Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiết

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiếtĐề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án chi tiết

Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trờng THPT Quảng Xơng II Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Bảng A (Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề). Bài1: (4 điểm) Cho hàm số f(x)=x 3 - 6x 2 +9x-1 (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Từ một điểm bất kỳ trên đờng thẳng x=2 ta có thể kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến (C). (Đại học ngoại thơng khối A năm 2000). Bài2: (4 điểm). 1. Tính I= + 3 0 23 xx2x dx. 2. Cho f(x) = 2x + m + log 2 [mx 2 - 2(m 2)x+ 2m-1]. Tìm m để f(x) có tập xác định là R. Bài3: (4 điểm). Giải phơng trình: ln(sinx+1) = e sinx-1 . Bài4: (2 điểm). Giải hệ phơng trình: = = = 1xz 1zy 1yx Bài5: (4 điểm). Cho hình lập phơng ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a. Lấy M trong đoạn AD ' , N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a 2 ). 1. Chứng minh với x= 3 2a thì MN ngắn nhất. 2. Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của AD ' và DB. Bài6: (2 điểm). Cho x,y,z 2 ; 6 Chứng minh: 2 2 1 1 ysin xsinzsin xsin zsinysin zsin ysinxsin + + + + Sở GD & ĐT Thanh Hoá Trờng THPT Quảng Xơng II Đáp án Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Câu Nội dung Điểm Bài1 (4điểm) 1 (2điểm) Tập xác định: x . Chiều biến thiên: y ' =3x 2 -12x+9 y ' =0 x=1, x=3 Hàm số đạt cực đại tại x=1, y=3 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3, y=-1 Tính lồi lõm và điểm uốn y '' =6x-12 Hàm số lồi x ( )2, Hàm số lõm x (2,+ ) Điểm uốn x=2, y=1 limy=+ ; limy=- x->+ x->- Bảng biến thiên Đồ thị: x=0 =>y=-1 y=0 =>x 3 -6x 2 +9x-1=0 Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1 Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ chính xác đẹp 0,5 0,5 0,5 0,5 2 (2điểm) Xét A(2,a) trên đờng x=2. Tiếp tuyến tại A có phơng trình là: y=(3x 0 2 -12x 0 +9)(x-x 0 )+x 0 3 -6x 0 2 +9x 0 -1 Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi a=(3x 0 2 -12x 0 +9)(2-x 0 )+x 0 3 -6x 0 2 +9x 0 -1 2x 0 3 -12x 0 2 +24x 0 -17+a=0 (1) Số nghiệm của phơng trình (1) chính là số tiếp tuyến qua A Xét g(x)= -2x 3 +12x 2 -24x+17 g ' (x)=-6(x-2) 2 0 x g(x) luôn nghịch biến và có tập giá trị là (- ,+ ) do đó phơng trình (1) luôn có một nghiệm duy nhất Vậy từ một điểm bất kỳ trên x=2 luôn kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 x - 1 3 + y ' + 0 - y '' 3 + - -1 Bài 2 (4điểm) 1 (2điểm) I= 3 0 2 )1x(x dx = 3 0 x 1x dx = 1 0 x ( ) x1 dx + 3 1 x ( ) 1x dx = 1 0 2 1 x dx - 1 0 2 3 x dx+ 3 1 2 3 x dx - 3 1 2 1 x dx = 15 8 + 5 38 0,5 0,5 0,5 0,5 2 (2điểm) Ta chỉ cần mx 2 -2(m-2)x+2m-1>0 x R Khi >++= > 04m3m 0m 2' > < > 1m 4m 0m =>m >1 Vậy m>1 thì f(x) có tập xác định R 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 (4điểm) Điều kiện sinx -1, x - + 2k 2 (k Z) Đặt ln(sinx+1)=y => sinx+1=e y ta có hệ += += )2(1xsine )1(1ye y sinx Lấy (1) trừ (2) ta có phơng trình e sinx e y = y-sinx Nếu sinx > y thì e sinx > e y Phơng trình không có nghiệm Nếu sinx < y thì e sinx < e y Phơng trình không có nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm khi sinx=y thay vào (2) ta có: e sinx =sinx+1 (3) Xét f(x)= e x -x-1 với x -1 f ' (x)= e x 1=0 x=1 Vậy phơng trình (3) có nghiệm sinx=0 =>x=k (k Z) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi 4 (2®iÓm) Ta cã        += += += )3(x1z )2(z1y )1(y1x ®iÒu kiÖn x,y,z 1 ≥ NÕu (x,y,z) lµ mét nghiÖm cña hÖ gäi x= min(x,y,z) th× x ≤ y,x ≤ z (4)  z ≤ 1+ y =x =>z ≤ x VËy z=x x ≤ y => x ≤ y =>1+ x ≤ 1+ z  z ≤ y (5) Tõ (4) vµ (5) ta cã x=y=z nªn x=1+ x => x=y=z= 2 53 + 0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi5 (4®iÓm) 1 (2®iÓm) Dùng MM ' ⊥ AD; NN ' ⊥ AD ∆ DNN ' vu«ng c©n nªn AM'=MM' Ta cã AM 2 = x 2 =2MM' 2 =>MM'=AM'= 2 2x V× ∆ N ' DN ⊥ c©n => N ' D=N ' N= 2 2x => ∆ ⊥ c©n MM'A = ∆ ⊥ c©n NN'D =>AM'=DN'=>AN'=DM' M'N'= AD - 2AN'= x 2 M'N'=a - 2(a- 2 2x )= x 2 - a ∆ MM'N ⊥ t¹i M' nªn MN 2 =M'M 2 +M'N 2 = 2 2 x +(M'N' 2 +N'N 2 )= 2 2 x +(x 2 -a) 2 + 2 2 x =3x 2 -2ax 2 +a 2 §Æt f(x)=3x 2 -2ax 2 +a 2 xÐt trªn [ ) 2,0 a f ' (x)= 6x- 2a 2 =0 <=> x= 3 2a VËy f(x) nhá nhÊt khi x= 3 2a MN 2 =3 2 3 2a         - 2a 3 2a 2 +a 2 0,5 0,5 0,5 = 2 2 2 a - 3 4 2 a +a 2 = 3 2 a => MN= 3 a 0,5 2 (2điểm) Xét MM'D: MD 2 =MM' 2 +M'D 2 = 2 1 2 3 2a + 2 2 2 3 2 a a = 9 5 9 4 9 222 aaa =+ và MN 2 = 3 2 a DN 2 =x 2 = 9 2 2 a =>MN 2 +DN 2 = 9 5 2 a Ta lại có MD 2 =MN 2 +DN 2 = 9 5 2 a Vậy MDN tại N =>MN DB Xét AN'N ta có AN 2 =AN' 2 +N'N 2 = 2 2 2 3 2 a a + 2 2 x = 9 5 2 a AM=x= 3 2a MN= 3 a nên AM 2 +MN 2 = 9 5 2 a do đó AN 2 =AM 2 +MN 2 => AMN tại M MN AD Vậy MN là đờng vuông góc chung 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài6 (2 điểm) Đặt sinx=a; siny=b; sinz=c thì a,b,c 1, 2 1 Ta có abc accbba b ac a cb c ba ))()(( = + + Ta chứng minh abc accbba ))()(( 2 2 1 1 a,b,c 1, 2 1 Đặt u= c a ; v= c b ; do 2 1 a b c 1 thì 2 1 u v 1 ta chứng minh: uv vuuv )1)(1)(( 2 2 1 1 ta có: uv vuuv )1)(1)(( v vv 2 1 )1)( 2 1 1)( 2 1 ( = 1+ 2 1 -v- v v v 1 2 2 1 1 2 1 + = 2 2 1 1 Dấu = khi u= 2 1 ; v= 2 1 hay x= 6 ; y= 4 ; z= 2 0,5 0,5 0,5 0,5 Tài liệu tham khảo: 1. Đề thi Đại học của Bộ giáo dục xuất bản năm 1996. 2. Báo toán học và tuỏi trẻ năm 2000 . 2 2 2 3 2 a a = 9 5 9 4 9 222 aaa =+ và MN 2 = 3 2 a DN 2 =x 2 = 9 2 2 a =>MN 2 +DN 2 = 9 5 2 a Ta lại có MD 2 =MN 2 +DN 2 = 9 5 2 a Vậy MDN tại N =>MN DB Xét AN& apos;N ta có AN 2 =AN& apos; 2 +N'N 2 =. phơng trình là: y=(3x 0 2 -12x 0 +9) (x-x 0 )+x 0 3 -6x 0 2 +9x 0 -1 Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi a=(3x 0 2 -12x 0 +9) (2-x 0 )+x 0 3 -6x 0 2 +9x 0 -1 2x 0 3 -12x 0 2 +24x 0 -17+a=0 (1) Số. GD & ĐT Thanh Hoá Trờng THPT Quảng Xơng II Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Bảng A (Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề). Bài1: (4 điểm) Cho hàm số f(x)=x 3 - 6x 2 +9x-1 (C). 1.