: 353,42 cm2 (6 hỡnh trũn); 231,14 cm2 (phn gch xc); 65,40 % Bi 17: Viờn gch hỡnh lc giỏc u ABCDEF cú hoa hỡnh nh hỡnh v, ú cỏc nh hỡnh M , N , P, Q, R, S l trung im cỏc cnh ca lc giỏc M B A Viờn gch c tụ bng hai mu (mu ca S N hỡnh v mu ca phn cũn li) Bit rng cnh ca lc giỏc u l a = 16,5 cm C F O + Tớnh din tớch mi phn (chớnh xỏc n 0,01) + Tớnh t s phn trm gia hai din tớch ú R P Gii: Din tớch lc giỏc ABCDEF bng: S1=6 a = 3a 2 Q D Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 43 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES Lc giỏc nh cú cnh l b= a , cỏnh l cỏc tam giỏc u cng cú cnh l suy ra: din tớch lc giỏc u cnh cnh b l S3: S3 = 3a b l S2 bng: S2 = 3b = 3a b= a T ú , din tớch tam giỏc u Tớnh trờn mỏy: ì 16.5 SHIFT x2 ì 8ì2 ữ = MODE (353.66) Min ữ = MR = (353.66) n tip phớm: ì 16,5 SHIFT x ì n tip phớm: ữ MR SHIFT % Kt qu: 100 Vy din tớch hai phn bng Li bỡnh: Cú th chng minh mi phn cú 12 tam giỏc u bng nhau, ú din tớch hai phn bng T ú ch cn tớnh din tớch lc giỏc u v chia ụi Bi 18: Cho lc giỏc u cp ABCDEF cú cnh AB = a = 36 mm T cỏc trung im ca mi cnh dng mt lc giỏc u A ' B ' C ' D ' E ' F ' v hỡnh cỏnh cng cú nh l cỏc trung im A ', B ', C ', D ', E ', F ' (xem hỡnh v) Phn trung tõm ca hỡnh l lc giỏc u cp MNPQRS Vi lc giỏc ny ta li lm tng t nh i vi lc giỏc ban u ABCDEF v c hỡnh mi v lc giỏc u cp i vi A' A B lc giỏc cp 3, ta li lm tng t nh trờn M v c lc giỏc u cp n õy ta dng li N B' F' Cỏc cỏnh hỡnh cựng c tụ bng mt mu F P c S (gch xc), cũn cỏc hỡnh thoi hỡnh chia thnh tam giỏc v tụ bng hai mu: mu gch xc C' E' R Q v mu "trng" Riờng lc giỏc u cp cng c tụ mu trng a) Tớnh din tớch phn c tụ bng mu "trng" theo a D E D' b) Tớnh t s phn trm gia din tớch phn "trng" v din tớch hỡnh lc giỏc ban u Gii: a) Chia lc giỏc thnh tam giỏc u cú cnh l a bng ng chộo i qua nh i xng qua tõm, t ú ta cú cú cnh bng a S = a2 = Mi tam giỏc u cnh 3a a Chia lc giỏc ABCDEF cú din tớch bng din tớch tam giỏc "trng" (xem hỡnh v) Suy din tớch tam giỏc trng vũng ngoi bng ABCDEF thnh 24 tam giỏc u = 24 A ' NB ' din tớch lc giỏc cp 3a a b MN = b = ; c = 2 Vy din tớch tam giỏc trng vũng ngoi l: b) Tng t vi cỏch tớnh trờn ta cú: Din tớch tam giỏc trng ca lc giỏc cp MNPQRS (1) l: 3b 3c c 3d d = ): 2 2 (2) Din tớch tam giỏc trng ca lc giỏc cp l: Din tớch lc giỏc trng cựng bng (vi (3) (4) Túm li ta cú: S1 = S3 = 3a 3c 3a ; 23 3a = 42 = S2 = = 3b 3a 27 = 3a 22 ; S4 = 3d = = 3a 25 3a 82 ; = 3a 27 Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 44 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES Strng =S1+S2+S3+S4 = 3a ( 1 + + 23 25 27 )= 3a +2 +2 2 ữ = MODE (3367.11) n phớm: ì 36 SHIFT x ì