Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán. Tìa liệu được sưu tầm trên mạng. chỉ mang tính chất tham khảo. Giúp ích cho các bạn học sinh và các thầy cô....................................................

Trang 1

Phong GD & DT Dong son Dé thi hoc sinh gidi lép 9 (Bang A)

Mơn : Tốn (Thời gian làm bài: 150 phút.)

1: 2, 1 1 1 2 1 1 vx-Jy

Bài ï: Cho biêu thức: A = |(—+—) + (=+—):

\é yxty+2ly Qx+jp là Dy xy xy a, Rut gon biéu thirc A

b, Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 +5 ;y =3 - V5

(Đề sáng tác)

Bài 2: Cho 3 sô a, b, c z 0 thỏa mãn: ab+zc và a”+b” +c” = 3abc

_a-b b-c c-a c a b

P= + + ; = +

c a c a-b b-c c-a

Chứng minh rằng : P.Q =9

(Tương tự bài 53-"23 chuyên đê giải 1001 bài toản sơ cấp ")

Bai 3: Giai phong trinh : (4x — 1) Vx? + 7= 2(x*+1) + 2x -1

(Bai 16 -trang 11-"Phuong trinh va hệ phương trình khơng mẫu mực ")

Bai 4: Giai hệ phương trình sau:

x-y+vx = Jy

x+yt18/xy = 4Vx +3,/y +13

(Đề sáng tác)

Bai 5: Cho 3 sé x,y,z thoa man x + y +z=3 va xty +z =3xyz Hay tinh gia tri của

bigu thire ~M =x20% + 2006 , 72006

(Đề sảng tác )

Bài 6: Cho Parabol (P) có phương trình y = x” và điểm A(3;0) ; Điểm M thuộc (P) có hồnh độ a

a) Xác định a để đoạn thắng AM có độ dài ngắn nhất

b) Chứng minh răng khi AM ngắn nhất thì đường thắng AM vng góc với tiếp tuyến của (P) tại điểm M

(Bài 579-"23 chuyên đê giải 1001 bài toản sơ cấp")

Bài 7 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xÌ+ x”+x +1 = 2003 (Đề sảng tác)

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông ở A I là trung điểm của cạnh BC, D là một điểm bất

kỳ trên cạnh BC Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB, AC theo

thứ tự tại E và F

a) Chứng minh rằng: 5 điểm A,E,LD,F cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh rang: AE.AC = AF.AB

c) Cho AC =b; AB =c Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AEF theo b, c

(_ Đề sảng tác)

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A Một điểm P di động trên BC Qua P vẽ PQ//AC (QeAB) và PR//AB (ReAC) Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR

(Bài 1000 -"23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp")

Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9

Trang 2

Bai Lời giải Biểu

điêm

a) ĐKXĐ :x>0; y>0;x # y 0,25

1 1 1 2 1 1 vx-Jy

A= \(—+ (-—+——=) :

\< << (Vx+ Jy)? Te Ty?

-/ x+y ax + Jy) xy xy

xy.lxt ly)? @x+-jy)*2lxajy) ` Ýx~jy

— x+y+2,/xy Xyy xy xy(dx+|y}_ Ýx-y

l 1 xyjxy _

".n ie Dp 0,75

b) V6ix=3+V5 Vay=3-V5 tacd:x>y do đó

A= — Vx — fy _39 0,25 Ma A?= (WẺ_—_ [3+ J5).(3- JSP 42s x+y-2jXy (3+45)+(3-.|5)—2|3?—(5J) 9-22 Vay: A= V8 =2V2 0,75 Ta có :a +b +c =3abc © a +b +c -3abc=0 ©(a+b+c)(a+b°+c-ab-ac-be)=0 (1)

Mà aˆ+b+cˆ - ab — ac —be = 2 [(@ =b + (b- 0) +(c-a) ] #0

(Do a#b#c) 0,5

Do do:(1) © atbtc=0 > atb=-c;atc=-b;btc=-a (2) Mặt khác :

p=#“-?,-c c-a_ a(b~ø)+bc(b~c)+ ac(c~ 8)

c a b abc

_ ab(a—b)+b’c—be’ +ac’-a’c (a—b)(b-c)(a-c)

P= = (3)

abc abc 0,5

Hơn nữa

2 a-b=£ x-y=at+b-2c=-3c

Dat (b-c=x Taco 4y-s=b+c-2a=-3a (do (2))

c-a=y zZ-x=a+c-—2b=-3b

Vi thé

= Sg Og (A PEE,

a-b b-c c-a Zz x y

1 (x-y}(y-z).(x-š)

( Biến đôi tương tự rút gọn P )

Trang 3

Từ (3) và (4) ta có :P.Q=(#~}(8-=c}(a=€) - 9abe abc "(a—b).(b—c).(c—a) 0,75 Vay P.Q=9 0,25 (4x— 1) Vx? +1 = 2(x’ +1) +2x-1 (5) Đặt vx7+7=y (y> l) Ta có : 0.25 (5) © (4x -1).y=2y”+2x— l © 2y’-4xy+2x+y-1=0

y=2x-1

-2x +1) (2y- 1) =0

2 © vx+1 =2x-l ~ x°+1=4x°-4x4+1 0,75 x=0 = x(3x -4)=0 ©|_ 4

(I) xo yt x= 9a) (DKXD : x> 0; y> 0)

x+ y+18,/xy = 4\/x + 3,/y + 13(b)

Taco:

(a) o (Vx-./y (Vx ++ D=00 Vx -/y=0 © Vx =) 1,0

Vậy hệ (D có nghiệm duy nhất (x,y) = (1; 1) 1.0

x4 ty oxy] 2 2X”

4 4

Theo BĐT Cơ sĩ ta có : ” >Aly“.z“ = y?z?} >

4 4

z > > 24x! = x72? _

ay x44 vì +74 > x?y? 4 yn 4x27? (7)

~ z 2 2.2 2_2 2 2 2 7 2À 0,75

Mặt khác : x^y” + y z” +x”z” > xyˆz + xyzˆ” +xˆyz (C/M tương tự q trình trên)

Trang 4

Do d6:x*+y'+ Z Dâu “ = “xảy ra 4 4 4 4 4 4 > Ta a 2.2 24,2 Xx ÿ =ÿé¿;:ÿ§6 =ãX ;sx =x ÿ > 3xyz (9) @x=y=z (10) Hơn nữa x + y +z =3 (11) Từ(10)và(11) 3x =3=x=l=y=z-l — x2006 4 2006 4 „2006 — † + Ị +1 — 3 Vay : M=3 0,75 0,5

a)Ta có : A (3;0) và M(a; a” ) do đó :

AM = (a— 3” +(a” — 0) =a' ta —6a+9

=(a -2a” +1 )+3 (aˆ— 2a +1 )+5

=(a -I+3(a-L +5 > §5 => AM > v5

=Mn AM=vs khi và chỉ khi a= I

b) Theo câu a : AM có độ dài ngắn nhất > a= 1 ,Khi đó M(1;1)

Do đó phương trình đường thẳng AM là: y = - * +5

(do A(3;0)) (c)

Gọi phương trình đường thắng đi qua điểm M (1;1) và tiếp xúc với ( P) tại điểm M 1a (d): y=ax +b tacéd :a.l1 +b=1 (12)

(Do M(1;1) € (d))

va phuong trinh ; x? =ax +b có nghiệm kép (13) (do (đ) tiếp xúc với (P) ) Ma:x =axtb © x’-(ax+b)=0 (14)

Phuong trinh (14) c6 = (-a)*—4.1.(-b) =a? + 4b

Nén: (13) @ a +4b =0 (15)

Từ (12) và (15 ) ta có hệ phương trình:

on tu bọ:

2 > >

q“ˆ + 4b = 0 b=1-a b=-l1

Vì thế phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;1) và tiếp xúc với

(P)taiMla : y=2x-l (d)

Từ (c)và(đ) =(đ) Ì AM (do - 2:2=-1)

Vậy : Khi AM ngắn nhất thì AM vng góc với tiếp tuyến của (P) tạïM

1.0

0,25

0,5

0,25

+)Nhận thây (0:0) là nghiệm nguyên của phương trình :

x? +x’ +x +1 = 2003 (16)

+) Với y< 0ta có : 2003” ¢ Z ma x° +x*+x+1 €Z

Trang 5

Dat UCLN(x+1;x°+l)=d taco:

(x+l): d và xf+1): d =[x”+I+(x+l)(I-x)]: d

2:d

” | | => d=1 (**)

Hon niia từ(*) > 2003” :d

Mặt khác : 2003 là số nguyên tố ,nên các ớc của 20037 chỉ có thể là 1 hoặc

2003” (m « N”) Œ**9)

x+1I=Ï

Từ x , ok C9), Œ9 và a 2K ok > %9) = ng

= phương trình (16) cũng khơng có nghiệm nguyên thỏa mản y > 0

Vậy : Phương trình có nghiệm nguyên duy nhat ( 0; 0)

>x=0 > y=0 (loạn) 1,0 0,25

a) Taco: E la giao diém

của 2 đường trung trực

của 2 cạnh AD,AB

Nên E là tâm đường tròn ngoại tiêp 4ABD

Tương tự ta có: F là tâm

đường tròn ngoại tiêp AACD 0,5

Do đó : B_ H I D

*ABD = {AED => AED=28

+ÁCĐb = > AFD = AFD=2C

= ẤED + ẤFD =2 (B+€) =I80° = AEDFNội tiếp (17)

Lại có : AI= „ BC =BI = A ABC cân tại I X => 6ÀT= 8 =ÁÌD =ZB =- Ấïb+ẤFD = 1809 05

= Tứ Giác AIDF nội tiếp (18) I

Từ (17);(18) = 5 điêm A,E,I,D, F cùng thuộc đường trịn

b)Ta có EF là đường trung trực của AD nên : AE = ED ; EA =EFD => AAEF= A DEF (c.c.c)

= +)AEF=DEF=AED= ,.2' Z8 05

^^ +) Tương tự AEE = C

Suyra AAEF ™ A ABC (g.g)

= 4? _“ _„ AE.AC=AE AB AB AC

c) Theo cau b) TaccO: AAEF ™ AABC AE LAP Lg ( k là tỉ số đồng dạng)

AB AC

=> AE =kc ; AF =kb

Ta có: A AEEF vuông tại A (do A ABC vuông tại A

va AAEF ™ AABC )

Trang 6

Nên diện tích A AEF là S$ = AE.AF = 2S=k’be (19)

Mặt khác S = „ AM.EE œ 28 =AM EF © 482 = AM? EF”

9? = (Fy (kb? +k2c? ) (20) AD’ b* +c? bˆ+c? Tu (19) va (20) => 28 = — Ñ= be Sbc Do đó : S nhỏ nhất <— AD nhỏ nhất Mà AD > AH (AH-L BC ,HeBC) Lạicó AH= 4#4C_ be _ np._ Ủ 5C 4b? +cˆ Be +? 2 2 2 Ti (21); (22) > S> 2te OO _ Fe bc AD? (2U (22) She Bb? +ce2 8

Vay Min S=— (KhiD =H)

a) Phân thuận

Giả sử D là điểm đối xứng với P qua QR ta có :

*QP=QB= Te => P,B, D thuộc đường tròn (Q) “ = BDP = ; 8 ap= BRC (23) = a oa *Tuongty: CDP=~ BAC (24) D —~ O—™ Từ (23) (24) > BDC = BAC “ À

= điểm D thuộc cung BAC B Pp C

(Của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )

b) Phân đảo

Lẫy điểm D' thuộc cung BÁC ( D #B, C), Goi Q la giao điềm của AB với đường trung trực của DB; ; qua Q kẻ QP // AC quaP kéPR // AB ta co QR là đường trung trực của D P

Vay qũy tích các điểm D là cung BAC của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC (trừ 2 điểm B,C)

1,0

Trang 7

PHONG GIAO DUC VA DAO TAO THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS HUYỆN DIỄN KHÁNH NĂM HỌC 2011-2012

MÔN : TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phú! (không kế thời gian giao dé) ĐÈ CHÍNH THỨ: Bài 14.0 điểm) 12Vx -13 2x +2) , vx +1 x-vx-12 Vx+30 4-Vx_ a) Tìm các giá trị của x để M >2 Cho biểu thức M =

b) Tìm giá trị nguyên của x dé M có giá trị nguyên

Bài 2(3.0 điểm)

Với n là số nguyên dương Chứng mình rang

1 + 1 + 1 +,.+-——— <1 1 Vn?4+1 xvn?+2 Vn243 n +n Bai 3(4.0 diém) 2

Giai phuong trinh (x+1).,] , -2.JŠ X1 x +1 x+] 1 =0,

Bài 4(3.0 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình (x? + 1)(x? + y’) =4x’y,

Bài 5(3.0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi M là điểm thuộc miễn trong tam giác Hãy xác định vị trí của điểm M để MA.BC+ MB.CA +MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất,

Bai 6(3.0 điểm)

Cho tứ giác lồi ABCD có độ dài các đường chéo là AC=8, BD =6 Chimg minh rằng

tồn tại một cạnh của tứ giác có độ dài không nhỏ hơn 5

Đề thi này có 01 trang;

Giám thị khơng giải thích gì thêm

Trang 8

HUONG DAN CHAM THI CHON HOC SINH GIOLTOAN - NAM HOC 2011-2012

Á Hướng dẫn chung

1 Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang:

2 Mọi cách giải đúng đều cho điểm tôi đa phần tương ứng:

3 Hình vẽ các bài 5, 6 không chấm điểm

B, Đáp án và thang điểm

Bài || - Dap an Diém

Tim cdc gid tr của x đề M > 2 2,5diém

Điều kiện x >0, x # l6 0.5 pple an +3) 1a x-12 ee _ x+4vx -32 ae 4)(Vx +8) _ vx+§ bai _(dWx+3(Jx-4) (x+3x-4) vx+3 | Do Jx+3>0 nênM>2 o> vJx+Đ>2x +6 â Vx<2@s x<4 0.5

Kết hợp điêu kiện ta được 0< x < 4 0.5

Tìm niá trị nguyên của x dé M có giá trị nguyên, \ 1,ãđiểm

; |

M=l+ 0.5

1b Vx +3

M las6 nguyén <> yx +3 1a ude sé duong ctia 5 (Vx +3 > 0) „ ©xx+3=l;5 =x=4 (thỏa mãn điều kiện) aq

I I |

Chimg minh wha ap <1 VneZ’ ng

vn +1 vn? 42 vn?43 ibe ns

Với n nguyên đương, ta có Ei

et Ee Sy reas ss Se ee 19

2 vnt+1 vot N Xn+?2 Vo? BH Xn+n vnỉ ñ Cộng về thco ` ta được

: —— TT a VneZ 2.0

vn” ao +2 TT +3 Fen: A Da

Giai phuong trinh aos » i H LẦU 4diÊm

x+l

3 |Dox' -xeIz[s~2] aaa x+l>0€x>-l 0,5

————

‹ | Viết lại phương trình ụ TA ae 0.5

Trang 9

HƯỚNG DẪN CHÁM THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN - NAM HOC 2011-2012 | x+1 2 “xl 05 X mm Đặt t=,l— >0, _ 0 0.5 X Tan t © 1? +t-2=0 (t-I\t+2) =0 0.5 Vi t>0 nén ta duoc t=1 hay Ai =I 0.5 x’ -x4+1 =0

©x”-x+l=x+l©x(x-2)=0 |" 2 (thoả mãn điều kiện) X= 1.0

ke a 2 we OK ^ , 3 x 2 2 2 a 2

Tìm tât cả các cặp sô nguyên (x; y) thỏa mãn (x +1)(x +y )= 4xy 3điểm Ta có (x? +1)(x? +?) =4x'y ©x!+x'y°+x” ty’ —4x’y =0 0.5

9 (x!-2x’y+y"}4(x°y’ -2x’y+x")=0 0.5 ©(x'-y} +x'(y- =0 0.5 x'~y=0 x=0 x’ =0 y=0 © © L.0 xỉ -y= 0 Ũ or) y -1=0 y=l

Vậy các cặp số nguyên nghiệm đúng phương trình là (0;0), (1;1), (—1;1) 0.5

Định vị trí của điểm M để MA.BC+ MBCA +MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất

