tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán kèm đáp án

tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán kèm đáp án tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài t...

Trang 1

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học : 2006 - 2007 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn : TỐN (ĐỀ!) Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đê) Bai 1(2,5 điểm): Giải hệ phương trình: 29 v2 +10y=2006 (1) 29 2 -“_+10z=2006 (2) y2 29 ~+10x= 2006 (3) z2 Bài 2(2.5 điểm): Cho day {a,} thoa man: a, =1, a,=-7 Và an„¿ -Õ a„.¡+ 6 =0 (1) Tìm số hạng tổng quát a„ của dãy Bai 3(2,5 điểm): Xác định tất cả các hàm số : f: R—› R liên tục tại điểm x = 0 và thỏa mãn: f(9x) - 2f(3x) + f(x) = 2006x?, vxe R (1)

Bài 4(2,5 điểm): Cho tam gác ABC vuông ở A, đường cao AH, D là một điểm trên cạnh BC.Hình chiếu của H trên AB, AC theo thứ tự là F và E Hình chiếu của D trên AB, AC theo thứ tự là M và NÑ Chứng minh:

CE _ AC a) —=—

BF AB

Trang 2

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Mơn : TỐN (ĐỀ 1)

Năm học : 2006 - 2007

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho môi bài Thí sinh giải cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng bài Trong bài làm của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chế, lô gíc

* Nếu thí sinh giải sai bước trước thì cho điểm 0 đối với các bước giải sau có liên quan trong lời giải của từng bài

Trang 3

1003 + 4100579 X=VY=Z= y 10 2 Ta có phương trình đặc trưng x”-5x+6=0 (2) (2,5 đ) | Có hai nghiệm 1a x, = 2 va x, =3 0,5 Cong thttc nghiém téng quat ctia day 1a a, =c,.2"-c,.3" | 0,5 *n=l=a,=l=l=c,2+c;3 #*n=2 >a;=-7 >-7=c¡4+c;.9 0,5 2c, +3c, =1 Ta có hệ: ° > c,=5;c,=-3 0.5 4c, + 9c, =-7 , Vì vậy số hạng tổng quát của dãy là a, =5.2" - 3.3" 0,5 3 1003 0,25 (2,5 4) Dat f(x) = g(x) + > Thay vào đẳng thức (1) ta có: g(9x) - 28GXxAy ¿ g(x) =0, VxeR 0,25 <= g(9x) - g3x) 3 ABQXE g(x), Vxe R 0,25 Dat h(x) = g(3x) - gf Mx 78.26 hy „ V <<

Do đó h(x) = ROE aie ›vne N 0,25

Trang 5

SỞ GD-ĐT QUANG BÌNH KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Năm học : 2006 - 2007

ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn : TỐN (ĐỀ II)

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đê) Bài 12,5 điểm) Dãy U¿„U,, ,U, được xác định bởi quy luật: -1 U, cho truéc, U, # 3 n > — U,-I Vn21 "— 2U,+1

Biéu dién U, theo Up van

Bai 2(2,5 diém): Cho các số thực x,,x,,x; thỏa mãn

x, +x, +x, =4/x, +1 44x, +2 +4/x, 43

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P= x,+x; +x;

Bài 3(2,5 điểm): Trên bàn cờ 10 x 10, chúng ta viết các số từ 1 -> 100 Mỗi một hàng chúng ta chọn số lớn thứ 3 Chứng minh có tồn tại ít nhất một hàng có tổng các số trong hàng nhỏ hơn tổng các số lớn thứ ba được chọn

Bài 4(2.5 điểm): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) M,N, P, Q

theo thứ thự là các tiếp điểm của AB, BC, CD, DA với (O) Chứng minh rằng:

a) AC, BD, MP, NQ đồng quy tại một điểm

b) Các đường thẳng BD, PN, QM đồng quy tại một điểm

Trang 6

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn : TOÁN (ĐỀ ID

Năm học : 2006 - 2007

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho môi bài Thí sinh giải cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng bài Trong bài làm của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chế, lô gíc