Vy SABCDEF = 3367,11 mm n tip phớm: SHIFT x y + SHIFT x + = ữ SHIFT x y ì MR = (1157.44) Vy Strng 1157,44 mm2 n tip phớm: ữ MR SHIFT % (34.38) Vy Strang SABCDEF Min 34,38% ỏp s: 1157,44 mm2 v 34,38% Bi 19: Cho hỡnh vuụng cp mt ABCD vi di cnh l AB = a = 40 cm Ly A, B, C , D lm tõm, th t v cỏc cung trũn bỏn kớnh bng a, bn cung trũn ct ti M , N , P, Q T giỏc MNPQ cng l hỡnh vuụng, gi l hỡnh vuụng cp Tng t nh trờn, ly M , N , P, Q lm tõm v cỏc cung trũn bỏn kớnh MN , c giao im E , F , G, H l hỡnh vuụng cp Tng t lm tip c hỡnh vuụng cp XYZT thỡ dng li (xem hỡnh v) a) Tớnh din tớch phn hỡnh khụng b tụ mu (phn trng theo a) b) Tỡm t s phn trm gia hai din tớch tụ mu v khụng tụ mu Gii: a) Tớnh din tớch cỏnh hoa trng cp (bng viờn phõn tr i ln din tớch hỡnh vuụng cp 2) S1 = a2 a2 - 2b ( b l cnh hỡnh vuụng cp 2) Tng t, tớnh din tớch cỏnh hoa trng cp v cp 3: b2 b2 - ) 2c ( c l cnh hỡnh vuụng cp 3) 2 c c S3 = ( - ) 2d ( d l cnh hỡnh vuụng cp 4) 2 Rỳt gn: S1 = a ( - 2) - 2b2; S2 = b2( - 2) - 2c2; S3 = c2( - 2) Strng=S1+S2+S3 = (a2 + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2) ã b) Ta cú: MCQ = 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150) S2 = 4( - 2d2 ; Tng t: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3 Ký hiu x = 2sin150, ta cú: b = a.x; c = ax2; d = ax3 Thay vo cụng thc tớnh din tớch Strng ta c: Strng = (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6) = a (1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6) n phớm: 15 o,,, sin ì = Min SHIFT x y + MR SHIFT x + = ì SHIFT ì 40 SHIFT x ì 40 SHIFT x ì [( MR SHIFT x + MR SHIFT x y )] ì 40 SHIFT [( + MR SHIFT x y = MODE (1298.36) Min Vy Strng 1298,36 cm2 Bm tip phớm: 40 SHIFT x MR = (301.64) Vy Sgch xc 301,64 cm2 Bm tip phớm: ữ MR SHIFT % (23.23) Vy Sgach xoc Strang x2 ì 23,23% ỏp s: 1298,36 cm2; 23,23% Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 45 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES Bi 20: Cho tam giỏc u ABC cú cnh l a = 33,33 cm v tõm l O V cỏc cung trũn qua hai nh v trng tõm O ca tam giỏc c hỡnh lỏ Gi A ', B ', C ' l cỏc trung im cỏc cnh BC, CA v AB Ta li v cỏc cung trũn qua hai trung im v im O, ta cng c hỡnh lỏ nh hn a) Tớnh din tớch phn ct b (hỡnh gch xc) ca tam giỏc ABC c hỡnh lỏ cũn li b) Tớnh t s phn trm gia phn ct b v din tớch ca tam giỏc ABC Gii: A ' B ' C' cng l tam giỏc u nhn O lm tõm (vỡ AA ', BB ', CC ' cng l cỏc ng cao, ng trung tuyn ca A ' B ' C' ) chic lỏ ch cú im chung nht l O, ngha l khụng cú phn din tớch chung Mi viờn phõn cú gúc tõm bng 600, bỏn kớnh bng tớch viờn phõn Khi y S1 = Ta cú: OA = a 3 = a 3 OA2 OA2 OA2 = 12 (2 -3 ng cao tam giỏc u Gi S1 