Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiết
Trang 1Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Quảng Xơng II Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Bảng A
(Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề).
Bài1: (4 điểm)
Cho hàm số f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2 Từ một điểm bất kỳ trên đờng thẳng x=2 ta có thể kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)
(Đại học ngoại thơng khối A năm 2000)
Bài2: (4 điểm)
1 Tính I=
3
0
2 3
x x 2
2 Cho f(x) = 2x + m + log2mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-1
Tìm m để f(x) có tập xác định là R.
Bài3: (4 điểm)
Giải phơng trình: ln(sinx+1) = esinx-1.
Bài4: (2 điểm)
Giải hệ phơng trình:
1 x
z
1 z
y
1 y
x
Bài5: (4 điểm)
Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a Lấy M trong đoạn AD' ,
N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a 2)
1 Chứng minh với x=
3
2
a thì MN ngắn nhất
2 Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của
AD' và DB.
Bài6: (2 điểm)
Cho x,y,z
2
;
6 Chứng minh:
2 2
1 1 y
sin
x sin z sin x
sin
z sin y sin z
sin
y sin x
sin
Trang 2Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Quảng Xơng II Đáp án Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài1
(4điểm)
1 (2điểm) Tập xác định: x
Chiều biến thiên: y'=3x2-12x+9
y'=0 x=1, x=3 Hàm số đạt cực đại tại x=1, y=3 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3, y=-1 Tính lồi lõm và điểm uốn
y'' =6x-12
Hàm số lồi x( , 2 ) Hàm số lõm x(2,+)
Điểm uốn x=2, y=1 limy=+; limy=-
x->+ x->-
Bảng biến thiên
Đồ thị: x=0 =>y=-1 y=0 =>x3-6x2+9x-1=0 Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1
Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ chính xác đẹp
0,5
0,5
0,5
0,5
2 (2điểm) Xét A(2,a) trên đờng x=2 Tiếp tuyến tại A có phơng trình là: y=(3x0 -12x0+9)(x-x0)+x0 -6x0 +9x0-1
Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi a=(3x0 -12x0+9)(2-x0)+x0 -6x0 +9x0-1
2x0 -12x0 +24x0-17+a=0 (1)
Số nghiệm của phơng trình (1) chính là số tiếp tuyến qua A Xét g(x)= -2x3+12x2-24x+17
g'(x)=-6(x-2)2
0
x
g(x) luôn nghịch biến và có tập giá trị là (-,+) do đó phơng trình (1) luôn có một nghiệm duy nhất Vậy từ một điểm bất kỳ trên x=2 luôn kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 x - 1 3 +
y' + 0 -
y'' 3 +
- -1
Trang 3Bài 2
(4điểm) (2điểm) I=1
3
0
2
) 1 x (
x dx =
3
0
x x 1 dx
=
1
0
x 1 xdx +
3
1
x x 1dx
= 1
0 2 1
x dx -
1
0 2 3
x dx+
3
1 2 3
x dx -
3
1 2 1
x dx
=
15
8
+
5
3 8
0,5
0,5 0,5 0,5
2 (2điểm) Ta chỉ cần mx
2-2(m-2)x+2m-1>0 xR
Khi
0 4 m 3 m 0 m 2 '
1 m
4 m 0 m
=>m >1
Vậy m>1 thì f(x) có tập xác định R
0,5 0,5 0,5
0,5 Bài 3
(4điểm) Điều kiện sinx-1, x- k 2
2 (kZ)
Đặt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey
ta có hệ
) 2 ( 1 x sin e
) 1 ( 1 y e
y sinx
Lấy (1) trừ (2) ta có phơng trình
esinx – ey = y-sinx
Nếu sinx > y thì esinx > ey Phơng trình không có nghiệm Nếu sinx < y thì esinx < ey Phơng trình không có nghiệm
Vậy phơng trình có nghiệm khi sinx=y thay vào (2) ta có: esinx=sinx+1 (3)
Xét f(x)= ex-x-1 với x-1
f'(x)= ex – 1=0 x=1 Vậy phơng trình (3) có nghiệm sinx=0 =>x=k (kZ)
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 4Bµi 4
) 3 ( x 1
z
) 2 ( z 1
y ®iÒu kiÖn x,y,z 1
NÕu (x,y,z) lµ mét nghiÖm cña hÖ gäi x= min(x,y,z) th× x y,x
z (4)
z 1+ y =x =>z x VËy z=x
x y => x y =>1+ x 1+ z
z y (5)
Tõ (4) vµ (5) ta cã x=y=z nªn x=1+ x => x=y=z=
2
5
3
0,5
0,5
0,5 0,5
Bµi5
(4®iÓm)
1 (2®iÓm) Dùng MM
'
AD; NN '
AD
DNN' vu«ng c©n nªn AM'=MM'
Ta cã AM2= x2=2MM' 2 =>MM'=AM'=
2
2 x
V× N'DN c©n => N 'D=N'N=
2
2 x
=> c©n MM'A = c©n NN'D
=>AM'=DN'=>AN'=DM' M'N'= AD - 2AN'= x 2
M'N'=a - 2(a-
2
2
x )= x 2- a
MM'N t¹i M' nªn MN2
=M'M 2 +M'N2=
2
2
x
+(M'N' 2 +N'N2)=
2
2
x
+(x 2-a)2 +
2
2
x
=3x2 -2ax 2+a2
§Æt f(x)=3x2 -2ax 2+a2 xÐt trªn 0 a, 2
f'(x)= 6x- 2a 2=0 <=> x=
3
2
a
VËy f(x) nhá nhÊt khi x=
3
2
a
MN2=3
2
3 2 a
- 2a 3
2
a
2+a2
0,5
0,5
0,5
Trang 5=
2
2a2 -
3
4a2 +a2 =
3
2
a => MN=
3
a
0,5
2 (2điểm) Xét MM'D: MD
2=MM' 2 +M'D2
=
2
3 2 a
+
2
2
2 3
2
a
9
5 9
4 9
2 2
a
và MN2=
3
2
a DN2=x2=
9
2a2
=>MN2+DN2=
9
5a2
Ta lại có MD2=MN2+DN2=
9
5a2
Vậy MDN tại N =>MN DB
Xét AN'N ta có AN2=AN' 2 +N'N2=
2
2
2 3
2
a
2
2
x
=
9
5a2
AM=x=
3
2
a MN=
3
a
nên AM2+MN2=
9
5a2 do đó
AN2=AM2+MN2 =>AMN tại M
MNAD Vậy MN là đờng vuông góc chung
0,5
0,5 0,5 0,5
Bài6
(2
điểm)
Đặt sinx=a; siny=b; sinz=c thì a,b,c , 1
2 1
Ta có
abc
a c c b b a b
a c a
c b c
b
Ta chứng minh
abc
a c c b b
2
1
a,b,c , 1
2 1
Đặt u=
c
a
; v=
c
b
; do
2
1
abc1 thì
2
1
uv1 ta chứng minh:
uv
v u u
2
1
ta có:
uv
v u u
v
v v
2 1
) 1 )(
2
1 1 )(
2
1
= 1+
2
1
-v-v
v v
1 2 2
1 1 2
1
2
2
1
Dấu = khi u=
2
1
; v=
2
1 hay x=
6
; y=
4
; z=
2
0,5
0,5 0,5
0,5
Tài liệu tham khảo: 1 Đề thi Đại học của Bộ giáo dục xuất bản năm 1996
2 Báo toán học và tuỏi trẻ năm 2000