A

3diém

D

B/ | C

x

Gọi I là giao đêm của AM và BC; D, E lần lượt là hình chiêu vng góc của B, C

trên AM, Ta có BD < BI, CE <IC um

Do dé BD+CE< BI+IC = BC 0.5

Ta có MA.BC > MA(BD +CE) = MABD+MACE = 2(Syaz +Sxac) 0.5

Tương tự ta có MB.CA >2(S„e + +8u„;} và MC.AB> 2(Srsc + Sane ) 0.5)

Suy ra MA.BC+MB.CA +MC.ÁB > Á(Suag +Š„c +Šac)= 4S,„c (không đổi) | 05 Ding thức xảy ra œ MA L BC, MB.L AC,MC L AB © M là trực tâm AABC nã

Vậy khi M là trực tâm AABC thì MA.BC+ MB.CA +MC.AB nhỏ nhất

Trang 10

HƯỚNG DẪN CHÁM THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN - NĂM HỌC 2011-2012

Tứ giác lỗi ABCD có AC =8, BD = 6 Chứng minh tôn tại một cạnh của tứ giác có

3điê

độ dài không nhỏ hơn 5 “m

c B 1.0 A D dnp ie “kt ; Z £ ken ani 2

Gọi M là trung điểm của BD Ta có MA +MC < AC =8, do đó tơn tại một trong

hai đoạn MA hoặc MC không nhỏ hơn 4 Chẳng hạn MC > 4

Mặt khác, CMB+CMD =180° nên tổn tại một trong hai góc có số đo khơng nhỏ L0

hon 90° Chang han CMD >90° |

Trang 11

PHONG GD-DT CAM LO

Ki THI HOC SINH GIOI VAN HOA NAM HOC 2008-2009

UO CHUNH

a Thoi gian lam bai: 120 phut DE THI MON: TOAN

Câu 1:(1 điển)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x“+2009x? +2008x+2009

Câu 2:(1 điển)

Giải phương trình sau:

x+2,2x+45_ 3x+8., 4x+69 + = +

„ 13 15 37 9

Câu 3: (2 điểm)

› ø +?

a/ Chứng minh răng >ab`+a`b— da b” b/ Cho hai số dương a,b và a=5-b

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P=} +

Câu 4:(2 điển)

a/ Cho a và b là hai sô thực dương thõa mãn điêu kiện :

2006 +”6 — a”ụ +b?9 — am + 07003

a

Hay tinh tong: SH 7200 4 2009

23+ 5—y13+V48

J6+V/2

Câu 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau:

xy-2x-3y+I=0

b/ Chứng minh rằng :A= là số nguyên

Câu 6: (3điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại À có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC) Trên tia HC lay diém D sao cho HD=HA.Duong vng góc với với BC tại D cắt AC tại E

a)Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng

b)Chứng minh tam giác ABE cân

c)Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G Chứng minh rằng: GB HD

BC AH+HC

PHONG GD-DT CAM LO

KI THI HOC SINH GIOI VAN HOA NAM HOC 2008-2009

0 CHONH

ww —

HƯỚNG DẪN CHAM MON: TOAN

Câu 1: (1 điểm)

x'+2009x? +2008 x +2009

Trang 12

= (x? tx41)( x°-xt1)+ 2008(x?+x4+1) 0.5d = (x?+x41)( x*-x+2009) 0,25 đ Cau 2: (1 diém) x†+2,2x†+43_3x+ö_ 4x+62 13 15 37 9 co (TE +1)+ (FE -1) CC HH” -1) 0,254 ô *tlĐ, 2x+l9 _3( +15) , 4415) 025đ 13 15 37 9 ,2_3 4 15)(— + — -—-— 0,25 d œ GF IG 15°37 9) = x=-15 025đ Câu 3: (2 điểm) a/ (1 điểm) 4 4 a+b >ab+ab—-a’b’

<> a’ +b* > 2ab’ + 2a°b—2a’b’ 0,25 d © a!+b°— 2ab°—2a`b+2a”b” > 0 0,25 d

b/ (1 diém)

pal ,iast8_> 0254 a b ab ab

4ab (a+b) 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 7 khi a= = 0,25 đ

Câu 4 (2 điểm) a/ (1 điểm)

Ta có: a”93 4+ p78 =(a”” + b””Xa+b) - ab(a”" + b°°°) 0,25 d

©(I-z)-ð)=0 0,25 đ

=>a=lb=]l

Vay S=1+1=2 0,25 d

Trang 13

AK 23+ y5- 13+ V48 V6+V2 A= 2)3+{5—Jav3 +17 0,25 d V6+V2 23+ V3 -)? 025đ 6+2 _24|2+3 _ 6 + V2) 0.25 đ 6+2 v6+42 I =l eZ 0,25 đ Câu 5 (1 điểm) xy-2x-3y+1=0 => xy-3y=2x-1 = y(x-3)=2x-1 0,25 d

Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x#3 thì

y=2+—— x-3 0,25 d

Đề y nguyên thì x-3 phải là ước của 5 0,25 đ

Suy ra: (x,y) la (4,7) ;(8§,3) 0,25 d

Câu 6 (3 diém) a) (1đ điểm)

Tam giác ADC và tam giác CD cá vì hai tam giác

CE CB

CAB dong dang)

Goc C: chung 0,75 d

Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) 0,25 đ

b)(1 điểm) Theo cau ta suy ra: ZBEC = ZADC có: ZADC = ZEDC + ZADE = 135°

Suy ra: ZBEC =135° 0,5 d

Suy ra: ZAEB = 45° 0,25 d

Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vuông có một góc bằng 45°) 0,25 d c)(1 điểm)

Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC

BEC: CDE va

Trang 14

AH HD

S5 _ “2 mà 2-22 AT pi an)=#2 0,54 HC AC

Suy ra: ——=——, mà ——=——(A4BC 1 ADEC) =

GC AC ` AC DC

GB _ HD GB HD GB HD

Do đó: “Ố - 2E ~, _, GB _ =————— 0,5đ GC HC GB+GC _ HD+HC BC AH+HC

PHONG GD&DT THANH DE THI CHON HOC SINH GIOI LOP 9 NAM HOC 2013 - 2014

OAI

Mon: Toan

OO CHUNH `» ` , A Ẩ ` a

anc Thời gian: 150 phút (không kê thời gian giao đê)

Đề thi gồm có: 01 trang Câu 1: (6 điểm) lx Vx+3 Vx4+2 vx +2 Ch = a) al Ot 1 Rut gon M

2 Tim gia tri nguyén cua x dé biéu thức M nhận giả trị là sô nguyên b) Tính giá trị của biêu thức P

P=3x°"° +5x””"' +2006 với x= mu \x2+2/3+xj18—8/2 — x3

Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình

a) (x+3@œ+4@+5)œ&+@=24

b)_ |2 X-|=2x-x-1

Câu 3: (4 điểm)

a/ Cho hai sô dương x, y thoả mãn x + y = l

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = G + 7 ( y? ra]

y x 1 1 + + x†+y yz Z+X 1 1 3 Chứng minh rằng: | + + <=,

3x+3y+2z 3x+2y+3z 2x+3y+3z 2

=6

b/ Cho x, y, z là các số đương thoả mãn

Câu 4: (5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiệp tuyên tại À của đường tròn (O; R) cắt các đường thắng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thắng AE và AE

1 Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thang OA

2 Goi a la s6 do cua goc BFE Hai duong kinh AB va CD thoa man diéu kién gi thi biểu thức P = sin” ø + cos” # Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó

, BE’ _ CE BF*> DF’

Trang 15

Câu 5: (1 điểm)

Tim neN sao cho: n*+n*+1 1a s6 chinh phuong

- Hét -

Luu y: Can b6 coi thi khơng giải thích gì thêm!