l din A ) B' O Gi S l din tớch lỏ ln, S' l din tớch lỏ nh Khi y: S =6S1 = Gi cnh tam giỏc u A ' B ' C' b2 S'= OA 2 (2 -3 )= a (2 -3 B ) A' C l b, tng t ta cng cú: (2 -3 3) = Tng din tớch lỏ l: S + S' = (2 -3 a2 24 (2 -3 )( ) a2 a2 + 24 ) Din tớch phn gch xc (phn ct b) l S'' S''= SABC -(S + S')= Tớnh SABC : 33.33 SHIFT ữ Tớnh S'' : ì '' Vy S 229,45 cm2 x2 ì S'' n tip phớm tớnh S ABC ỏp s: S'' 229,45 cm2; : ữ 12 ì a2 ữ - (2 -3 33.33 SHIFT ữ MR SHIFT % S'' 47,70 SABC a2 a2 + )=( )a 24 12 (481.0290040) = = ì )( Min x2 = (229.4513446) Kt qu: 47.70 % Bi tng hp Bi 1: Tỡm ch s thp phõn th 15 sau du phy ca 2003 Bi 2: Tỡm ch s thp phõn th 2004 sau du phy kt qu ca phộp chia cho 53? Bi 3: Tớnh 20120032 Bi 4: Tỡm cỏc s nguyờn dng x v y cho x2 + y2 = 2009 v x > y 2x 7x + Bi 5: Tớnh gn ỳng giỏ tr nh nht v ln nht ca phõn thc A = x + 4x + Bi 6: Cho x1000 + y1000 = 6,912 v x2000 + y2000 = 33,76244 Tớnh x3000 + y3000 Bi 7: Tỡm x, y nguyờn dng tha phng trỡnh: y = 18 + x + + 18 x + Bi 8: a) Nờu mt phng phỏp (kt hp trờn mỏy v trờn giy) tớnh chớnh xỏc kt qu ca phộp tớnh sau: A = 12578963 x 14375 b) Tớnh chớnh xỏc A Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 46 Bi dng HSG mụn gii toỏn bng mỏy tớnh Casio FX 500MS; FX 570MS; FX 500ES; FX 570ES c) Tớnh chớnh xỏc ca s: B = 1234567892 d) Tớnh chớnh xỏc ca s: C = 10234563 S: A = 180822593125 B=15241578750190521 C=1072031456922402816 Bi 9: (Thi gii Toỏn trờn MTBT khu vc - Nm hc 2003-2004) Tớnh kt qu ỳng ca cỏc tớch sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004 ỏp s: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012 Bi 10: (Thi gii Toỏn trờn MTBT lp 12 tnh Thỏi Nguyờn - Nm hc 2003-2004) Tớnh kt qu ỳng ca cỏc phộp tớnh sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 Bi 11: (Thi gii Toỏn trờn MTBT lp 10 + 11 tnh Thỏi Nguyờn - Nm hc 2003-2004) Tớnh kt qu ỳng ca phộp tớnh sau: A = 52906279178,48 : 565,432 1012 + Bi 12: Tớnh chớnh xỏc ca s A = HD: - Dựng mỏy tớnh, tớnh mt s kt qu: 102 + = 34 v 103 + = 334 v 102 + = 1156 103 + = 111556 104 + 104 + = 3334 v = 11115556 10k + Nhn xột: l s nguyờn cú (k - 1) ch s 3, tn cựng l s 10k + l s nguyờn gm k ch s 1, (k - 1) ch s 5, ch s cui cựng l * Ta d dng chng minh c nhn xột trờn l ỳng v ú: A = 111111111111555555555556 Bi 13: Tỡm s t nhiờn nh nht n cho 28+211+2n l s chớnh phng HD: Ta phõn tớch 28+211+2n = 28(9+2n-8) vy n = 12 Bi 14: Tỡm tt c cỏc s dng 34 x5 y chia ht cho 36 Bi 15: Tỡm mt s bit nu nhõn s ú vi 12 ri thờm vo lp phng ca s ú thỡ kt qu bng ln bỡnh phng s ú cng vi 35 Lờ Xuõn Hng T: 0982 590930 Mail: xhong5678@gmail.com Nick yahoo: xhong5678 Website: http://toantin.net Trang 47