Trang 7

X,+X,+X,=x,+x,+x,=S XP 4X5 4X5 =X, +X, +X,+6 Ta tìm GTLN, GTNN của S Từ BĐT 3(Xj + Xj+ Xỷ)>(X,+X,+X;)” ta có S?-3S8-18<0>S<6 Vay maxS=6 khi X, =2;X, =2;X,=2 hay x, = 35x, =2;x, =1 Mặt khác: X? + X? + Xỷ = X,+X,+X,+6 S?—S -6=2(X,X,+X,X,+X,X,) 205523 Vay minS =3 khi X,=X,=0 hoac X, =X, =0 hoac X,=X,=0 Tức là x¿=-l;X; =-2 hoặc x, =-2;x, =-3 hoac x; =-3;x, =—Ï 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25

(2,5 d) Ta kí hiệu bên trong các số lớn thứ ba trên mỗi hàng la p> a) >a> >ay Khi đó số phân tử lớn hơn aạ nhiều nhất là 20 (Mỗi hang gồm hai số lớn hơn aạ, hai số lớn hơn a;, .hai số lớn hơn as) a; >80 Lập luận hoàn toàn tương tự là có a¡>78 Vi ag > agt 1 Da, = at? D Da, > ay +7 Sa, +a + +tao > 80 + 78 + (ag†7) + +a, > 8a, +180

Xét tổng các số thuộc hàng có chứa a, là số lớn thứ 3 Khi đó ta có:

Say < 100 + 99 + ay + ay—1+ .4a) -7 <8a, + 171 = Say <a) + at .+a, (dpem)

(2,5 đ)

«Hình vế 0,25đ

Trang 8

a)(1,25d, b) (1,0d) Dựng AE//AB Đề ý rằng ⁄BMP = ⁄CPM Suy ra: CE= CP K AM _ AM ao me: ( ——=—— Goi 1a sing = Nh ar) ane BP a va NQ thi: ên từ (1) và (2) ta có: : # =A `

Do d6:T = T Sup ra: MP; AC dong quy Hoan toan tuong tit cho MP, NQ, BD déng quy (Đpcm)

Trang 9

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Năm học : 2006 - 2007

ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn : TOÁN (ĐỀ II")

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(2.5 điểm): Giải phương trình: @+242#=3(2-)+43 (1) Bài 2(2,5 điểm): Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: x?+2006y? =z? 2006x” + y? =/? Bài 3(2,5 điểm): Cho đa thức p(x) có hệ số thực, bậc n =2006 thỏa mãn P(k)= mĩ với k =0, 1, 2 2006 Hãy tính P(2007) +

Trang 10

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Mơn : TỐN (ĐỀ II)

Năm học : 2006 - 2007

YÊU CẦU CHUNG

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho môi bài Thí sinh giải cách khác đáp án

nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng bài Trong bài làm của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chế, lô gic

* Nếu thí sinh giải sai bước trước thì cho điểm 0 đối với các bước giải sau có

liên quan trong lời giải của từng bài

Trang 11

v3 Thay — = cosZ, đặt = =a vicosa = 4cos)Ế -3cos ` 2 6 6 3 3 0,25 Peos& và cos #È?“ đều là nghiệm của (2)

Vậy phương trình (2) có các nghiệm: y, = cos

y= cos W =cos ti ba nghiém nay déu phan biét do

đó phương trình (2) không còn có nghiệm nào nữa (vì| 0:25 phương trình bậc ba có không quá ba nghiệm)

Do 5 < ae <n, 2 “ <z nên y; <0, y;<0 bị lọai còn | q 2s y,>0 Với y¡ = cos >t=2 cos tức là (42+1)*= 2 cos z 0,25 exes log /2 «(20s ) Đáp số: phương trình (1) đã cho có nghiệm duy nhất 0,25 x= log /2 «,(2cos)