PHONG GD&DT THANH HUONG DAN CHAM THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

_ OAI — NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán Câu 1: (6 điểm) a) (4,5d) DKXD: x2>0;x#4;x49 (*)

1)Rut gon M : Voix >0;x44;x #9 (0,5d)

w(t) fest wet, vx +2 | vVx+1 ) |vx-2 vx-3 (z-2)x-3) 1 ưa _Ax+l (ýx-2)(Jx-3) — 1 x-9-(x-4)+vx+2 etl) (x -2)(Vx -3) _vx-2 Vx +1 Vay M=Š*~? (với x>0x#4x#9) (®) (2,54) Vx +1 Jx-2 vx+l-3 vVx4+1 3 3 2) M= = = _ =1- 0,75đ ) Vx +1 Vx+1 Vx+1 Vx+1 Vx+1 ( )

Biêu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi: 3:/x +1<> /x+1eU@) Ư@)e£1;+23 } Vì x>0—=vJx>0—=Ax+I>I

Nên 4x +1 {l;3 } Xảy ra các trường hợp sau: (0,5đ)

vx +1=le Vx =0<¢x=0 (TMDK (*))

.Ax+1=3<>xx=2«>x=4 (khơng TMĐK (*) loai ) (0,254)

Vay x = 0 thi M nhận giá trỊ nguyên b

Trang 16

Có 18-82 = (4-2)? =|4-V2|=4-v2 \V2 +2V3 +4-V2 = /2V3 +4 = (3 +1) =IN3+1 x= 6+ 2V2\3-V3-1-V3 =Al6+262aAl2-A3 - 3 =4|6+24|4-2A3 -x3

x=aj6+24á3-—1)? -X3 =A6+2X3—1—4'3 =A4+243 - X3 x= (13 +1)? - V3 =3 +1|—x3=+x3+1—x3 =1

Với x = l.Ta có P=3.1””° +5.17%" +2006 =34+5+4 2006 = 2014

Vay voix =1 thiP =2014

Câu 2: (4 điểm)

a ( x+3)(x+6)(x+4)(x+5) = 24

(1) @& (y+ 1)(y-1)-24=0

âđy ˆ-25=0

& (x°+9x+24)(x?+9x+14)=0

Chứng tỏ x” +9x+ 24 > 0

Vậy nghiệm của phương trình : x =-2;x =—7 b Ta có 2x-x” -1=-(x°-2x+1)=-(x-1)” <0

pt tro thanh : 2x-x? -l=x?-2x+1

oO x=1 Câu 3: (4 điểm)

a Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1

, 1 1 Tìm GTNN của biểu thức: M = G +) ớ' tớ] _ xy? +2x7y’ +1 1 1 22 l m=[#+4|(7+5)- xy +1+l+—,> 2-2 xy xy (xy? +1) xy? +1 1) = 22 = = xy + — xy xy xy Taco: x "¬-

aco: dự xy ⁄ l6xy} l6xy

* Ta co: +22, [x oxy “| 1l6y “4 2 =2.4=4 (1)

Trang 17

* fry < 272 = toy<itsatoys 1 >t rae

2 2 4 xy lóxy l6 4 l6xy m4 1 Bọ Từ () và 2) 2| 92 ý] (P”16y |“ 16y“2”4 4 : 2 0,25 1 17 289 , =lxy+—|>|—| =“— “ye » 3) độ) l6 xy = —— xy=— l

Dau “=” xay ra @ l6oxy > 4<©x= y= (Vìx,y>0) 0,25

x=y x=y

289 1

Vay min M 16 taix=y 2

0,5

, l + | + | =6 2d

Cho x, y la cac s6 duong thoa man: *TY YT2Z 24%

1 + 1 + 1 <= 3

Chứng minh rằng: 3x+3y+2z 3x+2y+3z 2x+3y+3z 2

Ă 0.5 Áp dụng BĐT 4 0 4+Ö (với ab>0) l —- <i 1 1 ath 4\a 5b Ta có: ] ] <1 ] + 1

3x+3y+2z _(2x+y+z)+ (x+2y+z) 4 2x+y+z x+2y+z

«1 1 1 etfif_t 1 1 1

=4 (x+y)+(x+z) (x+y)+(y+z) _ 4|4 x+y x+Z x+y p+Z

0,5 et 2 + 1 + 1

l6\ x+y x+zZ y+z

l l 2 l ]

sana il + +

Tương tự: 3x+2y+3z ló\x+z x+y y+z

1 VÌ 2 + 1 + 1

2x+3y+3z l6\y+z x+y x+z

cộng về theo về, fa có: 0.5

1 + 1 + l ly; 4 + 4 4

Trang 18

4/ 1 1 1 1 3 <— + + =—.6=— l6\x+y x+z y+zj 4 2 | 0,5 Caai 4: (5 diém) 0,25 x Po Q OF

BA là đường cao của tam giác BPQ suy ra H thuộc BA

Nối OE, A BEE vuông tại B; BA L EF nên AB? = AE AF 0,75

AE AB AE AB AE AB

AB AF 1,5 1,, OA AQ

2 2 0,75d

VayAAEOU AABQ(c.g.c) Suy ra 4BQO=4EO ma 4BO =P (géc c6 cdc

cạnh tương ứng vng góc) nên EO = P , mà hai góc déng vi => PH // OE 0.254 Trong A AEO có PE =PA (giả thiết); PH// OE suy ra H là trung điểm của OA

2 Ta cã:

P=sin® a+cos’ a = (sin? ar) + (co s” a)

P= (sin? a+cos’ z)| sin" a—sin’ acos’ a+cos* a| 0,75đ P= (sin? œ +cos” a) —3sin” acos’ a=1-3sin’ acos’ a

Ta ca: 0,5d

(sin’ a@+cos’ a) > 4sin’ a cos’ a 12> 4sin’ acos’ a © sin’ acos’ a< 1

0,25đ

9 2 3 1

Suy ra: P=l—3sim' øzcos xa 0,254

N

Trang 19

=l<>/gø =1 <> ø =45"

gãc nhãn) ==

COS #

Khi đó CD vng góc với AB

3 Ta có A ACB và A ADB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên 44CB = 14DB = 90° => ADBC là hình chữ nhật

Ta có: CD?= AB’ = AE AF => CD‘ = AB‘ = AB’ AF’

= (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF — AB’ = CE.DF.EF Vay CD* = CE.DF.EF

Ta co:

BE’ EA.EF_ AE - BE* AE’ CEBE - BE’ _CE

BF? FAEF AF BF’ AF? DF.BF BF’? DF

Câu 5: Gia sit n’ +n’ + 1 14 sé chinh phuong vin’ +n’ + 1> n’=(n’)’

->n“+n* +1=Ín?+KỲ =n*“+2Kn? +K? (KeN')

->nÌ”-2Kn” =K” -l1->n”(n-2k)=K-1>0

Mà K”? -I:n” — K” =1 hoặcn” <K” -1

Nếu K? =1->K=1->n?(n-2)=0->n=2

Thử lại 2“+2°+I=57 ( thỏa mãn)

KhiKz1-›K” >K/-l>nˆ->K>n

->n-2k<0 mâu thuẫn với điều kiện n{n-2K)=K?-1>0 (1d) Vậyn= 2

PHONG GD&DT ki THI HOC SINH GIOI

# Môn: TOÁN 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Thời gian: 150 phút (không kế thời gian giao đồ

DE RA

Câu 1 (2.0 điển) Cho biểu thức:

p(t Ja-1 +a Va

Ja-1 Va+1 tah

a) Rut gon P

b) Tinh giá trị của P tại a=(2+3)(V3 -1)V2-3 Câu 2 (1.5 diém).Giai phuong trinh: 4x —2Vx—1—Jx—1=1 Câu 3 (2.5 điển) Cho x, y là các số dương

a) Chứng minh: “+ >2,

Trang 20

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: = “+ ”+-„ =>

y x x 4+ y?

