Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán (có đáp án) sở giáo dục tỉnh thanh hóa
Trang 1Sở GD ĐT Thanh Hóa Đề xuất đề thi học sinh giỏi
lớp 12
Môn: Toán - Bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Cho phơng trình:
m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phơng trình trên với m=1
2) Tìm m để phơng trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt 5
;
2 2
x
Bài 2:
1) Giải phơng trình (Sin)x + (tg)x = ()x
(với x là tham số, 0 < x <
2
) 2) Tìm a để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt
32-x - Sin a +1 log (x2 + 4x + 6) + ) + 2 4 1
( 3) log
x Sina
=0
Bài 3: Với mọi ABC, k 3
0, 4
Chứng minh:
Cos Cos Cos Cosk A Cosk B Cosk C
Bài 4: Xét hai dãy số:
1 1 1
1
a ; 0
1
; ; voi
1 (i=1, 2 )
i
i
b
a
b a
b
Chứng minh (a2006) + + b2006) + )2 > 16) + 039
Bài 5: Cho tứ diện ABCD
1) Gọi i (i= 1, 2, …, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l, 6) + ) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần lợt là các cạnh của tứ diện
Chứng minh:
6) + 1
2
i i
Cos 2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB tại
M và cắt DC tại N Gọi V, V1 lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và
DAMN Chứng minh:
1
9 2
V V
3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lợt là: Sa, Sb, Sc, Sd I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD Chứng minh:
Trang 3Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12
M«n: To¸n B¶ng A
Víi m =1; Ph¬ng tr×nh
2
0
Cosx Cos x Cosx
x=
1 2
2
k Cosx
1
2
Ph¬ng tr×nh
2
0
Cosx Cos x Cosx m
* Cosx =0 Cã 2 nghiÖm:
; x=3
x
* Ycbt 4Cosx2 - 2 Cosx +m - 3 =0
Cã 2 nghiÖm t1, t2 tháa m·n:
2
1 0 1 : (a) 0<t<1=t (b)
* Trêng hîp (b) lo¹i (v× nÕu t2=1 th× t1<0)
* Trêng hîp (a)
( 1) (0) 0
1< m < 3 (0) (1) 0
f f
f f
VËy gi¸ trÞ m cÇn t×m: 1< m < 3
0,5
0,5
0,5
0,5
Sin tg
Chøng minh:
0, 2
u cã Sinu < u < tgu
1 : 0,
2
Sin tg
0,5 0,5
0,5
0,5
Trang 4Khi đó
x =0: VT =2 > VP
x >0: VT > VP
x <0; VT> VP
Vậy phơng trình vô nghiệm
Đặt Sina -1 =m (-2 m 0)
ta luôn có: xR thì:
2
x 4 6) + 2
2 x-m 2 2
x
nên TXĐ của phơng trình là R
x m
Xét hàm số: f(t) = 3 log ( ) : 2; +
t
t
là hàm số đồng biến với x[2; +)
nên phơng trình x2 + 4x +6) + = 2 x-m +2 (*)
2 2
2 2 4 0 : (1) 6) + 4 2 0 : (2)
Theo yêu cầu bài toán (*) có 3 nghiệm phân biệt
(1) có nghiệm kép x ;(2) có 2 nghiệm x
(2) có nghiệm kép x ;(1) có 2 nghiệm x
(1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau
3 2 5 2 2
m m m
(loại)
Vậy theo yêu cầu bài toán:
a=- 2 6) + 3
2
6) +
1 2
- "2 2
k Sina
Sina
Có 3 họ giá trị của a cần tìm
0,5
0,25 0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Mọi ABC có 0 1
Trang 5mà:0 3 1 3
nên: 3 0
Cosk B Cos B (2)
Ta có:
C Cos C Cos B Cosk B Cosk B
Chứng minh tơng tự có:
1
C C Cosk C
và 1
C C Cosk A
Từ (a), (b), (c) suy ra (đpcm)
Dấu "=" khi A=B = C=
3
ABC đều
0,5
0,5
0,5
Ta có Si = (ai + bi) (i=1,2,3…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l.)
Thì
2 2
2 2
2
1 1
S = (a + b ) = : (i=1,2, )
1 1
a b
a b
a b a b
a b
nên ta có: (a1 + b1)2 > 0
(a2 +b2)2 > 0
(a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + 8
…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l
(a2006) + +b2006) + )2 > (a2005 + b2005)2 + 8
Cộng các bđt trên, ta có:
(a2006) + +b2006) + )2 > 8 2005 = 16) + 040 > 16) + 039
0,5 0,5
0,5 0,5
Trang 6
C
A
I
A1 D1
M
Hạ IA1 (BCD); ID1 (ABC)
IB1 (ACD); IC1 (ABD)
Dựng A1M BC D M1 BC
IM BC
nên
A MD (Tơng tự với 2…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l6) + )
Ta có:
2
2
6
i i=1
0
4 2 0
Cos 2 : (dpcm)
IA IB IC ID
r IA IB IC ID
r r Cos Cos Cos
1,0
1,0
1,0
G
A'
A
B
C
D
O M
N
Trang 7
DAMN ABCD
A' lµ träng t©m BCD Gäi:
O lµ trung ®iÓm BC
§Æt: vµ
V
V
2 ( ') 2
T ong tù
DM DN DA
xy
DB DC DA
DM DA dt DMA
x
DB DO dt DBC
dt DNA
dt DBC
: (b)
Tõ (a), (b) suy ra:
y(3x-1) =x: (x ) y=
1
x 0 va x
1 3
x 2 1
T ong tù, suy ra: ; 1
2 V
VËy:
y
dt DMN x y
dt DBC
dt DMN DM DN
xy
dt DBC DB DC
x
x y
2 1
2
1 ( ) : ;1
Cã: f'(x) = =0 x=
x
x x x
vµ:
2
2 3
1
f(x) 1
2
4 9
1 2
4 V 1 1
9 V 2
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 8
I
P' D
A
B
C M'
M P
N'
N
Gọi
M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI)
N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI)
P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI)
vì I ở trong tứ diện, nên: M, M',…, 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l thuộc các cạnh của tứ diện
Do: (DAM) là mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AD nên:
d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)]
điểm M đoạn BC; nên:
.
c b
S
S
S MB S MC S IB IM S IC IM
S IB S IC S S IM
Chứng minh tơng tự:
S ID S IA S S IM
Mặt khác: I MM' = (AMD) (BCM')
nên các vecto
Vậy gọi vecto:
( a b c. d )
v S IA S IB S IC S ID
thì
( a b) ( c d) ')
v S S IM S S IM song song với
'
MM
Chứng minh tơng tự:
// '
v NN và v PP// ' Nhng
'
MM ;
'
NN ;
';
PP không đồng phẳng nên: v0 (đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
Chú ý:
Trang 91)Điểm toàn bài là điểm tổng cộng sau khi đã làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5)
2) Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng chính xác thì cho điểm tối đa của câu đó.