2 | Do hệ phương trình trên có bậc chắn với tất cả các ẩn nên (2,5 d)| ta chỉ cần tìm nghiệm tự nhiên Cộng hai phương trình trên

theo vế, ta có phương trình sau: 2007Œ? +y”)=zZ”+t (1) 0,5 Vì 2007 = 223.9, mà 223 là số nguyên tố dạng 4k + 3 Ta ¬ z:223 z=223.z, suyraz +t: 22354 , hay (z,,t, eN) :223 t=2234, Z2Z,, t2t, 0,5 Thay vào (1) ta có: 9.223(x? + y*) = 223°(z,? + t,7) > 9(x? + y’) = 223(z,? + t,’) (2) ¬ x=223.x, Vì (223;9)= 1 =x" +y°: 223 => (x,y, €N) y=223.y, Thay vào (2) ta có: 9.223°(x,7+ y,7) = 223(z,7 + tị) = 2007(x,? + y,*) =z," +t,’ 3) 05

Từ (1), (2), (3) ta suy ra néu (x, y, z, t) la nghiệm của hệ phương trình đã cho thì (x¡, y¡ Z¡ t,) cũng là nghiệm mà

Trang 12

x=223.x, y=223y, z=223z, t = 2231, 0,5 Vay néu (Xp, Yo, Zp, tp) 1a nghiém thi: x,=—2 * 223" _ Vo 903" z= Zo “223° — ty * 223" cũng là nghiệm , VY ke N*=> Phuong trình (1) có nghiệm duy nhất x = y=zZz=t=0

Thử lại thấy thoã mãn hệ phương trình

Trang 13

Hình \ “, Le iN, 2K Xác định T: Giả sử tứ diện MNPQ có vị trí như hình vẽ Đặt AM'=x;AQ'=y;,CN'=2;CP'=t:0<x,y,z,t<a là độ dài cạnh hình lập phương Chu vi hình chiéu M’N’P’Q’ 1a Vie? +y +2 + +Aj(a-x)° +(a-z)? + (ayy +(a-ty 1 >Œ+y+Z+f+a~x+a=y+a~z+a=1)=2a42 (Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki)

Trang 15

SỞ GD - ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

Năm học : 2006 - 2007

ĐỀ CHÍNH THÚC Mơn : Tốn (ĐỀ IV)

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đê)

Bài 1(2,5 điểm): Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: x?+2006y? =z”

20063” + y? =?”

Bài 2 (2,5 điểm) : Cho số tự nhiên n > 3 Lấy n số Xị, Xạ, .,, X„ sao cho mỗi số x;¡ (= 1,2, , n) chỉ nhận một trong hai giá trị là 1 hoặc (- 1) và thoả mãn điều kiện:

XIX¿ + X2X4 + + Xn ¡ Xa + XaXi =0 Chứng minh rằng n là bội số của 4

Bài 3 (2.5 điểm) : Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: ay p +“ >a+bte

b c a

Bài 4 (2,5 điểm) : : Cho dãy số (u„) được xác định nh sau: u, =u, =1

Uj =u, +4/U,, 3: neN, n22 Tim lim u,?

n+

Trang 16

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Năm học : 2006 - 2007 Mơn : Tốn (Đề IV)

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho môi bài Thí sinh giải cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng bài Trong bài làm của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chế, lô gic

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm, những điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm * Điểm tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài là kết quả của thí sinh Bài Đáp án Điểm

1 | Do hệ phương trình trên có bậc chẵn với tất cả các ẩn nên ta (2,5 đJ chỉ cần tìm nghiệm tự nhiên Cộng hai phương trình trên

Trang 17

¬ x =223.x, Vi (223;9) = 1 >x° +y°: 223 => (x,y, EN) y=223.y, Thay vào (2) ta có: 0,5 9.223°(x,7+ y,7) = 223(z,? + tị) = 2007(x,? + y,) =z, +t, 3)

Ti (1), (2), (3) ta suy ra néu (x, y, z, t) la nghiệm của hệ phương trinh da cho thi (Xx,, y,, z;, t,) cũng là nghiệm mà x =223.x, = 223 y yi 0.5 z= 2232, t= 2231, Vậy nếu (Xạ, Yo, Zp, tp) là nghiệm thì: x, = 9 F223 _ Vo Ve 223 Z9 1` 223! t =<) “2238 cũng là nghiém , V ke N *=> Phuong trinh (1) cé nghiém duy nhat x =y=z=t=0 0.5