Câu 4 (3.0 điển) Cho điểm M năm trên nửa đường trịn tâm Ĩ đường kính 4B = 2Đ

(Ä⁄ không trùng với 4 và 8) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thắng 4B, kẻ tiếp tuyến 4x Đường thẳng B1 cất Ax tai J; tia phan gidc cha FAM cat nửa đường tròn O tai E, cắt JB tại F; đường thắng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K

a) Chứng minh 4 điểm Ƒ, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh HF L BI

c) Xác định vị trí của Ä⁄ trên nửa đường trịn Ĩ để chu vi A4A4B đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R2

Câu 5 (1.0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y biết rang:

*Ghi chú: 7í sinh không được sử dụng tài liệu

PHONG GD&DT KI THI HOC SINH GIỎI LỚP 9

Mơn: TỐN ĐÁP ÁN,

CÂU NỘI DUNG DIEM

a>0

` >0

Điều kiện 42a #1 © t

a#l

Ja #0 0.25

0.25

a| _ (Va+1) -(Va-1) +4Va(a-1) g-]

a —] "xa

— Ịa+ta(471)„ 4Ja0 4= Sa 92s

Trang 21

ng -1)=,|(2+3)(v3 ) = (2+¥3)( (4-23) 0.25 ve dodé P=4a=4J/2 0.25 Điêu kiện x>] 0.25 2 \x-2Nx- =z=1=1e@|(Nx=1-1) -Ax—1=l1 <> |Vx-1-1|—Vx-1=1 (1) 0.5 Khi /@x—-1>I1<Ằx-1>l<x>2: Ta có

()<©Vx—I—l-x—I1 =1 Phương trình vơ nghim 0.25

Khi 0<VƠx-1<100<x-1<1@1<x<2: Taco

()â()â@1-x#-1-A#-I=lâ-2/x-1=0âx=l 0.25

Vy x =] là nghiệm của phương trình đã cho 0.25

` ^ x n y

Vix>0,y>0 nên —>0 y y và —>0 x 0.25

Ap “ung bột đẳng thức œ+b>2Alab dấu "=" xảyra <>a=b 0.25

ta có “+27 >2 |”.” =2 0.25

y x yx

^ X ,Ÿ

Vậy —+ “>2 yy x 0.25

A nin 2 x _Yy 2_ 4,2 = 1

Dâu "=” xảyra <©—=~<x =y ©x=y (vìx>0,y>0) 0.25

y x

pat a= 4” tacd Maat tary 4H 0.25

y x a 4 4 a ` x y ,~ 3đ 3 Vi a=—+—22 nên —>—; 0.25 y x 4 2 1 la 1 l Ta có “+—>2,|“.—=2.—=1 4 a 4a 2 0.25 Do do 1 0.25 a 4 4 a 2 2 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bing > khi và chỉ khi x= y 0.25

Trang 22

A O B

Ta có M, E năm trên nửa đường trịn đường kính AB nên

a | FMK =90° va FEK =90° 0.5

Vay 4 diém F, E, K, Mcung nam trén duong tron duong kinh FK 0.25

Ta có AHJAK cân tại 4 nên 4H = 4K (1) 0.25 Ẩ là trực tâm của A4#ð nên ta có #K L 4 suy raFK /AH (2) 0.25

b | Do đó FAH =4FK ma FAH = F4K (g0 cho nên AFK = FAK 0.25

Suy ra AK = KF, két hop voi (1) ta được 4H = KF (3) 0.25

Từ (2) và (3) ta có AKFA 1a hình bình hành nên HF’ // AK Mà

AK LIB suyta HF LIB 0.25

Chu vi cla AAMB = C4, = MA+ MB + AB 16n nhat khi chỉ khi

MA + MB lớn nhất (vì AB khơng đổi) 0.25

Ap dung bat dang thirc (a+b) < 2(a’ +? ) dẫu "=" xảy ra

©>a=ư, ta có (MA + MB)” <2(MA? + MB?) =2 AB? 0.25

MA = MB hay Xí năm chính giữa cung 4Ö 0.25

Vay khi Mnam chính giữa cung 4ð thì C, „„ đạt giá trị lớn nhất Khi đó

Cu = MA+ MB + AB = ABV2 + AB =(1+V2)4B =2R(1+V2) | 923 Đặt 4=(2* +1)(2' +2)(2' +3)(2” +4), ta có 2*.4 là tích của 5 số

tự nhiên liên tiếp nên 2” 4 chia hết cho 5 Nhưng 2" không chia hết 025

cho 5, do đó A chia hết cho 5

Nếu y>1, ta có (2*+1)(2'+2)(2'+3)(2'+4)—5” chia hết cho 5

mà 11879 không chia hết cho 5 nên y >1 không thỏa mãn, suy ra

5 y=0 0.25 Khi đó, ta có (2 +1)(2* + 2)(2” + 3)(2 + 4) ~ 5” =11879 c© (2 +1)(2 +2)(2 +3) 2" +4)—1=11879 ©(2'+1)(2 +2)(2?+3)(2+4)=11880 0.25 <> (2% +1)(2* +2)(2* +3)(27 +4) =9.10.11.12 <> x =3

Vay x=3;y=0 1a hai giá trị cần tìm 0.25

Dé 1

1 (naib _ Vx +x

Bai 1: 3diém): Cho A= 4-Vx- Te +x

Xx

Trang 23

„+

200 *x+.ly+2007 =^/2007

Bài 3 : (3điểm): Giải phương trình: 4/2x—3+^j5—2x =3x? —12x+14

Bai 4: (3diém): Cho x>0,y>0 và x+y=4 Ne 2007 + jy =^J2007

2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = [+42] 3+3] +1994,5,

Bài 5: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BM vng góc với AC, gọi N là trung điểm của AM, P là trung điểm của CD Chứng minh: NP=90°

Bài 6: (3 điểm) Cho A48C ( AB = AC) Đường cao AH, kẻ HE vng góc với AC, gọi

O là trung điểm của EH Chứng minh: AO L BE

Bài7:(3điểm) Cho A4øC Có AB=c, AC =b, BC=a Chimg minh rang: Sin - Sin 5, Sin c < 1

2 2 2 8

3k oo a ok 2 2 2k 2 2 a 2 RR ORK Hét nfo 2 2 2 oo oR i oi oi 2 2 ok 2 2 2 ook ok ok oe 2k ok

PGD KRONG PAC ĐÁP AN DE THI HSG CAP HUYEN — NAM HOC 2007 — 2008

TRUONG THCS EA YONG Mơn : Tốn- Lớp 9

Thời gian làm bài : 150 phut

Trang 24

Bai 2: vx +2007 +4/y = 2007 Vx +/y +2007 = 2007 ĐK: x>0;y>0 0.5 điểm => Vx+2007 +J/y > 2007 0.5 diém Vx +./2007+ y = V2007 0.5 diém

Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất Ù _ 0.5

diém

Bai 3: J2x-3+J5-2x =3x"-12x+14

DK: s<x<Š 0.5 điểm

Áp dụng Bunnhiacopski

VT: 1V2x-3+1A'5—2x< Va? +1)(2x-3+5-2x)=2_ (1) 0.5 điểm

VP: 3xˆ-12x+14=3(x-2Ở+2>2 Vx (2) 0.5

điểm

—> Phương trình: /2x-3+^/5—2x =3x?—12x+14 có nghiệm <> Dấu “=” xảy ở (1) và (2) đông thời xảy ra

ye = /5—2x

c© Ox=

x-2=0 2 1.5 diém

Bai 4: va,b eR" thi a? +B? > (a+) dấu “=”«>a=b

tits 4 pfu xayra << a=b 0.5 diém

a b atb

“x2 hn2] em ress] =|x+—| †| y†+—| +1994,5>—| x+y+—+— | +1994,5

x y 2 x y 1 4 \ if 4y ninh +1894,5 =2 4+2] +1994,5 2 x+y 2 4 = 2007 1.0 điêm NA: xty=4 -Ä

=> A >2007 Do đó MinA = 2007 =| <©=x=y=2 0.5 điêm

x=y

Bài 5:

C Gọi I là trung điểm của BM

B NI cắt BC tại E

I + Ta có NI là đường trung bình của ABMA

(P = NI// AB va NI= ~ AB

N ` ,

A D 0.5 diém

AB | BC>NI 1 BCtaiE 0.5

Trang 25

— [1a truc tam cla ABCN => CI BN (1) 0.5 diém Ta co: IN =LAB

ma AB=CD = IN=CP => CINM là hình bình hành >CI// NP (2) 1

CP =—CD 2

0.5 diém

taney UCP 0.5 diém

AB // CP

_ Tir(1) va (2) > NP 1 BN taiN > BNP =90° 0.5 diém

Bai 6

KéBD 1 AC => €BpD=HAC (cung phy voi €)

= ABDC Y? AEFAH (gg) > BE _ DP AH EH 0.5

diém

ABDC cé BH=HC ( AdBC can taiA) t= DE=EC= me 0.5

diém

HE / BD (cùng L AC)

A _ 8C _ CD _ 2CE _ CE 05 điểm

AH EH 2HO HO

ACBE va AHAO c6 BCE =4HO ( ADBC Y? AEAH ) BC _CE

D AH HO

E => ACBE Y) AHAO (c.g.c)

=> €BE=HAO © 0.5 diém

B 0 c Goi K la giao diém cua AH va BE

H Ta có: EBE+K, = 90°

=> H4o+k, =90° (Vi K, =K,,EBE = HAO) 0.5 diém

=> AO 1 BE 0.5

Kẻ phân giác AD của 84C kẻ BE L AD; CF L AD

ABED vuông tại E => BE < BD ACED vuông tại F > CF < CD

Trang 26

> BE+CF < BD+CD=a 0.5 diém

AABE (#= 1v) = BE = AB SinA¡ =c sinS 0.5 điểm AACF (#= 1V) = CF = AC SinA¿ =b sin 0.5 diém

=> BE+CF=(b+c)sin4 <assin4 < 4% 2 2 b+c 0.5

điểm

b>0; c>0 ap dung bat dang thire Cési: b +c >2Vbe = a < a => Sin=— < A a

b+e 2 be 2° 2Vbe

0.5 diém

Tương tự ta cũng có: Sin? < —— ; Sin — ° <

2 2Jac’ 2 xo

B C b JmA 2

=> Sint, Sin— — < — 0.5 điêm

2 2 Xi aac 2Vab 8

2fe fe fe fe fe fe fe fe fe fe fe 2fe aft ft ft 2s fe fe fe afc okt afc afc oft fe fe fe fe afc afc afc oft oft okt okt ok

PHONG GD-ĐT NGHĨA HANH DE THI HQC SINH GIOI LOP 9

CAP HUYEN

TRUONG THCS HANH MINH Mén: Todn — Nam hoc: 2013- 2014

; Thời gian: 150 phút (không kế giao đề)

ĐẺ:

Bài 1: (6,0 điểm)

a) Với n là sô nguyên dương Hãy tìm ƯCLN(21n+4, 14n+3)

b) Cho a, b, c là các sô nguyên sao cho 2a + b; 2b + c; 2c + a là các số chính phương, biết rằng trong ba số chính phương nói trên có một số chia hết cho 3

Chứng minh rằng: (a - b)(b - e)(c - a) chia hết cho 27

c) Tim nghiệm nguyên của phương trình: x” + yˆ = xy + x +y

; 2

a)Tính giá trị của biểu thức P=, |+20z "- 8

2014 2014 b) Giải phương trình: /x—7 +49—-x =x”—-16x+66 Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x >0, y >0 và x + y < 1 Chứng minh bất đẳng thức + —>4 x°+xy y`+xy

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4= = =— VỚI x>l

Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a Gọi M là một điểm nằm ở miém trong của tam giác MI MP, MO theo thứ tự là khoảng cách từ M đến các cạnh BC, AB, AC Gọi O là trung điểm của cạnh BC Các điểm D và E thứ tự chuyển động trên các cạnh

AB va AC sao cho BOE =60°

a) Chứng minh MI + MP + MQ không đổi

Trang 27

c) Xác định vị trí của các điểm D va E dé dién tich tam gidc DOE đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhât đó theo a

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết rang AB = CH

5-1

Ching minh rang: cosB = =

NAUP AUN NEA THI HOIC SINH GIOUI CAAP HUYEN

Bài | Câu Đáp án Diem

Bai 1: | a) Dat d = UCLN(21n+4 , 14n+3), voine N’) Taco:

(6,0d) | (2,0d) | (21n+4)+dva(14n+3)4+d 0,5đ => 2(21n+ 4) +d va 3(14n+3)+d 0,5đ — [3(14n +3) -2(21n+4)]+ d 0,5đ — (42n +9 -42n-9)+d—=1+d—d=I 0,5d b) Vì 2a +b; 2b + c; 2c + a là các số chính phương nên ta có thể | 0,5 (2,0d) | đặt

2at+b =m’: 2b +c=n: 2c+a=Pp” với m,n,p là các số tự nhiên

Vì trong các số mĩ n’; p có một số chia hết cho 3 nên khơng

mất tính tổng qt có thê giả sử m” chia hết cho 3 (1) Ta lại có m” + n + p =3a+ 3b +3c chia hết cho 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra nˆ +pˆ chia hết cho 3 Dễ thấy n và p đều chia hết cho 3

Do đó 2a + b; 2b + c; 2c + a đều chia hết cho 3 Từ đó suy ra a, b, c đều chia hết cho 3

Vậy (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27

Trang 28

c) x+y =xytxty(x-y) t+(x-1)/+(y- 1) =2 0,54

(2,0d) | Vix,ye Znén: y x+y|0]0 |0 |0 |1 I1 |1 |1 |-1 |-I |-1 |-1 ||0,25đ x⁄1I |1|-1 |1 |-I1 0 |1 |-L|0 |0 |1 |-1 || 925d y1 |1|I |-1 ]-1 |1 -l |0 |0 |L |-1L|0 Jo || 925d xy B e| fels| fa S || 024 ) 3S en Ww | | 0,25d 0,254 q 0đ) 3 P= l+a’+ a +2 — (a+1)’ a+l a ? a =,{(a+1) -2a+| ——] +—— 0,254 at+l a+] 2 ' (a+) -20@+y 42) +—— 0,254

a+l1 \a+tl a+]

a ? a

_ (a+1)- ¬ „., 0,254

atl at]

Bai 2: na =(a+1)———+—— =a+l a a

(3,0d) (a+1) 4+1 atl ` Vậy P =2014 0,25đ b) Điêu kiện 7<x<9 0,5đ (2.0d) | x”- 16x +66 =(x-8)”+2>2 (1) 0,5đ 1./x—7 tla8=xy< TC), TC =2 (2) 0,5đ (1) và (2)—> Vx-—7+A9—x =x” -16x+66= 2 x-8=0

Khi 41=x-7 ox=8 (thod man diéu kién)

1=9-x

vay x = 8 là nghiệm của phương trình 0.54

a) (24) | Áp dụng bất đẳng thức a 472 , với mọi a >0; b >0 a at

Taco:

1 1 4

+ =

x +xy ytxy xÌtxy+y +xy 1,04

Trang 29

b) (2đ) ÍT cá „_21,xt3_2x-2+2 x-lt4 2(x-l) 4 5 0,5đ , „ 3 „ x-1 3 x-] 3 x-1 3

Ap dụng bât đăng thức Cô-si cho 2 sô dương ta được:

2(x-1) 3 xl 4 >2 2(x-1) 4 3 x-l 3 ——= 4/6 0,5d

2 , » 2(x-1) 4 , - `

Đăng thức xảy ra khi Ta =>x=1+V6 (thoa man diéu 0,54 x-

kiện x >1)

Vậy min 4=26+3 khi x=1+-/6 0,5đ

a) Tính được SABC — SMBC + SMAC + SMAB A 0,5đ

(1,03) => 1aMI + 1 aMP +i a.MQ = 1 ah

2 2 2 2 p

—= MI + MP + MQ =h (không đổi) Q 0,5đ

B I Cc

b) Vi BOE =60° nén BOD+ EOE =120° (1) (2,0d) | Tam giác BOD có B= 60°

nên BOD+ BDO =120° (2)

Tu (1) va (2) suy ra BDO = EOE 0.54

Do d6 ABOD w ACEO (g-g) ,

Suy ra 22 - OP _, BP _ OP (vi OB = OC) OC EO OB EO A

Do đó ADBO 0 ADOE (c-g-c)

= BDO = QDE 0,5đ

Bài 4 VẽOH L AB;OK 1 DE

(5,0đ) —= AOHD = AOKD (ch-gn)

= OH=OK , B C 0,5đ

Mà OH không đôi nên DE luôn tiệp xúc với đưẻ

(O;OH)

cô định 0,5đ

c) c) Vé OI 1 AC, dé thây DH =DK =x; EK =EI=y(T/chai |0,5đ

(2,0d) | tiép tuyén cat nhau)

Trang 30

Bài 5: | (2,0đ)

(2,0đ)

Vì tam giác ABC vng tại A có đường cao AH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB” = BH.BC =(BC- CH) BC = (BC - AB) BC = BC” - AB.BC (vì AB = CH)

Chia hai vé cho BC’ ta được:

AB? 7 =1-—- AB _ AB’ AB Sat =!