Thử lại thấy thoã mãn hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = t = 0 2 | Đặt X,=xXx¡X;; X; =X;X;y, Xa=XJXi 0,25 (2,5đ) Khi đó mỗi số X, (¡ = 1, 2, , m) bang 1 hoac bang (- 1) 0,25 va X,+X,+ +X,=0 Như vậy, nếu có p số X, bằng 1 thì cũng phải có psố | 0,25 X, bằng (- 1) (peN;p<n) Do đó: n= 2p Mặt khác: X,X; X„ = (xx; X„)Ẻ =Í 0,5 Ma: X,X; X„=(- I)P Suy ra p là số chẩn 0,5 Vậy: n = 2p chia hết cho 4 hay n là bội số của 4 0,5 0,25

3 Nhận xét: (- a+b)+(-b+c)+(-c+a)=0 0,25

(2,54) Nên :

Trang 18

2 1 b 2 2 2 b 2 +(~b+€)+“—+(~e+a) 0,5 2 bc ab c a a’ -ab+b° , b’-be+e" | c* -cata’ 0,25 ~ b c a Ta c6: a? - ab + b? =ab+(a-b)’ > ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b 0,5

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có: b’- be +c? =be+(b-c) > be Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = c Và : CỔ - ca + a°=ca +(c-a)”> ca Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = a 0,25 0,25 â a bre ys ab be et i ye Vay; bo ce a ca 0,25 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khia=b=c (d p.c m) 0,25 4 | Nhận thấy:uạ>0 với mọi n e N 0,25 (2,5đ)

Ta có: uy =u, +Ju, =2 Suy ra: u; >u; 025 Ta sẽ chứng minh: u,.¡ >u, ; với moin e N,n > 2

(1)

Thật vậy, theo trên thì (1) đã đúng với n = 2 0,25 Giả sử (1) ding dénn=k;keN,k>2

Tức là, theo công thức truy hồi ta có:

Uy FU SU, PU

Ta có: 0ụ.; =j0y„¡ + Ju, > Ju, + Uy FU

Vay (1) được chứng minh 0.25

Vớin >4,tacó: u,=vju,,+u,; <2.-ju,„

Suy ra: u,’<4u, > u,<4 0,25

Như vậy, dãy (u,) là dãy các số dương, tăng và bị chặn

Trang 19

trên bởi số 4 nên

tồn tại giới hạn hữu hạn Giả sử lim u,y=a>0, Ti->‡+2 Theo giả thiết ta có:

Trang 20

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH _ ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Năm học : 2006 - 2007 Môn : Toán (Đề V) Thời gian làm bài : I80 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (25 điểm) : Cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếu A B C tr › t2: t2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thì cosA, cosB, cosC theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng Bài 2 (2,5 điểm) : Cho da thiic f(x) = x* + ax’ + bx” + cx + d; trong đó a, b, c, d là các hằng số thực Biết rằng f(1) = 10; f(2)=20; f(3) =30 Hãy tính giá trị: P= Ae +22

Bài 3 (2,5 điểm) : Cho các số thực a, b, c € [-1 ; 2] và a+b+c=0 Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức P = a” + bỂ + cỶ

Bài 4 (2,5 điểm) : Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O

Gọi P là một điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ BC (cung không chứa điểm A) Chứng minh rằng: PA = PB + PC

Trang 21

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Năm học : 2006 - 2007 Mơn : Tốn (Đề V)

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho môi bài Thí sinh giải cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng bài Trong bài làm của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chế, lô gic

* Nếu thí sinh giải sai bước trước thì cho điểm 0 đối với các bước giải sau có

liên quan trong lời giải của từng bài

Trang 22

<= I+cosB=4sin 2/08/6052 0,25 _B A+C A-C = 1+cosB=2sin—| cos + cos 2 2 2 Bi B A-C = 2sin—| sin— +cos 2 2 2