BC BO BC BC 2 (4 ) =3 AB 1_ V5 ——†— —>—_—+— BC 2 4 BC 2 2 eo AB _N5=1 BC 2

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có cos# = AB 5

C (đpcm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

PHÒNG GD&ĐÐT THANH OAI ĐÈ THỊ HỌC SINH GIỎi TOÁN 9

Năm học 2013-2014

Thời gian: 150 phút

ha se (g1 Ea ed

Cho biểu thức: P = x _x x+lx Jx-1 Jx+1 với X>0;x #l

1 Tìm điêu kiện xắc định và rút gon P

2 Tinh P khi x = 49+4X5 —49— 45

3 Tim x dé P < s Bài 2 (4 điểm)

1 Cho x, y là 2 số thực dương thoả mãn:

(x+yŸ + 7œ + y) + y” + 10 =0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1

2 Giải phương trình: 2+^Ax 2- a _ J V2 + 24+ vx "W-v — Bài 3 (4 điểm) Bài 1 (5 điểm) b

1 Cho Tra +——+——=! Tính giá trị biểu thức cta atb

2 2 2

Q = a b + C b+c c+a at+b

Trang 31

2 Tim nghiém nguyén cua phuong trinh:

2x”+yˆ +3xy + 3x +2y +2=0 Bài 4 (6 điềm)

Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O, R) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường trịn đó (B,C là 2 tiếp điểm, D nằm giữa A và E) Gọi H là giao

điểm của AO và BC

1 Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn 2 Chứng minh AH.AO = AD.AE

3, Tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB, AC lần lượt tại M vàN Biết OA = 6cm; R = 3,6cm Tinh chu vi AAMN

4 Qua O kẻ đường thắng vng góc với OA cắt AB,AC lần luot tai I va K

Chimg minh MI + NK > IK

Bai 5 (1 diém)

Cho x, y e R, x0, y#0 Chung minh:

2 2

TT + +4>3 x2] 2

yo * y x

PHONG GD&DT THANH OAI HUONG DAN CHAM THI HOC SINH GIOI LOP 9

Nam hoc 2013-2014 Mơn thi: Tốn

Bài Nội dung Diem

Bai 1 L (5 điểm) |P= (Vx - Dix tvx +1) _(x+D(Œœ- vx+)) | x— 1 (Vx +1) +(vx- iy Vx(Vx -1) VeWx+) vx AÑx+jJWšx-l 2ä _ _ 2(x+xx+]) TC x 0,5d 2 Tinh x = = Thay x = 4 tinh P =7 ld 2@tvx +) 21 3 P<?l@ 2 — vax>0,x #1 ld — —l)< c© - (vx ve) 0 0,54

Lập bảng xét dâu Kêt luận 4% <4vax el

Bài2 |1 (ty) +7œx+y)+y +10=0

=> A +5A+4=-y 0,5đ

A+1<0 4< 4<-1

A+4>20 7 4 0,5đ—

0,5đ

Trang 32

Vay maxA = -1, minA= -4

2.DK0<x <4

Dat (2+ Vx =a, \2-vx =b = a’ +b’ =4 (a> 0, b> 0) 0,54 0,5đ a b? 5 + =2 ~ 42+a 2-6 = V2(2+ab)=(a—b)(2+ab) Vìia>0,b>0=2+ab>0 0,5đ

=a-b= 42 = aˆ-2ab -b =2 = 2ab =2 = ab = Ï

Jb+vxlb-xx}=1 0,5đ

=> V4-x=1>4-x=1>x=3 (TM)

Bai 3 2 1.Tacdat+bt+c #0 vì nêu a + b + c=0 thê vào gia thiệt ta có , ok _ Loy ay ek ,

(4 điêm) a b e ^ 17 0,5đ ——+——+—-—=l€©-3=l (vơ lì) =4 -b -c¢ Khia+b+c z0 ta có | TC + b +—< Jarora=arbee 0,5đ ; b+c c+a at+b ;

a „a(b+c) b(c+a) - b , cla+d) `“

b+c b+c c+a cta a+b a+b

2 2 2

=> a b C +a+b+c=a+b+

bic cta a+b atb+rc=adtbie 0,5đ

2 2 2

> a b Cc _ > _

b+c c+a da+b 0 Q=0

2 Giải phương trình nghiệm nguyên 0,5d

2x+y +] vàx +y +] là các ước của -l

Trang 33

1 Chứng minh OB L AB, OC L AC (theo tính chất tiếp tuyến) => ⁄OBA = ZOCA = 90°

=> B và C cùng thuộc đường trịn đường kính OA

=4 điểm A, B,O, C cùng thuộc một đường tròn 2 Chứng minh OB.L AB

Ching minh OA | BC tai H

= AB? = AH.AO (1)

Chứng minh A4BD đồng dạng với A4EB

4B _ 4P _ AB? = AE.AD @) AE AB

Tu (1) va (2) > AH.AO = AE.AD 3 Tinh AB = 4,8cm

Ap dung tinh chat hai tiép tuyén cat nhau suy ra

AB = AC, MD = MB, ND =NC => Chu vi AAMN la:

AM + AN + MN = AM+AN +MD +DN

= AM +AN +MB+NC

= AB + AC = 2AB = 9,6cm 4 Chứng minh IK//BC

Và AB= AC = AI= AK

=> AAIK can tai A => ⁄⁄4/K = ⁄4K7 và OI[=OK =

Theo t/c hai tiép tuyén cat nhau suy ra:

ZNMO = ZOMI = 2NMI

ZMNO = ZONK = 2MNK Tứ giác MNKI có

ZIMN + ZMNK + ZNKO + ZKIM = 360° => 2⁄IMO+2⁄ONK +2NKO =360° — ZIMO + ZONK + ZNKO =180°

Đông thời ANOK có: ZNOK + ZONK + ZNKO =180°

—> ZIMO = ZNOK

= AMIO dong dang voi AOKN

Trang 34

MI _ OI IK’

> OK NK = —— = MI.NK =OI.OK = 4

( MI + NK IK? IK

Ap dung BDT Cosi: —, 2 MI.NK = ae

xta—*, x yl |x|,|y a>2

Data=—+-> a =|— + =||+\4)22 >

y x y xi |y| |x <-2

x? y

= 8a =- +12

yp x

BDT (2) tro thanh a*- 3a+2>0 <>(a - 2)(a + 1) > 0

Lập bảng xét dâu suy ra: —1 << a< 2

a2 ` VÀ “A » 4k ` x7

u q 55 — <7 4 năm trong miên nghiệm của bât phương trình đã xét

Vậy a thoả mãn a”- 3a+2>0

= (1) dung

xe y? x y

Va ay — + yx +423 —+- (2 x

Lưu ý: HS làm cách khác đúng cho điểm tối đa

Chưng minh hình phải có lập luận, căn cứ chặt chẽ mới cho

điểm toi da 0,5đ

0,5đ

PHONG GD & DT CAM THUY

VONG II

OU CHONH NAM HOC: 2011 - 2012

THUC Môn thi: TOAN 9

Thoi gian: 150 phut (Khong ké thoi gian giao dé)

Câu 1 Cho biểu thức: P=

DE THI HOC SINH GIOI CAP HUYỆN

x 2 x+2 x- X X+2NX (x=Ù(@+2Ax) a Rút gọn P b Tính P khi x=3+242

c Tim gia trị nguyên của x đê P nhận giá tr nguyên Câu 2 Giải phương trình:

Trang 35

b x?—2x—-xAx-2N\jx+4=0

Cau 3

a Tìm các số nguyên x;y thoa man: y? +2xy-3x-2=0

3

b Cho x>1; y>0, chứng minh: —1¥ 1 ,|x 1|, 1 3 a3-2x,* —

(x—1) y y x-l y

2012 „2002

c Tìm sơ tự nhiên ø đê: 4=” +1 là sô nguyên tô

Cau 4

Cho hình vuéng ABCD, cé d6 dai canh bang a E 1a mot diém di chuyén trén CD

( E khác C, D) Đường thắng AE cắt đường thắng BC tại F, đường thắng vuông góc với

AE tại A cắt đường thắng CD tại K

a Chứng minh: J, khong déi

AE’ 2 AF

b Ching minh: cos¥KE = sin EKF.cos BFK +sin EFK.cos EKF

c Lay diém M là trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC băng tổng khoảng cách từ N đến DC va AD