= 1+cosB =2sin* = + 2sin 5 cos

=2sin? 2 + 2cos cos A-€

Trang 23

ce -c-2=(c+1)(c-2) <0 (3) | 0,25 Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có: a*+b +cˆ-(a+b+c)-6<0 © a+b+c<6 (*) 0.25 Dấu đẳng thức của (*) xảy ra khi và chỉ khi dấu đẳng thức của (1), (2) và

(3) đồng thời xảy ra

Dấu đẳng thức của (1) xảy ra khi và chỉ khi a = - 1 hoặc a=2 Dấu đẳng thức của (2) xảy ra khi và chỉ khi b = - 1 hoặc b=2 Dấu đẳng thức của (3) xảy ra khi và chỉ khi c = - 1 hoặc c=2 0,5 Mặt khác, ta cần phải có a + b + c = 0 nên dấu đẳng thức của (#) xảy ra khi và chỉ khi: a=2;b=c=-Il 0.25 hoặc b=2;a=c=-1 0,25 hoặc c=2;a=b=-1 0,25 Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức P là 6, đạt được khi: a=2;b=c=-l hoặc b=2;a=c=-1 hoặc c=2;a=b=- 0,25 4 | Nhận xét: Khi P = B thì PA = BA, PB = 0, PC = BC Do đó: (2,54) PA = PB + PC =a (do dai canh tam giác ABC)

Hoàn toàn tương tự, bài toán được chứng minh khi P = C 0.25 Xét trường hợp điểm P không trùng với điểm B và điểm

P cũng khôngtrùng với điểm C:

Trên đoạn thẳng PA lấy điểm Q sao cho : < ACQ = ⁄ BCP 0,25

Khi đó: <QCP= ZQCB + ⁄BCP

Trang 25

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH _ ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

Năm học : 2006 - 2007 Môn : Toán (Đề VI)

Trang 26

u, =u, =1

Ua n+l =Vu, + /U,, 3; neN, n22 Tim lim u,? n>+ 0 DAP AN, HUONG DAN CHAM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Năm học : 2006 - 2007 Mơn : Tốn (Dé VI)

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Thí sinh giải cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng bài Trong bài làm của thí sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chế, lô gíc

Trang 28

2 -l 0,5 = -1 thì Q(-1)= 1 =a) (1 Ị = , Cho x = -1 thi Q(-1) = 1 = ap (-1)*°"’.2007! >a, 20071 ˆ _ -l 0,25 Vay Q (x) = 50071 XŒ- D)Œ-2) (x-2006) (2) 4 _ -l _ 0,25 Nén Q(2007) = 20071 2007.2006 2.1 = -1 Mặt khác theo (1) thì Q (2007) = 2008 P(2007) - 2007 Do đó: 2006 _ 1003 0,5 2008.P(2007)- 008.P(2007)- 2007=-1 2007=-1 => P(2 = P(2007) =o 2008 = 1004 = 025 sow 1003 , Đáp áp số: P(2007) số: P2 = —— 1004 4 | Nhận thấy:uạ>0 với mọi n e N 0,25 (2,54)

Ta có: u, =u, +/Ju, =2 Suy ra: u, > u, 0.25 Ta sẽ chứng minh: u,.¡ > u„ ; với mọi neNÑ,n> 2

(1)

Thật vậy, theo trên thì (1) đã đúng với n = 2 0,25 Gia str (1) ding dénn=k;keN,k>2

Tức là, theo công thức truy hồi ta có:

Mi FUL SU, PU yo

Ta CO: Uy,9 = VUea + uy > Ju, + Uy = Ura

Vay (1) được chứng minh 0,25

Với n > 4,tacó: u,=vju,,+/u,; <2./u„

Suy ra: u,’?<4u, > u, <4 0,25 Nhu vay, day (u,,) 1a day cdc s6 duong, tang va bi

chặn trên bởi số 4 nên

tồn tại giới hạn hữu hạn Giả sử lim u,=a>0, 025

Theo giả thiết ta có:

n>+00 n+ 0,5

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	2,91 MB