Cầu 5

Cho ABCD là hình bình hành Đường thẳng d đi qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I, K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thắng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI+ DK có giá trị lớn nhất

Hết./

PHÒNG GD & DT CAM THUY HD CHAM DE THI HOC SINH GIOI CAP HUYỆN V2 NĂM HỌC: 2011 - 2012 Môn thi:

TOÁN 9

Thời gian: 150 phút( không kể thời

gian giao đề)

Ca Ý Nội dung cần đạt Diem

Trang 36

0.5 x=3+24/2 © Vx = 24+2V2 +1 =\(V2 +1? = V2 +1 0.2 5 _(x+U_ 42+1+1 _4212_1„ J2 _@x-D A2+I-l V2 0.2 5 DK: x>0;x #1: 0.2 pa Wx+) _ Vx - 142 44 2 > rare yo Vx-1 vx-1 0.2

Học sinh lập luận dé tìm ra x=4hoặc x=9

5 0.2 5

DK: 4<x<6: 0.2

2 2 A 6699 A 5

VT =x° -10x+27=(x—-5)' +222, dau “=” xay ra ox=5

V6-x wx-4

0.2 5

ĐK: x>0 Nhận thây: x =0 không phải là nghiệm của phương trình, chia ca t3

hai vé cho x ta có: 2 4 4 07 x? —2x—xVx -2Vx+4=06 x-2-Ax—-=+—=0©(x+—)-(x+ 5 XxX Xx i tÐ~?=0 v 2 4 4 ` , Đặt Jx+-==/>0©?=x+4+—€©x+—=/—4, thay vào ta có: Vx x x t=3 © (PA) -1- 20a 1-6-0469 0-362) = 04 | 2

Đối chiếu ĐK của t

sister 2.=3e-A rt2=0e 0 5=2/0ýy =D=0e| Š Vx x

y +2xy-3x-2=0S x +2xy ty =x +3x42 0 (x+y) =(x4+)(x+2) (*) 2.0

Trang 37

VT cua (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 sô nguyên lién tiép

¬ ky l= =-l =1

nên phải co 1 sé bang 0.69) ° =|! ử 0.5

x+2=0 x=-2>y=2 Vậy có 2 cặp số nguyên (x;y)= (—1;I)hoặc (z;y) =(2;2)

(x-]) y y

Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương:

t 414123 1.1 oe — 2-2 (1) (x -1) (x—]) (x-ly x-1 3 3 3 0.7 (=) #141233 (=) l1 © (=) >4*“=)_2 ( 5 y y y Đó -r+1+I>34|—-.1.1 ots3-2 (3) y y yy Tu (1); (2); (3): 3 ] + x71 ps3 6, 3@-) 3 (x-ly Ly J y ` x-l yy 3 œ1 (=) v1 3-6x26, 3x2 3-2x,x (x—]) y y x-1 y x-l y

Xét n=0 thì A = 1 không phải nguyên tô; ø =1 thì A = 3 nguyên tô 0.2

Xétn>l1: A=n”“-nˆ+n““-n+n+n+1 5

= n2((n?)” — 1) + n(n?) — 1) + (x2 + + 1)

Ma (n°)°” — 1) chia hết cho nỶ -1, suy ra (n)'”” — L) chia hết cho n” +n + I

Tuong tu: (n°)°°’ — 1 chia hét cho n° +n+1 0.5

Vay A chia hét cho n?+n+1>1 nénA la hop số Số tự nhiên an tim n = 1

Trang 38

Hoc sinh c/m: AABF = AADK (g.c.g) suy ra AF = AK 0.5 Trong tam giác vng: KAE có AD là đường cao nên: 0,5

1 1 1 1 1 1 1 ^ Re

a ae? ap) a ae ap? “DONS OV) 3

Hồ cím S„ = > KEEP, sin 4EK = > KEEF cos KE 0,2 |9 5 Mat khac: S, = 2 EH.KF = 2 PH(KH +HF) Suy Ta:

KE EF

<> cos 4KE = SH AM + fH HE = sin EFK cosHKF + sin EKF cosEFK

EF EK KE EF 0,5

Giả sử đã dựng được diém N thoa man NP + NQ = MN

Lay N’ déi xtmg N; M’ déi xtmg M qua AD suy ra tam giác NN°M cân tại N = MN’ la phan gidc cua Dum’ = Cach dung diém N:

- Dung M’ đối xứng M qua AD 02

- Dựng phân giắc IMM’ cit DM” tai N’ 5

- Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD 0.2

Chú ý: Học sinh có thể khơng trình bày phân tích ính bày được cách ° ›

dựng vẫn cho điểm tối đa 5

0.2 5

1 Gọi O giao điêm 2 đường chéo hình bình hành, kẻ OP vng góc d tại P 0.2 | 0

HS lập luận được BH + CI + DK = 40P 3

0.2 Mà OP <AO nên BH + CI+ DK < 4AO Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO 5

Dat dugc khi P = A hay d vuông góc AC

0.2 5

Trang 39

SO GIAO DUC VADAOTAO DE THICHON HOC SINH GIOI LOP 9 THCS NAM HỌC 2011-2012

THAI BINH

Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm)

_ Cho tam giác vng có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi

băng hai lân sô đo diện tích Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó Câu 2 (3,0 điểm)

Cho biểu thức:

p= 1-x+(1-x)vi-x +Jl-x-(1-x)VI-x với xe|-LI| Tính giá trị của biêu thức P với x=

2012 Câu 3 (3,0 diém)

Tìm các số thực x, y thỏa mãn:

(x + 1) y +16x’ +./x’ -2x-y° +9 =8x’y + 8xy

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x? và hai điểm A(-1;1), B(3;9)

năm trên (P) Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hồnh độ là m (—1< m <3)

Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn nhất

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi I là điểm bất kỳ năm trong tam giác ABC (I không năm trên cạnh của tam giác) Các tia AI, BI, CI lân lượt

cat BC, CA, AB tai M, N, P

a) Chứng minh: Al, BL Cl AM BN CP

1 1 4

+ + < 2°

AM.BN BNCP CPAM 3(R-OI) b) Chứng minh:

Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến các cạnh BC, CA, AB và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: y + z - x= R +r

.yeR

“YS vx Jy _2V2

Cho x; y thoa man 1 Chimg minh rang: + <

Osxys, I+y l+x 3

- HOt -

Trang 40

SO GIAO DUC VA DAO TAO KY THI CHON HOC SINH GIOI LOP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 THAI BINH

HUONG DAN CHAM MON TOAN (Gom 4 trang)

CÂU ĐÁP ÁN DIEM

Câu 1 Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những sô nguyên và sô ẩo chu vi băng 30 hai lan sé do diện tích Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó "

Gọi độ dài các cạnh của tam giác vuông là a, b, c (a la độ dài cạnh huyện) Theo giả thiệt và định lý Pitago, ta có:

at+b+c=be (1) 0.5 b?+c? =a? (2) => b’ +c’ +2be=2(a+b+c)+a° 0.5 © (b+ce-1) =(a+l) b+c-2=a a+b+c=0 (loại) 0.5 Thế a = b + c - 2 vào (2) ta được: 2 + be - 2b -2c = 0© (b-2)(c—2) =2 0.5

Vì b, c là các sô nguyên dương nên ta có các trường hợp sau:

T.Hợp b-2 c-2 b C a K.Luận

1 1 2 3 4 5 Nhan

2 2 1 4 3 5 Nhận 1.0

3 -1 -2 1 0 Loai

4 -2 -1 0 l Loại

Vậy tam giác cần tìm có các cạnh là 3: 4; 5

Cho biếu thức P = JI-x+(1-x)Vi- + 1-x-(1-x)VI-x? xe [-1L1|

Câu 2 1 3.0

Tính giá trị của biêu thức khỉ x =————— 2012 Ta có: +) 2(1—x)+2(1—x)N1—x? =(x?~2x+1)+2(1—x)N1—x? +(1—x?) 0.5 2 =|1-x+VI-x°| 2 +) 2(1-x)-2(1-x)VI-x? =[1-x-vI-x' | 0.5

Suy ra: P42 =[I=x+v1~x” +iI=x=vI~x” 0.5

=1~x+I~x? +⁄I~x|/I=x~XI+x| 0.5

0.5

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	6,45 MB